高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)問題練習(xí)-函數(shù)的圖像知識(shí)歸納及典型例題分析

函數(shù)的圖像

一、基礎(chǔ)知識(shí)

1、做草圖需要注意的信息點(diǎn)：

做草圖的原則是：速度快且能提供所需要的信息，通過草圖能夠顯示出函數(shù)

的性質(zhì)。在作圖中草圖框架的核心要素是函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)于一個(gè)陌生的可導(dǎo)函

數(shù)，可通過對(duì)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)分析得到單調(diào)區(qū)間，圖像形狀依賴于函數(shù)的凹凸性，

可由二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)決定(詳見“知識(shí)點(diǎn)講解與分析”的第3點(diǎn))，這兩部分確

定下來，則函數(shù)大致輪廓可定，但為了方便數(shù)形結(jié)合，讓圖像更好體現(xiàn)函數(shù)的性

質(zhì)，有一些信息點(diǎn)也要在圖像中通過計(jì)算體現(xiàn)出來，下面以常見函數(shù)為例，來說

明作圖時(shí)常體現(xiàn)的幾個(gè)信息點(diǎn)

(1)一次函數(shù)：y=H+乩若直線不與坐標(biāo)軸平行，通常可利用直線與坐標(biāo)軸

的交點(diǎn)來確定直線

特點(diǎn)：兩點(diǎn)確定一條直線

信息點(diǎn)：與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)

(2)二次函數(shù)：y=a[x-h^+k,其特點(diǎn)在于存在對(duì)稱軸，故作圖時(shí)只需做出

對(duì)稱軸一側(cè)的圖像，另一側(cè)由對(duì)稱性可得。函數(shù)先減再增，存在極值點(diǎn)一頂點(diǎn)，

若與坐標(biāo)軸相交，則標(biāo)出交點(diǎn)坐標(biāo)可使圖像更為精確

特點(diǎn)：對(duì)稱性

信息點(diǎn)：對(duì)稱軸，極值點(diǎn)，坐標(biāo)軸交點(diǎn)

(3)反比例函數(shù)：y=,，其定義域?yàn)?-QO,0)U(0,+8)，是奇函數(shù)，只需做出正

X

版軸圖像即可(負(fù)半軸依靠友稱做出)，坐標(biāo)軸為函數(shù)的漸近線

特點(diǎn)：奇函數(shù)(圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱)，漸近線

信息點(diǎn)：漸近線

注：

(1)所謂漸近線：是指若曲線無限接近一條直線但不相交，則稱這條直線為漸

近線。漸近線在作圖中的作用體現(xiàn)為對(duì)曲線變化給予了一些限制，例如在反比例

函數(shù)中，X軸是漸近線，那么當(dāng)X-,曲線無限向X軸接近，但不相交，則

函數(shù)在X正半軸就不會(huì)有X軸下方的部分。

(2)水平漸近線的判定：需要對(duì)函數(shù)值進(jìn)行估計(jì):若xfw(或TO)時(shí)，/(%)-

常數(shù)C,則稱直線y=C為函數(shù)/(力的水平漸近線

例如：y=2"當(dāng)xf+oo時(shí)，y—>+oo,故在x軸正方向不存在漸近線

當(dāng)x—時(shí)，y-0,故在x軸負(fù)方向存在漸近線y=0

(3)豎直漸近線的判定：首先〃力在x=〃處無定義，且當(dāng)xfa時(shí)，+oo

(或-co),那么稱x=〃為〃力的豎直漸近線

例如：y=log2X在x=0處無定義，當(dāng)x->0時(shí)，/(%)—>Y，所以冗=0為

y=log2x的一條漸近線。

綜上所述:在作圖時(shí)以下信息點(diǎn)值得通過計(jì)算后體現(xiàn)在圖像中：與坐標(biāo)軸的交點(diǎn);

對(duì)稱軸與對(duì)稱中心；極值點(diǎn)；漸近線。

例：作出函數(shù)〃x)=x-：的和象

分析：定義域?yàn)?T?,0)U(0,+R)，且/(x)為奇函

數(shù)，故先考慮X正半軸情況。

/⑴=1+5>0故函數(shù)單調(diào)遞增，

/(力=-彳<0,故函數(shù)為上凸函數(shù)，當(dāng)X.e時(shí)，0無水平漸近線，

X

x-0時(shí)，/(力-70,所以)，軸為〃力的豎直漸近線。零點(diǎn)：(1,0),由這些

信息可做出正半軸的草圖，在根據(jù)對(duì)稱性得到/(力完整圖像：

2、函數(shù)圖象變換：設(shè)函數(shù)y=/(x),其它參數(shù)均為正數(shù)

(1)平移變換：

/(%+〃)：/(力的圖像向左平移a個(gè)單位

f(x-a)：/(x)的圖像向右平移a個(gè)單位

/(x)+Z?：/(x)的圖像向上平移a個(gè)單位

的圖像向下平移a個(gè)單位

(2)對(duì)稱變換：

/(-x)：與/(力的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱

-/(x)：與f(x)的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱

_〃—)：與/(力的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

(3)伸縮變換:

/(x)圖像縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼墓>\：收縮

k0<2<1：拉伸

k>l：拉伸

始(力：”力圖像橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼摹┍?lt;

0<k<1：收縮

(4)翻折變換：

....八八f(x)x>0

川可：y彳<0即正半軸的圖像不變,負(fù)半軸的原圖像不要,換

上與正半軸圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的圖像

/(x),/(x)>0

=>即X軸上方的圖像不變，下方的圖像沿X軸對(duì)

|/Wh|/W|-小)J(6<o

稱的翻上去。

3、二階導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的凹凸性:

(1)無論函數(shù)單調(diào)增還是單調(diào)減，其圖像均有3種情況,

若一個(gè)函數(shù)的增減圖像為則稱函數(shù)為下凸函數(shù)

若一個(gè)函數(shù)的增減圖像為則稱函數(shù)為上凸函數(shù)

(2)上凸函數(shù)特點(diǎn)：增區(qū)間增長速度越來越慢，減區(qū)間下降速度越來越快

下凸函數(shù)特點(diǎn)：增區(qū)間增長速度越來越快，減區(qū)間下降速度越來越慢

（3）與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：設(shè)/（X）的導(dǎo)函數(shù)為，（力（即/（力的二階導(dǎo)函數(shù)），如圖

所示：增長速度受每一點(diǎn)切線斜率的變化情況的影響，下凸函數(shù)斜率隨x的增大

而增大，即/（X）為增函數(shù)nf"（x）之0；上凸函數(shù)隨x的增大而減小，即/（力為

減函數(shù)nf（%）K0；

綜上所述：函數(shù)是上凸下凸可由導(dǎo)函數(shù)的增減性決定，進(jìn)而能用二階導(dǎo)函數(shù)的符

號(hào)進(jìn)行求解。

二、方法與技巧：

1、在處理有關(guān)判斷正確圖像的選擇題中，常用的方法是排除法，通過尋找四個(gè)

選項(xiàng)的不同，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可進(jìn)行排除，常見的區(qū)分要素如下：

（1）單調(diào)性：導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)決定原函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)函數(shù)圖像位于龍軸上方的

區(qū)域表示原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，位于x軸下方的區(qū)域表示原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間

（2）函數(shù)零點(diǎn)周圍的函數(shù)值符號(hào)：可通過帶入零點(diǎn)附近的特殊點(diǎn)來進(jìn)行區(qū)分

（3）極值點(diǎn)

（4）對(duì)稱性（奇偶性）一一易于判斷，進(jìn)而優(yōu)先觀察

（5）函數(shù)的凹凸性：導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性決定原函數(shù)的凹凸性，導(dǎo)函數(shù)增區(qū)間即為

函數(shù)的下凸部分，減區(qū)間為函數(shù)的上凸部分。其單調(diào)性可由二階導(dǎo)函數(shù)確定

2、利用圖像變換作圖的步驟：

（1）尋找到模板函數(shù)/（力（以此函數(shù)作為基礎(chǔ)進(jìn)行圖像變換）

（2）找到所求函數(shù)與外力的聯(lián)系

（3）根據(jù)聯(lián)系制定變換策略，對(duì)圖像進(jìn)行變換。

例如：作圖：j=|ln（x+l）|

第一步尋找模板函數(shù)為：/（j）=lnx

第二步尋找聯(lián)系：可得y=|〃x+l）|

第三步制定策略：由+特點(diǎn)可得：先將f（x）圖像向左平移一個(gè)單位，再

將x軸下方圖像向上進(jìn)行翻折，然后按照方案作圖即可

3、如何制定圖象變換的策略

(1)在尋找到聯(lián)系后可根據(jù)函數(shù)的形式了解變換所需要的步驟，其規(guī)律如下：

①若變換發(fā)生在“括號(hào)”內(nèi)部，則屬于橫坐標(biāo)的變換

②若變換發(fā)生在“括號(hào)”外部，則屬于縱坐標(biāo)的變換

例如：y=/(3x+l)：可判斷出屬于橫坐標(biāo)的變換：有放縮與平移兩個(gè)步驟

y=/(-x)+2：可判斷出橫縱坐標(biāo)均需變換，其中橫坐標(biāo)的為對(duì)稱變換，

縱坐標(biāo)的為平移變換

(2)多個(gè)步驟的順序問題：在判斷了需要幾步變換以及屬于橫坐標(biāo)還是縱坐標(biāo)

的變換后，在安排順序時(shí)注意以下原則：

①橫坐標(biāo)的變換與縱坐標(biāo)的變換互不影響，無先后要求

②橫坐標(biāo)的多次變換中，每次變換只有x發(fā)生相應(yīng)變化

例如：y=/(x)—>y=〃2x+l)可有兩種方案

方案一：先平移(向左平移1個(gè)單位)，此時(shí)/(x+1)。再放縮(橫坐標(biāo)

變?yōu)樵瓉淼模?，此時(shí)系數(shù)2只是添給x,即+〃2大+1)

方案二：先放縮(橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膅),此時(shí)再平移時(shí)，若平

移々個(gè)單位，則/(2x)f/(2(x+a))=/(2x+Zz)(只對(duì)x力口。)，可解得。=g,

故向左平移工個(gè)單位

2

③縱坐標(biāo)的多次變換中，每次變換將解析式看做一個(gè)整體進(jìn)行

例如：y=/(%).y=2/(x)+l有兩種方案

方案一：先放縮：y=/(x)fy=2〃x),再平移時(shí)，將解析式看做一個(gè)整體，

整體加1,即y=2〃x)->y=(2/(x))+l

方案二：先平移：)，=/(%)—>),=/(%)+1,則再放縮時(shí)，若縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶

倍,那么y=/(x)+l-y=d(/(x)+l),無論a取何值,也無法達(dá)至Uy=2〃x)+1,

所以需要對(duì)前一步進(jìn)行調(diào)整：平移上個(gè)單位，再進(jìn)行放縮即可（a=2）

2

4、變換作圖的技巧：

（1）圖像變換時(shí)可抓住對(duì)稱軸，零點(diǎn)，漸近線。在某一方向上他們會(huì)隨著平移

而進(jìn)行相同方向的移動(dòng)。先把握住這些關(guān)鍵要素的位置，有助于提高圖像的精確

性

（2）圖像變換后要將一些關(guān)鍵點(diǎn)標(biāo)出：如邊界點(diǎn)，新的零點(diǎn)與極值點(diǎn)，與），軸

的交點(diǎn)等

例題

例1；己知函數(shù)/（x）=o?+阮2+C,其導(dǎo)數(shù)/（X）的圖象如匡所示，則函數(shù)“X）

的極大值是（）

A.a+h+cB.

c

思路：由圖像可知：

增，XG（2,~K?）時(shí)，/（力＜0,/（力單調(diào)遞減，所以f（x）的極大值為

42)=8tz+4h+c

答窠：B

例2：設(shè)函數(shù)y=Ax）可導(dǎo)，y=/（x）的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y=f'（x）的圖

像可能為（）

思路：根據(jù)原函數(shù)的圖像可得：/（%）在（F,0）單調(diào)遞增，在正半軸先增再減再

增，故/’（"在負(fù)半軸的符號(hào)為正，在正半軸的符號(hào)依次為“正負(fù)正”，觀察四

個(gè)選項(xiàng)只有D符合

答案：D

例4：函數(shù)〃力=生區(qū)的圖像可能是（）

IxI

思路：觀察解析式可判斷出=W平為奇函數(shù)，排除A,c.當(dāng)時(shí),

/(x)>O=lnx,故選擇B

答案：B

（1、

例5：函數(shù)〃x）=x一一cosx（-^-<x<^,x^O）的圖像可能為（）

IX）

思路：觀察4個(gè)選項(xiàng)的圖像，其中A,B圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，C,D圖像關(guān)于原點(diǎn)

中心對(duì)稱。所以先判斷函數(shù)奇偶性，可判斷出

1

-x+—X——cosx=-/(x)

Xx)

所以/（x）為奇函數(shù)，排除A,B,再觀察C,D的區(qū)別之一就是/（句的符號(hào)，經(jīng)

1、

過計(jì)算可得/（乃）=TC-------COS^=——<0,所以排除C

冗）7C

答窠：D

例6：已知+sm仔+d，ra）為〃x）的導(dǎo)函數(shù)，則廣（力的圖像是

為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，排除民。。

因?yàn)楣=』?衛(wèi)—sinX=，j工—]<0,排除C。故A正確。

\6）2662（6）

答案：A

例7：下面四圖都是在同一坐標(biāo)系中某三次函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖像，其中:年不

思頤的序號(hào)是（）

A.①②B.③④C.①③D.①④

思路：如圖所示：在圖①、②在每個(gè)區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)是

正確的，即單調(diào)增區(qū)間導(dǎo)數(shù)大于零，單調(diào)減區(qū)間上導(dǎo)數(shù)小于零；在③中顯示在區(qū)

間（0,。）上導(dǎo)函數(shù)的值為負(fù)值，而該區(qū)間上的函數(shù)圖象顯示不單調(diào)，二者不一致，

所以③不正確；在④圖象顯示在區(qū)間（。,人）上導(dǎo)函數(shù)的值總為正數(shù)，而相應(yīng)區(qū)間

上的函數(shù)圖象卻顯示為減函數(shù)，二者相矛盾，所以不正確.故選B.

答案：B

b\\xO

例9：函數(shù)/（%）=/+加2+次+〃的大致圖象如圖所示，/

則陽2+后等于（）,

A.B.竺C.3D,1

9995

思路：由圖像可得：為“X）的極值點(diǎn)，x=-l,x=0,x=2為函數(shù)的零點(diǎn)

2

/（x）=3