2022年北京市三中初三（上）期中數(shù)學試卷及答案

2022北京三中初三（上）期中數(shù)學一、選擇題（下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的）1.下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.將拋物線先向右平移個單位，再向上平移個單位，得到的拋物線是（）A. B.C. D.3.若關于的一元二次方程有一個根為0，則的值是（）A. B. C. D.或4.二次函數(shù)的最小值為（）A.5 B.0 C. D.5.如圖，線段AB是⊙O的直徑，弦，，則等于（）.A. B. C. D.6.如圖，將繞點A逆時針旋轉，得到，若點D在線段的延長線上，則的大小為（）A. B. C. D.7.函數(shù)y＝ax＋1與y＝ax2＋bx＋1（a≠0）的圖象可能是（）A. B.C. D.8.如圖，點M坐標為（0，2），點A坐標為（2，0），以點M為圓心，MA為半徑作⊙M，與x軸的另一個交點為B，點C是⊙M上的一個動點，連接BC，AC，點D是AC的中點，連接OD，當線段OD取得最大值時，點D的坐標為（）A.（0，） B.（1，） C.（2，2） D.（2，4）二、填空題9.方程x2+2x＝0的解為_____．10.若關于的一元二次方程有實數(shù)根，則m的取值范圍是________．11.某種藥品經(jīng)過兩次降價，由每盒元調(diào)至元，若設平均每次降價的百分率為，則由題意可列方程為________．12.如圖，的直徑為10，為弦，，垂足為C，若，則弦的長為_________．13.已知二次函數(shù)部分圖象如圖所示，則使得函數(shù)值y大于2的自變量x的取值范圍是_________．14.關于x的二次函數(shù)y=x2﹣kx+k﹣2的圖象與y軸的交點在x軸的上方，請寫出一個滿足條件的二次函數(shù)的表達式：_______．15.小明設計了一個魔術盒，當任意實數(shù)對(a，b)進入其中時，會得到一個新的實數(shù)a2＋2b－3.例如把(2，－5)放入其中就會得到22＋2×(－5)－3＝－9.現(xiàn)將實數(shù)對(m，－3m)放入其中，得到實數(shù)4，則m＝__________.16.如圖，在平面直角坐標系中，點A與點B的坐標分別是與．對于坐標平面內(nèi)的一動點P，給出如下定義：若，則稱點P為線段的“等角點”．若點P為線段在第一象限的“等角點”，且在直線上，則點P的坐標為_______．三、解答題17.解方程：．18.二次函數(shù)y＝x2＋bx＋3的圖象經(jīng)過點（4，3）．（1）求b的值；（2）寫出該二次函數(shù)圖象的頂點坐標和對稱軸．19.已知關于x的一元二次方程x2－（m＋3）x＋m＋2＝0（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若方程兩個根的絕對值相等，求此時m的值．20.已知二次函數(shù)．（1）將其化成的形式__________；（2）圖象與x軸的交點坐標為_______；（3）用五點法畫出二次函數(shù)的圖象；（4）當時，函數(shù)值的范圍是．21.如圖，是⊙的直徑，點在⊙上，是中點，若∠＝70°，求∠．下面是小諾的解答過程，請幫她補充完整．∵是中點∴∴∠1＝∠2∵∠BAC＝70°，∴∠2＝35°．∵AB是⊙O直徑，∴∠ADB＝90°（）（填推理的依據(jù)）．∴∠B＝90°－∠2＝55°．∵A、B、C、D四個點都在⊙O上，∴∠C＋∠B＝180°（）（填推理的依據(jù)）．∴∠C＝180°－∠B＝（填計算結果）．22.如圖，的頂點坐標分別為．（1）請畫出關于點成中心對稱的，并寫出點的坐標；（2）四邊形的面積為．23.如圖，四邊形內(nèi)接于，，．（1）求點到的距離；（2）求出弦所對的圓周角的度數(shù)．24.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB邊上一點（點D與A，B不重合），連結CD，將線段CD繞點C逆時針旋轉90°得到線段CE，連結DE交BC于點F，連接BE．（1）求證：△ACD≌△BCE；（2）當∠BDE=25°時，求∠BEF的度數(shù)．25.為了在校運會中取得更好的成績，小丁積極訓練.在某次試投中鉛球所經(jīng)過的路線是如圖所示的拋物線的一部分.已知鉛球出手處A距離地面的高度是米，當鉛球運行的水平距離為3米時，達到最大高度的B處.小丁此次投擲的成績是多少米？26.在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線．（1）求拋物線的對稱軸（用含m的式子表示）；（2）若當時，y的最小值是0，請直接寫出m的值；（3）直線與x軸交于點，與y軸交于點B，過點B作垂直于y軸直線l與拋物線有兩個交點，在拋物線對稱軸左側的點記為P，當為鈍角三角形時，求m的取值范圍．27.如圖，在中，，是線段延長線上一點，連接，過點作于．（1）求證：；（2）將射線繞點順時針旋轉后，所得的射線與線段的延長線交于點，連接．①依題意補全圖形；②用等式表示線段之間數(shù)量關系，并證明．28.定義：在平面直角坐標系中，點是某函數(shù)圖象上的一點，作該函數(shù)圖象中自變量大于m的部分關于直線的軸對稱圖形，與原函數(shù)圖象中自變量大于或等于m的部分共同構成一個新函數(shù)的圖象，則這個新函數(shù)叫做原函數(shù)關于點的“派生函數(shù)”．例如：圖①是函數(shù)的圖象，則它關于點的“派生函數(shù)”的圖象如圖②所示，且它的“派生函數(shù)”的解析式為．（1）直接寫出函數(shù)關于點的“派生函數(shù)”的解析式．（2）點M是函數(shù)的圖象上的一點，設點M的橫坐標為m，是函數(shù)G關于點M的“派生函數(shù)”．①當時，若函數(shù)值范圍是，求此時自變量x的取值范圍；②直接寫出以點為頂點的正方形與函數(shù)的圖象只有兩個公共點時，m的取值范圍.

參考答案選擇題1.【答案】B【分析】如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞著某一點旋轉180°后能與原來位置的圖形重合，這個圖形叫做中心對稱圖形．【詳解】解：A、不是中心對稱圖形，故該選項錯誤；B、兩者均是，故該選項正確；C、不是中心對稱圖形，故該選項錯誤；D、兩者均不是，故該選項錯誤．故選B．【點睛】本題考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的概念，靈活運用所學知識求解是解決本題的關鍵．2.【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)平移規(guī)律“上加下減，左加右減”即可求解．【詳解】解：將拋物線先向右平移個單位，得到，再向上平移個單位，得到的拋物線是，故選：D．【點睛】本題考查二次函數(shù)的平移，掌握二次函數(shù)的平移規(guī)律“上加下減，左加右減”是解題的關鍵．3.【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義以及一元二次方程的定義，將代入方程可得，并使得二次項系數(shù)不為0，可得，進而即可求解．【詳解】解：∵關于的一元二次方程有一個根為0，∴，∴，故選A．【點睛】本題考查了一元二次方程根的定義以及一元二次方程的定義，掌握一元二次方程根的定義是解題的關鍵．4.【答案】C分析】把二次函數(shù)解析式整理成頂點式形式，然后求出最小值即可．【詳解】解：配方得：，當時，二次函數(shù)取得最小值為．故選C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的最值．求二次函數(shù)的最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，熟練掌握知識點是解題的關鍵．5.【答案】C【分析】先根據(jù)垂徑定理得到，再根據(jù)圓周角定理得∠BOD=2∠CAB=40°，然后利用鄰補角的定義計算∠AOD的度數(shù)．【詳解】∵CD⊥AB，∴，∴∠BOD=2∠CAB=2×20°=40°，∴∠AOD=180°-∠BOD=180°-40°=140°.故答案為C.【點睛】本題考查圓中的角度計算，熟練掌握垂徑定理和圓周角定理是關鍵.6.【答案】A【分析】根據(jù)旋轉的性質(zhì)可得出，，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：等邊對等角，可求出的大?。驹斀狻拷猓焊鶕?jù)旋轉的性質(zhì)，可得：，，故選：【點睛】本題考查了旋轉的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)結合，利用等腰三角形的性質(zhì)是解題的關鍵.7.【答案】C【分析】假設其中一個圖象正確，然后根據(jù)圖象得到系數(shù)的取值范圍，然后根據(jù)系數(shù)的取值范圍確定另一個圖象的位置，看是否和圖象相符即可求解．【詳解】解：A、根據(jù)一次函數(shù)圖象知道a＜0，與y軸的交點不是（0，1），故選項錯誤；

B、根據(jù)二次函數(shù)的圖象知道a＜0，同時與y軸的交點是（0，1），但是根據(jù)一次函數(shù)的圖象知道a＞0，故選項錯誤；

C、根據(jù)圖象知道兩個函數(shù)圖象與y軸的交點坐標為（0，1），同時也知道a＞0，故選項正確；

D、根據(jù)一次函數(shù)圖象知道a＜0，根據(jù)二次函數(shù)的圖象知道a＞0，故選項錯誤．

故選：C．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系，首先根據(jù)一次函數(shù)的圖象得到系數(shù)的取值范圍，然后利用系數(shù)的取值范圍確定函數(shù)圖象的大致位置即可求解．8.【答案】C【分析】先根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到當BC為直徑（過圓心M）時，OD最大；然后延長BC與圓交于C1點，連接AC1；再由圓周角定理可得∠BAC1=90°，然后由垂徑定理得到AB=4、勾股定理可得BM=即BC1=、AC1=4，最后求出線段AC1的中點坐標即可．【詳解】解：如圖：∵點O是AB的中點，點D是AC的中點∴OD//BC且OD=BC∴BC最大時,即當BC為直徑（過圓心M）時，OD最如圖：延長BC與圓交于C1點，連接AC1，∵BC1是直徑∴∠BAC1=90°∵OB=OM=OA=2∴AB=2OA=4,點C1的橫坐標為2，BM=，即BC1=∴AC1=∴點C1的坐標為（2,4）∵AC1的中點D1，A（2,0）∴D1的坐標為（2，2）．故選：C．【點睛】本題屬于圓的綜合題，主要考查了圓周角定理、垂徑定理、三角形的中位線、勾股定理、線段的中點等知識，將求線段OD最大時D的坐標轉換成求BC最大時點D的坐標是解答本題的關鍵．填空題9.【答案】0，﹣2．【分析】本題應對方程進行變形，提取公因式x，將原式化為兩式相乘的形式，再根據(jù)“兩式相乘值為0，這兩式中至少有一式值為0”來解題．【詳解】x2+2x＝0,x（x+2）＝0,∴x＝0或x+2＝0,∴x＝0或﹣2,故本題的答案是0，﹣2．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法．本題運用的是因式分解法．10.【答案】【分析】一元二次方程有實數(shù)根，則根據(jù)根的判別式可得，由此建立關于m的不等式，即可求出m的取值范圍．【詳解】解：一元二次方程有實數(shù)根，，，解得：，故答案為：【點睛】本題考查了一元二次方程根的情況，熟練使用根的判別式是解題的關鍵．11.【答案】【分析】本題可設平均每次降價的百分率是x，則第一次降價后藥價為60（1﹣x）元，第二次在60（1﹣x）元的基礎之又降低x，變?yōu)?0（1﹣x）（1﹣x）即60（1﹣x）2元，進而可列出方程，求出答案．【詳解】設平均每次降價的百分率是x，根據(jù)題意得：60（1﹣x）2=52．故答案為60（1﹣x）2=52．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程中增長率與下降率問題，關鍵是利用公式：“a（1±x）n=b”的應用，理解公式是解決本題的關鍵．12.【答案】8【分析】利用垂徑定理得到，，再利用勾股定理得到，即可得到答案．【詳解】解：連接，∵，∴，，∵的直徑為10，，∴，∴，∴，故答案為：8．【點睛】此題考查了垂徑定理、勾股定理等知識，熟練掌握相關定理是解題的關鍵．13.【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性和圖象性質(zhì)判斷即可；【詳解】∵拋物線的對稱軸為，∴點關于直線的對稱點為，當時，函數(shù)值y大于2；故答案是：．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，準確分析判斷是解題的關鍵．14.【答案】y=x2﹣3x+1【詳解】∵關于x的二次函數(shù)y=x2﹣kx+k﹣2的圖象與y軸的交點在x軸的上方，∴k﹣2＞0，解得：k＞2，故答案為：y=x2﹣3x+1（答案不唯一）．15.【答案】7或－1##-1或7【詳解】根據(jù)題意得，m2+2×（-3m）-3=4，解得m1=7，m2=-1，∴m的值為7或-1．故答案為：7或-116.【答案】【分析】根據(jù)P在直線上畫圖1，作的外接圓C，連接，，可知，的半徑為，最后計算的長可得點的坐標．【詳解】解：如圖，作的外接圓，設圓心為C，連接，，∵點A與點的坐標分別是與，∴，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，，∵點P在直線上，∴，∴，∵，∴，∴故答案為：【點睛】本題主要考察了坐標和圖形的性質(zhì)，圓周角定理，解題關鍵是作的外接圓．解答題17.【答案】【分析】運用因式分解法—十字相乘法求解即可．【詳解】解：．【點睛】本題考查了求解一元二次方程，解決本題的關鍵是運用因式分解法—十字相乘法求解．18.【答案】（1）；（2）二次函數(shù)的頂點坐標為（2，-1），對稱軸為直線【分析】（1）直接把點（4，3）代入到二次函數(shù)解析式中進行求解即可；（2）根據(jù)（1）所求把二次函數(shù)化成頂點式進行求解即可．【詳解】解：（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（4，3），∴，∴；（2）∵，∴二次函數(shù)解析式為，∴二次函數(shù)的頂點坐標為（2，-1），對稱軸為直線．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，求二次函數(shù)的對稱軸和頂點坐標，解題的關鍵在于能夠熟練掌握求二次函數(shù)解析式的方法．19.【答案】（1）見解析；（2）-3或-1【分析】（1）先求出判別式△的值，再對“△”利用完全平方公式變形即可證明；

（2）根據(jù)求根公式得出x1=m+2，x2=1，再由方程兩個根的絕對值相等即可求出m的值．詳解】解：（1）∵，∴方程總有兩個實數(shù)根；（2）∵，∴，.∵方程兩個根的絕對值相等，∴.∴或-1.【點睛】本題考查的是根的判別式及解一元二次方程，在解答（2）時得到方程的兩個根是解題的關鍵．20.【答案】（1）（2）和（3）見解析（4）【分析】（1）由配方可求解；（2）令可求得與x軸交點坐標；（3）先求出該函數(shù)圖像上五個點的坐標，再用描點法畫出圖象即可；（4）由圖象可求解．【小問1詳解】由題意可得：；故答案為：；小問2詳解】由題意得，令，可得，解得，∴圖象與x軸的交點坐標為和；故答案為：和；【小問3詳解】∵，∴頂點坐標，對稱軸為，由（2）可得，圖象與x軸的交點坐標為和，令，得，∴圖象與y軸的交點坐標為，∵對稱軸為，∴當時，，∴該函數(shù)經(jīng)過，，，，，如圖：【小問4詳解】由圖象可得：．故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關鍵．21.【答案】直徑所對的圓周角是直角；圓內(nèi)接四邊形對角互補；125°【分析】根據(jù)圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，求出∠B即可解決問題．【詳解】∵是中點∴∴∠1＝∠2∵∠BAC＝70°，∴∠2＝35°．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°（直徑所對的圓周角是直角）∴∠B＝90°－∠2＝55°．∵A、B、C、D四個點都在⊙O上，∴∠C＋∠B＝180°（圓內(nèi)接四邊形對角互補）∴∠C＝180°－∠B＝125°．故答案是：直徑所對的圓周角是直角；圓內(nèi)接四邊形對角互補；125°【點睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識，熟練掌握這些基本知識是解決本題的關鍵．22.【答案】（1）畫圖見解析，；（2）【分析】（1）根據(jù)中心對稱圖形的特征即可畫出，進而可得點的坐標；（2）易判斷四邊形是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的面積公式求解即可．【詳解】解：（1）如圖所示：點的坐標是；（2）四邊形的面積=4×4=．故答案為：16．【點睛】本題考查了中心對稱作圖和四邊形面積的計算，屬于?？碱}型，熟練掌握中心對稱圖形的特征是解題關鍵．23.【答案】（1）（2）∠B=45°，∠D=135°．【分析】（1）連接OA，作OH⊥AC于H，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠AOC=90°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)解答；（2）根據(jù)圓周角定理求出∠B，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計算，得到答案．【小問1詳解】連接OA，作OH⊥AC于H，∵，，∴，，∴OA2+OC2=AC2，∴△AOC為等腰直角三角形，又∵，∴，∴OH=AC=，即點O到AC的距離為；【小問2詳解】∠B=∠AOC=45°，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠D=180°-45°=135°．綜上所述：弦所對的圓周角∠B=45°，∠D=135°．【點睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理的逆定理，掌握圓內(nèi)接四邊形對角互補是解本題的關鍵．24.【答案】（1）見解析；（2）∠BEF=65°【分析】（1）由旋轉的性質(zhì)可得CD=CE，∠DCE=90°=∠ACB，由“SAS”可證△ACD≌△BCE，可得BE=AD，∠CBE=∠CAD=45°，可得結論；（2）由全等三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可求解．【小問1詳解】證明：∵將線段CD繞點C按逆時針方向旋轉90°得到線段CE，∴CD=CE，∠DCE=90°=∠ACB，∴∠ACD=∠BCE，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=45°，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）；【小問2詳解】解：∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE=∠CAD=45°，∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°，∵∠BDE=25°，∴∠BEF=65°．【點睛】本題考查了旋轉的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關鍵．25.【答案】小丁此次投擲的成績是8米.【分析】如圖建立直角坐標系，可得頂點坐標為（3，），A點坐標為（0，）根據(jù)頂點坐標設二次函數(shù)解析式為y=a(x-3)2+，把A點坐標代入即可求出a值，可得二次函數(shù)解析式，令y=0，求出x的正值即為鉛球投擲的成績.【詳解】如圖建立直角坐標系，∵鉛球出手處距離地面的高度是米，當鉛球運行的水平距離為3米時，最大高度為米，∴A（0，），B（3，），設二次函數(shù)的解析式為y=a(x-3)2+，∴(0-3)2a+=，解得：a=，∴二次函數(shù)的解析式為y=(x-3)2+，當y=0時，(x-3)2+=0，解得：x1=8，x2=-2（舍去），∴小丁此次投擲的成績是8米.【點睛】本題考查了二次函數(shù)在實際生活中的應用，如知道二次函數(shù)的頂點可設二次函數(shù)解析式為頂點式，求出二次函數(shù)解析式是解題的關鍵．26.【答案】（1）（2）或（3）或【分析】根據(jù)對稱軸為直線，計算即可；分三種情況，m≤1，1≤m≤2或m≥2．由二次函數(shù)的性質(zhì)分別列方程求解即可；當為鈍角三角形時，則或，分別求解即可．【小問1詳解】解：∵拋物線，∴對稱軸為直線；【小問2詳解】解：∵拋物線，∴拋物線頂點坐標為，∴的取值范圍應分三種情況，或．若時函數(shù)取得最小值，∴，解得或（舍去），若，函數(shù)取得最小值為，不合題意．若，函數(shù)取得最小值，∴，解得或（舍去），綜上所述，的值為0或3．【小問3詳解】解：把點代入表達式并解得：，則，直線的表達式為：，如圖，在直線上，當時，點P與B重合，當時，，則