2019-2020學年浙江省寧波市余姚中學高一數學下學期期中試題含解析

PAGE浙江省寧波市余姚中學2019-2020學年高一數學下學期期中試題（含解析）一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由直線的斜率，可直接求出其傾斜角.【詳解】因為直線的斜率為，所以.故選C【點睛】本題主要考查直線的傾斜角，熟記概念即可，屬于基礎題型.2.若，則下列不等式不能成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據不等式的性質對選項逐一判斷即可.詳解】選項A：由于，即，，所以，所以，所以成立；選項B：由于，即，所以，所以，所以不成立；選項C：由于，所以，所以，所以成立；選項D：由于，所以，所以，所以，所以成立.故選：B.【點睛】本題考查不等關系和不等式，屬于基礎題.3.一元二次不等式的解集是，則的值是（）A.10 B.-10 C.14 D.-14【答案】D【解析】【分析】根據題意，由不等式的解集分析可得方程的兩根為和，由根與系數的關系分析可得，解可得、的值，將其值相加即可得答案．【詳解】解：根據題意，一元二次不等式的解集是，則方程的兩根為和，則有，解可得，，則，故選：．【點睛】本題考查一元二次不等式的解法，注意一元二次不等式的解集與一元二次方程的根之間的關系，屬于基礎題．4.若對任意，不等式恒成立，則實數a的取值范圍是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用絕對值的性質，進行分類討論求解即可.【詳解】當時，不等式恒成立，此時有；當時，；當時，，綜上所述：實數a的取值范圍是，即.故選：B【點睛】本題考查了已知不等式在實數集上恒成立求參數取值范圍問題，考查了分類討論思想，考查了數學運算能力.5.已知不等式對任意實數恒成立．則取值范圍是（）A.(－1，0) B.[－1，0] C. D.(－1，0]【答案】D【解析】【分析】若則成立；若，根據二次函數的圖象與性質列出不等式組求解即可.【詳解】①若，則成立；②若，則.綜上所述，.故選：D【點睛】本題考查不等式恒成立問題、二次函數的圖象與性質，屬于基礎題.6.已知正實數，，且滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用均值不等式，有，即，即得解【詳解】由題意，正實數，，根據均值不等式，，當且僅當時等號成立故的最大值為故選：C【點睛】本題考查了均值不等式在最值問題中的應用，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算能力，屬于基礎題7.已知的三個內角、、．若，則的最大值為（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】由可得角，所以，從而可求出其最大值.【詳解】解：因為，所以，整理得，因為，所以，所以，因為，所以的最大值為，故選：C【點睛】此題考查了同角三角函數的關系，正弦的二倍角公式，屬于基礎題.8.已知等差數列的公差，前項和為，則對正整數，下列四個結論中:(1)成等差數列，也可能成等比數列；(2)成等差數列，但不可能成等比數列；(3)可能成等比數列，但不可能成等差數列；(4)不可能成等比數列，也不叫能成等差數列.正確的是()A.(1)(3) B.(1)(4) C.(2)(3) D.(2)(4)【答案】D【解析】試題分析：根據等差數列的性質，，，，因此(1)錯誤，(2)正確，由上顯然有，，，，故(3)錯誤，(4)正確．即填(2)(4)．考點：等差數列的前項和，等差數列與等比數列的定義．9.已知圓:，圓:．若圓存在一點，使得過點可作一條射線與圓依次交于、兩點，且滿足，則半徑的取值范圍是（）A.[5，55] B.[5，50] C.[10，50] D.[10，55]【答案】A【解析】【分析】求出兩個圓的圓心距，畫出示意圖，利用已知條件判斷半徑的取值范圍即可.【詳解】解：圓：的圓心為，半徑為.圓:的圓心為，半徑為.兩個圓的圓心距為.如圖：因為，可得的最大值為直徑，此時，.當半徑擴大到55時，此時圓上只有一點到的距離為25，而且是最小值，半徑再擴大，就不會滿足.故選：A.【點睛】本題主要考查兩個圓的位置關系，直線與圓的綜合應用，屬于中檔題.10.在中，角，，所對的邊分別為，，，且邊上的高為，則的最大值是（）A.8 B.6 C. D.4【答案】D【解析】，這個形式很容易聯(lián)想到余弦定理：cosA，①而條件中的“高”容易聯(lián)想到面積，bcsinA，即a2＝2bcsinA，②將②代入①得：b2＋c2＝2bc(cosA＋sinA)，∴＝2(cosA＋sinA)＝4sin(A＋)，當A＝時取得最大值4，故選D．點睛：三角形中最值問題，一般轉化為條件最值問題:先根據正、余弦定理及三角形面積公式結合已知條件靈活轉化邊和角之間的關系，利用基本不等式或函數方法求最值.在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數)、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現(xiàn)錯誤.二、填空題．11.經過作直線，若直線與連接，的線段總有公共點，則直線的斜率和傾斜角的取值范圍分別為________；________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】根據直線的斜率公式，求出直線AP,BP的斜率，結合斜率與傾斜角的關系，即可求解.【詳解】由斜率公式可得，,,故直線的斜率的取值范圍為，由斜率與傾斜角的公式可得，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，故直線的傾斜角的取值范圍為.故答案為：；【點睛】本題主要考查直線的傾斜角與斜率，屬于基礎題.12.已知直線:，:，當時，的值為____；當時，的值為________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】由于可得且，從而可求出的值；由可得，從而可求出的值.【詳解】解：因為:，:，且，所以且，解得；當時，，解得故答案為：；【點睛】此題考查兩直線平行、垂直的條件，屬于基礎題.13.數列中，前項和為．若，，（，），則________；________．【答案】(1).(2).29【解析】【分析】根據，，（，），往后列舉，可得到數列周期，由，，，即得解【詳解】由題意，，，（，），故數列為周期的周期數列由于故故答案為：，29【點睛】本題考查了數列周期性的應用，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算能力，屬于中檔題14.在數列中，，，則該數列通項公式________；數列中最小的項的值為________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】對裂項，利用累加法即可求出數列的通項公式，根據數列與函數的關系即可判斷數列的單調性，進一步可求解最小的項的值.【詳解】由題意知，.當時，當時，也滿足該式，故該數列的通項公式；由，結合反比例函數的單調性可知當時，數列為單調遞增數列，故數列中最小的項的值為.故答案為：；【點睛】本題主要考查累加法求數列的通項公式及數列的單調性的判斷，考查裂項的技巧，屬于基礎題.15.過直線和的交點，且過點的直線的方程為________．【答案】【解析】【分析】求出直線和的交點為，由直線過和，求出其斜率，進而求得直線的方程即可.詳解】解：由得，所以直線和交點為.因為直線過和，所以直線的斜率.所以直線的點斜式方程為，化為一般式為：.故答案為：.【點睛】本題主要考查直線的方程，考查學生的計算能力，屬于基礎題.16.已知數列的通項公式為，前項和為，若對任意的正整數，不等式恒成立，則常數所能取得的最大整數為.【答案】5【解析】試題分析：，所以，所以，所能取得的最大整數為5.考點：數列.17.在平面直角坐標系中，若動點到兩直線和的距離之和為，則的最大值是________.【答案】18【解析】試題分析：動點到兩直線和的距離之和為即，設，則，，若，當時，取得最大值為18，若，當時，取得最大值為10，綜上可知，當點在時，取得最大值為18.考點：點到直線的距離和二次函數的應用.三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．18.在中，角的對邊分別為，且成等差數列（1）若，求的面積（2）若成等比數列，試判斷的形狀【答案】（1）（2）見解析【解析】【詳解】試題解析：（1）由A，B，C成等差數列，有2B=A+C（1）因為A，B，C為△ABC的內角，所以A+B+C=π．（2）得B=b2=a2+c2-2accosB所以解得或（舍去）所以（2）由a，b，c成等比數列，有b2=ac（4）由余弦定理及（3），可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac再由（4），得a2+c2-ac=ac，即（a-c）2=0因此a=c從而A=C（5）由（2）（3）（5），得A=B=C=所以△ABC為等邊三角形．19.已知數列的首項，且滿足.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由已知滿足整理得,利用等差數列的通項公式即可得出結果.(2)由(1)知:再利用錯位相減法與等比數列的前項和公式即可得出.【詳解】解：（1）因為,整理得，所以數列是以首項為，公差為的等差數列，所以，所以.（2）由（1）知，，，①，②①－②有，解得：.【點睛】本題考查等差數列的證明,考查錯位相減法在數列求和中的應用,難度較易.20.已知直線:，點．（1）求點關于直線的對稱點的坐標；（2）直線關于點對稱的直線的方程；（3）以為圓心，3為半徑長作圓，直線過點，且被圓截得的弦長為，求直線的方程．【答案】（1）；（2）；（3）或.【解析】【分析】（1）設點，由關于直線對稱，列出方程，解得，得到點的坐標；（2）設是直線上任意一點，則點關于點的對稱點在直線，用代入法可求得直線的方程；（3）用垂徑定理將弦長為，轉化為圓心到直線的距離為，設出直線的方程，用點到直線的距離公式求解，注意考慮直線斜率不存在時是否符合題意.【詳解】解：（1）設點，則，解得：即點關于直線的對稱點的坐標為.（2）設是直線上任意一點，則點關于點的對稱點在直線上，所以，即．（3）設圓心到直線的距離為，直線被圓截得的弦長為，因此，當直線斜率不存在時，不滿足條件；當直線斜率存在時，設其方程為，則，解得，綜上，直線的方程為或．【點睛】本題考查了點關于直線的對稱點、直線關于點的對稱直線的問題，還考查了直線與圓相交的弦長問題，屬于中檔題.21.如圖，在等腰直角中，，，點在線段上.(Ⅰ)若，求的長；（Ⅱ）若點在線段上，且，問：當取何值時，的面積最?。坎⑶蟪雒娣e的最小值.【答案】(Ⅰ)或（Ⅱ）當時，的面積的最小值為【解析】【詳解】解:(1)在△OMP中,∠OPM=45°,OM=,OP=2,由余弦定理得,OM2=OP2+MP2-2OP·MP·cos45°,得MP2-4MP+3=0,解得MP=1或MP=3.(2)設∠POM=α,0°≤α≤60°,在△OMP中,由正弦定理,得=,所以OM=,同理ON=.故S△OMN=OM·ON·sin∠MON=×======.因為0°≤α≤60°,30°≤2α+30°≤150°,所以當α=30°時,sin(2α+30°)的最大值為1,此時△OMN的面積取到最小值.即∠POM=30°時,△OMN的面積的最小值為8-4.22.已知中，，，為邊上的一點，．從向作垂線，垂足是；從向作垂線，垂足是；從向作垂線，垂足是，再由開始重復上