初中圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

演講人：日期：初中圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)目錄CONTENTS圓的基本概念與性質(zhì)圓的對(duì)稱性與變換直線與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系三角形外接圓與內(nèi)切圓圓錐曲線初步認(rèn)識(shí)01圓的基本概念與性質(zhì)圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合，這個(gè)定點(diǎn)稱為圓心，定長稱為半徑。定義圓心和半徑是圓的兩大要素，通過它們可以確定一個(gè)唯一的圓。要素通常用圓心和半徑的字母表示，如⊙O表示以O(shè)為圓心的圓，r表示半徑。圓的表示方法圓的定義及要素010203弧、弦、圓心角關(guān)系圓上兩點(diǎn)間的部分稱為弧。弧的定義連接圓上任意兩點(diǎn)的線段稱為弦。在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等。弦的定義頂點(diǎn)在圓心、兩邊與圓相交的角稱為圓心角。圓心角的定義01020403弧、弦、圓心角之間的關(guān)系垂徑定理及其應(yīng)用垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。推論1平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。推論2弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。應(yīng)用利用垂徑定理解決與弦、弧相關(guān)的問題，如證明弦的中點(diǎn)性質(zhì)、弦的垂直平分線性質(zhì)等。在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等。半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。利用圓周角定理及推論解決與圓周角、弧、弦相關(guān)的問題，如計(jì)算角的度數(shù)、證明角的相等關(guān)系等。圓周角定理及推論圓周角定理推論1推論2應(yīng)用02圓的對(duì)稱性與變換軸對(duì)稱圖形圓是軸對(duì)稱圖形，任意一條直徑都是它的對(duì)稱軸。對(duì)稱性質(zhì)圓上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；或者縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，橫坐標(biāo)相等。圓的軸對(duì)稱性中心對(duì)稱圖形圓是中心對(duì)稱圖形，圓心是它的對(duì)稱中心。對(duì)稱性質(zhì)圓上關(guān)于對(duì)稱中心對(duì)稱的點(diǎn)，任意一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)與圓心的連線都互相垂直且等長。圓的中心對(duì)稱性圓在平面內(nèi)沿某一方向移動(dòng)一定的距離，不改變圓的形狀和大小。平移圓繞某一點(diǎn)（旋轉(zhuǎn)中心）旋轉(zhuǎn)一定的角度，不改變圓的形狀和大小，但會(huì)改變圖形的方向。旋轉(zhuǎn)圓沿某一條直線翻折，翻折后的圖形與原圖形完全重合。翻折圓的平移、旋轉(zhuǎn)和翻折010203綜合運(yùn)用在解決復(fù)雜問題時(shí)，需要綜合運(yùn)用軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的性質(zhì)，以及平移、旋轉(zhuǎn)和翻折等變換，來簡化問題并找出答案。利用軸對(duì)稱性解題根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)，可以找出圓上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)，從而得到相關(guān)線段的長度或角度。利用中心對(duì)稱性解題根據(jù)中心對(duì)稱性質(zhì)，可以簡化圖形，快速確定某些點(diǎn)的位置或計(jì)算相關(guān)問題。利用對(duì)稱性解題技巧03直線與圓的位置關(guān)系直線與圓相交、相切、相離條件直線與圓相交直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)。d<r，其中d為圓心到直線的距離，r為圓半徑。直線與圓相切直線與圓相離直線與圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，即直線與圓相切。d=r，可通過比較d與r的大小來判斷直線與圓的位置關(guān)系。直線與圓無交點(diǎn)。d>r，可通過比較d與r的大小來判斷直線與圓的位置關(guān)系。切線性質(zhì)經(jīng)過圓上某一點(diǎn)作直線，若該直線與通過該點(diǎn)的半徑垂直，則該直線是圓的切線。切線判定方法切線長定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，且切線與連接圓心的線段垂直。切線與半徑垂直于切點(diǎn)，即切線與過切點(diǎn)的半徑垂直。切線性質(zhì)及判定方法弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角。弦切角定理弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓心角的一半。弦切角定理推論通過弦切角定理，可以證明兩個(gè)三角形相似，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解。相似三角形判定弦切角定理和相似三角形判定涉及直線與圓的位置關(guān)系問題通過判斷直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合切線性質(zhì)、弦切角定理等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行求解。切線相關(guān)問題弦切角與相似三角形問題綜合應(yīng)用問題解析主要涉及切線的性質(zhì)、切線長定理以及切線與其他圖形的結(jié)合問題，需要靈活運(yùn)用切線的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解。通過弦切角定理及其推論，結(jié)合相似三角形的判定和性質(zhì)，解決與弦切角相關(guān)的綜合問題。04圓與圓的位置關(guān)系兩圓外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含條件外離兩圓沒有任何交點(diǎn)，且一個(gè)圓的半徑和小于另一個(gè)圓的半徑。外切兩圓有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)為兩圓的外公切線的切點(diǎn)，此時(shí)兩圓的半徑之和等于外公切線的長度。相交兩圓有兩個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)位于兩圓連線的兩側(cè)。內(nèi)切兩圓有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)為兩圓的內(nèi)公切線的切點(diǎn)，此時(shí)大圓的半徑減小圓的半徑等于內(nèi)公切線的長度。內(nèi)含兩圓沒有交點(diǎn)，且一個(gè)圓的半徑大于另一個(gè)圓的半徑，同時(shí)小于另一個(gè)圓的直徑。010203040501利用交點(diǎn)求解找到公共弦所在的直線與兩圓的交點(diǎn)，通過求解交點(diǎn)坐標(biāo)來求解公共弦的長度或相關(guān)問題。利用垂徑定理若公共弦為兩圓連心線的垂線，則可以利用垂徑定理求解公共弦的長度。利用公共弦所在圓的性質(zhì)若已知公共弦所在的一個(gè)圓以及該圓的半徑，則可以通過該圓的性質(zhì)求解公共弦的長度或相關(guān)問題。公共弦問題求解策略0203兩圓相切時(shí)切線性質(zhì)運(yùn)用切線垂直于半徑在切點(diǎn)處，切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。切線長定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，且切線與連心線夾角的角平分線垂直于連心線。切線性質(zhì)的綜合應(yīng)用在涉及兩圓相切的問題中，可以靈活運(yùn)用切線性質(zhì)進(jìn)行求解，如利用切線垂直于半徑的性質(zhì)證明垂直關(guān)系，利用切線長定理求解相關(guān)線段長度等。復(fù)雜圖形中圓與圓關(guān)系分析分析交點(diǎn)情況通過觀察圖形中圓與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，初步判斷兩圓的位置關(guān)系。利用連心線性質(zhì)連心線是兩圓圓心的連線，可以利用連心線的性質(zhì)分析兩圓的位置關(guān)系以及求解相關(guān)問題。綜合運(yùn)用多種方法在復(fù)雜圖形中，可能需要綜合運(yùn)用多種方法分析圓與圓的關(guān)系，如結(jié)合交點(diǎn)情況、連心線性質(zhì)以及切線性質(zhì)等。05三角形外接圓與內(nèi)切圓與三角形各頂點(diǎn)都相交的圓叫做三角形的外接圓。外接圓定義三角形外接圓概念及性質(zhì)外接圓的圓心（即外心）到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，且等于外接圓的半徑；外接圓半徑公式為R=a/(2*sinA)，其中a為三角形任意一邊，A為這邊對(duì)應(yīng)的角。外接圓性質(zhì)常用于解決三角形角度和邊長的問題，如求三角形的外接圓半徑、角度等。三角形外接圓的應(yīng)用內(nèi)切圓定義與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。三角形內(nèi)切圓概念及性質(zhì)內(nèi)切圓性質(zhì)內(nèi)切圓的圓心（即內(nèi)心）到三角形的三邊的距離相等，且等于內(nèi)切圓的半徑；內(nèi)切圓半徑公式為r=(s-a)*tan(A/2)，其中s為三角形半周長，a為與切點(diǎn)相連的邊長，A為該邊對(duì)應(yīng)的角。三角形內(nèi)切圓的應(yīng)用常用于解決三角形面積和邊長的問題，如求三角形的內(nèi)切圓半徑、面積等。正多邊形的所有頂點(diǎn)都在外接圓上，外接圓半徑等于正多邊形頂點(diǎn)至中心的距離。正多邊形外接圓正多邊形的所有邊都與內(nèi)切圓相切，內(nèi)切圓半徑等于正多邊形中心到邊的距離。正多邊形內(nèi)切圓對(duì)于同一正多邊形，外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑之間存在一定的比例關(guān)系，該比例與正多邊形的邊數(shù)有關(guān)。外接圓與內(nèi)切圓關(guān)系正多邊形外接圓和內(nèi)切圓關(guān)系實(shí)際應(yīng)用問題如圓形花壇的設(shè)計(jì)、車輪的制造等，都需要利用到三角形外接圓、內(nèi)切圓以及正多邊形外接圓、內(nèi)切圓的相關(guān)知識(shí)。求解三角形外接圓或內(nèi)切圓的半徑根據(jù)已知條件（如邊長、角度等）利用相應(yīng)的公式進(jìn)行計(jì)算。求解正多邊形外接圓或內(nèi)切圓的半徑根據(jù)正多邊形的邊數(shù)或已知條件，利用正多邊形外接圓與內(nèi)切圓的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算。相關(guān)計(jì)算問題探討06圓錐曲線初步認(rèn)識(shí)橢圓平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離之和為常數(shù)（且大于兩焦點(diǎn)之間的距離）的點(diǎn)的軌跡。橢圓具有對(duì)稱性、封閉性和平滑性等特點(diǎn)。雙曲線平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離之差為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡。雙曲線有兩個(gè)分支，分別對(duì)應(yīng)平面內(nèi)與焦點(diǎn)距離差為正值和負(fù)值的點(diǎn)。橢圓、雙曲線簡介平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)（焦點(diǎn)）和一條定直線（準(zhǔn)線）距離相等的點(diǎn)的軌跡。拋物線定義根據(jù)焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的位置，拋物線可分為四種情況，每種情況對(duì)應(yīng)一種標(biāo)準(zhǔn)方程，如y^2=2px（以x軸為對(duì)稱軸，焦點(diǎn)在x軸上）等。拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線定義及標(biāo)準(zhǔn)方程圓錐曲線具有對(duì)稱性、平滑性等特點(diǎn)，其中橢圓和雙曲線還具有封閉性。圓錐曲線的性質(zhì)在數(shù)學(xué)、物理等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，如行星運(yùn)動(dòng)軌跡、光線反射等。圓錐曲線包括橢圓、雙曲線和拋物線，它們都是由平面截圓錐面得到的曲線。圓錐曲線基本性質(zhì)了解拓展延伸：高中銜接知識(shí)點(diǎn)圓錐曲線的參數(shù)方程01通過引入?yún)?shù)，可以表示