2024秋高中數(shù)學(xué)第三章統(tǒng)計案例3.1第2課時線性回歸分析達標練習(xí)含解析新人教A版選修2-3

PAGE6-第三章統(tǒng)計案例3.1回來分析的基本思想及其初步應(yīng)用第2課時線性回來分析A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對A，B兩變量的線性相關(guān)性做試驗，并用回來分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和m如下表所示：分類甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103則哪位同學(xué)的試驗結(jié)果體現(xiàn)A、B兩變量有更強的線性相關(guān)性()A．甲 B．乙C．丙 D．丁解析：r越接近1，相關(guān)性越強，殘差平方和m越小，相關(guān)性越強，所以選D正確．答案：D2．已知回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝2x＋1，而試驗得到一組數(shù)據(jù)是(2，4.9)，(3，7.1)，(4，9.1)，則殘差平方和是()A．0.01 B．0.02 C．0.03 D．0.04解析：因為殘差eq\o(e,\s\up6(^))i＝y(tǒng)i－eq\o(y,\s\up6(^))i，所以殘差的平方和為(4.9－5)2＋(7.1－7)2＋(9.1－9)2＝0.03.答案：C3．若某地財政收入x與支出y滿意線性回來模型y＝bx＋a＋e(單位：億元)，其中b＝0.8，a＝2，|e|<0.5，假如今年該地區(qū)財政收入10億元，年支出預(yù)料不會超過()A．10億元B．9億元C．10.5億元D．9.5億元解析：x＝10時，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.8×10＋2＝10.因為|e|<0.5，所以年支出預(yù)料不會超過10.5億元．答案：C4．下列說法中正確的是()①相關(guān)系數(shù)r用來衡量兩個變量之間線性關(guān)系的強弱，|r|越接近于1，相關(guān)性越弱；②回來直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))肯定經(jīng)過樣本點的中心(x，y)；③隨機誤差e滿意E(e)＝0，其方差D(e)的大小用來衡量預(yù)報的精確度；④相關(guān)指數(shù)R2用來刻畫回來的效果，R2越小，說明模型的擬合效果越好．A．①② B．③④ C．①④ D．②③解析：①線性相關(guān)關(guān)系r是衡量兩個變量之間線性關(guān)系強弱的量，|r|越接近于1，這兩個變量線性相關(guān)關(guān)系越強，|r|越接近于0，線性相關(guān)關(guān)系越弱，①錯誤；②回來直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))肯定通過樣本點的中心(x，y)，②正確；③隨機誤差e是衡量預(yù)報精確度的一個量，它滿意E(e)＝0，③正確；④用相關(guān)指數(shù)R2用來刻畫回來的效果，R2越大，說明模型的擬合效果越好，④錯誤．答案：D5．如圖所示，5個(x，y)數(shù)據(jù)，去掉D(3，10)后，下列說法錯誤的是()A．相關(guān)系數(shù)r變大B．殘差平方和變大C．相關(guān)指數(shù)R2變大D．說明變量x與預(yù)報變量y的相關(guān)性變強解析：由散點圖知，去掉D后，x與y的相關(guān)性變強，且為正相關(guān)，所以r變大，R2變大，殘差平方和變小．答案：B二、填空題6．若一組觀測值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)之間滿意yi＝bxi＋a＋ei(i＝1，2，…，n)，且ei恒為0，則R2為________．解析：由ei恒為0，知yi＝eq\o(y,\s\up12(^))i，即yi－eq\o(y,\s\up12(^))i＝0，答案：17．依據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)得到的回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，若eq\o(a,\s\up6(^))＝5.4，則x每增加1個單位，估計y________個單位．x34567y42.5－0.50.5－2解析：由題意可得，x＝5，y＝eq\f(1,5)(4＋2.5－0.5＋0.5－2)＝0.9，因為回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，若eq\o(a,\s\up6(^))＝5.4，且回來直線過點(5，0.9)，所以0.9＝5eq\o(b,\s\up6(^))＋5.4，解得eq\o(b,\s\up6(^))＝－0.9，所以x每增加一個單位，估計y削減0.9個單位．答案：削減0.98．已知方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－82.71是依據(jù)女高校生的身高預(yù)報她的體重的回來方程，其中x的單位是cm，eq\o(y,\s\up6(^))的單位是kg，那么針對某個體(160，53)的殘差是________．解析：將x＝160代入eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－82.71，得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85×160－82.71＝53.29，所以殘差eq\o(e,\s\up6(^))＝y(tǒng)－eq\o(y,\s\up6(^))＝53－53.29＝－0.29.答案：－0.29三、解答題9．(2024·全國卷Ⅱ)下圖是某地區(qū)2000年到2024年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位：億元)的折線圖．為了預(yù)料該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回來模型．依據(jù)2000年至2024年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1，2，…，17)建立模型①：eq\o(y,\s\up6(^))＝－30.4＋13.5t；依據(jù)2010年至2024年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1，2，…，7)建立模型②：eq\o(y,\s\up6(^))＝99＋17.5t.(1)分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)料值；(2)你認為用哪個模型得到的預(yù)料值更牢靠？并說明理由．解：(1)利用模型①，該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)料值為eq\o(y,\s\up6(^))＝－30.4＋13.5×19＝226.1(億元)．利用模型②，該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)料值為eq\o(y,\s\up6(^))＝99＋17.5×9＝256.5(億元)．(2)利用模型②得到的預(yù)料值更牢靠．理由如下：方法一從折線圖可以看出，2000年至2024年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點沒有隨機散布在直線y＝－30.4＋13.5t上下．這說明利用2000年至2024年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的改變趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2024年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點位于一條直線的旁邊，這說明從2010年起先環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的改變規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2024年的數(shù)據(jù)建立的線性模型eq\o(y,\s\up6(^))＝99＋17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的改變趨勢，因此利用模型②得到的預(yù)料值更牢靠．方法二從計算結(jié)果看，相對于2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)料值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)料值的增幅比較合理．說明利用模型②得到的預(yù)料值更牢靠．10．關(guān)于x與y有以下數(shù)據(jù)：x24568y3040605070已知x與y線性相關(guān)，由最小二乘法得eq\o(b,\s\up12(^))＝6.5.(1)求y與x的線性回來方程；(2)現(xiàn)有其次個線性模型：eq\o(y,\s\up12(^))＝7x＋17，且R2＝0.82.若與(1)的線性模型比較，哪一個線性模型擬合效果比較好，請說明理由．解：(1)依題意設(shè)y與x的線性回來方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝6.5x＋eq\o(a,\s\up12(^)).eq\o(\s\up7(—),\s\do3(x))＝eq\f(2＋4＋5＋6＋8,5)＝5，eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))＝eq\f(30＋40＋60＋50＋70,5)＝50，因為eq\o(y,\s\up12(^))＝6.5x＋eq\o(a,\s\up12(^))經(jīng)過(eq\o(\s\up7(—),\s\do3(x))，eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y)))，所以y與x的線性回來方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝6.5x＋17.5.所以50＝6.5×5＋eq\o(a,\s\up12(^)).所以eq\o(a,\s\up12(^))＝17.5.(2)由(1)的線性模型得yi－yi與yi－eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))的關(guān)系如下表所示：yi－yi－0.5－3.510－6.50.5yi－eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))－20－1010020由于Req\o\al(2,1)＝0.845，R2＝0.82知Req\o\al(2,1)＞R2，所以(1)的線性模型擬合效果比較好．B級實力提升1．依據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)：x34567y4.02.5－0.50.5－2.0得到的回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，若a＝7.9，則x每增加1個單位，y就()A．增加1.4個單位 B．削減1.4個單位C．增加1.2個單位 D．削減1.2個單位解析：易知＝eq\f(1,5)×(3＋4＋5＋6＋7)＝5，＝eq\f(1,5)×(4＋2.5－0.5＋0.5－2)＝0.9，所以樣本點中心為(5，0.9)，所以0.9＝5b＋7.9，所以b＝－1.4，所以x每增加1個單位，y就削減1.4個單位．故選B.答案：B2．若某函數(shù)型相對一組數(shù)據(jù)的殘差平方和為89，其相關(guān)指數(shù)為0.95，則總偏差平方和為________，回來平方和為________．解析：因為R2＝1－eq\f(殘差平方和,總偏差平方和)，0．95＝1－eq\f(89,總偏差平方和)，所以總偏差平方和為1780；回來平方和＝總偏差平方和－殘差平方和＝1780－89＝1691.答案：178016913．某運動員訓(xùn)練次數(shù)與成果之間的數(shù)據(jù)關(guān)系如下：次數(shù)x3033353739444650成果y3034373942464851(1)作出散點圖；(2)求出回來方程；(3)作出殘差圖；(4)計算相關(guān)指數(shù)R2；(5)試預(yù)料該運動員訓(xùn)練47次及55次的成果．解：(1)作出該運動員訓(xùn)練次數(shù)(x)與成果(y)之間的散點圖，如圖所示，由散點圖可知，它們之間具有線性相關(guān)關(guān)系．(2)eq\o(\s\up7(—),\s\do3(x))＝39.25，eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))＝40.875,＝13180，eq\o(a,\s\up12(^))＝eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))－eq\o(b,\s\up12(^))eq\o(\s\up7(—),\s\do3(x))＝－0.00388.所以回來方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝1.04