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福建省寧德市鳳陽中學高三數(shù)學文期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.若將復數(shù)表示為a+bi(a,b∈R,i是虛數(shù)單位)的形式,則的值為()A.﹣2 B. C.2 D.參考答案:A【考點】復數(shù)的基本概念;復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算.【分析】復數(shù)的分子、分母同乘分母的共軛復數(shù),復數(shù)化簡為a+bi(a,b∈R)的形式.【解答】解:=1﹣2i,則a=1,b=﹣2;則=﹣2,故選A2.已知集合P={0,1,2},Q={y|y=3x},則P∩Q=(
) A.{0,1} B.{1,2} C.{0,1,2} D.?參考答案:B考點:交集及其運算.專題:集合.分析:根據(jù)集合的基本運算進行求解即可.解答: 解:Q={y|y=3x}={y|y>0},則P∩Q={1,2},故選:B點評:本題主要考查集合的基本運算,比較基礎(chǔ).3.某空間幾何體的三視圖中,有一個是正方形,則該空間幾何體不可能是(
)A.圓柱
B.圓錐
C.棱錐
D.棱柱參考答案:.試題分析:對于選項A,當圓柱放倒時,俯視圖可以是正方形,不滿足題意,所以A選項不正確;對于選項B,不論圓錐如何放置,俯視圖中都含有曲線,俯視圖不可能是正方形,所以B選項正確;對于選項C,三棱柱放倒后,一個側(cè)面與水平面垂直時,俯視圖可以是正方形,不滿足題意,所以C選項不正確;對于選項D,四棱柱是正方體時,俯視圖是正方形,不滿足題意,所以選項D不正確.故應選.考點:1、簡單幾何體的三視圖.4.(5分)下列命題中錯誤的是()A.如果平面α⊥平面β,那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β,那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β參考答案:D【考點】:平面與平面垂直的性質(zhì).【專題】:空間位置關(guān)系與距離;簡易邏輯.【分析】:本題考查的是平面與平面垂直的性質(zhì)問題.在解答時:A注意線面平行的定義再結(jié)合實物即可獲得解答;B反證法即可獲得解答;C利用面面垂直的性質(zhì)通過在一個面內(nèi)作交線的垂線,然后用線面垂直的判定定理即可獲得解答;D結(jié)合實物舉反例即可.解:由題意可知:A、結(jié)合實物:教室的門面與地面垂直,門面的上棱對應的直線就與地面平行,故此命題成立;B、假若平面α內(nèi)存在直線垂直于平面β,根據(jù)面面垂直的判定定理可知兩平面垂直.故此命題成立;C、結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可以分別在α、β內(nèi)作異于l的直線垂直于交線,再由線面垂直的性質(zhì)定理可知所作的垂線平行,進而得到線面平行再由線面平行的性質(zhì)可知所作的直線與l平行,又∵兩條平行線中的一條垂直于平面那么另一條也垂直于平面,故命題成立;D、舉反例:教室內(nèi)側(cè)墻面與地面垂直,而側(cè)墻面內(nèi)有很多直線是不垂直與地面的.故此命題錯誤.故選D.【點評】:本題考查的是平面與平面垂直的性質(zhì)問題.在解答的過程當中充分體現(xiàn)了面面垂直、線面垂直、線面平行的定義判定定理以及性質(zhì)定理的應用.值得同學們體會和反思.5.一個幾何體的三視圖如右上圖所示,則這個幾何體的體積是
A.
B.
C.
D.參考答案:C6.已知點A、B在半徑為的球O表面上運動,且AB=2,過AB作相互垂直的平面α、β,若平面α、β截球O所得的截面分別為圓M、N,則()A.MN長度的最小值是2 B.MN的長度是定值C.圓M面積的最小值是2π D.圓M、N的面積和是定值8π參考答案:B【考點】平面的基本性質(zhì)及推論.【分析】作出圖象,求出CD,即可得出結(jié)論.【解答】解:如圖所示,過AB作相互垂直的平面α、β,則BD⊥BC,BC2+BD2+4=12,∴CD=2,∵M,N分別是AC,AD的中點,∴MN的長度是定值,故選B.7.半徑為1的球面上的四點A,B,C,D是正四面體的頂點,則A與B兩點間的球面距離為(
)A、
B、
C、
D、參考答案:D略8.設(shè)集合,,則(
)A. B. C.{1} D.參考答案:C9.關(guān)于統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析,有以下幾個結(jié)論,其中正確的個數(shù)為(
)①將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都減去同一個數(shù)后,平均數(shù)與方差均沒有變化;②在線性回歸分析中,相關(guān)系數(shù)r越小,表明兩個變量相關(guān)性越弱;③某單位有職工750人,其中青年職工350人,中年職工250人,老年職工150人.為了了解該單位職工的健康情況,用分層抽樣的方法從中抽取樣本,若樣本中的青年職工為7人,則樣本容量為15人. A.0 B.1 C.2 D.3參考答案:B考點:眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù);分層抽樣方法.專題:概率與統(tǒng)計.分析:(1)將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都減去同一個數(shù)后,平均數(shù)發(fā)生變化,標準差均沒有變化,可判斷(1);(2)在線性回歸分析中,相關(guān)系數(shù)r→﹣1,表明兩個變量負相關(guān)越強,可判斷(2);(3)利用分層抽樣的概念及運算公式可求得樣本容量為n的值,從而可判斷(3).解答: 解:(1)將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都減去同一個數(shù)a后,平均數(shù)為原平均數(shù)減去a,其標準差沒有變化,故(1)錯誤;(2)在線性回歸分析中,相關(guān)系數(shù)r接近﹣1,表明兩個變量負相關(guān)越強,故(2)錯誤;(3)某單位有職工750人,其中青年職工350人,中年職工250人,老年職工150人,為了了解該單位職工的健康情況,用分層抽樣的方法從中抽取樣本,若樣本中的青年職工為7人,設(shè)樣本容量為n,則=,解得n=15,故(3)正確.故正確結(jié)論的個數(shù)為1個,故選:B.點評:本題考查概率統(tǒng)計中的均值與方差、回歸分析中的相關(guān)系數(shù)的概念及應用、分層抽樣及線面垂直的定義,屬于中檔題10.已知在正四面體中,是棱的中點,是點在底面內(nèi)的射影,則異面直線與所成角的余弦值為(
)A.
B.
C.
D.
參考答案:B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù)對于任意的、,當時,恒有成立,則的取值范圍是: ;參考答案:因為當時,恒有成立,所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減,令,易知函數(shù)在在內(nèi)單調(diào)遞減,,所以函數(shù)單調(diào)遞增,所以……①,又由題意知函數(shù)的定義域為R,所以…………②由①②知:的取值范圍是。12.如果等比數(shù)列的前項和,則常數(shù)參考答案:13.已知等比數(shù)列中,,,若數(shù)列滿足,則數(shù)列的前項和
.參考答案:,所以,解得,所以,所以,所以,所以數(shù)列的前項和.14.命題命題是的_________條件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”)。參考答案:充分不必切15.“,”的否定是
.參考答案:使16.設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為,則下列命題正確的是______________(1)若,則;
(2)若,則;(3)若,則;
(4)若,則(5),則。
參考答案:(1)(2)(3)
略17.已知x,y滿足,則函數(shù)z=x+3y的最大值是________.參考答案:答案:7解析:畫出可行域,當直線過點(1,2)時,三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.某同學用“五點法”畫函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<)在某一個周期內(nèi)的圖象時,列表并填入的部分數(shù)據(jù)如下表:xx1x2x3ωx+φ0π2πAsin(ωx+φ)+B00﹣0(Ⅰ)請求出上表中的xl,x2,x3,并直接寫出函數(shù)f(x)的解析式.(Ⅱ)將f(x)的圖象沿x釉向右平移個單位得到函數(shù)g(x),若函數(shù)g(x)在x∈[0,m](其中m∈(2,4))上的值域為[﹣,],且此時其圖象的最高點和最低點分別為P,Q,求與夾角θ的大小.參考答案:【考點】函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換;由y=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式.【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).【分析】(Ⅰ)由條件利用五點法作圖,求得ω、φ的值,再結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)可得函數(shù)f(x)的解析式,從而求得表中的xl,x2,x3.(Ⅱ)由條件利用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律求得g(x)的解析式,可得P、Q的坐標,再利用兩個向量的數(shù)量積的定義、兩個向量的數(shù)量積公式求得與夾角θ的大小.【解答】解:(Ⅰ)由題意可得ω?+φ=,ω?+φ=,∴ω=,φ=,再結(jié)合表格中的數(shù)據(jù),可得函數(shù)f(x)=sin(x+).再根據(jù)x1+=0,x2+=π,x3+=2π,求得xl=﹣,x2=,x3,=;(Ⅱ)將f(x)的圖象沿x釉向右平移個單位得到函數(shù)g(x)=sin[(x﹣)+]=sinx的圖象,若函數(shù)g(x)在x∈[0,m](其中m∈(2,4))上的值域為[﹣,],且此時其圖象的最高點和最低點分別為P(1,)、Q(3,﹣),∴=(3,﹣)、=(﹣2,2).設(shè)與夾角θ的大小為θ,則cosθ===﹣,∴θ=.【點評】本題主要考查五點法作圖,函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律,用數(shù)量積表示兩個向量的夾角,屬于中檔題.19.(本小題滿分10分)選修4-4:坐標系與參數(shù)方程已知曲線的極坐標方程為,曲線的極坐標方程為(),曲線、相交于.(1)將曲線、的極坐標方程化為直角坐標方程;(2)求弦的長.參考答案:(1),;(2).考點:1、極坐標與直角坐標互化公式;2、點到直線距離公式及勾股定理.20.[選修4-1:幾何證明選講](本小題滿分10分)如圖,AB為半圓O的直徑,直線PC切半圓O于點C,AP⊥PC,P為垂足。求證:(1)∠PAC=∠CAB;(2)AC2=AP·AB.參考答案:證明:(1)因為切半圓O于點C,所以,因為為半圓O的直徑,所以,因為AP⊥PC,所以,所以.(2)由(1)知△APC∽△ACB,故,所以.21.已知函數(shù),其中常數(shù)a>0.(1)當a>2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)定義在D上的函數(shù)在點處的切線方程為,若在D內(nèi)恒成立,則稱P為函數(shù)的“類對稱點”,當a=4時,試問f(x)是否存在“類對稱點”,若存在,請求出一個“類對稱點”的橫坐標,若不存在,請說明理由.參考答案:(1))函數(shù)的定義域為
……………….…1分………………3分,由,即,得或由,得………………4分所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為…………5分(2)解:當時,,從而所以在點處的切線的斜率為所以在點處的切線方程為…………………7分令則又則令得或
……………8分①當,即時,令,則,所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,又易知所以當時,,從而有時,②當,即時,令,則,所以在上單調(diào)遞減,所以當時,,從而有時,所以當時,函數(shù)不存在“類對稱點”…………10分③當時,,所以函數(shù)在上是增函數(shù),若,,若,,
故恒成立所以當時,函數(shù)存在“類對稱點”,其橫坐標為。……………12分22.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為:,直線l:y=x+2與以原點為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓O相切.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)橢圓C與曲線|y|=kx(k>0)的交點為A,B,求△OAB面積的最大值.參考答案:考點:橢圓的簡單性質(zhì).專題:計算題;不等式的解法及應用;直線與圓;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.分析:(1)求得圓的方程,由直線和圓相切的條件,可得b=,由離心率公式和a,b,c的關(guān)系,可得a,進而得到橢圓方程;(2)設(shè)A(x0,y0),(x0>0,y0>0),則y0=kx0,設(shè)AB交x軸于D,用k表示S△OAB,再由基本不等式即可得到最大值.解答:
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