2025高考數(shù)學(xué)考二輪專題突破練13空間幾何體的結(jié)構(gòu)、表面積與體積-專項(xiàng)訓(xùn)練

2025高考數(shù)學(xué)考二輪專題突破練13空間幾何體的結(jié)構(gòu)、表面積與體積-專項(xiàng)訓(xùn)練一、單項(xiàng)選擇題1.某圓錐的母線長(zhǎng)為2,底面半徑為3,則過該圓錐頂點(diǎn)的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為()A.2 B.3 C.2 D.12.阿基米德是偉大的古希臘數(shù)學(xué)家,他和高斯、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家,他一生最為滿意的一個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是“圓柱容球”定理,即球與圓柱形容器的底面和側(cè)面都相切,球的體積是圓柱體積的三分之二,球的表面積也是圓柱表面積的三分之二.今有一“圓柱容球”模型,其中圓柱的表面積為12π,則該模型中球的體積為()A.8π B.4π C.8π3 D3.如圖所示,某制藥廠以前生產(chǎn)的維C藥片的形狀是由一個(gè)圓柱和兩個(gè)直徑為12cm的半球組成的幾何體,總長(zhǎng)度為2cm.現(xiàn)根據(jù)市場(chǎng)需求進(jìn)行產(chǎn)品升級(jí),要將藥片形狀改為高為12cm的圓柱,且升級(jí)前后藥片的表面積相同,則升級(jí)后的藥片體積相比升級(jí)前(A.減少了π48cm3 B.增加了π48C.減少了π96cm3 D.增加了π964.正多面體的各個(gè)面都是全等的正多邊形,其中,面數(shù)最少的正多面體是正四面體,面數(shù)最多的正多面體是正二十面體,它們被稱為柏拉圖多面體.某些病毒,如單純皰疹病毒的核衣殼就是正二十面體.如圖,正二十面體是由20個(gè)等邊三角形組成的.已知多面體滿足頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2,則正二十面體的頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A.30 B.20 C.12 D.105.古希臘亞歷山大時(shí)期的數(shù)學(xué)家帕普斯在《數(shù)學(xué)匯編》中記載著一個(gè)確定重心的定理:“如果同一平面內(nèi)的一個(gè)閉合圖形的內(nèi)部與一條直線不相交,那么該閉合圖形圍繞這條直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積等于閉合圖形面積乘以該閉合圖形的重心旋轉(zhuǎn)所得周長(zhǎng)的積”,即V=Sl(V表示平面圖形繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的體積,S表示平面圖形的面積,l表示重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長(zhǎng)).如圖,直角梯形ABCD,已知AB∥DC,AB⊥AD,AB=3CD,AD=3,則其重心G到AB的距離為()A.74 B.32 C.54 6.已知A,B,C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn),且AC⊥BC,AC=BC=1,則三棱錐O-ABC的體積為()A.212 B.3C.24 D.7.(2024·遼寧重點(diǎn)高中高三模擬)表面積為4π的球內(nèi)切于圓錐,則該圓錐的表面積的最小值為()A.4π B.8π C.12π D.16π8.河南博物院主展館的主體建筑以元代登封古觀星臺(tái)為原型,經(jīng)藝術(shù)夸張演繹成“戴冠的金字塔”造型,冠部為“方斗”形,上揚(yáng)下覆,取上承“甘露”、下納“地氣”之意.冠部以及冠部下方均可視為正四棱臺(tái).已知一個(gè)“方斗”的上底面與下底面的面積之比為1∶4,高為2,體積為563,則該“方斗”的側(cè)面積為(A.24 B.12 C.245 D.1259.如圖,一個(gè)棱長(zhǎng)1分米的正方體形封閉容器中盛有V升的水,若將該容器任意放置均不能使水平面呈三角形,則V的取值范圍是()A.(16,56) BC.(12,23) D二、多項(xiàng)選擇題10.已知正四棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為1,側(cè)棱長(zhǎng)為2,高為2,則()A.棱臺(tái)的側(cè)面積為83B.棱臺(tái)的體積為132C.棱臺(tái)的側(cè)棱與底面所成的角為πD.棱臺(tái)的側(cè)面與底面所成二面角的正弦值為311.折扇在我國(guó)有悠久的歷史,“扇”與“善”諧音,折扇也寓意“善良”“善行”.它以字畫的形式集中體現(xiàn)了我國(guó)文化的方方面面,是運(yùn)籌帷幄,決勝千里,大智大勇的象征(如圖①).圖②是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖(扇形的一部分),若扇形的兩個(gè)圓弧所在圓的半徑分別是1和3,且∠ABC=120°,則該圓臺(tái)()圖①圖②A.高為2B.表面積為34C.體積為52D.上底面積、下底面積和側(cè)面積之比為1∶9∶24三、填空題12.將一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形以其中一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周,所得幾何體的表面積為.

13.(2024·九省聯(lián)考)已知軸截面為正三角形的圓錐MM'的高與球O的直徑相等,則圓錐MM'的體積與球O的體積的比值是,圓錐MM'的表面積與球O的表面積的比值是.

14.(2023·新高考Ⅱ,14)底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截,截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2,高為3的正四棱錐,所得棱臺(tái)的體積為.

15.如圖所示的六面體由兩個(gè)棱長(zhǎng)為a的正四面體M-ABC,Q-ABC組合而成,記正四面體M-ABC的內(nèi)切球?yàn)榍騉1,正四面體Q-ABC的內(nèi)切球?yàn)榍騉2,則O1O2=;若在該六面體內(nèi)放置一個(gè)球O,則球O的體積的最大值是.

專題突破練13空間幾何體的結(jié)構(gòu)、表面積與體積答案一、單項(xiàng)選擇題1.A解析如圖,設(shè)截面為△SMN,P為MN的中點(diǎn),O為底面圓的圓心,OP=x(0≤x<3),由題意可知SB=2,OB=3,則SO=1,SP=x2+1,MN=2所以S△SMN=12MN·SP=-因?yàn)?≤x<3,所以當(dāng)x2=1,即x=1時(shí),(S△SMN)max=2.故選A.2.D解析由題意可知球的表面積為12π×23=8π,設(shè)球的半徑為r,則4πr2=8π,解得r=2,所以球的體積為43πr3=43π×(2)3=823.D解析以前的藥片表面積為4π×(14)2+π×12×32=π(cm2),體積為43π×(14)3+π×(14)2×32=11π96(cm3).設(shè)升級(jí)后的藥片底面半徑為r,則2πr2+2πr×12=π,得2r2+r-1=0,解得r=12(cm),所以升級(jí)后藥片的體積為π×(12)4.C解析依題意,正二十面體的棱的條數(shù)為20×32=30,所以正二十面體的頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)為30-20+2=12.5.C解析設(shè)CD=x,AB=3x,直角梯形繞AB旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為V=π·32·x+13·π·32·(3x-x)=15πx.梯形ABCD的面積S=12×(x+3x)×3=6x,故記重心G到AB的距離為h',則重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長(zhǎng)為l=2πh',則15πx=(2πh')·6x,解得h'=6.A解析如圖,AC⊥BC,AC=BC=1,設(shè)O1為AB的中點(diǎn),連接CO1,OO1,則CO1=22,由題意OO1⊥平面ABC,在Rt△OO1C中,OO1=OC2-CO12=22,7.B解析設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為r,則4πr2=4π,解得r=1.設(shè)圓錐頂點(diǎn)為A,底面圓周上一點(diǎn)為B,底面圓心為C,內(nèi)切球球心為D,軸截面如下圖所示,內(nèi)切球切母線AB于E,底面半徑BC=R>1,∠BDC=θ,則tanθ=R,又∠ADE=π-2θ,故AB=BE+AE=R+tan(π-2θ)=R-tan2θ.又tan2θ=2tanθ1-tan故該圓錐的表面積為S=πR2(R2+1)令t=R2-1>0,所以R2=t+1,所以S=2π(t+1)2t=2π·(t+1t+2)≥2π·(2t·1t+所以該圓錐的表面積的最小值為8π.故選B.8.D解析由題意可知,記正四棱臺(tái)為ABCD-A1B1C1D1,其底面為正方形,側(cè)面為四個(gè)等腰梯形,把該四棱臺(tái)補(bǔ)成正四棱錐P-ABCD如圖,設(shè)M是底面ABCD上AC與BD的交點(diǎn),N是底面A1B1C1D1上A1C1與B1D1的交點(diǎn),則PM是正四棱錐P-ABCD的高,MN為正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的高,設(shè)A1B1=a,AB=b,則上、下底面的面積分別為a2,b2,由題意知a2∶b2=1∶4,所以b=2a.在△PAB中,PA1PA=A1B1在△PAM中,PA1PA=PNPM=12,又因?yàn)閂ABCD-A1B1C1D1=13×(a2+a×所以PA=PM2+AM2=42+(22)所以側(cè)面積S=4×12×(2+4)×5=1259.A解析將該容器任意放置均不能使水平面呈三角形,如圖,水最少的臨界情況是水面為平面A1BD,水最多的臨界情況為多面體ABCD-A1B1D1,水面為平面B1CD1.因?yàn)閂A-A1BD=13×12×1×1×1=16,VABCD-A1B1D1=VABCD二、多項(xiàng)選擇題10.AC解析如圖,過點(diǎn)A1作A1H⊥AB于點(diǎn)H,過點(diǎn)A1作A1M⊥AC于點(diǎn)M,則A1M⊥平面ABCD,AH⊥MH,所以AM=A1又因?yàn)锳H=MH,所以AH=1,所以A1H=22-12=3,AB=2×1+1=3.所以棱臺(tái)的側(cè)面積為4×(1+3)因?yàn)樯系酌婷娣eS'=1,下底面面積S=9,所以棱臺(tái)的體積為13(S+S'S+S')·A1M=13×13×2=1323因?yàn)椤螦1AM為側(cè)棱A1A與底面所成的角,cos∠A1AM=AMA1A=22,所以∠A1AM=因?yàn)椤螦1HM為側(cè)面AA1B1B與底面所成二面角的平面角,sin∠A1HM=A1MA1H故選AC.11.BCD解析對(duì)于A,設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為r,下底面半徑為R,則2πr=13·2π·1,2πR=13·2π·3,解得r=13,R=1,所以圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為3-1=2,高為h=22-(1-13)

2=423,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;對(duì)于B,圓臺(tái)的上底面積為π9,下底面積為π,側(cè)面積為12×(2π3+2π)×2=8π3,所以圓臺(tái)的表面積為S=π9+π+8π3=34π9,選項(xiàng)B正確;對(duì)于C,圓臺(tái)的體積為V=13π·[(13)2+13×1三、填空題12.43π解析由題意可知所得幾何體為兩個(gè)同底的圓錐組成的組合體,圓錐的底面半徑為3,母線長(zhǎng)為2,則所求表面積為2×π×3×2=43π.13.231解析設(shè)圓錐MM'的底面圓的半徑為r,球的半徑為R因?yàn)閳A錐的軸截面為正三角形,所以圓錐的高h(yuǎn)=3r,母線l=2r,球的半徑R=32r所以圓錐MM'的體積為V1=13×(π×r2)×3r=33πr球O的體積V2=43πR3=43π×(32r)3=32πr3圓錐MM'的表面積S1=πrl+πr2=3πr2,球O的表面積S2=4πR2=4π×(32r)2=3πr2,所以S1S14.28解析如圖所示,在正四棱錐P-ABCD中,平面A'B'C'D'∥平面ABCD.點(diǎn)O',O分別為正四棱臺(tái)ABCD-A'B'C'D'上、下底面的中心,O'H'⊥A'B',OH⊥AB,點(diǎn)H',H為垂足.由題意,得AB=4,A'B'=2,PO'=3.易知△PO'H'∽△POH,所以PO'PO=O'H'OH,即3PO=12,解得PO=6,所以O(shè)O'=PO-PO'=3,所以該正四棱臺(tái)的體積是V=13×15.6a686πa3729解析如圖,取BC的中點(diǎn)D,連接AD,設(shè)點(diǎn)由四面體M-ABC是正四面體,知N為△ABC的中心,且N在線段AD上,AD⊥BC.由正四面體的棱長(zhǎng)為a,可得AD=3a2,MN=AM2-AN設(shè)球O1的半徑為r,由等體積法可得VM-ABC=13×3a24×6a3=根據(jù)該六面體的對(duì)稱性可知正四面體M-ABC的內(nèi)切球和正四面體Q-ABC的內(nèi)切球均與平面ABC相切于N點(diǎn),可得O1O2=2r=6a當(dāng)