2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時素養(yǎng)評價1.3.2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示含解析新人教A版選擇性必修第一冊

PAGE五空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示(25分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.已知a=(2,-2,-1),b=(0,-1,2),則下列向量中與a+b平行的是 ()A.(1,1,1) B.(-2,-3,5)C.(2,-3,5) D.(-4,6,-2)【解析】選D.a+b=(2,-3,1),若c=(-4,6,-2),則c=-2×(2,-3,1)=-2(a+b),所以a+b∥c.【加練·固】若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),滿意條件(c-a)·(2b)=-2,則x的值為 ()A.2 B.-2 C.0 D.1【解析】選A.因為c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2),所以(c-a)·(2b)=2(1-x)=2-2x=-2,所以x=2.2.已知a+b=(2,QUOTE,2QUOTE),a-b=(0,QUOTE,0),則cos<a,b>= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.由已知得a=(1,QUOTE,QUOTE),b=(1,0,QUOTE),所以cos<a,b>=QUOTE=QUOTE=QUOTE.3.設(shè)A(1,1,-2),B(3,2,8),C(0,1,0),則線段AB的中點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得點(diǎn)P的坐標(biāo)為QUOTE,由空間兩點(diǎn)間的距離公式,得|PC|=QUOTE=QUOTE.4.若△ABC中,∠C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),則k的值為 ()A.QUOTE B.-QUOTE C.2QUOTE D.±QUOTE【解析】選D.=(-6,1,2k),=(-3,2,-k),則·=(-6)×(-3)+1×2+2k×(-k)=-2k2+20=0,所以k=±QUOTE.二、填空題(每小題5分,共10分)5.已知點(diǎn)A(-1,3,1),B(-1,3,4),若=2,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是.

【解析】設(shè)點(diǎn)P(x,y,z),則由=2,得(x+1,y-3,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z),則QUOTE解得QUOTE即P(-1,3,3).答案:(-1,3,3)6.設(shè)向量a=(1,-2,2),b=(-3,x,4),已知a在b上的投影為1,則x=.

【解析】因為a在b上的投影為1,所以|a|·cos<a,b>=1,所以a·b=|a||b|cos<a,b>=|b|,所以-3-2x+8=QUOTE,解得x=0或x=QUOTE(舍去).答案:0三、解答題(每小題10分,共20分)7.已知向量a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),點(diǎn)A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).(1)求|2a+b|;(2)在直線AB上,是否存在一點(diǎn)E,使得⊥b?(O為原點(diǎn))【解析】(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),故|2a+b|=QUOTE=5QUOTE.(2)=+=+t=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),若⊥b,則·b=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=QUOTE,因此存在點(diǎn)E,使得⊥b,E點(diǎn)坐標(biāo)為QUOTE.8.設(shè)a=(1,5,-1),b=(-2,3,5).(1)若(ka+b)∥(a-3b),求k;(2)若(ka+b)⊥(a-3b),求k.【解析】(1)由于(ka+b)∥(a-3b),所以ka+b=λ(a-3b),即ka+b=λa-3λb,由于a與b不共線,所以有QUOTE解得k=-QUOTE;(2)由于(ka+b)⊥(a-3b),所以(ka+b)·(a-3b)=0,即k|a|2-(3k-1)a·b-3|b|2=0,而|a|2=27,|b|2=38,a·b=8,所以27k-8(3k-1)-114=0,解得k=QUOTE.(15分鐘·30分)1.(5分)(多選題)從點(diǎn)P(1,2,3)動身,沿著向量v=(-4,-1,8)方向取點(diǎn)Q,使|PQ|=18,則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為 ()A.(-1,-2,3) B.(9,4,-13)C.(-7,0,19) D.(1,-2,-3)【解析】選BC.設(shè)Q(x0,y0,z0),則=λv,即(x0-1,y0-2,z0-3)=λ(-4,-1,8).由|PQ|=18得QUOTE=18,所以λ=±2,所以(x0-1,y0-2,z0-3)=±2(-4,-1,8),所以QUOTE或QUOTE2.(5分)已知點(diǎn)A(1,a,-5),B(2a,-7,-2),則|AB|的最小值為 ()A.3QUOTE B.3QUOTE C.2QUOTE D.2QUOTE【解析】選B.|AB|=QUOTE=QUOTE=QUOTE,當(dāng)a=-1時,|AB|min=QUOTE=3QUOTE.3.(5分)已知點(diǎn)A(λ+1,μ-1,3),B(2λ,μ,λ-2μ),C(λ+3,μ-3,9)三點(diǎn)共線,則實(shí)數(shù)λ=,μ=.

【解析】因為=(λ-1,1,λ-2μ-3),=(2,-2,6),由A,B,C三點(diǎn)共線,得∥,即QUOTE=-QUOTE=QUOTE,解得λ=0,μ=0.答案:004.(5分)若a=(x,2,2),b=(2,-3,5)的夾角為鈍角,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

【解析】a·b=2x-2×3+2×5=2x+4,設(shè)a,b的夾角為θ,因為θ為鈍角,所以cosθ=QUOTE<0,又|a|>0,|b|>0,所以a·b<0,即2x+4<0,所以x<-2.又a,b不會反向,所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是(-∞,-2).答案:(-∞,-2)【加練·固】已知A(1,0,0),B(0,-1,1),O(0,0,0),+λ與的夾角為120°,則λ的值為.

【解析】因為=(1,0,0),=(0,-1,1),所以+λ=(1,-λ,λ),所以(+λ)·=λ+λ=2λ,|+λ|=QUOTE=QUOTE,||=QUOTE.所以cos120°=QUOTE=-QUOTE,所以λ2=QUOTE.又QUOTE<0,所以λ=-QUOTE.答案:-QUOTE5.(10分)如圖所示,在四面體ABCD中,O,E分別是BD,BC的中點(diǎn),CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=QUOTE.(1)求線段AE的長;(2)求異面直線AB與CD所成角的余弦值.【解析】(1)連接OC,由題意知BO=DO,AB=AD,所以AO⊥BD.又BO=DO,BC=CD,所以CO⊥BD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,QUOTE,0),A(0,0,1),EQUOTE所以=QUOTE,所以=QUOTE=QUOTE,所以線段AE的長為QUOTE.(2)因為=(-1,0,1),=(-1,-QUOTE,0),·=1+0+0=1,=QUOTE=QUOTE,=QUOTE=2,所以cos<,>==QUOTE.所以異面直線AB與CD所成角的余弦值為QUOTE.1.若a=(2,3,-1),b=(-2,1,3),則以a,b為鄰邊的平行四邊形的面積為.

【解析】a·b=2×(-2)+3×1+(-1)×3=-4,|a|=QUOTE,|b|=QUOTE,所以cos<a,b>=QUOTE=-QUOTE.所以sin<a,b>=QUOTE=QUOTE.因此以a,b為鄰邊的平行四邊形的面積為|a||b|sin<a,b>=QUOTE×QUOTE×QUOTE=6QUOTE.答案:6QUOTE2.已知正三棱柱ABC-A1B1C1,底面邊長AB=2,AB1⊥BC1,點(diǎn)O,O1分別是邊AC,A1C1的中點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.(1)求三棱柱的側(cè)棱長;(2)求異面直線AB1與BC所成角的余弦值.【解析】(1)設(shè)正三棱柱的側(cè)棱長為h,由題意得A(0,-1,0),B(QUOTE,0,0),C(0,1,0),B1(QUOTE,0,h),C1(0,1,h),則=(QUOTE,1,h),=(-QUOTE,1,h),