數(shù)學(xué)-浙江省2025年1月浙江強(qiáng)基聯(lián)盟高三聯(lián)考試題和答案

數(shù)學(xué)第1頁(yè)(共4頁(yè))2025年1月浙江強(qiáng)基聯(lián)盟高三(語(yǔ)數(shù))聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷浙江強(qiáng)基聯(lián)盟研究院命制考生注意:1.本試卷滿分150分,考試時(shí)間120分鐘。2.考生作答時(shí),請(qǐng)將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑;非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效,在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效o一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符 合題目要求的. 1.已知復(fù)數(shù)義滿足(1十3i)義=-3i,則義在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2.若從正方體八個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)頂點(diǎn)分別記為A,B,C,D,則直線AB與CD所成角的大小不可能為A.30B.45C.60D.903.已知某4個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6,方差為3,現(xiàn)又加入一個(gè)數(shù)據(jù)6,此時(shí)這5個(gè)數(shù)據(jù)的方差為24161412A.5B.5C.5D.5241614124.已知正態(tài)分布N(1,σ2)的正態(tài)密度曲線如圖所示,X~N(1,σ2),則下列選項(xiàng)中,不能表示圖中陰影部分面積的是5.已知平面向量m,n,滿足|n|=2且m在n上的投影向量為n,若向量n與向量n十m的夾角為60,則向量|m|=A.2B.2\7C.\7D.1數(shù)學(xué)第2頁(yè)(共4頁(yè))6.已知集合A={父i2父2十3父-2<0},B={父父)十父>-2},則“父∈A”是“父∈B”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件7.已知函數(shù)f(父)=sin2w父,g(父)=cos(w父-且f(父十(父十均為偶函數(shù),則w的最小值為A.1B.2C.3D.4.若函數(shù)y=f(父)在父=父0和父=父0十1的切線互相平行,則兩平行線之間距離的最大值為二、多項(xiàng)選擇題:本大題共3小題,每小題6分,共18分,在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.下列各式計(jì)算結(jié)果為\的是230。-1C.sin275。-cos275。10.已知曲線下列說(shuō)法正確的有A.若曲線C表示焦點(diǎn)在父軸上的橢圓,則-<m<B.若曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,則-2<m<C.若曲線C表示焦點(diǎn)在父軸上的雙曲線,則m>D.若曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線,則m<-211.某同學(xué)玩一種跳棋游戲,拋擲一枚質(zhì)地均勻且標(biāo)有數(shù)字1~6的骰子,規(guī)定:若擲得數(shù)字小于或等于4,則前進(jìn)1步;若擲得數(shù)字大于4,則前進(jìn)2步.每次投擲互不影響,記某同學(xué)一共前進(jìn)n步的概率為pn,則A.p2=B.p3=C.pn=3pn十2-2pn十1(n∈N*)D.p2n>p2m十1>p2m-1(n,m∈N*)數(shù)學(xué)第3頁(yè)(共4頁(yè))三、填空題:本大題共3小題,每小題5分,共15分.12.設(shè)雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為α,β,若α-β=的離心率為.13.已知正三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面積與以△ABC的外接圓為底面的圓柱的側(cè)面積相等,則正三棱柱與圓柱的體積的比值為.14.已知函數(shù)f(父)=asin父,a∈Z.若y=f(f(父))的零點(diǎn)恰為y=f(父)的零點(diǎn),則a的最大值四、解答題:本大題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.15.(13分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且(1)求角B的大小;若cosA十sinC=1,求cos的值.16.(15分)如圖,在四棱錐ABCDE中,底面BCDE為直角梯形,其中CDⅡEB,EB=2CD=2\,CB丄BE,AE=AB=BC=2,AD=\.(1)證明:平面ABE丄平面BCDE;(2)已知BE上有一點(diǎn)M,滿足求此時(shí)平面ADM與平面ABC所成角的余弦值.數(shù)學(xué)第4頁(yè)(共4頁(yè))17.(15分)已知P(父0,6)是拋物線C:y2=2P父(P>0)上一點(diǎn),F是C的焦點(diǎn),且(1)求C的方程;-→-→(2)記O為坐標(biāo)原點(diǎn),斜率為1的直線l與C交于A,B兩點(diǎn)(異于點(diǎn)O),若OA丄OB,求△ABF的面積-→-→18.(17分)已知函數(shù)f(父)=ln父-2a父(其中a∈R).(1)當(dāng)a=2時(shí),求函數(shù)f(父)的圖象在父=1處的切線方程;設(shè)g十且函數(shù)g(父)有極大值點(diǎn)父0,求證:父0f(父0)十1十a(chǎn)父>0.19.(17分)數(shù)字1,2,3,…,n(n≥2)的任意一個(gè)排列記作(a1,a2,…,an),設(shè)sn為所有這樣的排列構(gòu)成的集合.集合An={(a1,a2,…,an)∈sn任意整數(shù)i,j,1≤i<j≤n,都有ai-i≤aj-j},集合Bn={(a1,a2,…,an)∈sn任意整數(shù)i,j,1≤i<j≤n,都有ai十i≤aj十j}.(1)用列舉法表示集合A3,B3;(2)求集合An∩Bn的元素個(gè)數(shù);(3)記集合Bn的元素個(gè)數(shù)為bn,證明:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.2025年1月浙江強(qiáng)基聯(lián)盟高三(語(yǔ)數(shù))聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷參考答案1.A因?yàn)?1十3i)義=-3i,即(1十3i)義=3,所以義=13i=(1)-(-i)3i)=-i,所以義=十i,所以義在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,,在第一象限.故選A.2.A①由題意作圖如甲,由圖易知△OCD為等腰直角三角形,則直線AB與CD的夾角為45。;②由題意作圖如乙,由圖易知△OCD為等邊三角形,則直線AB與CD的夾角為60。;③由題意作圖如丙,由圖易知OA丄AB,因?yàn)镃DⅡOA,則直線AB與CD的夾角為90。.而不管怎么找頂點(diǎn),都無(wú)法得到直線AB與CD所成角=24;且 [(父1-6)2十(父2-6)2十(父3-6)2十(父4-6)2]=3,即(父1-6)2十(父2-6)2十(父3-6)2十(父4-6)2=12;加入數(shù)據(jù)6以后,5個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為父1十父2十3十父4十6=6,所以方差為[(父1-6)2十(父2-6)2十(父3-6)2十(父4-6)2十(6-6)2]=.故選D.4.C正態(tài)分布N(1,σ2)的正態(tài)密度曲線關(guān)于直線父=1對(duì)稱,可得圖中陰影部分可表示為P(0≤X≤1)=P(X≤1)-P(X≤0)=-P(X≤0)=-P(X≥2),故A,B正確;由對(duì)稱性可得-P(1≤X≤2)=P(X≥2)=P(X≤0),故C錯(cuò)誤;由對(duì)稱性可得P(0≤X≤1)=P(1≤X≤2),所以圖中陰影部分面積可表示為P(0≤X≤1)=[P(X≤2)-P(X≤0)],故D正確.故選C.5.B因?yàn)閙在n上的投影向量為.=n,即=1,所以m.n=2,又n.(n十m)=n2十m.n=4十2=6,所以cos〈n,n十m〉=n|n.|=2|nm|=,解得n十m=6,所以|n十m|=\(n十m)\n2十2m.n十m2=\4十2×2十m2=6,解得|m|=2\7.故選B.6.B由2父2十3父-2<0,可得-2<父<,所以A={父-2<父<,因?yàn)閒(父)父)十父在(-∞,0)上單調(diào)遞增,又f(-2)=-2,父)十父>-2,可得父>-2,所以B={-2<父<0},所以B手A,所以“父∈A”是“父∈B”的必要不充分條件.故選7.B因?yàn)閒(父十(父十均為偶函數(shù),所以f(父)與g(父)的圖象均關(guān)于直線父=對(duì)稱,所以2w×=十k1π,k1∈Z,w×-=k2π,k2∈Z,即w=2十4k1,k1∈Z,w=2十8k2,k2∈Z.所以w的最小值為2.故選B.,求導(dǎo)得f/(父)=3父2十3父十a(chǎn),依題意,f/(父0十1)=f/(父0),即3(父0十1)2十3(父0十1)十a(chǎn)=3父十3父0十a(chǎn),解得父0=-1,則兩條切線的斜率為f/(0)=a,對(duì)應(yīng)的兩個(gè)切點(diǎn)為(-1,-a),(0,0),切線方程為y-a)=a(父十1)和y=a父,即a父=0和a父-y=0,切線a父-y十過(guò)定數(shù)學(xué)卷參考答案第1頁(yè)(共4頁(yè))點(diǎn)A(0,,切線a父-y=0過(guò)定點(diǎn)O(0,0),所以兩平行線之間距離的最大值為|OA|=.故選C.足.故選ACD.10.ACD若曲線C表示焦點(diǎn)在父軸上的橢圓,則m十2>1-2m>0,解得-<m<,A正確;若曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,則1-2m>m十2>0,解得-2<m<-,B錯(cuò)誤;若曲線C表示焦點(diǎn)在父軸上的雙曲線,則m十2>0,且2m-1>0,解得m>,C正確;曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線,則m十2<0,且2m-1<0,解得m<-2,D正確.故選ACD.11.BCD每投擲一次骰子,前進(jìn)一步的概率為P1==,前進(jìn)兩步的概率為P2==,顯然p1=P1=;一共前進(jìn)了2步,可能是第一次前進(jìn)了兩步,或第一次、第二次各前進(jìn)一步,所以p2=十×=,故A錯(cuò)誤;一共前進(jìn)了3步,可能是第一次前進(jìn)了兩步且第二次前進(jìn)了一步,或第一次前進(jìn)了一步且第二次前進(jìn)了兩步,或三次各前進(jìn)一步,所以p3=2××十××=,故B正確;一共前進(jìn)了n十2步,可能是前進(jìn)n步后繼續(xù)前進(jìn)2步,或前進(jìn)n十1步后,繼續(xù)前進(jìn)1步,所以pn十2=pn十pn十1,即pn=3pn十2-2pn十1(n∈N*),故C正確;因?yàn)閜n十2=pn十pn十1,所以pn十2-pn十1=-(pn十1-pn),所以數(shù)列{pn十1-pn}是以p2-p1=-=為首項(xiàng),-為公比的等比數(shù)列,所以pn十1-pn=×(-n-1,又注意到pn十2十pn十1=pn十1十pn,所以數(shù)列{pn十1十pn}是常數(shù)列,這個(gè)數(shù)列中的每一項(xiàng)都是p2十p1= 十×=1,所以pn十1=1-pn,所以1-pn=×(-n-1,解得pn=十×(-n(n∈N*),p2n=十×(-2n>>p2m十1=十×(-2m十1>p2m-1=十×(-2m-1=十9××(-2m十1(n,m∈N*),故D正確.故選BCD. 12.\根據(jù)雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的兩條漸近線的傾斜角為α,β,則α十β=π,又α-β=,所以β= ,所以=tanβ=1,故e=\1十2=\.13.設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為a,外接圓半徑為r,AA1=b,圓柱的高為h,由正弦定理得=2r,則r=\a,正三棱柱的側(cè)面積s棱柱=3ab,圓柱的側(cè)面積s圓柱=2πrh=2π●\ah,則3ab=2π●\ah,解得b=2\93πh,則VABCA1B1C132b=a2πh,V圓柱=r2πh=a2πh,:VA1C1==.314.3設(shè)A={父f(父)=0},B={父f(f(父))=0},顯然,集合A非空.當(dāng)a=0時(shí),顯然A=B,以下設(shè)a≠0,此時(shí)A={父asin父=0},B={父asin(asin父)=0}={父asin父=kπ,k∈Z}.易知,B=A當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的父∈R,有asin父≠kπ(k∈Z,k≠0),即a<π,故整數(shù)a的最大值為3. :由正弦定理得:ab-十\c=, 即a2-\ac=b2-c2,即\ac=a2十c2-b2=2accosB,則cosB=\,………4分 因?yàn)锽是三角形內(nèi)角,所以0<B<π,所以B=;…………6分 (2)cosA十sinC=cosA十sin(A十=cosA十\sinA十cosA=\(\cosA十sinA)=數(shù)學(xué)卷參考答案第2頁(yè)(共4頁(yè))(A-=1, …………………11分 所以cos(A-=\.……………………13分16.(1)證明:取EB中點(diǎn)G,連接AG,DG,因?yàn)锳B=AE=2,BE=2\,則AB2十AE2=BE2,所以AB丄AE,則△ABE為等腰直角三角形,所以BE丄AG,且AG=BE=\,因?yàn)镃DⅡBE,BE=2CD,G為BE的中點(diǎn),則BGⅡCD且BG=CD,所以,四邊形BCDG為平行四邊形,所以DG=BC=2,又因?yàn)锳D=\,所以AG2十DG2=AD2,則DG丄AG,…………………4分因?yàn)锽CⅡDG,BC丄BE,所以DG丄BE,……………………5分因?yàn)锽E∩AG=G,BE,AGG平面ABE,所以DG丄平面ABE,…………6分因?yàn)镈GG平面BCDE,則平面ABE丄平面BCDE;………7分(2)解:以點(diǎn)G為坐標(biāo)原點(diǎn),GA,GB,GD所在直線分別為父,y,義軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(\,0,0),C(0,\,2),D(0,0,2),B(0,\,0),依題意知M(0,-\,0),A-=(-\,0,2),A-=(-\,-\,0),……9分n1AD=-\2父1十2義1=0,設(shè)平面ADM的一個(gè)法向量n1AD=-\2父1十2義1=0, 1●A-=-\父1-\y1=0, 設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為n2=(父2,y2,義2),則n2A-=-\父2十\y2十2義2=0,n則n2A-=-\父2十\y2十2義2=0,n1取父2=1,則y2=1,義2=0,故n2=(1,1,0),………………13分 n1n2 n1n253.所以cosθ=cos〈n1,n2〉=n1●n2=4\53………15分(36=2p父0,17.解:(1)由題可知〈父0十=父0,…………4分(p>0,解得p=3,故C的方程為y2=6父.…………6分(2)設(shè)l的方程為父=y十m,A(父1,y1),B(父2,y2),聯(lián)立方程組{ym,,整理得y2-6y-6m=0,則y1十y2=6,y1y2=-6m.…………………8分因?yàn)镺A丄OB,所以O(shè)-●O-=父1父2十y1y2=2十y1y2=m2-6m=0,……………10分解得m=6或m=0(舍去),…………………12分所以l與父軸的交點(diǎn)為M(6,0), 則△ABF的面積S=FMy1-y2=×(6-× \(y1十y2)2-4y1y2=275.……………15分18.解:(1)當(dāng)a=2時(shí),有f(父)=ln父-4父,故f(1)=-4,而f/(父)=-4,故f/(1)=-3.………………2分從而函數(shù)f(父)的圖象在父=1處的切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4),切線斜率為為-3.……………3分則切線方程為y十4=-3(父-1),即3父十y十1=0.………4分(2)設(shè)φ(父)=ln父-父2-十,父>0,數(shù)學(xué)卷參考答案第3頁(yè)(共4頁(yè))I11父-父3-1父-父3-1十父2-(1十父)(1-父)2則φ(父)=父I11父-父3-1父-父3-1十父2-(1十父)(1-父)2所以φ(父)單調(diào)遞減,且φ(1)=0,若φ(父)>0成立,則父的范圍為(0,1),故原命題得證.…………10分(3)由g(父)=f(父)十父2=父2-2a父十ln父,得gI(父)=父十-2a=父2-父十1.當(dāng)a≤1,則對(duì)0<父<1或父>1均有g(shù)I(父)=父2-父十1≥父2-父十1=(父1)2>0,所以g(父)在(0,1)和(1,十∞)上單調(diào)遞增.從而g(父)在(0,十∞)上單調(diào)遞增,不可能有極大值點(diǎn),矛盾.…………12分所以a>1,此時(shí)gI(父)=父2-父十1=(父-(a-\))(父-(a十\)).從而根據(jù)gI(父)的符號(hào)可知g(父)在(0,a-\)和(a十\,十∞)上單調(diào)遞增,在[a-\a2-1,a十\a2-1]上單調(diào)遞減.所以g(父)的極大值點(diǎn)父0=a-\=a十\<<1,同時(shí)父-2a父0十1=0,即a=父0十0),………………14分從而父0f(父0)十1十a(chǎn)父=父0(ln父0-2a父0)十1十a(chǎn)父=父0ln父0-a父十1=父0ln父0-a父十2a父0-父十(父-2a父0十1)=父0ln父0-a父十2a父0-父=父0[ln父0-(a十1)父0十2a].因?yàn)閘n父0-(a十1)父0十2a=ln父0父0十0)十1]父0十父0十0=ln父0-父-十0=φ(父0),由(2)知φ(父0)>φ(1)=0,所以父0f(父0)十1十a(chǎn)父=父0φ(父0)>0成立.……………17分19.解:(1)A3={(1,2,3)},……………………2分B3={(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)}……………4分(2)考慮集合An中的元素(a1,a2,…,an).由已知,對(duì)任意整數(shù)i,j,1≤i<j≤n,都有ai-i≤aj-j,所以ai-i十i≤aj-j十j,所以ai<aj.由i,j的任意性可知,(a1,a2,…,an)是1,2,3,…,n的單調(diào)遞增排列,所以An={(1,2,3,…,n)}.…………………7分又因?yàn)楫?dāng)ak=k(k∈N*,1≤k≤n)時(shí),對(duì)任意整數(shù)i,j,1≤i<j≤n,都有ai