2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第十一章立體幾何初步11.4.1直線與平面垂直教師用書教案新人教B版必修第四冊

PAGE10-11．4空間中的垂直關(guān)系11．4.1直線與平面垂直[課程目標(biāo)]1.了解異面直線所成角的概念，會求一些較特別的異面直線所成的角；2.駕馭直線和平面垂直的定義及相關(guān)概念；3.駕馭直線和平面垂直的判定定理及判定方法．學(xué)問點(diǎn)一直線與直線所成的角[填一填]1．兩條相交直線所成角的大小，指的是它們相交所得到的不大于直角的角的大小．兩條直線所成的角也稱為這兩條直線的夾角．2．假如a，b是空間中的兩條異面直線，過空間中隨意一點(diǎn)，分別作與a，b平行或重合的直線a′，b′，則a′與b′所成角的大小，稱為異面直線a與b所成角的大?。?．規(guī)定空間中兩條平行直線所成角的大小為0°.空間中兩條直線l，m所成角的大小為90°時(shí)，稱l與m垂直，記作l⊥m.[答一答]1．求異面直線所成的角的解題思路是什么？提示：把空間兩異面直線通過平移，轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)相交直線所成的角，詳細(xì)的平移過程應(yīng)視題而定，主要有以下四種平移途徑：①利用三角形的中位線平移；②利用平行線分線段成比例的推論平移；③利用平行四邊形平移；④利用補(bǔ)形平移．學(xué)問點(diǎn)二直線與平面垂直及其判定定理[填一填]1．直線與平面垂直的定義：(1)文字語言：直線l與平面α內(nèi)的隨意直線都垂直．(2)圖形語言：如下圖所示．(3)符號語言：?m?α，l⊥m?l⊥α.2．直線與平面垂直的判定定理(1)文字語言：假如一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個(gè)平面垂直．(2)圖形語言：如下圖所示．(3)符號語言：m?α，n?α，m∩n≠?，l⊥m，l⊥n?l⊥α.[答一答]2．假如直線l與平面α內(nèi)的多數(shù)條直線垂直，l與α垂直嗎？提示：不肯定．若平面內(nèi)的多數(shù)條直線是平行的，則直線l與平面可能平行，也可能垂直，也可能是相交但不垂直，也可能直線l在平面內(nèi)．3．假如一條直線和平面內(nèi)的兩條直線垂直，那么這條直線和這個(gè)平面垂直嗎？為什么？提示：無法推斷這條直線和這個(gè)平面是否垂直．因?yàn)楫?dāng)這兩條直線相交時(shí)，由判定定理可知直線和平面垂直；而當(dāng)這兩條直線相互平行時(shí)，直線和平面不肯定垂直，直線可能在平面內(nèi)，也可能與平面平行，還可能與平面斜交．4．直線與平面垂直的判定定理的作用是什么？提示：直線與平面垂直的判定定理是證明線面垂直的依據(jù)，體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，在應(yīng)用時(shí)，應(yīng)當(dāng)留意定理?xiàng)l件的完備性．學(xué)問點(diǎn)三直線與平面垂直的性質(zhì)[填一填]定理內(nèi)容：假如兩條直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行．符號語言：a⊥α，b⊥α?a∥b.圖形語言：如圖所示．作用：證明兩直線平行．[答一答]5．兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，另一條也垂直于這個(gè)平面嗎？提示：垂直．因?yàn)閮蓷l平行線中的一條垂直于這個(gè)平面，所以這條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，所以另一條直線也垂直于這兩條相交直線，故另一條也垂直于這個(gè)平面．6．分別垂直于兩個(gè)平行平面的兩條直線是否平行？提示：平行．因?yàn)橐粭l直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于這個(gè)平面的平行平面，所以這兩條直線垂直于同一個(gè)平面，所以這兩條直線平行．學(xué)問點(diǎn)四直線與平面垂直的應(yīng)用[填一填]1．假如A是平面α外一點(diǎn)，B是平面α內(nèi)一點(diǎn)，則AB⊥α?xí)r，AB是平面α的垂線段．假如C是平面α內(nèi)一點(diǎn)，且AC與α不垂直，則稱AC是平面α的斜線段(相應(yīng)地，直線AC稱為平面α的斜線)，稱C為斜足．2．如圖中，AB是平面α的垂線段，AC是平面α的斜線段，B為A在平面α內(nèi)的射影，所以直線BC稱為直線AC在平面α內(nèi)的射影．則∠ACB稱為直線AC與平面α所成的角．[答一答]7．求線面角的常用方法有哪些？提示：(1)干脆法(一作(或找)二證(或說)三計(jì)算)．(2)轉(zhuǎn)移法(找過點(diǎn)與面平行的線或面)．(3)等積法(三棱錐變換頂點(diǎn)，屬間接求法)．類型一異面直線所成的角[例1]在空間四邊形ABCD中，AB＝CD，且AB與CD所成銳角為30°，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，求EF與AB所成角的大?。甗解]如圖所示，取AC的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，則EG∥AB且EG＝eq\f(1,2)AB，GF∥CD且GF＝eq\f(1,2)CD，由AB＝CD知EG＝FG，從而可知∠GEF為EF與AB所成角，∠EGF或其補(bǔ)角為AB與CD所成角．∵AB與CD所成角為30°，∴∠EGF＝30°或150°.由EG＝FG知△EFG為等腰三角形，當(dāng)∠EGF＝30°時(shí)，∠GEF＝75°，當(dāng)∠EGF＝150°時(shí)，∠GEF＝15°，故EF與AB所成角的大小為15°或75°.求兩條異面直線所成的角的一般步驟1構(gòu)造角：依據(jù)異面直線的定義，通過作平行線或平移平行線，作出異面直線夾角的相關(guān)角.2計(jì)算角：求角度，常利用三角形.3確定角：若求出的角是銳角或是直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角就是所求異面直線所成的角.[變式訓(xùn)練1]在正方體AC1中，E，F(xiàn)分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)，求異面直線DB1與EF解：如圖，連接A1C1，B1D1，并設(shè)它們相交于點(diǎn)O，取DD1的中點(diǎn)G，連接OG，A1G，C則OG∥B1D，EF∥A1C1∴∠GOA1為異面直線DB1與EF所成的角或其補(bǔ)角．∵GA1＝GC1，O為A1C1∴GO⊥A1C1∴異面直線DB1與EF所成的角為90°.類型二直線與平面垂直的判定定理[例2]如圖所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上隨意一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AE⊥PC于點(diǎn)E，求證：AE⊥平面PBC.[證明]∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC.而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又∵AE?平面PAC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.1.用線面垂直的判定定理推斷一條直線與此平面垂直時(shí)，需在平面內(nèi)找兩條相交直線，證明一條直線同時(shí)垂直于這兩條相交直線，這是證明線面垂直的一個(gè)常用方法．2．線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化關(guān)系[變式訓(xùn)練2]如圖所示，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，△PAD是等腰三角形，M、N分別為AB、PC的中點(diǎn)，求證：MN⊥平面PCD.證明：取PD的中點(diǎn)E，連接AE，NE，∵N，E為中點(diǎn)，∴NE為△PCD的中位線，∴NE綉eq\f(1,2)CD.在矩形ABCD中，AB綉CD，又∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，∴AM綉eq\f(1,2)CD.∴AM綉NE，∴四邊形AMNE為平行四邊形，∴AE∥MN.又∵△PAD為等腰三角形，E為PD的中點(diǎn)．∴AE⊥PD，∴MN⊥PD.連接PM、CM，設(shè)AD＝a，AB＝2b，∴PM2＝a2＋b2，CM2＝a2＋b2，∴CM＝PM，∴MN⊥PC.又∵PC∩PD＝P，∴MN⊥平面PCD.類型三直線與平面垂直的性質(zhì)定理[例3]如右圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為A1D和AC上的點(diǎn)，EF與異面直線AC，A1D均垂直．求證：EF∥BD1[分析]BD1為正方體的體對角線，連接AB1，B1C后可證得BD1⊥平面AB1C，只需證EF⊥平面AB[證明]連接AB1，B1C，BD，B1D1∵DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可證BD1⊥B1C.∴BD1⊥平面AB1又EF與異面直線AC，A1D均垂直，即EF⊥AC，EF⊥A1D.又A1D∥B1C，∴EF⊥B1∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1正方體、直棱柱、正棱錐、正四面體等特別的幾何體都有明顯的幾何特征，解題時(shí)，要充分挖掘這些幾何體的線面關(guān)系.如直棱柱的側(cè)棱垂直于底面等.[變式訓(xùn)練3]如圖，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，垂足為B，直線a?β，a⊥AB.求證：a∥l.證明：因?yàn)镋A⊥α，α∩β＝l，即l?α，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因?yàn)镋B⊥β，a?β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.由線面垂直的性質(zhì)定理，得a∥l.類型四直線與平面垂直的判定定理、性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用[例4]在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是菱形，四邊形ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB＝60°，E為AB的中點(diǎn)，P為線段CM上的一點(diǎn)．求證：DE⊥CN.[證明]連接DB，在菱形ABCD中，AD＝AB，∠DAB＝60°.∴△ABD為等邊三角形．又∵E為AB的中點(diǎn)，∴DE⊥AB.又∵AB∥DC，∴DE⊥DC.∵四邊形ADNM為矩形，∴DN⊥AD.又∵平面ADNM⊥平面ABCD，平面ADNM∩平面ABCD＝AD，DN?平面ADNM，∴DN⊥平面ABCD，∵DE?平面ABCD，∴DN⊥DE.又∵DE⊥DC，DC∩DN＝D，∴DE⊥平面DCN，∵CN?平面DCN，∴DE⊥CN.1.線線垂直的證明，常轉(zhuǎn)化為線面垂直來證明，即：把兩條直線中一條放在某個(gè)平面內(nèi)，然后證明另一條垂直于這個(gè)平面．要證線面垂直，可通過線面垂直的定義及判定定理，體現(xiàn)了eq\x(線線垂直)→eq\x(線面垂直)→eq\x(線線垂直)，解題時(shí)要留意這種相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的合理應(yīng)用．2．要學(xué)會逆向分析的方法，從要證明的結(jié)論入手，層層遞推，這是解決問題的有效方法．[變式訓(xùn)練4]已知α∩β＝AB，PQ⊥α于Q，PO⊥β于O，OR⊥α于R，求證：QR⊥AB.證明：如圖，∵α∩β＝AB，PO⊥β于O，∴PO⊥AB.∵PQ⊥α于Q，∴PQ⊥AB.∵PO∩PQ＝P，∴AB⊥平面PQO.∵OR⊥α于R，∴PQ∥OR.∴PQ與OR確定平面PQRO.又∵QR?平面PQRO，∴QR⊥AB.類型五點(diǎn)到平面的距離[例5]如圖所示，已知P為△ABC外一點(diǎn)，PA、PB、PC兩兩垂直，PA＝PB＝PC＝a，求P點(diǎn)到平面ABC的距離．[解]過P作PO⊥平面ABC于O，連接AO、BO、CO.∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC.∵PA＝PB＝PC＝a，∴△PAO≌△PBO≌△PCO.∴OA＝OB＝OC，∴O為△ABC的外心．∵PA、PB、PC兩兩垂直，∴AB＝BC＝CA＝eq\r(2)a，△ABC為正三角形，∴AO＝eq\f(\r(3),3)AB＝eq\f(\r(6),3)a，∴PO＝eq\r(PA2－AO2)＝eq\f(\r(3),3)a.因此點(diǎn)P到平面ABC的距離為eq\f(\r(3),3)a.1.求點(diǎn)到平面距離的基本程序是：首先找到或作出要求的距離，然后使所求距離在某一個(gè)三角形中，最終在三角形中依據(jù)三角形的邊角關(guān)系求出距離.2.求距離問題轉(zhuǎn)化成解三角形有關(guān)問題后，在三角形中求距離經(jīng)常用到勾股定理、正弦定理、余弦定理及有關(guān)三角函數(shù)學(xué)問.[變式訓(xùn)練5]已知：線段AB的中點(diǎn)為O，O∈平面α.求證：A，B兩點(diǎn)到平面α的距離相等．證明：(1)當(dāng)線段AB?平面α?xí)r，明顯A，B到平面α的距離均為0，相等．(2)當(dāng)AB?平面α?xí)r，如圖，分別過點(diǎn)A，B作平面α的垂線，垂足分別為A1，B1，則AA1，BB1分別是點(diǎn)A、點(diǎn)B到平面α的距離，且AA1∥BB1.所以AA1與BB1確定一個(gè)平面，設(shè)為β，則α∩β＝A1B1.因?yàn)镺∈AB，AB?β，所以O(shè)∈β.又因?yàn)镺∈α，所以O(shè)∈A1B1.所以∠AOA1＝∠BOB1.又AA1⊥A1O，BB1⊥B1O，AO＝BO.所以Rt△AA1O≌Rt△BB1O.所以AA1＝BB1，綜上，A，B兩點(diǎn)到平面α的距離相等．1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與棱AA1A．4B．6C．8D．10解析：∵AA1⊥平面ABCD，AA1⊥平面A1B1C1D1，∴與AA12．已知平面α與平面β相交，直線m⊥α，則(C)A．β內(nèi)必存在直線與m平行，且存在直線與m垂直B．β內(nèi)不肯定存在直線與m平行，不肯定存在直線與m垂直C．β內(nèi)不肯定存在直線與m平行，必存在直線與m垂直D．β內(nèi)必存在直線與m平行，不肯定存在直線與m垂直解析：因?yàn)槠矫姒僚c平面β相交，直線m⊥α，所以m垂直于兩平面的交線，所以β內(nèi)不肯定存在直線與m平行，必存在直線與m垂直．3．在三棱錐P-ABC中，若PA＝PB＝PC，則頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影是△ABC的(B)A．內(nèi)心B．外心C．重心D．垂心解析：如圖，作PO