2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第4講-隨機事件的概率、古典概型

第4講隨機事件的概率、古典概型考向預(yù)測核心素養(yǎng)考查隨機事件、互斥事件與對立事件的概率及古典概型，常與事件的頻率交匯考查．題型以選擇題、填空題為主，中低檔難度.數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象[學(xué)生用書P262])一、知識梳理1．隨機事件(1)事件的分類(2)兩個事件的關(guān)系和運算事件的關(guān)系或運算含義符號表示圖形表示包含A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生A?B并事件(和事件)A與B至少一個發(fā)生A∪B或A＋B交事件(積事件)A與B同時發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)A與B不能同時發(fā)生A∩B＝?互為對立A與B有且僅有一個發(fā)生A∩B＝?，且A∪B＝Ω2.頻率與概率(1)頻率與概率的區(qū)別及聯(lián)系區(qū)別聯(lián)系頻率本身是隨機的，在試驗之前是無法確定的，在相同的條件下做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗，得到的事件的頻率值也可能會不同對于給定的隨機事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來估計概率P(A)概率本身是一個在[0，1]內(nèi)的確定值，不隨試驗結(jié)果的改變而改變(2)概率的幾個基本性質(zhì)①概率的取值范圍：0≤P(A)≤1；②必然事件的概率P(Ω)＝1；③不可能事件的概率P(?)＝0.(3)概率的加法公式①如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．②若事件A與事件B互為對立事件，則P(A)＝1－P(B)．3．古典概型(1)古典概型的特點(2)古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(A包含的樣本點的個數(shù),有限樣本空間中樣本點的總數(shù)).二、教材衍化1．(人A必修第二冊P233練習(xí)T2改編)從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設(shè)A＝“三件產(chǎn)品全不是次品”，B＝“三件產(chǎn)品全是次品”，C＝“三件產(chǎn)品有次品，但不全是次品”，則下列結(jié)論中錯誤的是()A．A與C互斥 B.B與C互斥C．任何兩個都互斥 D.任何兩個都不互斥解析：選D.A為{三件產(chǎn)品全不是次品}，指的是三件產(chǎn)品都是正品，B為{三件產(chǎn)品全是次品}，A與B互斥，C為{三件產(chǎn)品有次品，但不全是次品}，它包括一件次品，兩件次品，由此知，A與C是互斥事件，B與C是互斥事件，故選D.2．(人A必修第二冊P227例1改編)先后三次拋擲同一枚硬幣，若正面向上記為1；若反面向上則記為0，則這個試驗的樣本空間中有________個樣本點．解析：這個試驗的樣本空間為Ω＝{(1，1，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，(0，0，0)}，共8個樣本點．答案：83．(人A必修第二冊P263復(fù)習(xí)參考題10T3改編)一家保險公司想了解汽車的擋風(fēng)玻璃破碎的概率，公司收集了20000輛汽車的信息，時間是從某年的5月1日到下一年的5月1日，共發(fā)現(xiàn)有600輛汽車的擋風(fēng)玻璃破碎，則一輛汽車在一年時間里擋風(fēng)玻璃破碎的概率近似為________．解析：頻率是概率的近似值，故其概率近似等于eq\f(600,20000)＝0.03.答案：0.03一、思考辨析判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)必然事件一定發(fā)生．()(2)在大量重復(fù)試驗中，概率是頻率的穩(wěn)定值．()(3)兩個事件的和事件是指兩個事件都得發(fā)生．()(4)拋擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個結(jié)果是等可能的．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)×二、易錯糾偏1．(多選)(對互斥事件理解不透致誤)若干個人站成排，其中不是互斥事件的是()A．“甲站排頭”與“乙站排頭”B．“甲站排頭”與“乙不站排尾”C．“甲站排頭”與“乙站排尾”D．“甲不站排頭”與“乙不站排尾”解析：選BCD.排頭只能有一人，因此“甲站排頭”與“乙站排頭”互斥，而B，C，D中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同時發(fā)生，因此它們都不互斥．故選BCD.2．(對概率的理解不到位致誤)某地氣象局預(yù)報說，明天本地降雨的概率為80%，則下列解釋正確的是()A．明天本地有80%的區(qū)域降雨，20%的區(qū)域不降雨B．明天本地有80%的時間降雨，20%的時間不降雨C．明天本地降雨的機會是80%D．以上說法均不正確解析：選C.選項A，B顯然不正確．因為80%是說降雨的概率，而不是說80%的區(qū)域降雨，更不是說有80%的時間降雨，是指降雨的機會是80%，故選C.3．(頻率與概率區(qū)分不清致誤)把一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)擲了1000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，則擲一次硬幣正面朝上的概率為________．解析：擲一次硬幣正面朝上的概率是0.5.答案：0.5[學(xué)生用書P264])考點一事件的關(guān)系與運算(自主練透)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：了解隨機事件的含義，了解事件互斥、對立，會對事件進行分解．1．下列事件中是必然事件的是()A．長度為3，4，5的三條線段可以構(gòu)成一個直角三角形B．經(jīng)過有信號燈的路口，遇上紅燈C．下周六是晴天D．一枚硬幣拋擲兩次，兩次都正面向上答案：A2．已知100件產(chǎn)品中有5件次品，從這100件產(chǎn)品中任意取出3件，設(shè)E表示事件“3件產(chǎn)品都不是次品”，F(xiàn)表示事件“3件產(chǎn)品全是次品”，G表示事件“3件產(chǎn)品中至少有1件次品”，則下列結(jié)論正確的是()A．F與G互斥B．E與G互斥但不對立C．E，F(xiàn)，G任意兩個事件均互斥D．E與G對立解析：選D.由題意得事件E與事件F不可能同時發(fā)生，是互斥事件；事件E與事件G不可能同時發(fā)生，是互斥事件；當(dāng)事件F發(fā)生時，事件G一定發(fā)生，所以事件F與事件G不是互斥事件，故A，C不正確．事件E與事件G中必有一個發(fā)生，所以事件E與事件G對立，所以B不正確，D正確．3．(多選)下列說法錯誤的是()A．對立事件一定是互斥事件B．若A，B為兩個事件，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)C．若事件A，B，C兩兩互斥．則P(A)＋P(B)＋P(C)＝1D．事件A，B滿足P(A)＋P(B)＝1，則A，B是對立事件解析：選BCD.對于A，對立事件是互斥事件中其中一個不發(fā)生，另一個必然發(fā)生的事件，所以正確．對于B，只有互斥事件才滿足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，不是任意事件都滿足，故B錯誤．對于C，若事件A，B，C兩兩互斥，不一定(A∪B)是C的對立事件，則P(A)＋P(B)＋P(C)＝1不一定成立，C錯誤；對于D，對立事件的概率之和為1，但概率之和為1的兩個事件不一定是對立事件，D錯誤．事件的關(guān)系運算策略(1)準確把握互斥事件與對立事件的概念：①互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，但也可以同時不發(fā)生；②對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個發(fā)生．(2)進行事件的運算時，一是要緊扣運算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時可列出全部的試驗結(jié)果進行分析．也可類比集合的關(guān)系和運算用Venn圖分析事件．考點二頻率與概率(綜合研析)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：在具體情境中，了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，進一步了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別．某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點(指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點)處都種了一株相同品種的作物．根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗，一株作物的年收獲量Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如表所示：X1234Y51484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米．(1)完成下表，并求所種作物的平均年收獲量；Y51484542頻數(shù)4(2)在所種作物中隨機選取一株，求它的年收獲量至少為48kg的概率．【解】(1)所種作物的總株數(shù)為1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株數(shù)為1的作物有2株，“相近”作物株數(shù)為2的作物有4株，“相近”作物株數(shù)為3的作物有6株，“相近”作物株數(shù)為4的作物有3株，列表如下．Y51484542頻數(shù)2463所種作物的平均年收獲量為eq\f(51×2＋48×4＋45×6＋42×3,15)＝eq\f(690,15)＝46.(2)由(1)知，P(Y＝51)＝eq\f(2,15)，P(Y＝48)＝eq\f(4,15).故在所種作物中隨機選取一株，它的年收獲量至少為48kg的概率為P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝eq\f(2,15)＋eq\f(4,15)＝eq\f(2,5).(1)概率與頻率的關(guān)系(2)隨機事件概率的求法|跟蹤訓(xùn)練|1．下列說法正確的是()A．某人射擊10次，中靶7次，則此人中靶的概率為0.7B．一位同學(xué)做拋硬幣試驗，拋6次，一定有3次“正面朝上”C．某地發(fā)行一種彩票，回報率為47%，若有人花了100元錢買此種彩票，則一定會有47元的回報D．用某種藥物對患有胃潰瘍的500名病人進行治療，結(jié)果有380人有明顯的療效，現(xiàn)在胃潰瘍病人服用此藥，則可估計有明顯療效的概率約為0.76解析：選D.A項，此人中靶的頻率為0.7，是一個隨機事件，錯誤；B項是一個隨機事件，不一定有3次“正面朝上”，錯誤；C項是一個隨機事件，中獎或不中獎都有可能，但事先無法預(yù)料，錯誤；D正確．2．某家庭記錄了使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位：m3)，得到如下頻數(shù)分布表：使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量[0，0.1)[0.1，0.2)[0.2，0.3)[0.3，0.4)[0.4，0.5)[0.5，0.6]頻數(shù)151310165估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35m3的概率為________．解析：由題意得，該家庭使用節(jié)水龍頭后50天日用水量小于0.35m3的頻率為eq\f(1＋5＋13＋5,50)＝0.48，因此該家庭使用節(jié)水龍頭后日用水量小于0.35m3的概率的估計值為0.48.答案：0.48考點三古典概型(多維探究)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：通過實例，理解古典概型及其概率的計算公式，會用列舉法計算一些隨機事件發(fā)生的概率．角度1古典概型的概念(多選)下列概率模型中，是古典概型的有()A．從集合{x∈R|1≤x≤10}中任取一個數(shù)，求取到4的概率B．從集合{x∈Z|1≤x≤10}中任取一個數(shù)，求取到4的概率C．從裝有2個白球和3個紅球的盒子中任取2個球(除顏色外其他均相同)，求取到一白一紅的概率D．向上拋擲一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，求出現(xiàn)正面向上的概率【解析】A不是古典概型．因為從區(qū)間[1，10]內(nèi)任取一個數(shù)，雖滿足“等可能性”，但由于區(qū)間內(nèi)有無數(shù)個對象可取，所以它不具備“有限性”這個條件．B是古典概型．因為試驗結(jié)果只有10個，并且每個數(shù)被抽到的可能性相等，所以它不僅具備“有限性”，而且還具備“等可能性”．同理，C是古典概型．D不是古典概型．雖然試驗的結(jié)果只有2種，但是這枚硬幣的質(zhì)地不均勻，故它不具備“等可能性”．【答案】BC角度2古典概型的應(yīng)用(1)(2022·皖江聯(lián)盟7月聯(lián)考)甲、乙兩人玩說數(shù)字游戲．如果甲說的數(shù)字記為a，乙說的數(shù)字記為b，且a，b∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}．若a，b差的絕對值不超過1，則稱甲、乙“心有靈犀”．那么甲、乙“心有靈犀”的概率是()A.eq\f(9,50) B.eq\f(1,5)C.eq\f(7,25) D.eq\f(14,45)(2)(2022·四川省巴中市高三上學(xué)期測試)接種疫苗是預(yù)防控制新冠疫情最有效的方法．我國自2021年1月9日起實施全民免費接種新冠疫苗工作，截止到2021年5月底，國家已推出了三種新冠疫苗(腺病毒載體疫苗、新冠病毒滅活疫苗、重組新型冠狀病毒疫苗)供接種者選擇，每位接種者任選其中一種．若甲、乙、丙、丁4人去接種新冠疫苗，則恰有兩人接種同一種疫苗的概率為()A.eq\f(4,9) B.eq\f(9,16)C.eq\f(2,3) D.eq\f(8,9)【解析】(1)若a，b差的絕對值不超過1，即|a－b|≤1，則有|a－b|＝1和a＝b兩種情況．因此對a＝0，9各有2種情況，即當(dāng)a＝0時，b＝0，1；當(dāng)a＝9時，b＝8，9.對a＝1，2，3，4，5，6，7，8各有3種情況，即當(dāng)a＝1時，b＝0，1，2，當(dāng)a＝2時，b＝1，2，3.當(dāng)a＝3時，b＝2，3，4，…，當(dāng)a＝8時，b＝7，8，9.從而甲、乙“心有靈犀”所包含的樣本點個數(shù)是4＋8×3＝28.而樣本點總數(shù)是10×10＝100，所以甲、乙“心有靈犀”的概率是P＝eq\f(28,100)＝eq\f(7,25).(2)由題意，每位接種者可等可能地從3種中任選一種接種，由分步乘法計數(shù)原理知，共有34＝81個樣本點；恰有兩人接種同一種疫苗，可先從4人中任選兩人并成一組，再與另兩人一起按三種疫苗的順序排成一排，故恰有兩人接種同一種疫苗共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36個樣本點，由古典概型概率計算公式得P＝eq\f(36,81)＝eq\f(4,9).【答案】(1)C(2)A(1)古典概型中樣本點的探求方法(2)利用公式法求解古典概型問題的步驟|跟蹤訓(xùn)練|1．(2022·全國重點中學(xué)高考沖刺)湖泊不僅是中國地理環(huán)境的重要組成部分，還蘊藏著豐富的自然資源．綜合實踐活動課上，小王要從青海湖、西湖、千島湖、納木錯湖等10個湖泊中隨機選取3個進行介紹，則青海湖與納木錯湖至少有一個被選中的概率為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(8,15)C.eq\f(5,14) D.eq\f(1,4)解析：選B.從10個湖泊中任選3個的選法有Ceq\o\al(3,10)＝120(種)，青海湖與納木錯湖只有1個被選中的選法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,8)＝56(種)，青海湖與納木錯湖都被選中的選法有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,8)＝8(種)．故所求事件的概率P＝eq\f(56＋8,120)＝eq\f(8,15).故選B.2．(2022·豐城九中高三周考)孿生素數(shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個問題之一，可以這樣描述：存在無窮多個素數(shù)p，使得p＋2是素數(shù)，素數(shù)對(p，p＋2)稱為孿生素數(shù)．在不超過32的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，能夠組成孿生素數(shù)的概率是()A.eq\f(1,22) B.eq\f(1,11)C.eq\f(3,22) D.eq\f(2,11)解析：選B.不超過32的素數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31共11個，又素數(shù)對(p，p＋2)為孿生素數(shù)，所以不超過32的素數(shù)組成的孿生素數(shù)對有(3，5)，(5，7)，(11，13)，(17，19)，(29，31)共5對，所以能夠組成孿生素數(shù)的概率為P＝eq\f(5,Ceq\o\al(2,11))＝eq\f(1,11).故選B.[學(xué)生用書P374(單獨成冊)])[A基礎(chǔ)達標]1．一個人連續(xù)射擊三次，則事件“至少擊中兩次”的對立事件是()A．恰有一次擊中 B.三次都沒擊中C．三次都擊中 D.至多擊中一次解析：選D.根據(jù)題意，一個人連續(xù)射擊三次，事件“至少擊中兩次”包括“擊中兩次”和“擊中三次”兩個事件，其對立事件為“一次都沒有擊中和擊中一次”，即“至多擊中一次”．2．(2020·高考全國卷Ⅰ)設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點，則取到的3點共線的概率為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,2) D.eq\f(4,5)解析：選A.如圖，從O，A，B，C，D5個點中任取3個有(O，A，B)，(O，A，C)，(O，A，D)，(O，B，C)，(O，B，D)，(O，C，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(A，C，D)，(B，C，D)共10個樣本點.3點共線有(O，A，C)與(O，B，D)共2個樣本點，由古典概型的概率計算公式知，取到的3點共線的概率為eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).3.(2022·渭南市高三聯(lián)考)五行學(xué)說是中華民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想．古代先民認為，天下萬物皆由五種元素組成，分別是金、木、水、火、土，彼此之間存在如圖所示的相生相克關(guān)系．若從金、木、水、火、土五種元素中任取兩種，則這兩種元素恰是相生關(guān)系的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(11,20)解析：選C.由題意，從金、木、水、火、土五種元素中任取兩種，有(金，木)，(金，水)，(金，火)，(金，土)，(木，水)，(木，火)，(木，土)，(水，火)，(水，土)，(火，土)，共10個樣本點，其中兩種元素恰是相生關(guān)系包含(金，水)，(木，火)，(土，金)，(水，木)(火，土)共5個樣本點，所以所求概率P＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).4.(2022·貴州省重點中學(xué)高三聯(lián)考)中國象棋是中國棋文化也是中華民族的文化瑰寶．某棋局的一部分如圖所示，若不考慮這部分以外棋子的影響，且“馬”和“炮”不動，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，從“兵”“吃掉”“馬”的最短路線中隨機選擇一條路線，則該路線能順帶“吃掉”“炮”的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,5) D.eq\f(3,4)解析：選C.由題意可知，“兵”“吃掉”“馬”的最短路線中，橫走三步，豎走兩步，相當(dāng)于“橫橫橫豎豎”五個漢字排成一列，有Ceq\o\al(2,5)＝10條路線．其中能順帶“吃掉”“炮”的路線，分兩步，第一步，“橫橫豎”三個漢字排成一列；第二步，“橫豎”兩個漢字排成一列，共有Ceq\o\al(1,3)×Ceq\o\al(1,2)＝6條路線．故所求概率為eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).5．(多選)下列說法正確的是()A．若事件A與B互斥，則A∪B是必然事件B．《西游記》《三國演義》《水滸傳》《紅樓夢》是我國四大名著．若在這四大名著中，甲、乙、丙、丁分別任取一本閱讀，設(shè)事件E＝“甲取到《紅樓夢》”，事件F＝“乙取到《紅樓夢》”，則E與F是互斥但不對立事件C．?dāng)S一枚骰子，記錄其向上的點數(shù)，記事件A＝“向上的點數(shù)不大于5”，事件B＝“向上的點數(shù)為質(zhì)數(shù)”，則B?AD．10個產(chǎn)品中有2個次品，從中抽取一個產(chǎn)品檢查其質(zhì)量，則樣本空間含有2個樣本點解析：選BCD.對于A，事件A與B互斥時，A∪B不一定是必然事件，故A不正確．對于B，事件E與F不會同時發(fā)生，所以E與F是互斥事件，但除了事件E與F之外還有“丙取得《紅樓夢》”，“丁取得《紅樓夢》”，所以E與F不是對立事件，故E與F是互斥但不對立事件，B正確．對于C，事件A＝{1，2，3，4，5}，事件B＝{2，3，5}，所以B包含于A，C正確．對于D，樣本空間Ω＝{正品，次品}，含有2個樣本點，故D正確．6．圍棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，已知從中任意取出2粒都是黑子的概率為eq\f(1,7)，從中任意取出2粒都是白子的概率為eq\f(12,35).那么，現(xiàn)從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．解析：設(shè)“從中任意取出2粒都是黑子”為事件A，“從中任意取出2粒都是白子”為事件B，“從中任意取出2粒恰好是同一色”為事件C，則C＝A＋B，且事件A與B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,7)＋eq\f(12,35)＝eq\f(17,35).即“從中任意取出2粒恰好是同一色”的概率為eq\f(17,35).答案：eq\f(17,35)7.(2022·惠州市高三調(diào)研)一張方桌有四個座位，A先坐在如圖所示的座位上，B，C，D三人隨機坐到其他三個位置上，則C與D相鄰的概率為________．解析：B，C，D三人隨機坐到其他三個位置上，共有Aeq\o\al(3,3)＝6種等可能情況，要使C與D不相鄰，則B必坐在A的對面，此時C與D的坐法共有2種情況，所以根據(jù)古典概型求概率公式可知C與D相鄰的概率為eq\f(6－2,6)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)8．(2022·云南師大附中高三月考)2021年河北等八省舉行首次“3＋1＋2”的新高考模式，“3”為全國統(tǒng)一高考的語文、數(shù)學(xué)、外語3門必考科目，“1”由考生在物理、歷史2門中選考1門科目，“2”由考生在思想政治、地理、化學(xué)、生物4門中選考2門科目．則甲、'乙兩名考生在選考科目“1”與選考科目“2”中各有一門科目相同的條件下兩人均選化學(xué)的概率為________．解析：甲、乙兩人選考科目相同的1科在物理或歷史，另1科在“思想政治、地理、化學(xué)、生物4門”中，Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,3)＝48種方法，其中甲、乙兩人均選化學(xué)的有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,3)＝12種方法，則甲、乙兩名考生在選考科目“1”與選考科目“2”中各有一門科目相同的條件下兩人均選化學(xué)的概率為P＝eq\f(12,48)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)9．袋中有紅球、黑球、黃球、綠球若干，從中任取一球，得到紅球的概率為eq\f(1,3)，得到黑球或黃球的概率為eq\f(5,12)，得到黃球或綠球的概率為eq\f(5,12)，則得到黑球的概率是________，得到黃球的概率是________．解析：記“得到紅球”為事件A，“得到黑球”為事件B，“得到黃球”為事件C，“得到綠球”為事件D，事件A，B，C，D顯然彼此互斥，則由題意可知，P(A)＝eq\f(1,3)①，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝eq\f(5,12)②，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝eq\f(5,12)③.由事件A和事件B∪C∪D是對立事件可得P(A)＝1－P(B∪C∪D)＝1－[P(B)＋P(C)＋P(D)]，即P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)④.聯(lián)立②③④可得P(B)＝eq\f(1,4)，P(C)＝eq\f(1,6)，P(D)＝eq\f(1,4).即得到黑球、得到黃球、得到綠球的概率分別是eq\f(1,4)，eq\f(1,6)，eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)eq\f(1,6)10．海關(guān)對同時從A，B，C三個不同地區(qū)進口的某種商品進行抽樣檢測，從各地區(qū)進口此種商品的數(shù)量(單位：件)如下表所示．工作人員用分層隨機抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進行檢測．地區(qū)ABC數(shù)量50150100(1)求這6件樣品中來自A，B，C各地區(qū)商品的數(shù)量；(2)若在這6件樣品中隨機抽取2件送往甲機構(gòu)進行進一步檢測，求這2件商品來自相同地區(qū)的概率．解：(1)A，B，C三個地區(qū)商品的總數(shù)量為50＋150＋100＝300，抽樣比為eq\f(6,300)＝eq\f(1,50)，所以樣本中包含三個地區(qū)的個體數(shù)量分別是50×eq\f(1,50)＝1，150×eq\f(1,50)＝3，100×eq\f(1,50)＝2.所以A，B，C三個地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別是1，3，2.(2)方法一：設(shè)6件來自A，B，C三個地區(qū)的樣品分別為A，B1，B2，B3，C1，C2.則從6件樣品中抽取的這2件商品構(gòu)成的所有樣本點為(A，B1)，(A，B2)，(A，B3)，(A，C1)，(A，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共15個．每個樣品被抽到的機會相等，因此這些樣本點的出現(xiàn)是等可能的．記事件D為“抽取的這2件商品來自相同地區(qū)”，則事件D包含的樣本點有(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，(C1，C2)，共4個．所以P(D)＝eq\f(4,15).即這2件商品來自相同地區(qū)的概率為eq\f(4,15).方法二：這2件商品來自相同地區(qū)的概率為eq\f(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,6))＝eq\f(4,15).[B綜合應(yīng)用]11.如圖，某建筑工地搭建的腳手架局部類似于一個2×2×3的長方體框架，一個建筑工人欲從A處沿腳手架攀登至B處，則其最近的行走路線中不連續(xù)向上攀登的概率為()A.eq\f(1,7) B.eq\f(2,7)C.eq\f(3,7) D.eq\f(4,7)解析：選B.根據(jù)題意，最近路線就是不能走回頭路，不能走重復(fù)的路，所以一共要走3次向上，2次向右，2次向前，共7次，所以最近的行走路線共有Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(2,4)＝210(種)．因為不能連續(xù)向上，所以最近的行走路線中不連續(xù)向上攀登的路線共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(3,5)＝60(種)，所以其最近的行走路線中不連續(xù)向上攀登的概率P＝eq\f(60,210)＝eq\f(2,7).故選B.12．(多選)(2022·濰坊四中高三檢測)已知甲袋中有5個大小相同的球，4個紅球，1個黑球；乙袋中有6個大小相同的球，4個紅球，2個黑球，則()A．從甲袋中隨機摸出一個球是紅球的概率為eq\f(4,5)B．從乙袋中隨機摸出一個球是黑球的概率為eq\f(2,3)C．從甲袋中隨機摸出2個球，則2個球都是紅球的概率為eq\f(3,5)D．從甲、乙袋中各隨機模出1個球，則這2個球是一紅球一黑球的概率為eq\f(2,5)解析：選ACD.對選項A，從甲袋中隨機摸一個球是紅球的概率為P＝eq\f(4,5)，故A對；對選項B，從乙袋中隨機摸一個球是黑球的概率為P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，故B錯；對選項C，從甲袋中隨機摸2個球，則2個球都是紅球的概率P＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(3,5)，故C對；對選項D，從甲、乙袋中各隨機摸出1個球，則這2個球是一紅球一黑球的概率P＝eq\f(4,5)·eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)·eq\f(2,3)＝eq\f(2,5).13.(2022·上海市進才中學(xué)高三月考)從如圖11個點中任取三個點，則所取的三個點能構(gòu)成三角形的概率為________．解析：從11個點中任取三個點，有Ceq\o\al(3,11)種取法，由題圖得三個點在一條直線上的情況有7＋2Ceq\o\al(3,4)＝15，所以所取的三個點能構(gòu)成三角形的概率為eq\f(Ceq\o\al(3,11)－15,Ceq\o\al(3,11))＝eq\f(10,11).答案：eq\f(10,11)14．(2022·泰安肥城三模)已知大于3的素數(shù)只分布在{6n－1}和{6n＋1}兩數(shù)列中(其中n為非零自然數(shù))