全書課件：線性代數(shù)(第四版)趙文茹

新編工程數(shù)學(xué)（第四版）課件

第一篇線性代數(shù)

第一章行列式1.1行列式的定義1.1.1二階行列式在中學(xué)數(shù)學(xué)里知道二元線性方程組，它的一般形式為(1-1-1)用消元法消去，得到

同理消去，得到

當(dāng)時(shí)，方程組(1-1-1)的解為

分母是由方程組中未知數(shù)的四個(gè)系數(shù)確定的，為了便于理解和記憶，引入二階行列式的定義。定義1把符號(hào)

稱為二階行列式，由四個(gè)數(shù)排成兩行兩列（橫排稱行，豎排稱列），它表示算式，即

(1-1-2)其中，稱為二階行列式的元素，下標(biāo)是行列式的的行指標(biāo)表示在第行；下標(biāo)是行列式的列指標(biāo)，表示在第列。表明這一元素處在第行第列位置。二階行

列式共有個(gè)元素。我們把到用實(shí)線連接，稱該實(shí)線為主對(duì)角線到

用虛線連接，稱該虛線為副對(duì)角線。于是二階行列式的值便是主對(duì)角線上兩個(gè)元素之積減去副對(duì)角線上兩個(gè)元素之積所得的差，其計(jì)算規(guī)律遵循如圖1-1所示的對(duì)角線法則。

圖1-1(1-1-2)右端的式子又稱為二階行列式的展開式。當(dāng)所有的都是數(shù)時(shí)，行列式的值是一個(gè)具提的數(shù)值，若其中有字母出現(xiàn)，則行列式的值是一個(gè)代數(shù)式。通常用字母Ｄ表示行列式。利用二階行列式的概念，方程組(1-1-1)中的分子也可以用二階行列式表示，若記拿末，方程組(1-1-1)的解可表示為因?yàn)槭怯煞匠探M(1-1-1)中未知量的四個(gè)系數(shù)確定的二階行列式，

故稱為方程組

(1-1-1)的系數(shù)行列式。而分別是的第1、2列元素?fù)Q成常數(shù)項(xiàng)所得到的行列式?！纠?】計(jì)算下列行列式（1）（2）解(1）=（2）=【例2】求解二元線性方程組解將方程組化為標(biāo)準(zhǔn)型由于因此方程組的解為1.1.2三階行列式

與二階行列式類似，引入三階行列式定義。

定義2把符號(hào)稱為三階行列 式。它由個(gè)元素

排成三行三列，它代表的是這樣一個(gè)算式，即(1-1-3)(1-1-3)右端的式子稱為三階行列式的展開式。

由（1-1-3）式可見，三階行列式共含6項(xiàng)，每項(xiàng)均為選自不同行、不同列的三個(gè)元素的乘積再冠以正負(fù)號(hào)，其計(jì)算規(guī)律遵循如圖1－2所示的對(duì)角線法則：圖中每條實(shí)線（共三條）所連接的三個(gè)數(shù)的乘積前面加正號(hào)，每條虛線（共三條）所連接的三個(gè)數(shù)的乘積前面加負(fù)號(hào)，這六項(xiàng)的和就是三階行列式的值。

圖1－2行列式值的實(shí)質(zhì)就是不同行、不同列的元素乘積的代數(shù)和?！纠?】用對(duì)角線法則計(jì)算行列式解1.1.3

階行列式1.余子式和代數(shù)余子式對(duì)角線法則只適用于二階行列式和三階行列式。為了研究四階和四階以上的更高階行列式，我們先來考察二階行列式和三階行列式的關(guān)系。由式（1-1-2）和式（1-1-3）可以得出（1-1-4）由此可見，三階行列式等于它第一行每個(gè)元素分別與一個(gè)二階行列式的乘積的代數(shù)和（也稱按第一行展開）。為了進(jìn)一步了解這三個(gè)二階行列式與原來三階行列式的關(guān)系，我們引入余子式和代數(shù)余子式的概念。在三階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，剩下的元素保持原來相對(duì)位置

不變而構(gòu)成的二階行列式稱為元素的余子式，記作。

例如在三階行列式中，元素的余子式是在中劃去第一行和第一列后所

構(gòu)成的二階行列式

元素的余子式是在中劃去第一行和第三列后

所構(gòu)成的二階行列式

。若記則叫做元素

的代數(shù)余子

。。

式。

例如中元素的代數(shù)余子式為

又如行列式

中元素-1的代數(shù)余子式為

應(yīng)用余子式和代數(shù)余子式的概念，

式（1-1-4）可以寫成由式（1-1-5）可以看出，

三階行列式

的值等于第一行元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和。式（1-1-5）稱為三階行列式按第一行展開的展開式。我們已經(jīng)定義了二階、三階行列式，又用二階行列式定義了三階行列式。按照這一規(guī)律，我們可用三階行列式定義四階行列式。依此類推，在已定義了階行列式后，便可定義階行列式。2.

階行列式定義3把符號(hào)稱為階行列式，由個(gè)數(shù)排成行列，

其中表示位于階行列式

第第列的元素。

。行、列式階行代表的是一個(gè)算式，具體為

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，將行列式按第一行展開得（1-1-6）對(duì)于階行列式元素的代數(shù)余子式的定義與三階行列式元素的代數(shù)余子式的定義相同。階行列式元素的代數(shù)余子式是階行列式。

例如上面的階行列式中，

元素的代數(shù)余子式為

【例4】計(jì)算四階行列式解由定義3將行列式按第一行展開通過上面例題看出，行列式第一行的零元素越多，按第一行展開時(shí)計(jì)算就越簡(jiǎn)單?！纠?】

計(jì)算下三角行列式解由階行列式定義，依次將行列式按第一行展開，得到

把行列式叫上三角行列式。習(xí)題1.11．計(jì)算下列行列式：（1）（2）（3）（4）2．證明：3．解線性方程組：（2）4．解下列方程（1）（2）5．寫出下列行列式中元素的余子式及代數(shù)余子式，并計(jì)算該行列式的值。6．設(shè)是行列式中元素的代數(shù)余子式，計(jì)算。1.2行列式的性質(zhì)與計(jì)算1.2.1行列式的性質(zhì)設(shè)階行列式將的行換為同序號(hào)的列

（即將第行換成第列）后，得到新行列式稱為的轉(zhuǎn)置行列式。行列式有如下性質(zhì)：性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式的值相等，即。例如二階行列式

可見，。這個(gè)性質(zhì)說明了行列式中行列地位的對(duì)稱性。由于轉(zhuǎn)置不改變行列式的值，因此對(duì)于行列式，凡是對(duì)于行成立的性質(zhì)對(duì)于列也成立。性質(zhì)2行列式的任意兩行（列）互換，行列式的值僅改變符號(hào)。例如，二階行列式將第1列與第2列互換得通常情況下，我們用表示行列式的第行，

用表示行列式的第列，

交換兩行，

記作，

交換兩列，記作。推論1若行列式某兩行（列）對(duì)應(yīng)元素相同，則行列式的值等于零。證明把行列式中對(duì)應(yīng)元素相同的這兩行（列）互換，據(jù)性質(zhì)2有，故性質(zhì)3

行列式中某一行（列）的所有元素乘以同一個(gè)數(shù)等于用數(shù)乘以行列式。例如把的第1行各元素同乘以數(shù)有表示以數(shù)乘以第行各元素，

表示以數(shù)乘以第列各元素。

推論2

行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面?！纠?】計(jì)算行列式

解

推論3

若行列式中某一行（列）的所有元素為零，則此行列式的值為零。性質(zhì)4若行列式中有兩行（列）對(duì)應(yīng)元素成比例，則此行列式的值為零。由推論2和推論1可以得此證明。性質(zhì)5若行列式的某一行（列）的所有元素都是兩個(gè)數(shù)之和，則此行列式等于兩個(gè)行列式的和，且這兩個(gè)行列式除了這一行（列）以外，其余元素與原行列式的對(duì)應(yīng)元素相同。例如【例2】計(jì)算解

=0+0=0性質(zhì)6

把行列式某一行（列）的各元素乘以同一個(gè)數(shù)后加到另一行（列）對(duì)應(yīng)元素上去，行列式的值不變。數(shù)乘行列式中第行（列）

加到第行（列）上，記作

以三階行列式為例，有此性質(zhì)可由性質(zhì)5和性質(zhì)4證得?！纠?】計(jì)算行列式

解應(yīng)用性質(zhì)6，有

=

將行列式化為三角行列式是行列式計(jì)算中常用的方法。

性質(zhì)7行列式的值等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)

應(yīng)的

代數(shù)余子式乘積之或和，即上面兩式分別稱為

按第行和第列展開，性質(zhì)7也叫做把行列式按任一行（列）展開定理。【例4】計(jì)算行列式

解按第3行展開，得利用性質(zhì)7計(jì)算行列式時(shí)，可以選取零較多的那一行

（列）展開，使行列式逐步降階，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算。

性質(zhì)8行列式某一行（列）的各元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)元素余子式乘積之和等于零，即或

1.2.2行列式的計(jì)算

我們可以對(duì)行列式的計(jì)算做如下總結(jié)1．計(jì)算二階、三階行列式時(shí)可用對(duì)角線法則（注意

對(duì)角線法則只適

用于二、三階行列式）。

2．階行列式的計(jì)算常用以下幾種方法：（1）按某行（列）展開,如例4。（2）根據(jù)行列式的情況，利用行列式的性質(zhì)把行列式化為上

（下）

三角行列式，如例3。

（3）用行列式性質(zhì)，使行列式某行（列）只有一個(gè)非零元素，再利

用展開定理使行列式

降階，可以簡(jiǎn)化計(jì)算，此種

方法也叫降階法。

在利用行列式的性質(zhì)將行列式簡(jiǎn)化時(shí)，不要拘泥于某種形式，要根據(jù)

行列式中元素的特點(diǎn)綜合運(yùn)用各種方法，化為（2）或（3）的形式

求行列式

的

值。

【例5】計(jì)算四階行列式解用行列式的性質(zhì)把某一行（列）的元素化為只有一個(gè)為非零,然后按此行(列)展開?！纠?】

計(jì)算行列式解該行列式的特點(diǎn)是每一行元素的和都等于同一個(gè)數(shù)6，于是把各列都加到第一列上去，提出公因子，再化為三角形行列式?！纠?】

計(jì)算行列式解此行列式稱為四階范德蒙行列式。按同樣方法可求出階范德蒙行列式的值。（留給讀者自己做）。習(xí)題1.21．利用行列式的性質(zhì)計(jì)算下列行列式(1)(2)(3)(4)(5)

2．解方程3.證明

(1)(2)1.3克萊姆法則

現(xiàn)在我們來解決本章開始提出的問題。

設(shè)含有個(gè)未知數(shù)個(gè)線性方程組成的元線性方程組為（1-3-1）它的系數(shù)

構(gòu)成的行列式

稱為線性方程組(1-3-1)的系數(shù)行列式。當(dāng)時(shí)，

方程組(1-3-1)稱為齊次線性方程組。

當(dāng)不全為零時(shí)，

方程組(1-3-1)稱為非齊次線性方程組。與二元線性方程組類似，(1-3-1)的解有如下定理。定理1（克萊姆法則）如果線性方程組(1-3-1)的系數(shù)行列式，則它有唯一解即，其中是將系數(shù)行列式中的第列元素

對(duì)應(yīng)地?fù)Q為常數(shù)項(xiàng)，而其余各列不變階行列式，即所得到的證明略?！纠薄壳蠼饩€性方程組

解因?yàn)橄禂?shù)行列式根據(jù)克萊姆法則，該線性方程組有唯一解。下面分別計(jì)算行列式所以

克萊姆法則揭示了線性方程組的解與它的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系。注意：用克萊姆法則解元線性方程組的前提條件：（1）線性方程組中方程的個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相等；（2）方程組的系數(shù)行列式對(duì)于齊次線性方程組(1-3-2)顯然是（1-3-2）的解，此解稱為零解。如果存在一組不全為零的數(shù)是方程組（1-3-2）的解，則稱其為齊次線性方程組（1-3-2）的非零解。根據(jù)克萊姆法則有如下結(jié)論：定理2如果齊次線性方程組(1-3-2)的系數(shù)行列式，則其只有零解；反之，如果齊次線性方程組(1-3-2)有非零解，則它的系數(shù)行列式【例２】

取何值時(shí)，齊次線性方程組有非零解？解因?yàn)榉匠探M的系數(shù)行列式由定理2知，若此齊次線性方程組有非零解，則它的系數(shù)行列式，即解得或容易驗(yàn)證，當(dāng)或時(shí)，齊次線性方程組確有非零解。習(xí)題1.31．用克萊姆法則解下列線性方程組；2．取何值時(shí)，齊次線性方程組（1）只有零解；（2）有非零解？3．已知拋物線經(jīng)過三點(diǎn)，求此拋物線方程。

本章學(xué)習(xí)指導(dǎo)一、教學(xué)基本要求1．理解行列式的概念，了解幾種特殊的行列式。2．掌握行列式的性質(zhì),能利用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式。3．理解余子式、代數(shù)余子式的概念，能將行列式按行（或列）展開。4．掌握克萊姆法則的條件、結(jié)論，并且能夠應(yīng)用其克萊姆法則解決相應(yīng)的方程組問題。二、考點(diǎn)提示1．行列式的性質(zhì)。2．行列式的計(jì)算：（1）化簡(jiǎn)行列式；（2）判別行列式是否為零；（3）利用按行（或列）展開行列式；（4）利用性質(zhì)6和性質(zhì)7使計(jì)算簡(jiǎn)化。3．克萊姆法則（1）克萊姆法則的條件和結(jié)論。（2）解相應(yīng)的方程組。三、疑難解析1.計(jì)算階行列式有哪些常用方法?答

階行列式的計(jì)算是本章的一個(gè)難點(diǎn),如果直接使用行列式的定義不易求解,常用的方法有化上（或下）三角形法、降階法、遞推法、歸納法、拆行（或列）法和加邊法等方法。具體采用哪種方法應(yīng)視具體情況而定。（1）化上（或下）三角形法（2）降階法（3）遞推法采用遞推方法可得

復(fù)習(xí)題一一．填空題：１．２．３．４．方程的根為________。

５．已知

則二．選擇題：１．下列行列式中不等于零的是（）。A．B．（其中）；

C．階行列式中某行的元素全為零；

D．階行列式中有兩行的元素對(duì)應(yīng)成比例

２．

設(shè)是階行列式中元素的代數(shù)余子式，則（）。

A．必為；B．必等于

C．

D．可能等于任何值

３．若則()A．；B．C．D．４．行列式方程有（）個(gè)實(shí)根。A．0；B．1；C．2；D．3三．判斷題：１．

（）２．

（）３．

（）４．（）５．階行列式那末它的轉(zhuǎn)置行列式（）６．設(shè)為行列式中元素的代數(shù)余子式，則

（）７．當(dāng)時(shí)，方程組僅有零解()四．解答與計(jì)算：１．計(jì)算行列式２．用克萊姆法則解下列線性方程組３．問取何值時(shí)，齊次線性方程組有非零解？第二章矩陣及其運(yùn)算2.1矩陣的概念2.1矩陣的概念2.1.1矩陣的定義在實(shí)際問題中，經(jīng)常用列表的方式表示一些數(shù)據(jù)及其關(guān)系，如學(xué)生成績(jī)表、工資表、物資調(diào)運(yùn)表等，我們先看個(gè)實(shí)例。1．某航空公司在A,B,C,D四城市之間開辟了若干航線,如圖所示表示了四城市間的航班圖,如果從A到B有航班,則用帶箭頭的線連接A與B?？捎靡粩?shù)表反映四城市間交通連接情況，表中1表示有航班，0表示無航班，

ABCDABCD01101010100101002．線性方程組

（2-1-1）把它的系數(shù)按原來的次序排成系數(shù)表常數(shù)項(xiàng)和求知數(shù)也排成如下的一個(gè)表，易知該方程組的解與它的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)有關(guān)。

類似的問題還有火車時(shí)刻表、網(wǎng)絡(luò)通信等，都是數(shù)據(jù)表問題，由此抽象出矩陣的概念。

定義1由個(gè)數(shù)排成的行列的

矩形數(shù)表，稱為行列的矩陣，簡(jiǎn)稱矩陣或矩陣，其中稱為矩陣的第行第列的元素，此矩陣共有個(gè)元素。矩陣通常用大寫字母A、B、C來表示，記作

有時(shí)也簡(jiǎn)寫為為了標(biāo)明矩陣的行數(shù)和列數(shù)，也用或表示一個(gè)行列的矩陣。如果矩陣和具有相同的行數(shù)和相同的列數(shù)則稱是同型矩陣。定義2如果兩個(gè)矩陣是同型矩陣，并且對(duì)應(yīng)位置上的元素均相等，則稱矩陣與矩陣相等。例如若則必有注意：只有同型的矩陣，才有可能相等。矩陣與行列式相比較，除了行數(shù)與列數(shù)可以不等外，還有本質(zhì)區(qū)別。即行列式包含著一種運(yùn)算，它實(shí)質(zhì)上對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)值或代數(shù)式，而矩陣總是一個(gè)數(shù)表。2.1.2幾種特殊矩陣

1．零矩陣元素都是零的矩陣稱為零矩陣，記作或，零矩陣都記作，但不同型的零矩陣是不相同的。2.行矩陣只有一行的矩陣稱為行矩陣（或行向量），記作3．列矩陣只有一列的矩陣稱為列矩陣（或列向量），記作4．負(fù)矩陣將矩陣的每個(gè)元素乘以得到的矩陣，稱為

的負(fù)矩陣，記作5．方陣行數(shù)與列數(shù)都等于的矩陣

稱為階矩陣或階方陣，即=

=6．上三角矩陣

若

階矩陣主對(duì)角線以下的元素全為零，叫做上三角矩陣，即

7.下三角矩陣若階矩陣

主對(duì)角線以上的元素全為零，叫做下三角矩陣，即8．對(duì)角矩陣若階矩陣主對(duì)角線以外的元素全為零，叫做對(duì)角矩陣，即9．單位矩陣主對(duì)角線上元素皆為1的階對(duì)角矩陣，稱為階單位矩陣，記作或，即10.對(duì)稱陣如果階方陣的元素滿足則稱為對(duì)稱矩陣,簡(jiǎn)稱對(duì)稱陣。認(rèn)識(shí)上面的幾種特殊形式的矩陣，會(huì)給我們以后的學(xué)習(xí)和解決實(shí)際問題提供很多便利。習(xí)題2.11．判斷題（1）矩陣就是行列式。（2）矩陣可以比較大小。（3）兩個(gè)矩陣是零矩陣，則兩個(gè)矩陣相等。（4）兩個(gè)矩陣相等，則其對(duì)應(yīng)元素相等。2．指出下列矩陣的型及特點(diǎn)：(5)(6)(7)（8）2.2矩陣的運(yùn)算矩陣的意義不僅在于確定了一些形式的數(shù)表，而且在于在對(duì)它定義了一些有理論意義和實(shí)際意義的運(yùn)算之后，它便成了進(jìn)行理論研究和解決實(shí)際問題的有力工具。下面介紹矩陣的幾種運(yùn)算。2.2.1矩陣的加(減)法定義1設(shè)兩個(gè)矩陣，那么對(duì)應(yīng)元素相加（減）得到的矩陣，稱為矩陣與的和（差），記作即若則簡(jiǎn)記為顯然，同型矩陣才能進(jìn)行加（減）法運(yùn)算，其運(yùn)算結(jié)果還是與、同型的矩陣，元素為矩陣、對(duì)應(yīng)位置元素的和（差）?！纠?】已知求，解由矩陣加(減)法的定義知==矩陣加法滿足下列運(yùn)算規(guī)律（設(shè)都是矩陣）：交換律：結(jié)合律：2.2.2數(shù)與矩陣的乘法定義2

用數(shù)乘矩陣的每一個(gè)元素所得到的矩陣,稱為數(shù)乘矩陣,記作，即簡(jiǎn)記為特別地,

簡(jiǎn)記為數(shù)與矩陣的乘積仍是一個(gè)矩陣，其元素等于矩陣中每個(gè)元素乘以數(shù)數(shù)與矩陣乘法滿足下面三個(gè)運(yùn)算律（設(shè)、為矩陣，為實(shí)數(shù)）：

結(jié)合律：

分配律：

【例2】設(shè)求解由矩陣數(shù)乘與加法的定義知【例3】

已知，且，求矩陣解（矩陣）方程變形可得2.2.3矩陣的乘法定義3設(shè)是矩陣，是矩陣，由元素構(gòu)成的矩陣，稱為矩陣與的乘積，記作，即注意：（1）只有左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)時(shí)，矩陣與相乘才有意義；（2）乘積矩陣中第行第列的元素，等于左邊矩陣的第行與右邊矩陣的第列對(duì)應(yīng)元素乘積之和；（3）乘積矩陣的行數(shù)等于左邊矩陣的行數(shù)，列數(shù)等于右邊矩陣的列數(shù)。【例4】

已知求解因?yàn)榈牧袛?shù)為2，而的行數(shù)為3，所以本題中無意義。【例5】已知求和解從上面兩個(gè)例子看出：（1）有意義時(shí)，不一定有意義。（2）即使與都有意義，它們也不一定是同型矩陣。（3）即使與都有意義，且是同型矩陣，但與也不一定相等?？傊仃嚨某朔ú粷M足交換律，即一般情況下當(dāng)時(shí)，稱矩陣與是可交換矩陣?！纠?】設(shè)，求解從上例看出：(1)若，不一定有(2)即使，也可能有【例7】設(shè)求解從上例看出，在一般情況下，矩陣乘法不滿足消去律，即不能由消去

推出。

對(duì)于線性方程組（2-1-1）刪去右式若把系數(shù)表記作系數(shù)矩陣，常數(shù)表記作常數(shù)項(xiàng)矩陣，未知數(shù)表記作未知矩陣那么方程組可用矩陣形式表示為：刪去右式由矩陣乘法和矩陣相等的定義，可以證明矩陣的乘法滿足下列運(yùn)算律（設(shè)是矩陣，是實(shí)數(shù)，假設(shè)運(yùn)算都是可行的）：（1）結(jié)合律（2）左分配律右分配律（3）特別地2.2.4方陣的冪

定義4

設(shè)是階方陣，是自然數(shù)，則稱為方陣的次冪。這里規(guī)定。方陣的冪滿足以下運(yùn)算律：其中為正整數(shù)。因?yàn)榫仃嚦朔ú粷M足交換律，所以對(duì)于兩個(gè)階方陣與未必成立?！纠?】試求解因?yàn)?/p>

所以==2.2.5矩陣的轉(zhuǎn)置定義5

把一個(gè)矩陣的行與列互換,得到的矩陣稱為矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣,記為或,即若則例如矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣為可見階對(duì)稱矩陣

滿足若階方陣滿足，則稱為反對(duì)稱矩陣。如是對(duì)稱矩陣，是反對(duì)稱矩陣【例9】設(shè)，求與

解因?yàn)?/p>

所以又因?yàn)?，所以可以證明，矩陣的轉(zhuǎn)置有如下性質(zhì)：（假設(shè)運(yùn)算都是可行的）：2.2.6方陣的行列式定義6由階方陣的元素所構(gòu)成的階行列式(各元素的位置不變)稱為方陣的行列式，記作或注意：方陣與方陣的行列式是兩個(gè)完全不同的概念，階方陣是個(gè)數(shù)按一定方式排成的數(shù)表，而階方陣的行列式則是這些數(shù)按一定運(yùn)算法則所確定的一個(gè)數(shù)。方陣的行列式運(yùn)算滿足下列規(guī)律（設(shè)為階方陣，為常數(shù)）：【例10】

設(shè)求解根據(jù)行列式性質(zhì)，得【例11】設(shè)是方陣的行列式，的各個(gè)元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下方陣稱為矩陣的伴隨矩陣，試證證明

同理可證即習(xí)題2.21設(shè)矩陣求所滿足的關(guān)系式。2．已知矩陣求3．計(jì)算（2）(3)(4)(5)(6)4．已知求5．已知求6．設(shè)為3階方陣且，計(jì)算2.3逆矩陣2.3.1逆矩陣的概念在數(shù)的運(yùn)算中我們知道，若，則為的倒數(shù)，記作矩陣也有類似的運(yùn)算形式，如

，則=即

類似于數(shù)的倒數(shù)，我們有矩陣的逆矩陣的概念。定義1對(duì)于階方陣，如果存在一個(gè)階方陣使得成立，則稱矩陣是可逆的，并稱矩陣為矩陣的逆矩陣，簡(jiǎn)稱

的逆，

記作從矩陣可逆的定義易知，若為的逆矩陣，則也為的逆矩陣，稱為與互逆。由于單位矩陣滿足

,所以

是可逆的，且逆矩陣的性質(zhì)：性質(zhì)1

性質(zhì)2

性質(zhì)3

性質(zhì)4

性質(zhì)5若方陣是可逆矩陣，則其逆矩陣是唯一的。

證設(shè)和都是的逆矩陣，則有于是所以的逆矩陣是唯一的。2.3.2逆矩陣的求法

定理1

階方陣

可逆的充分必要條件是的行列式且當(dāng)可逆時(shí)，其中為的伴隨矩陣，即

證明必要性

設(shè)可逆，則存在逆矩陣，

使得兩邊取行列式有，因而

充分性設(shè)由2.2.6節(jié)的例11可得由定義1知可逆，且

【例1】設(shè)判斷是否可逆？若可逆，求

解因?yàn)?/p>

所以矩陣可逆，由得

所以利用逆矩陣可以解某些線性方程組，下面來討論這個(gè)問題。設(shè)線性方程組

的系數(shù)矩陣、未知數(shù)的矩陣和右端常數(shù)所

組成的矩陣分別為由矩陣的乘法知

這是線性方程組的矩陣表達(dá)式，稱為矩陣方程。此方程類似于代數(shù)方程對(duì)于代數(shù)方程

當(dāng)時(shí)，它的解為

同樣，對(duì)于矩陣方程如果矩陣可逆，我們便可以用

左乘方程兩端得來求未知矩陣這里解的形式，

與相同，但它們卻有本質(zhì)的區(qū)別?！纠?】已知其中求未知矩陣解由于因此

可逆，且用左乘的兩端可得故=【例3】用逆矩陣方法解線性方程組解設(shè)則由例2知可逆,且故有根據(jù)矩陣相等的定義,得方程組的解為習(xí)題2.31．判斷下列矩陣是否可逆，若可逆，求出逆矩陣。(1)(2)(3)(4)(5)2．解下列矩陣方程：(1)(2)3．設(shè)矩陣滿足求4.用逆矩陣方解線性方程組:(1)(2)*2.4分塊矩陣對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較多的矩陣運(yùn)算時(shí)常采用分塊法,使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算。我們將矩陣用若干條橫線和縱線分成許多小矩陣，每一個(gè)小矩陣稱為的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣。

可以根據(jù)運(yùn)算的需要把矩陣分成不同形式的分塊矩陣。例如將矩陣分成子塊的方法很多，下面舉出三種分塊形式：(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)分法(Ⅰ)可記為其中即是的子塊，而形式上成為以這些子塊為元素的分塊矩陣。分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則與普通矩陣的運(yùn)算規(guī)則相類似，分別說明如下：1．設(shè)采用相同的分塊法，有其中

為同型矩陣．那么2．設(shè)

為實(shí)數(shù)，那么3．設(shè)矩陣將進(jìn)行分塊

其中的列數(shù)分別與的行數(shù)相等，那么其中注意：矩陣分塊乘法必須滿足下列兩個(gè)條件：（1）分塊時(shí)左矩陣的列塊數(shù)等于右矩陣的行塊數(shù)；（2）左矩陣每個(gè)列塊所含的列數(shù)等于右矩陣對(duì)應(yīng)行塊所含的行數(shù)?！纠?】設(shè)按上述分塊方法計(jì)算解按以上分塊，記其中其中所以4．設(shè)則5．若方陣的分塊矩陣只在主對(duì)角線有非零子塊，其余子塊都為零矩陣，且非零子塊都是方陣，即其中都是方陣，則稱為分塊對(duì)角矩陣。

分塊對(duì)角矩陣的行列式具有下列性質(zhì)：由此性質(zhì)可知，若則從而可逆，且有【例2】設(shè)求解其中，易求于是*習(xí)題2.4利用矩陣分塊的方法計(jì)算下列各題：1．設(shè)求2．設(shè)求2.5矩陣的初等變換與矩陣的秩2.5.1矩陣的初等變換用消元法解線性方程組的過程如下:從求解過程中可以看到,每一次消元只是三個(gè)未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)發(fā)生變化,未知數(shù)本身并不改變。如果將線性方程組中所有的未知數(shù)、等號(hào)、加號(hào)（減號(hào)看成加負(fù)）去掉，只考察未知數(shù)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的矩陣，消元法的求解過程就是一個(gè)矩陣的變化過程。為了書寫方便起見我們引入以下符號(hào)：（1）矩陣的兩行（列）互換（）表示第行（列）與第行（列）互換；（2）用一個(gè)非零的常數(shù)乘矩陣的某一行（列）：用（）表示用非零的常數(shù)乘以第行（列）；（3）將矩陣的某一行（列）乘以常數(shù)以后，加到另一行（列）：用表示第行（列）的倍加到第行（列）上。于是上述方程組的求解過程用矩陣的變化過程可表示為:，即最后得到方程組的解與消元法所求得的解完全相同。顯然對(duì)方程組的每一次消元對(duì)應(yīng)著矩陣的一種變換。我們知道，方程組在消元過程中，通常用下面三種變換方法，即（1）兩個(gè)方程互換位置；（2）某方程兩端同時(shí)乘某一非零的數(shù)；（3）用一常數(shù)乘以某一方程后加到另一個(gè)方程上去（目的是為了消去某個(gè)未知數(shù)）。這三種變換稱為方程組的初等變換。線性方程組經(jīng)過初等變換以后解不變。定義1矩陣的下列變換稱為矩陣的初等行變換：(1)交換兩行的位置（記作）；(2)用一個(gè)非零常數(shù)乘以第行的所有元素（記作）；(3)第行所有元素的倍加到第行的對(duì)應(yīng)元素上去（記作

）。把定義中的“行”換成“列”，即得矩陣的初等列變換。初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。顯然，三種初等變換都是可逆的，且其逆變換是同一類型的初等變換：變換（）的逆變換就是其本身；變換（）的逆變換是變換的逆變換是（）定義2如果矩陣經(jīng)有限次初等變換可以變成，就稱矩陣與等價(jià)，記作定義3對(duì)單位矩陣作一次初等變換后，得到的矩陣稱為初等矩陣，三類初等矩陣分別是：（1）將單位矩陣的第兩行（列）互換記為（2）將單位矩陣的第行（列）乘以非零常數(shù)記為（3）將單位矩陣的第行（列）的倍加到第

行（列）記為刪去下面內(nèi)容：以三階單位矩陣為例：（1）交換的第一、二行：（2）用非零常數(shù)乘以的第三行：（3）把常數(shù)乘以的第一行各元素加到第二行對(duì)應(yīng)元素上：到此處。初等方陣的行列式一定不等于零。定理1

設(shè)是一個(gè)

矩陣，則對(duì)

施行一次初等行變換，就相當(dāng)于用一個(gè)階初等矩陣左乘矩陣；對(duì)施行一次初等列變換，就相當(dāng)于用一個(gè)階初等矩陣右乘矩陣（證明略）例如，設(shè)則有使得即刪去下面內(nèi)容又如，而則有即定義4

設(shè)是一個(gè)矩陣，如果它滿足如下條件：(1)矩陣的零行（如果存在的話）在矩陣最下方；(2)非零行的首非零元素的列標(biāo)隨著行標(biāo)的遞增而嚴(yán)格增大，則稱矩陣為行階梯形矩陣。定義5如果行階梯形矩陣滿足下面兩個(gè)條件：（1）非零行的首非零元素為1；（2）非零行中，所有首非零元素所在列的其它元素為零。則稱其為行最簡(jiǎn)階梯形矩陣。例如都是行階梯形矩陣，同時(shí)還是行最簡(jiǎn)階梯形矩陣。定理2任何一個(gè)矩陣總可以經(jīng)過有限次初等行變換化為行階梯形矩陣。定理3如果為可逆矩陣,則經(jīng)過若干次初等變換可將化為同階單位矩陣,即可逆矩陣與同階單位矩陣等價(jià)?！纠?】

利用初等行變換將矩陣化為行階梯形矩陣和行最簡(jiǎn)階梯形矩陣。解

在本題中，矩陣都是行階梯形矩陣，但只有是行最簡(jiǎn)階梯形矩陣。由這一例子可以看到，對(duì)某一個(gè)矩陣施行初等行變換可以得到多個(gè)行階梯形矩陣，它們之間都是等價(jià)的。盡管可以得到不同的階梯形矩陣，但這個(gè)矩陣的行最簡(jiǎn)階梯形矩陣卻是唯一的。同時(shí)看到與一矩陣等價(jià)的不同行階梯形矩陣的非零行的個(gè)數(shù)是相等的，而且這個(gè)數(shù)是唯一的，這是一個(gè)矩陣本身所固有的特性。2.5.2矩陣的秩定義6設(shè)是一個(gè)矩陣，則與等價(jià)的行階梯形矩陣中的非零行的個(gè)數(shù)稱為矩陣的秩，記作由定義有當(dāng)時(shí)，規(guī)定=0。由矩陣秩的定義易知：（1）階單位矩陣的秩等于（2）等價(jià)的矩陣必有相同的秩;由定理3可知階可逆矩陣的秩等于因此又稱可逆矩陣為滿秩矩陣，或非奇異矩陣。既然等價(jià)的矩陣有相同的秩，那么就可以通過施行初等行變換的方法求矩陣的秩?！纠?】求矩陣的秩。解對(duì)矩陣施行初等行變換所得行階梯形矩陣中非零行的個(gè)數(shù)為3，所以定理4設(shè)為可逆矩陣，則存在有限個(gè)初等方陣使得證明因?yàn)闉榭赡婢仃?，由定?知與同階單位矩陣等價(jià)，故經(jīng)過有限次初等變換可變成就是存在有限個(gè)初等方陣使得即2.5.3利用初等變換求逆矩陣設(shè)方陣可逆，則亦可逆,由定理4存在初等矩陣使那么上式兩邊右乘得即（2-5-1）同時(shí),又可寫成（2-5-2）（2-5-1）式表明對(duì)方陣進(jìn)行若干次初等行變換可以化為單位矩陣而（2-5-2）式表明用同樣的初等行變換可把單位矩陣化為的逆矩陣于是有了下面的用初等行變換求逆矩陣的方法：做一個(gè)矩陣對(duì)此矩陣僅施以初等行變換，如果能將化成則可逆且就化為了如果不能通過初等行變換化成則不可逆。【例3】設(shè)解由于所以注意：用方法求逆矩陣時(shí)，只能對(duì)作初等行變換，不得出現(xiàn)初等列變換。習(xí)題2.51．用初等行變換把下列矩陣化為行最簡(jiǎn)階梯形矩陣。（1）（2）（3）2．用初等行變換求下列矩陣的逆矩陣。（1）（2）（3）（4）3．求下列矩陣的秩（1）

（2）（3）（4）（5）

（6）4．設(shè)復(fù)習(xí)題二一．填空題：１．階方陣均可逆，則____________。２．若矩陣滿足_______時(shí),方可相乘,積是一個(gè)______矩陣。

３．設(shè)為3階方陣，且則，４．若是階方陣，且則_________。５．若均為階方陣，二．選擇題：１．設(shè)矩陣那么的伴隨矩陣為()。ABC．D．２．設(shè)矩陣則下列結(jié)論中不正確的是（）A．B有意義；C．=D．３．若是階方陣，且則下列結(jié)論中不正確的是（）。A．是非奇異矩陣；B．C．是可逆矩陣；D４．若為同階方陣，且可逆，則下列結(jié)論中正確的是（）。A．若則B.若則C

D．若則５．設(shè)均為階方陣，運(yùn)算（）正確。A．BCD．若是可逆矩陣為不為零的常數(shù)，則三．判斷題：１．兩個(gè)零矩陣一定相等。（）２．矩陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)

（）３(）４．設(shè)均為階方陣，若則

（）５．設(shè)均為階方陣，若，則

（）６．若均為階方陣，則（）四．解答與計(jì)算：１．計(jì)算(1)(2)(4)(5)(6)

２．求下列矩陣的秩：(1)(2)

３．下列矩陣是否可逆？若可逆，求逆矩陣。４．解矩陣方程(1)(2)第三章向量組與線性方程組3.1線性方程組及其矩陣表示設(shè)非齊次線性方程組的一般形式為(為不全為零的常數(shù))（3-1-1）在上一章知道，它的矩陣表達(dá)式為

其中

分別是系數(shù)陣、

常數(shù)項(xiàng)與未知陣。

將系數(shù)矩陣與常數(shù)項(xiàng)矩陣放在一起構(gòu)成的矩陣稱為方程組（3-1-1）的增廣矩陣（也可記作

）。因?yàn)榫€性方程組是由它的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)

決定的，所以用增廣矩陣

可以清楚地表示一個(gè)線性方程組。如果記則線性方程組（3-1-1）又可表示為或以上都是線性方程組（3-1-1）的各種變形。非齊次線性方程組（3-1-1）所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組為（3-1-2）線性方程組（3-1-2）也可以表示為或【例1】把線性方程組表示為矩陣方程的形式。解設(shè)則原方程組可表示為【例2】寫出以矩陣為增廣矩陣的線性方程組。解以為增廣矩陣的線性方程組為：

習(xí)題3.11.寫出線性方程組的增廣矩陣和矩陣方程形式。2.設(shè)矩陣求出以為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組。

3.2線性方程組解的討論3.2.1、高斯消元法定理1

若將線性方程組的增廣矩陣通過初等行變換化成矩陣則線性方程組與同解。（證）證明由于對(duì)矩陣作一次初等行變換等價(jià)于矩陣左乘一個(gè)初等矩陣，因此存在初等矩陣使得記顯然可逆。若為的解，即兩邊同時(shí)左乘矩陣有即于是為的解。

反之，若為的解，即兩邊同時(shí)左乘矩陣得即于是亦為的解。故與同解。運(yùn)用第二章的知識(shí)，我們總可以用初等行變換把增廣矩陣化為行最簡(jiǎn)階梯形矩陣，求出行最簡(jiǎn)階梯形矩陣所對(duì)應(yīng)的線性方程組的解。由定理1知，行最簡(jiǎn)階梯形矩陣所對(duì)應(yīng)的線性方程組的解就是原線性方程組的解。這個(gè)方法稱為高斯（Gauss）消元法（簡(jiǎn)稱消元法）。下面舉例說明用高斯消元法求解線性方程組的方法和步驟?！纠?】用消元法解線性方程組：

解

最后一個(gè)矩陣所對(duì)應(yīng)的線性方程組即為原方程組的解【例2】用消元法解線性方程組：解

最后一個(gè)矩陣所對(duì)應(yīng)的線性方程組為：將移到方程組的右端，得當(dāng)任意取定一組實(shí)數(shù)時(shí)，得到線性方程組的一組解，因方程組有無窮多組解。因?yàn)榭梢匀我馊≈?，所以又稱為自由未知量。

令自由未知量則線性方程組的所有解為：（其中與為任意實(shí)數(shù)）?！纠?】討論線性方程組的解。解

最后一個(gè)矩陣所對(duì)應(yīng)的線性方程組為：顯然，不可能有的值滿足第三個(gè)方程，因此該線性方程組無解。通過上面三個(gè)例子，可以總結(jié)出用高斯消元法解線性方程組的一般步驟：（1）通過初等行變換將線性方程組的增廣矩陣化為行最簡(jiǎn)階梯形矩陣；（2）將行最簡(jiǎn)階梯形矩陣的首非零元所在列的未知量作為基本未知量，假設(shè)為個(gè)，其余未知量設(shè)為自由未知量，共計(jì)個(gè)；（3）把自由未知量移到方程組的右端，令它們分別取常數(shù)即可得到線性方程組的所有解。3.2.2、一般線性方程組解的判定

前面介紹了用高斯消元法解線性方程組的方法，通過討論可知，線性方程組解的情況有三種：惟一解、無窮多組解和無解。歸納求解過程，我們總結(jié)出線性方程組解的判定的一般規(guī)律。定理2

線性方程組（3-1-1）有解的充分必要條件是其系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等。（1）當(dāng)時(shí)，該線性方程組有唯一解；（2）當(dāng)時(shí)，該線性方程組有無窮多組解。

若線性方程組有解，則稱該方程組是相容的；否則就稱該方程組是不相容的。對(duì)于齊次線性方程組（3-1-2），顯然是它的解，這樣的解稱為零解（或平凡解）。因此對(duì)于齊次線性方程組主要考慮其是否有非零解。由定理2容易得到下面的定理。定理3

齊次線性方程組（3-1-2）有非零解的充分必要條件是

【例4】判定下列線性方程組是否有解，若有解，有多少解？（?。?/p>

（2）（3）解（1）因?yàn)?/p>

所以方程組有解。又因?yàn)槲粗獢?shù)個(gè)數(shù)故原方程組有惟一解。（2）因?yàn)槎R次線性方程組中未知數(shù)的個(gè)數(shù)所以原方程組有無窮多組解。（3）因?yàn)樗栽匠探M無解。習(xí)題3.21.判斷下列線性方程組是否有解？（1）

（2）2.解下列線性方程組：（1）（2）（互不相等）（3）（4）

（5）3.當(dāng)為何值時(shí)，非齊次線性方程組

(1)有惟一解；（2）無解;（3）有無窮多解，并求其所有解。4.當(dāng)為何值時(shí)，非齊次線性方程組（1）無解；（2）有惟一解；（3）有無窮多解，并求其所有解。5.當(dāng)為何值時(shí)，齊次線性方程組（1）只有零解；（2）有非零解，并求所有解。3.3向量及其運(yùn)算3.3.1、維向量的概念定義1

個(gè)數(shù)所組成的有序數(shù)組稱為維向量．其中稱為向量的分量，叫做的第個(gè)分量（或坐標(biāo)）．分量都是實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量，分量為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量，本書只討論實(shí)向量．向量一般用小寫的希臘字母表示，分量一般用小寫的英文字母表示．由定義1可知，我們?cè)谄矫娼馕鰩缀嗡鶎W(xué)的向量，是一個(gè)具有幾何意義的二維向量?！纠?】已知方程組若不記未知數(shù)的符號(hào)和等號(hào)，則方程組中的三個(gè)方程便分別與向量相對(duì)應(yīng)，這樣就可以用向量來研究線性方程組的求解問題。設(shè)

都是維向量，當(dāng)且僅當(dāng)它們各個(gè)對(duì)應(yīng)分量都相等，即時(shí)，稱向量與相等，記作分量都是的向量稱為零向量，記作

，即應(yīng)注意兩個(gè)零向量維數(shù)不同時(shí)，它們是不相同的向量。向量稱為向量的負(fù)向量，記作維向量也可以寫出列的形式：

寫成行形式的向量稱為行向量，寫成列形式的向量稱為列向量。列向量的轉(zhuǎn)置即為行向量（T表示轉(zhuǎn)置）.

需注意當(dāng)時(shí)，一個(gè)行向量與一個(gè)列向量即使每個(gè)分量對(duì)應(yīng)相等，也不能看成相等的向量。一個(gè)維行向量可以看成是一個(gè)的行矩陣一個(gè)維列向量可以看成是一個(gè)的列矩陣

由于向量可以看作矩陣，因此對(duì)向量進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，可按矩陣的運(yùn)算法則進(jìn)行。

由同維數(shù)的向量所組成的集合稱為向量組。如例1中的線性方程組就與所組成的向量組對(duì)應(yīng)。又如矩陣的行可以看作個(gè)維行向量稱之為矩陣的行向量組。從而矩陣可以記為的列可以看作個(gè)維列向量稱之為矩陣的列向量組。矩陣也可以記為3.3.2、向量的運(yùn)算定義2

設(shè)都是維向量．則向量叫做向量與的和，即向量的加法，記作即由向量的加法及負(fù)向量可以定義向量的減法：定義3設(shè)為維向量，為實(shí)數(shù)，則向量叫做數(shù)與向量的乘積，簡(jiǎn)稱向量的數(shù)乘，記作或即向量的加法及數(shù)與向量的乘積兩種運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，它們滿足如下運(yùn)算規(guī)律（設(shè)都是維向量，為實(shí)數(shù)）：（１）（２）（３）（４）（５）（６）（７）（８）由于向量可以看作矩陣，其運(yùn)算規(guī)律與矩陣的運(yùn)算規(guī)律一致,因此上述關(guān)于向量相等、向量的線性運(yùn)算的規(guī)律均可借助于矩陣的運(yùn)算規(guī)律得出?！纠?】已知求解

【例3】已知如果滿足，求向量解先進(jìn)行向量運(yùn)算，得從而習(xí)題3.31.已知向量求：（1）

（2）2.已知向量且求向量3.已知向量求4.已知向量求3.4向量組的線性相關(guān)性3.4.1向量的線性組合在上節(jié)例1的三個(gè)方程中，第一個(gè)方程乘以2減去第二個(gè)方程就得到第三個(gè)方程。這種關(guān)系用對(duì)應(yīng)的向量表示即為即可由經(jīng)線性運(yùn)算得到。這時(shí)我們稱是的線性組合，或稱可由線性表示。定義1

給定向量組和向量如果存在一組數(shù)使得則稱向量是向量組的線性組合,或稱可由向量組線性表示。顯然，零向量可以由任意向量組線性表示,這是因?yàn)槿我饩S向量都可以由維向量組線性表示.這是因?yàn)榉Q為維單位向量組。上述結(jié)論表明，任一維向量都可由維單位向量組線性表示?！纠?】設(shè)試判斷能否由線性表示。解先設(shè)其中為實(shí)數(shù)，則

由兩個(gè)向量相等的定義，可得線性方程組因?yàn)橛勺詈笠粋€(gè)矩陣得線性方程組的解：于是即向量可由向量組線性表示?！纠?】將線性方程組寫成向量方程形式。解若設(shè)則線性方程組可寫成向量方程的形式用高斯消元法求出線性方程組的解為則有即向量可由向量組線性表示。由以上例題可知，向量能由向量組線性表示，也就是線性方程組有解。由此得到以下定理：定理1

向量能由向量組線性表示的充分必要條件是：以為系數(shù)列向量，以為常數(shù)項(xiàng)向量的線性方程組有解，并且此線性方程組的一組解就是線性組合的一組系數(shù)?！纠?】向量能否由向量組線性表示，若能，則求出表達(dá)式，并說明表達(dá)式是否惟一。解由定理1知，向量能否由向量組線性表示，取決于線性方程是否有解。而由最后一個(gè)矩陣可知，線性方程組有無窮多解且所有解為（為任意實(shí)數(shù)）于是（為任意實(shí)數(shù)），即能由向量組線性表示。因?yàn)闉槿我鈱?shí)數(shù)，所以表達(dá)式不惟一。

3.4.2、向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)定義2

設(shè)有維向量組若存在一組不全為零的實(shí)數(shù)使得成立，則稱向量組線性相關(guān)；否則，如果只有當(dāng)時(shí)，才有成立,則稱向量組線性無關(guān)。如上節(jié)例1中表示三個(gè)方程的向量組具有關(guān)系：即則存在一組不全為零的實(shí)數(shù)使得故向量組線性相關(guān)。

由定義2知，對(duì)于只含一個(gè)向量的向量組，當(dāng)時(shí)線性相關(guān)，當(dāng)時(shí)線性無關(guān)。兩個(gè)向量線性相關(guān)的充分必要條件是它們的對(duì)應(yīng)分量成比例。如果把

看成是以為系數(shù)列向量、以為未知數(shù)的齊次線性方程組，則由定義2和3.2節(jié)的定理2可得如下重要結(jié)論：

定理2

關(guān)于列（行）向量組設(shè)矩陣（），則

線性相關(guān)齊次線性方程組有非零解向量組

線性無關(guān)齊次線性方程組只有零解【例4】判別下列向量組的線性相關(guān)性：（1）（2）(3)解

(1)設(shè)因?yàn)樗札R次線

性方程

只有零解，即向量組線性無關(guān)。(2)因?yàn)樗韵蛄拷M線性相關(guān)。

（3）設(shè)因?yàn)樗韵蛄拷M線性相關(guān)?！纠?】討論維單位向量組的線性相關(guān)性。解因?yàn)樗跃S單位向量組線性無關(guān)?！纠?】設(shè)向量組線性無關(guān)，試證明也線性無關(guān)。，使得證明設(shè)有一組實(shí)數(shù)則因?yàn)榫€性無關(guān)，故而它的系數(shù)行列式,故所以線性無關(guān)。下面的定理說明了線性組合與線性相關(guān)這兩個(gè)概念之間的密切關(guān)系。定理3

向量組（）線性相關(guān)的充分必要條件是其中至少存在一個(gè)向量可以由其余個(gè)向量線性表示證明必要性設(shè)線性相關(guān)，即存在一組不全為零的數(shù)使得因?yàn)橹兄辽儆幸粋€(gè)不為零，不妨設(shè)，則有即能由其余個(gè)向量線性表示。充分性不妨設(shè)向量組中的能由其余個(gè)向量線性表示，即有故因?yàn)檫@個(gè)數(shù)不全為（至少），所以

線性相關(guān)。

如例1中的能由線性表示，即則由定理3知向量組線性相關(guān)。定理4

設(shè)向量組線性無關(guān)，而向量組性相關(guān)，則能由線性表示，且表示方法是惟一的。刪去下面內(nèi)容證明因?yàn)橄蛄拷M線性相關(guān)，故存在一組不全為零的數(shù)使要證能由線性表示，只須證明。用反證法，假設(shè)則不全為零，且則線性相關(guān)，這與已知線性無關(guān)矛盾，故再證表示方法惟一。設(shè)有兩個(gè)表達(dá)式兩式相減得因?yàn)榫€性無關(guān)，所以即故的表示方法唯一。3.4.3向量組的秩由定理2可知，向量組的線性相關(guān)性與由向量組組成的矩陣的秩密切相關(guān)。為使討論進(jìn)一步深入，我們把秩的概念引進(jìn)向量組。定義3

設(shè)是維向量所組成的向量組，如果中有個(gè)向量滿足：(1)線性無關(guān)(2)

對(duì)任一個(gè)能由線性表示。.則稱是向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組，簡(jiǎn)稱最大無關(guān)組，最大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為向量組的秩，記作只含零向量的向量組沒有最大無關(guān)組，規(guī)定它的秩為零。求向量組的秩和最大無關(guān)組可以通過相應(yīng)的矩陣運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)。為此，我們給出下面的定理：定理5矩陣的秩等于它的行向量組的秩，也等于它的列向量組的秩。證明設(shè)是矩陣的列向量組，即且設(shè)則中有非零的階子式，記作即由定理2知，是所在的列向量線性無關(guān)；又因?yàn)橹兴须A子式都為零，所以中任意個(gè)列向量都線性相關(guān)。故由定理4和定義3知所在的列是的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，所以列向量組的秩等于同理可證矩陣的行向量組的秩也等于根據(jù)3.2的定理1我們還可以證明，如果對(duì)一個(gè)矩陣施以初等行變換化為矩陣則的列向量組與的列向量組之間有相同的線性關(guān)系，即矩陣的初等行變換不改變其列向量間的線性關(guān)系，亦即不改變矩陣的秩。這樣我們就可以利用初等行變換求向量組的秩及最大無關(guān)組，并可把向量組中任一向量由它的最大無關(guān)組線性表示。這時(shí)我們也稱與的列向量組之間是等價(jià)的（即的列向量組與的列向量組能相互線性表示）?！纠?】求向量組的秩和一個(gè)最大無關(guān)組。解將作為列向量組成矩陣然后對(duì)矩陣施行初等行變換，化為行階梯形矩陣由最后一個(gè)矩陣可知向量組的秩為2，其中線性無關(guān)，故為一個(gè)最大無關(guān)組。

顯然，和也是向量組的最大無關(guān)組。由此可得，最大無關(guān)組不是惟一的，但它們所含向量的個(gè)數(shù)是相等的?！纠?】求向量組的秩及它的一個(gè)最大無關(guān)組，并將其它向量用該最大無關(guān)組線性表示。解將作為列向量組成矩陣對(duì)施行初等行變換，將其化為行最簡(jiǎn)形矩陣所以即向量組的秩為2。由最后一個(gè)矩陣可知，為一個(gè)最大無關(guān)組，且習(xí)題3.41.判斷下列向量組的線性相關(guān)性：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）2.判斷下列各題中向量能否由其它向量線性表示，若能，將其它向量的線性組合：（1）（2）（3）3.已知線性相關(guān)，求的值。4.求下列向量組的秩和一個(gè)最大無關(guān)組：（1）(2)（3）（4）5.求下列向量組的秩和一個(gè)最大無關(guān)組，并將其余向量用最大無關(guān)組線性表示。（1）（2）（3）6.設(shè)向量組線性無關(guān)，求證也線性無關(guān)。7.證明線性無關(guān)向量組的部分組必線性無關(guān)。3.5一般線性方程組解的結(jié)構(gòu)3.5.1齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)在3.1節(jié)中齊次線性方程組（3-1-2）的矩陣表達(dá)式為若有維列向量，

使得則稱為（2）的解向量，它也是矩陣方程的解。當(dāng)方程有無窮多解（當(dāng)然是非零解）時(shí)，其解有如下性質(zhì)：性質(zhì)1

如果是的兩個(gè)解，則也是的解性質(zhì)2如果是的解，為任意實(shí)數(shù)，則也是的解.由兩個(gè)性質(zhì)推廣可得性質(zhì)3性質(zhì)3如果是的解，則它們的線性組合也是的解，其中是任意實(shí)數(shù)。由此可知，如果能求出的所有解構(gòu)成的解向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，則能用它的線性組合來表示齊次線性方程組的全部解。定義1若齊次線性方程組的一組解向量滿足條件：

（1）線性無關(guān)；（2）的任一解向量都可由線性表示，則稱是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。顯然的基礎(chǔ)解系就是它的解向量組的一個(gè)最大無關(guān)組。于是，只要找出的一個(gè)基礎(chǔ)解系，它的全部解向量就能由基礎(chǔ)解系的線性組合表示出來：(是任意實(shí)數(shù))稱其為齊次線性方程組的通解。設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為于是對(duì)施行若干次初等行變換，可以化為行最簡(jiǎn)階梯形矩陣對(duì)應(yīng)的方程組為（3-5-1）方程組與方程組（3-5-1）為同解方程組。在方程組（3-5-1）中，把作為自由未知量，并令它們依次取下列組數(shù)則有從而得到線性方程組的個(gè)解向量：可以證明是線性無關(guān)的，而且方程組的任一解都可由線性表示出來：故就是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，它所含向量個(gè)數(shù)為個(gè)。上述過程給出了一種求方程組的基礎(chǔ)解系的方法。從這個(gè)過程中可以看出，基礎(chǔ)解系不是惟一的，即齊次線性方程組可以有不同的基礎(chǔ)解系。如將任取個(gè)線性無關(guān)的維向量，再通過方程組（3-5-1）求出便可得到方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系?！纠?】求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。解對(duì)方程組的系數(shù)矩陣作初等行變換因?yàn)樗苑匠探M有非零解，且有個(gè)自由未知量，同解方程組為取為自由未知量，將方程組改寫成令可得令可得于是原方程組的基礎(chǔ)解系為【例2】求齊次線性方程組的通解解對(duì)方程組的系數(shù)矩陣作初等行變換因?yàn)樗苑匠探M有非零解，且有2個(gè)自由未知量，同解方程組為取為自由未知量，將方程組改寫成分別令及可得基礎(chǔ)解系則通解為其中為任意實(shí)數(shù)。此題也可以將系數(shù)矩陣的行最簡(jiǎn)階梯形矩陣所對(duì)應(yīng)的同解方程組寫成如下形式這里仍為自由未知量，則自由未知量系數(shù)組成的列向量組

便是原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。將上式改為向量形式有

3.5.2非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)非齊次線性方程組對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組亦稱為非齊次線性方程組的導(dǎo)出組。這兩種方程的解之間有下列性質(zhì)：性質(zhì)4

如果是的解，則是其導(dǎo)出組的解。證明：因?yàn)楣仕允堑慕?。性質(zhì)5

如果是的解，是其導(dǎo)出組的通解，則是的解（證明留做練習(xí)供同學(xué)自己思考）由上面兩個(gè)性質(zhì)，可得如下定理：定理1如果是的一個(gè)特解，是其導(dǎo)出組的通解，那么是的通解。（證略）上述定理說明，如果求得導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系和的一個(gè)特解則方程組的通解為（其中為任意實(shí)數(shù)）【例3】求非齊次線性方程組的通解。解對(duì)增廣矩陣施行初等行變換所以方程組有解，同解方程組為或?qū)憺榧戳钏苑驱R次線性方程組的通解為（其中為任意實(shí)數(shù)）。刪去下面內(nèi)容【例4】討論當(dāng)為何值時(shí)，下列方程組（1）無解；（2）有解，并求其通解。

解對(duì)增廣矩陣施行初等行變換(1)當(dāng)或時(shí)，方程組無解。(2)當(dāng)且時(shí)方程組有解，同解方程組為即或求得非齊次線性方程組的一個(gè)特解及導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系所以非齊次線性方程組的通解為（為任意實(shí)數(shù)）習(xí)題3.5

1.求下列齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系：（1）（2）2.求下列齊次線性方程組的通解：（1）

（2）（3）

（4）3.求下列非齊次線性方程組的通解：（1）（2）（3）（4）4.當(dāng)取何值時(shí)，非齊次線性方程組有解，且求其通解。5.當(dāng)為何值時(shí)，齊次線性方程組有無窮多解，并求其通解。復(fù)習(xí)題三1.填空題：（1）已知且則（2）若存在一組實(shí)數(shù)使得則稱的一個(gè)且線性關(guān)。（3）設(shè)向量組線性無關(guān)，則必須滿足關(guān)系式（4）如果5元齊次線性方程組的同解方程組是則的基礎(chǔ)解系有個(gè)解向量。（5）個(gè)維向量組成的向量組，當(dāng)時(shí)，這個(gè)向量組一定線性相關(guān)。（6）已知向量組的秩為則

的值為2.單選題：（1）設(shè)向量組

的秩為

且滿足

則下列向量組中（）是一個(gè)最大無關(guān)組。A.B.C.D（2）設(shè)

是階方陣且則中（）

A.必有一列元素全為零

B.必有兩列元素對(duì)應(yīng)成比例

C.必有一列向量是其余向量的線性組合

D.任一列向量是其余向量的線性組合（3）如果向量能夠由向量組

線性表示，則向量組

秩（）

A.大于

的秩

B.等于

的秩

C.小于

的秩

D.與

的秩無關(guān)（4）若非齊次線性方程組

中方程的個(gè)數(shù)少于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，則，（）A.必有無窮多解

B.只有零解C.必有非零解

D.必?zé)o解（5）對(duì)非齊次線性方程組

下列說法正確的是（）A.若

只有零解，則

無解B.若

有非零解，則

有解C.若有解。則有非零解D.若有惟一解。則只有零解3.判斷題：（1）所有零向量都相等。（2）如果存在一組不全零的數(shù)，使則線性無關(guān)。（3）若一個(gè)向量組的秩是，則該向量組中任意個(gè)向量都線性無關(guān)。（4）設(shè)維向量組，如果則向量組無關(guān)。（5）若都是齊次線性方程組的解向量且線性無關(guān)，則必是的一個(gè)基礎(chǔ)解系。4.（1）設(shè)且滿足求向量并判斷的線性相關(guān)性。（2）判斷向量組的線性相關(guān)性。5.求下列向量組的秩和一個(gè)最大無關(guān)組，并把其余向量用最大無關(guān)組線性表示：（1）（2）6．向量

能否用向量組

線性表示？若能，則求出表達(dá)式，并說明

表達(dá)式是否惟一；若不能，則說明理由。（1）(2)7.設(shè)向量組

線性無關(guān)

試證明向量組

也線性無關(guān)

8.求下列線性方程組的通解：（1）（2）9.當(dāng)

取何值時(shí)，非齊次線性方程組

有解，并求其通解

10.當(dāng)

為何值時(shí)，非齊次線性方程組

（1）無解；（2）有惟一解；（3）有無窮多解，并求其通解。第四章相似矩陣

4.1矩陣的特征值與特征向量4.1.1特征值與特征向量定義1

設(shè)為階方陣，如果存在實(shí)數(shù)和維非零列向量使關(guān)系式成立，則稱為方陣的特征值，非零向量稱為方陣

對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量。

例如，對(duì)于3階矩陣因?yàn)樗詫?duì)于任意一個(gè)三維列向量，都有即由定義1知，數(shù)是的特征值，任意一個(gè)非零三維列向量都是對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量。也可改寫成為這是一個(gè)含有個(gè)未知數(shù)個(gè)方程的齊次線性方程組，它有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式定義2設(shè)矩陣稱矩陣為的特征矩陣，它的行列式是的一個(gè)次多項(xiàng)式，記作，稱為的特征多項(xiàng)式。方程稱為的特征方程。的特征值就是特征方程的解，也是特征多項(xiàng)式的根。例如矩陣的特征矩陣為的特征多項(xiàng)式為它是的三次多項(xiàng)式。的特征方程是即的特征值就是特征方程的解，也是特征多項(xiàng)式的根。4.1.2矩陣特征值與特征向量的求法根據(jù)定義1和定義2，可得以下重要結(jié)論：定理1

若

是

階方陣，則數(shù)

是

的特征值，向量

是

的對(duì)應(yīng)于

的特征向量的充分必要條件是：是特征方程

的根，

是齊次線性方程組

的非零解。

根據(jù)定理1，只要

是的特征值，則

一定是

的根，于是

又稱為

的特征根。如果

是特征方程

的

重根，則稱

為

的

重特征根。而齊次線性方程組

的每一個(gè)非零解向量

都是對(duì)應(yīng)于

的特征向量。綜上所述，我們把求

階矩陣

的特征值和特征向量的計(jì)算方法歸納如下：第1步：寫出

的特征多項(xiàng)式

第2步：由特征方程

求出其全部根

它們就是

的全部特征值；第3步：把每一個(gè)特征值

代入齊次線性方程組

求出每個(gè)

特征值

的一個(gè)基礎(chǔ)解系，設(shè)為

則

（不全為零）就是對(duì)應(yīng)于特征值

的全部特征向量?！纠?】設(shè)求的特征值和特征向量．

解

的特征多項(xiàng)式所以

的特征值為

把

代入齊次線性方程組

得

化簡(jiǎn)得

它的一個(gè)基礎(chǔ)解系是

把

代入齊次線性方程組

，得

化簡(jiǎn)得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系是

因此，

的特征值為

屬于

的全部特征向量（是不全為零的實(shí)數(shù)）；屬于

的全部特征向量是

（為非零實(shí)數(shù)）?！纠?】設(shè)求的特征值和特征向量．解

的特征多項(xiàng)式所以的特征值為把代入齊次線性方程組求得基礎(chǔ)解系所以（為非零實(shí)數(shù)）是矩陣對(duì)應(yīng)于特征值的全部特征向量。類似地，得到（為非零實(shí)數(shù)）是矩陣對(duì)應(yīng)于特征值的全部特征向量；（為非零實(shí)數(shù)）是矩陣對(duì)應(yīng)于特征值的全部特征向量。由例2可知，對(duì)角陣的特征值就是它的主對(duì)角線上的元素。【例3】設(shè)是的特征值，證明：（1）是的特征值；（2）當(dāng)可逆時(shí)，是的特征值。證明（1）因?yàn)槭堑奶卣髦?，所以存在非零向量，使得于是即是的特征值。?）當(dāng)可逆時(shí)，由得因?yàn)槭欠橇阆蛄?，所以故即是的特征值。特征值與特征向量具有以下性質(zhì)：性質(zhì)1

階矩陣與它的轉(zhuǎn)置矩陣有相同的特征值。證明因?yàn)樗陨鲜秸f明與的特征多項(xiàng)式相同，因此，它們的特征值也相同。性質(zhì)2矩陣的不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)。證明用反證法，設(shè)與是矩陣的兩個(gè)不同的特征值與所對(duì)應(yīng)的特征向量。若與線性相關(guān)，則有于是有即也是對(duì)應(yīng)于的特征向量，與已知條件矛盾，所以與線性無關(guān)。習(xí)題4.11．求下列矩陣的特征值和特征向量：(1)(2)（3）（4）2．設(shè)都是的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量，證明和仍是對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量。3.若階方陣滿足則稱為冪等矩陣。試證：冪等矩陣的特征值只能是或者4.2相似矩陣與矩陣的對(duì)角化4.2.1相似矩陣的概念定義1對(duì)于階方陣與如果存在可逆矩陣，使得則稱方陣與相似，記作例如，對(duì)于矩陣和因?yàn)樗浴跋嗨啤笔蔷仃囍g的一種關(guān)系，相似矩陣具有以