2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步試題（人教A版2019）4．5．3 函數(shù)模型的應(yīng)用（五大題型）

4．5．3函數(shù)模型的應(yīng)用目錄TOC\o"1-2"\h\z\u【題型歸納】 2題型一：一次函數(shù)與二次函數(shù)模型的應(yīng)用 2題型二：分段函數(shù)模型的應(yīng)用 4題型三：指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)模型的應(yīng)用 6題型四：擬合函數(shù)模型的應(yīng)用問題 8題型五：根據(jù)實(shí)際問題的增長(zhǎng)率選擇合適的函數(shù)模型 10【重難點(diǎn)集訓(xùn)】 16【高考真題】 26【題型歸納】題型一：一次函數(shù)與二次函數(shù)模型的應(yīng)用1．（2024·高一·江蘇無錫·期中）某地區(qū)上年度電價(jià)為元/（kW·h），年用電量為kW·h，本年度計(jì)劃將電價(jià)下降到0.55元/（kW·h）至0.75元/（kW·h）之間，而用戶期望電價(jià)為0.4元/（kW·h）.經(jīng)測(cè)算，下調(diào)電價(jià)后新增用電量和實(shí)際電價(jià)與用戶的期望電價(jià)的差成反比（比例系數(shù)為k）.該地區(qū)的電力成本價(jià)為0.3元/（kW·h）.記本年度電價(jià)下調(diào)后電力部門的收益為（單位：元），實(shí)際電價(jià)為（單位：元/（kW·h））.（收益=實(shí)際電量（實(shí)際電價(jià)-成本價(jià)））(1)寫出本年度電價(jià)下調(diào)后電力部門收益為關(guān)于實(shí)際電價(jià)為的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)時(shí)，實(shí)際電價(jià)最低定為多少時(shí)，仍可保證電力部門的收益比上年至少增長(zhǎng)?(3)當(dāng)時(shí)，求收益的最小值.【解析】（1）由題意知，下調(diào)電價(jià)后新增用電量為，故電力部門的收益，.（2）當(dāng)時(shí)，，由題意知且，化簡(jiǎn)得，解得或，又，，所以實(shí)際電價(jià)最低定為：0.6元/（kW·h）時(shí)，仍可保證電力部門的收益比上年至少增長(zhǎng)20%.（3）當(dāng)時(shí)，，令，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故收益的最小值.2．（2024·高一·江西景德鎮(zhèn)·期中）景德鎮(zhèn)市，別稱“瓷都”，設(shè)鎮(zhèn)于東晉時(shí)期，始稱“昌南”，后易名“新平”，作為世界著名的陶瓷圣地，擁有豐富的文化遺產(chǎn)和自然資源，為旅游業(yè)的發(fā)展提供了得天獨(dú)厚的條件.近年來，隨著人們對(duì)傳統(tǒng)文化和手工藝的興趣日益增加，景德鎮(zhèn)的陶瓷文化和制作過程吸引了越來越多的游客.小李看到了旅游帶來的商機(jī)，想在景德鎮(zhèn)開民宿，他發(fā)現(xiàn)一處擁有40間房間的酒店正在轉(zhuǎn)讓，他有了想盤下來開民宿的想法.通過調(diào)研，該位置附近的其他相似的酒店每間定價(jià)150元時(shí)，每天都可租出全部所有的房間，若每間房?jī)r(jià)上漲10元，則會(huì)少租出一間.已知盤下這個(gè)酒店開民宿，小李投入成本需要252萬元，小李準(zhǔn)備依照調(diào)研的數(shù)據(jù)來預(yù)算盤下該酒店后的收支情況，按照每間房基礎(chǔ)定價(jià)150元，若每間房上漲了元，每天收入為元.(1)求出和之間的函數(shù)關(guān)系式.(2)若小李想要一年（按照360天計(jì)算）收回成本，請(qǐng)問每間房?jī)r(jià)應(yīng)該定為多少元？(3)每間客房定價(jià)為多少時(shí)，利潤(rùn)最大？【解析】（1）當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.∴（2）由題意分析可知：即：或故：或即：每間房?jī)r(jià)應(yīng)該定為之間.（3）設(shè)利潤(rùn)為，則故對(duì)稱軸為，而，即：或12時(shí)，利潤(rùn)最大.即：房?jī)r(jià)為270或280時(shí)，利潤(rùn)最大，最大值為201600.3．（2024·高一·北京大興·期中）已知經(jīng)過年某汽車的總花費(fèi)由購車費(fèi)、維修費(fèi)和其他費(fèi)用組成，其中購車費(fèi)用是22.5萬元，使用年的維修費(fèi)為萬元，且每年的其他費(fèi)用為0.8萬元．(1)求經(jīng)過2年該車的總花費(fèi)為多少萬元；(2)設(shè)經(jīng)過年該車的年平均花費(fèi)為萬元，寫出關(guān)于的函數(shù)解析式，并求的最小值．【解析】（1）設(shè)總花費(fèi)為萬元，則，當(dāng)，（萬元），答：經(jīng)過2年該車的總花費(fèi)為萬元；（2）由題意得：，，，當(dāng)且僅當(dāng)：，即，等號(hào)成立，故的最小值為萬元．題型二：分段函數(shù)模型的應(yīng)用4．（2024·高一·福建泉州·階段練習(xí)）某開發(fā)商計(jì)劃2024年在泉州開發(fā)新的游玩項(xiàng)目，全年需投入固定成本萬元，若該項(xiàng)目在2024年有萬人游客，則需另投入成本萬元，且，該游玩項(xiàng)目的每張門票售價(jià)為元．(1)求2024年該項(xiàng)目的利潤(rùn)（萬元）關(guān)于人數(shù)（萬人）的函數(shù)關(guān)系式（利潤(rùn)=銷售額-成本）；(2)當(dāng)2024年的游客為多少時(shí)，該項(xiàng)目所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少．【解析】（1）依題意，又，所以，即；（2）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故，，綜上，游客為萬人時(shí)利潤(rùn)最大，最大為萬．5．（2024·高一·江蘇·期中）中國(guó)“一帶一路”戰(zhàn)略構(gòu)思提出后，宜興某企業(yè)為抓住“一帶一路”的機(jī)遇，決定開發(fā)一款大型電子設(shè)備，生產(chǎn)這種設(shè)備的年固定成本為400萬元，每生產(chǎn)x臺(tái)需要另投入成本萬元，當(dāng)年產(chǎn)量不足80臺(tái)時(shí)，；當(dāng)年產(chǎn)量不少于80臺(tái)時(shí)，若每臺(tái)售價(jià)為200萬元.通過市場(chǎng)分析，該企業(yè)生產(chǎn)的該設(shè)備能全部售完.(1)求年利潤(rùn)萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x臺(tái)的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少臺(tái)時(shí)，該企業(yè)所獲的利潤(rùn)最大，并求出最大利潤(rùn).【解析】（1）當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，綜上所述：（2）當(dāng)且時(shí)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)最大值為2000，當(dāng)，且時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值2200，又，故當(dāng)年產(chǎn)量為91臺(tái)時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，最大值為2200萬元.6．（2024·高一·貴州·期中）某市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：2公里以內(nèi)（包含2公里）收費(fèi)6元，不到2公里按2公里算；超過2公里但不超過8公里的部分，每公里收費(fèi)2元，不到1公里按1公里計(jì)算；超過8公里的部分，每公里收費(fèi)3元，不到1公里按1公里計(jì)算.已知某人某次乘坐出租車從該市的A地到該市的B地，共付車費(fèi)33元，則該出租車從A地到B地行駛的最大距離是里.【答案】13【解析】出租車行駛的距離為8公里時(shí)，乘客所付費(fèi)用元，因?yàn)槌丝凸哺盾囐M(fèi)33元，設(shè)出租車行駛的距離為公里，則乘客所付費(fèi)用元，解得.故答案為：137．（2024·高一·吉林松原·階段練習(xí)）稿酬所得，是指?jìng)€(gè)人因其作品以圖書?報(bào)刊形式出版?發(fā)表而取得的收入，稿酬所得稅是獲得稿酬所得時(shí)所繳納的一種稅款.當(dāng)每次稿酬所得不超過4000元時(shí)，扣除800元，剩余部分為應(yīng)納稅所得額；當(dāng)稿酬所得超過4000元時(shí)，扣除20%的費(fèi)用，剩余部分為應(yīng)納稅所得額.已知某人某次稅后稿酬（作者在獲得稿酬所得后，繳納稿酬所得稅后實(shí)際到手的收入金額）為5328元，則此人這次稿酬所得為元.（注：稿酬所得稅=應(yīng)納稅所得額×14%）【答案】6000【解析】設(shè)某人某次稅后稿酬為元，此人這次稿酬所得為元.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí).因?yàn)?，所以，解?故答案為：6000.8．（2024·北京西城·一模）調(diào)查顯示，垃圾分類投放可以帶來約元/千克的經(jīng)濟(jì)效益.為激勵(lì)居民垃圾分類，某市準(zhǔn)備給每個(gè)家庭發(fā)放一張積分卡，每分類投放積分分，若一個(gè)家庭一個(gè)月內(nèi)垃圾分類投放總量不低于，則額外獎(jiǎng)勵(lì)分（為正整數(shù)）.月底積分會(huì)按照元/分進(jìn)行自動(dòng)兌換.①當(dāng)時(shí)，若某家庭某月產(chǎn)生生活垃圾，該家庭該月積分卡能兌換元；②為了保證每個(gè)家庭每月積分卡兌換的金額均不超過當(dāng)月垃圾分類投放帶來的收益的%，則的最大值為.【答案】【解析】①若某家庭某月產(chǎn)生生活垃圾，則該家庭月底的積分為分，故該家庭該月積分卡能兌換元；②設(shè)每個(gè)家庭每月產(chǎn)生的垃圾為，每個(gè)家庭月底月積分卡能兌換的金額為元.若時(shí)，恒成立；若時(shí)，，可得.故的最大值為.故答案為：①；②.題型三：指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)模型的應(yīng)用9．（2024·高一·上?！ふn后作業(yè)）通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，某液體的蒸發(fā)速度（升/小時(shí)）與液體所處環(huán)境的溫度（℃）近似地滿足函數(shù)（、為常數(shù)）．該液體在0℃的蒸發(fā)速度是0.1升/小時(shí)，在30℃的蒸發(fā)速度為0.8升/小時(shí)，則該液體在20℃的蒸發(fā)速度為升/小時(shí)．【答案】0.4/【解析】由及已知條件得，所以，解得．又，所以，解得，所以，則該液體在20℃的蒸發(fā)速度為．故答案為：0.4.10．（2024·高一·上?！卧獪y(cè)試）里氏震級(jí)是由來自美國(guó)加州理工學(xué)院的地震學(xué)家里克特（C．F.Richter）和古登堡（B．Gutenberg）于1935年提出的．里氏震級(jí)M的計(jì)算公式是，其中A是被測(cè)地震的最大振幅，是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅．2011年3月11日，日本東北部海域發(fā)生里氏9.0地震并引發(fā)海嘯，造成重大人員傷亡和財(cái)產(chǎn)損失．一般里氏6.0級(jí)地震給人的震撼已十分強(qiáng)烈．按照里氏震級(jí)M的計(jì)算公式，此次日本東北部大地震的最大振幅是里氏6.0級(jí)地震最大振幅的倍．【答案】1000【解析】，，所以，所以．故答案為：1000.11．（2024·高一·湖南邵陽·期末）創(chuàng)新是一個(gè)國(guó)家?一個(gè)民族發(fā)展進(jìn)步的不竭動(dòng)力，是推動(dòng)人類社會(huì)進(jìn)步的重要力量.某學(xué)校為了培養(yǎng)學(xué)生科技創(chuàng)新能力，成立科技創(chuàng)新興趣小組，該小組對(duì)一個(gè)農(nóng)場(chǎng)內(nèi)某種生物在不受任何條件的限制下其數(shù)量增長(zhǎng)情況進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)其數(shù)量（千只）與監(jiān)測(cè)時(shí)間（單位：月）的關(guān)系與函數(shù)模型且）基本吻合.已知該生物初始總量為3千只，2個(gè)月后監(jiān)測(cè)發(fā)現(xiàn)該生物總量為6千只.若該生物的總量再翻一番，則還需要經(jīng)過個(gè)月.【答案】24【解析】由題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，解得，所以，設(shè)還需要經(jīng)過個(gè)月，該生物的總量再翻一番，則，所以，即，因?yàn)?，所以，而函?shù)在上時(shí)單調(diào)函數(shù)，所以，解得，所以該生物的總量再翻一番，則還需要經(jīng)過個(gè)月.故答案為：.12．（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)）某駕駛員喝了少量酒后，血液中酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時(shí)50％的速度減少．為了保障交通安全，某地交通規(guī)則規(guī)定，駕駛員血液酒精含量不得超過0.02mg/mL，那么該駕駛員至少要過幾小時(shí)才能駕駛？（精確到1小時(shí)）【解析】1小時(shí)后駕駛員血液中的酒精含量為：，2小時(shí)后其血液中酒精含量為，即，…，x小時(shí)后其血液中酒精含量為，由題意知，即，用計(jì)算器可得，x最少4小時(shí)．至少要過2小時(shí)駕駛員才能駕駛．題型四：擬合函數(shù)模型的應(yīng)用問題13．（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)）某地區(qū)上年度電價(jià)為0.8元/kw·h，年用電量為akw·h，本年度計(jì)劃將電價(jià)降到0.55元/kw·h至0.75元/kw·h之間，而用戶期望電價(jià)為0.40元/kw·h.經(jīng)測(cè)算，下調(diào)電價(jià)后新增用電量與實(shí)際電價(jià)和用戶期望電價(jià)的差成反比（比例系數(shù)為k），該地區(qū)電力的成本價(jià)為0.30元/kw·h.本年度電價(jià)下調(diào)后，試用實(shí)際電價(jià)x表示電力部門的收益，（指出x的范圍），設(shè)，當(dāng)電價(jià)最低為時(shí)仍可保證電力部門的收益比上年至少增長(zhǎng).注：收益=實(shí)際用電量（實(shí)際電價(jià)-成本價(jià)）【答案】0.6元/kw·h【解析】第一空，由題意得：本年度實(shí)際用電量為：，所以；第二空，上年度電力部門實(shí)際收益為：，本年度電力部門預(yù)收益為，依題意，知：，化簡(jiǎn)得，即，解得或，又因?yàn)?，所以，即?dāng)電價(jià)最低為0.60元/kw·h時(shí)，仍可保證電力部門的收益比上年至少增長(zhǎng).故答案為：；0.6元/kw·h.14．（2024·高一·廣東河源·期中）科學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，地震時(shí)釋放出的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)之間的關(guān)系為，則根據(jù)以上信息可得里氏9.0級(jí)地震釋放的能量是8.0級(jí)地震所釋放能量的倍.【答案】100【解析】由題意得，所以，即里氏9.0級(jí)地震釋放的能量是8.0級(jí)地震所釋放能量的100倍.故答案為：10015．（2024·高一·廣東佛山·期末）表觀活化能的概念最早是針對(duì)Arrhenius（阿倫尼烏斯）公式中的參量提出的，是通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求得，又叫實(shí)驗(yàn)活化能，Arrhenius公式中的k為反應(yīng)速率常數(shù)，為摩爾氣體常量，為熱力學(xué)溫度（單位為開爾文，簡(jiǎn)稱開），為阿倫尼烏斯常數(shù)．已知某化學(xué)反應(yīng)的溫度每增加開，反應(yīng)速率常數(shù)變?yōu)樵瓉淼谋?，則當(dāng)溫度從開上升到開時(shí)，=．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】【解析】根據(jù)題意，溫度每增加開，反應(yīng)速率常數(shù)變?yōu)樵瓉淼谋叮瑒t當(dāng)溫度從開上升到開時(shí)，反應(yīng)速率常數(shù)變?yōu)殚_時(shí)的倍，由，當(dāng)開，，當(dāng)開，，所以，，，，，，故答案為：.16．（2024·高一·四川廣元·階段練習(xí)）設(shè)某公司原有員工100人從事產(chǎn)品的生產(chǎn)，平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值萬元（為正常數(shù)），公司決定從原有員工中分流人去進(jìn)行新開發(fā)的產(chǎn)品的生產(chǎn)，分流后，繼續(xù)從事產(chǎn)品生產(chǎn)的員工平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值在原有的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)了.若要保證產(chǎn)品的年產(chǎn)值不減少，則最多能分流的人數(shù)是（

）A．15 B．16 C．23 D．28【答案】C【解析】依題意，分流前每年創(chuàng)造的產(chǎn)值為（萬元），分流人后，每年創(chuàng)造的產(chǎn)值為，則，解得，又，所以的最大值為，即最多能分流的人數(shù)是.故選：C.題型五：根據(jù)實(shí)際問題的增長(zhǎng)率選擇合適的函數(shù)模型17．（2024·高一·湖南株洲·期末）從A地到B地的距離約為，經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)得到一輛汽車每小時(shí)耗油量Q（單位：L）與速度v（單位：）（）的如下數(shù)據(jù)：v0406080120Q0781020為了描述汽車每小時(shí)耗油量Q與速度v的關(guān)系，下列最符合實(shí)際的函數(shù)模型是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意以及表中數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，可知該函數(shù)必須滿足三個(gè)條件：第一，定義域?yàn)?；第二，在定義域上單調(diào)遞增；第三，函數(shù)經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn).由散點(diǎn)圖可知，函數(shù)圖象不符合函數(shù)圖象特征，排除A，函數(shù)單調(diào)遞減，排除C，當(dāng)時(shí)，沒有意義，排除D，故最符合實(shí)際的函數(shù)模型為.故選:B．18．（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）某同學(xué)最近5年內(nèi)的學(xué)習(xí)費(fèi)用y(千元)與時(shí)間x(年)的關(guān)系如圖所示，則可選擇的模擬函數(shù)模型是（）A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋cC．y＝aex＋b D．y＝alnx＋b【答案】B【解析】從所給的散點(diǎn)圖可看出函數(shù)的變化趨勢(shì)是先增后減，所以該函數(shù)模型是二次函數(shù).故選：B19．（2024·高三·重慶·階段練習(xí)）薯?xiàng)l作為一種油炸食品，風(fēng)味是決定其接受程度的基礎(chǔ).米其林三星餐廳大廚HestonBlumenthal對(duì)餐飲門店的不同油炸批次的薯?xiàng)l進(jìn)行整體品質(zhì)的感官評(píng)價(jià)并提出了“油炸質(zhì)量曲線”（圖1），將油炸過程劃分為五個(gè)階段：誘導(dǎo)、新鮮、最佳、降解和廢棄階段，以解釋食物品質(zhì)與油炸時(shí)間之間的關(guān)系.

在特定條件下，薯?xiàng)l品質(zhì)得分與煎炸時(shí)間（單位：min）滿足函數(shù)關(guān)系（a、b、c是常數(shù)），圖2記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳煎炸時(shí)間為（

）A．2.25min B．2.75min C．3.25min D．3.75min【答案】C【解析】由圖2知，解得，，，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.故選：C.20．（2024·高一·湖北黃岡·階段練習(xí)）某企業(yè)現(xiàn)有，兩條生產(chǎn)線，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，生產(chǎn)線的利潤(rùn)（單位：萬元）與投入金額（單位：萬元）的關(guān)系式為，，生產(chǎn)線的利潤(rùn)（單位：萬元）與投入金額（單位：萬元）的關(guān)系式為，．假定且．(1)求實(shí)數(shù)，，的值；(2)該企業(yè)現(xiàn)有萬元資金全部投入，兩條生產(chǎn)線中，問：怎樣分配資金，才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)？并求出最大利潤(rùn)．【解析】（1）因?yàn)?，，，，所以，，，所以，所以，，?）設(shè)生產(chǎn)線投入萬元，則生產(chǎn)線投入萬元，設(shè)企業(yè)獲得利潤(rùn)為,則，，所以，所以，所以，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以生產(chǎn)線投資萬元，生產(chǎn)線投資萬元時(shí)，企業(yè)獲得利潤(rùn)最大，利潤(rùn)的最大值為為萬元.21．聲音強(qiáng)度（分貝）由公式給出，其中為聲音能量．能量小于時(shí)，人聽不見聲音．強(qiáng)度大于60分貝時(shí)屬于噪音，其中70分貝開始損害聽力神經(jīng)，90分貝以上就會(huì)使聽力受損，而一般的人待在100分貝至120分貝的空間內(nèi)，一分鐘就會(huì)暫時(shí)性失聰．(1)求時(shí)的聲音強(qiáng)度；(2)求噪音的能量范圍；(3)當(dāng)能量達(dá)到多少時(shí)，人會(huì)暫時(shí)性失聰？【解析】（1）當(dāng)時(shí)，代入公式，可得（分貝）．（2）噪音的強(qiáng)度大于60分貝，代入公式可得，解得．故噪音的能量范圍為．（3）人在100分貝至120分貝的空間內(nèi)會(huì)暫時(shí)失聰．令，解得，令，解得，所以當(dāng)能量達(dá)到時(shí)會(huì)暫時(shí)失聰．22．（2024·高一·吉林延邊·期中）某公園池塘里浮萍的面積（單位：）與時(shí)間（單位：月）的關(guān)系如下表所示：時(shí)間月123浮萍的面積359其函數(shù)解析式為，其中，，，均為常數(shù)，且.(1)求出關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)若該公園池塘里浮萍的面積蔓延到，，所經(jīng)過的時(shí)間分別為，，，計(jì)算+-的值.【解析】（1）由表中數(shù)據(jù)知，時(shí)間每增加1個(gè)月，浮萍的面積增加量逐漸變大，，當(dāng)依次取1，2，3得，解得，即；（2）由（1）知，，則有，理出如下：依題意，得，，，即，，，于是，則，所以，則+-=123．（2024·高一·重慶·期中）為了緩解交通壓力，需要限定汽車速度，交管部門對(duì)某路段作了調(diào)研，得到了某時(shí)間段內(nèi)的車流量（千輛/小時(shí)）和汽車平均速度（千米/小時(shí)）的下列數(shù)據(jù)：10304060700.8684.83.5為了描述車流量和汽車平均速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種模型供選擇：，，(1)選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型，請(qǐng)說明理由并計(jì)算的值；(2)計(jì)算該路段最大車流量及最大車流量時(shí)汽車的平均速度．【解析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知，隨著汽車平均速度的增大，車流量呈現(xiàn)出先增大后減少的趨勢(shì)；再由一次函數(shù)性質(zhì)可知成持續(xù)增大模式，由冪函數(shù)性質(zhì)可知成持續(xù)減少模式；只有符合題意；將代入表達(dá)式可得，解得（2）由（1）可知，由基本不等式可得，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立；因此該路段最大車流量為千輛/小時(shí),最大車流量時(shí)汽車的平均速度千米/小時(shí).24．（2024·高二·浙江·期中）生物鐘（晝夜節(jié)律）是生物體內(nèi)部的一個(gè)調(diào)節(jié)系統(tǒng)，控制著生物的日常生理活動(dòng)．研究顯示，人體的某些荷爾蒙（如皮質(zhì)醇）在一天中的分泌量會(huì)隨著時(shí)間的不同而發(fā)生變化，從而影響人的活力和認(rèn)知能力．假設(shè)人體某荷爾蒙的分泌量（單位：）與一天中的時(shí)間（單位：小時(shí)，以午夜0點(diǎn)為起點(diǎn)）的關(guān)系可以通過以下分段函數(shù)來描述：●在夜間，荷爾蒙分泌量保持在較低水平，可以近似為常數(shù)．●在早晨，隨著人醒來和太陽升起，荷爾蒙分泌量線性增加，其關(guān)系為，當(dāng)時(shí)，分泌量達(dá)到最大值●在下午和晚上，荷爾蒙分泌量逐漸降低，可以用指數(shù)衰減模型描述，即．已知午夜時(shí)荷爾蒙分泌量為，峰值分泌量為(1)求參數(shù)，和的值以及函數(shù)的解析式；(2)求該同學(xué)一天內(nèi)荷爾蒙分泌量不少于的時(shí)長(zhǎng)．【解析】（1）根據(jù)題意得，午夜時(shí)荷爾蒙分泌量，，在早晨，荷爾蒙分泌量滿足關(guān)系式：，當(dāng)時(shí)，分泌量達(dá)到峰值即，即，解得：，因此早晨時(shí)段的荷爾蒙分泌量關(guān)系為，在下午和晚上時(shí)段，荷爾蒙分泌量滿足：，所以，解得，所以荷爾蒙分泌量為，綜上，荷爾蒙分泌量的函數(shù)關(guān)系為；（2）①當(dāng)時(shí)，，解得，所以，②當(dāng)時(shí)，，，，，，綜上所述，該同學(xué)一天之內(nèi)荷爾蒙分泌不少于的時(shí)長(zhǎng)為10個(gè)小時(shí).【重難點(diǎn)集訓(xùn)】1．（2024·高一·陜西西安·期中）某小型雨衣廠生產(chǎn)某種雨衣，售價(jià)（元/件）與月銷售量（件）之間的關(guān)系為，生產(chǎn)件的成本為若每月獲得的利潤(rùn)不少于元，該廠的月銷售量的不可能取值為（）A． B． C．. D．【答案】D【解析】設(shè)該廠月獲得的利潤(rùn)為元，則.

由題意，，解得：，∴當(dāng)月產(chǎn)量在至件（包括和）之間時(shí)，月獲得的利潤(rùn)不少于元.故選：D.2．（2024·高一·四川廣安·期中）友誼中學(xué)學(xué)校每周對(duì)會(huì)議室進(jìn)行消毒，設(shè)在藥物釋放過程中，會(huì)議室空氣中的含藥量（毫克/每立方米）與時(shí)間（小時(shí)）成正比；藥物釋放完畢后（此時(shí)藥物含量），與滿足關(guān)系（為常數(shù)，）.據(jù)測(cè)定，空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時(shí).會(huì)議室才能進(jìn)入使用.則工作人員至少在會(huì)議開始時(shí)提前（

）分鐘進(jìn)行消毒工作.A．50 B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)，則，解得，所以，當(dāng)時(shí)，空氣中每立方米的含藥量逐漸升高至毫克，當(dāng)時(shí)，空氣中每立方米的含藥量逐漸降低，由，解得，又，所以工作人員至少在會(huì)議開始時(shí)提前分鐘進(jìn)行消毒工作.故選：.3．（2024·高一·全國(guó)·專題練習(xí)）某市環(huán)保研究所對(duì)市中心每天環(huán)境污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后發(fā)現(xiàn)，一天中環(huán)境污染指數(shù)與時(shí)刻（時(shí)）的關(guān)系為，其中是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且．如果以每天的最大值為當(dāng)天的環(huán)境污染指數(shù)，并記為，若規(guī)定為環(huán)境污染指數(shù)不超標(biāo)，則該市中心的環(huán)境污染指數(shù)不超標(biāo)時(shí)，的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故，當(dāng)時(shí)，，所以，其中在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有，，，所以即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以該市中心的環(huán)境污染指數(shù)不超標(biāo)時(shí)，的取值范圍為．故選：B．4．（2024·高二·湖南·開學(xué)考試）近日，我國(guó)某生命科學(xué)研究所的生物研究小組成員通過大量的實(shí)驗(yàn)和數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)得出睡眠中的恒溫動(dòng)物的脈搏率（單位時(shí)間內(nèi)心跳的次數(shù)）與其自身體重滿足的函數(shù)模型.已知一只恒溫動(dòng)物兔子的體重為2kg、脈搏率為205次，若經(jīng)測(cè)量一匹馬的脈搏率為41次，則這匹馬的體重為（

）A．350kg B．450kg C．500kg D．250kg【答案】D【解析】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，則，故.故選：D.5．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）大氣壓強(qiáng)（單位：）與海拔（單位：）之間的關(guān)系可以由近似描述，其中為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓強(qiáng)，為常數(shù).已知海拔為兩地的大氣壓強(qiáng)分別為.若測(cè)得某地的大氣壓強(qiáng)為80，則該地的海拔約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題知①，②，①②兩式相比得到，所以③，當(dāng)時(shí)，由④，②④得到，所以⑤，由⑤④，得到，解得.故選：C.6．（2024·高一·湖北·階段練習(xí)）中國(guó)的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)中的數(shù)學(xué)原理之一是香農(nóng)公式：，它表示在被高斯白噪音干擾的信道中，最大信息傳送速率取決于信道帶寬、信道內(nèi)所傳信號(hào)的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪音功率的大小，其中叫做信噪比.已知當(dāng)比較大時(shí)，，按照香農(nóng)公式，由于技術(shù)提升，寬帶在原來的基礎(chǔ)上增加，信噪比從1000提升至8000，則大約增加了（

）（附：）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以的增長(zhǎng)率約為.故選：D7．（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）某股民購買一公司股票10萬元，在連續(xù)十個(gè)交易日內(nèi)，前5個(gè)交易日，平均每天上漲5％，后5個(gè)交易日內(nèi)，平均每天下跌4.9％，則股民的股票盈虧情況（不計(jì)其他成本，精確到元）為（

）A．賺723元 B．賺145元C．虧145元 D．虧723元【答案】D【解析】由題意知第10個(gè)工作日股票剩余價(jià)值為，所以萬元，也就是虧723元.故選：D8．（2024·高一·浙江杭州·期末）在某種藥物實(shí)驗(yàn)中，規(guī)定血液中藥物含量低于為“藥物失效”．現(xiàn)測(cè)得實(shí)驗(yàn)動(dòng)物血液中藥物含量為，若血液中藥物含量會(huì)以每小時(shí)的速度減少，那么至少經(jīng)過（

）個(gè)小時(shí)才會(huì)“藥物失效”．（參考數(shù)據(jù)：）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【解析】物實(shí)驗(yàn)中，血液中藥物含量為的濃度為，設(shè)至少經(jīng)過個(gè)小時(shí)才會(huì)“藥物失效”，根據(jù)題意，兩邊取對(duì)數(shù)得，可得.所以至少經(jīng)過個(gè)小時(shí)才會(huì)“藥物失效”.故選：D.9．（多選題）（2024·高一·浙江紹興·期中）某食品的保鮮時(shí)間（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)存溫度（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系為常數(shù).若該食品在的保鮮時(shí)間是小時(shí)，在的保鮮時(shí)間是小時(shí)，則（

）A．B．儲(chǔ)存溫度越高保鮮時(shí)間越短C．在的保鮮時(shí)間是小時(shí)D．在的保鮮時(shí)間是小時(shí)【答案】BCD【解析】對(duì)于A，由題可知，，則，即，可得，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由A可知，在上是減函數(shù)，且在上是增函數(shù)，所以在上是減函數(shù)，則儲(chǔ)存溫度越高保鮮時(shí)間越短，B正確；對(duì)于C，由A可知，小時(shí)，C正確；對(duì)于D，由A可知，小時(shí)，D正確.故選：BCD.10．（多選題）（2024·高一·山東濟(jì)寧·期末）計(jì)算機(jī)病毒就是一個(gè)程序，對(duì)計(jì)算機(jī)的正常使用進(jìn)行破壞，它有獨(dú)特的復(fù)制能力，可以很快地蔓延，又常常難以根除．現(xiàn)有一種專門占據(jù)內(nèi)存的計(jì)算機(jī)病毒，該病毒占據(jù)內(nèi)存y（單位：KB）與計(jì)算機(jī)開機(jī)后使用的時(shí)間t（單位：min）的關(guān)系式為，則下列說法中正確的是（

）A．在計(jì)算機(jī)開機(jī)后使用5分鐘時(shí)，該計(jì)算機(jī)病毒占據(jù)內(nèi)存會(huì)超過90KBB．計(jì)算機(jī)開機(jī)后，該計(jì)算機(jī)病毒每分鐘增加的內(nèi)存都相等C．計(jì)算機(jī)開機(jī)后，該計(jì)算機(jī)病毒每分鐘的增長(zhǎng)率為1D．計(jì)算機(jī)開機(jī)后，該計(jì)算機(jī)病毒占據(jù)內(nèi)存到6KB，9KB，18KB所經(jīng)過的時(shí)間分別是，，，則【答案】ACD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：令，可得，所以在計(jì)算機(jī)開機(jī)后使用5分鐘時(shí)，該計(jì)算機(jī)病毒占據(jù)內(nèi)存會(huì)超過90KB，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椴皇嵌ㄖ?，可知?jì)算機(jī)開機(jī)后，該計(jì)算機(jī)病毒每分鐘增加的內(nèi)存不相等，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋杂?jì)算機(jī)開機(jī)后，該計(jì)算機(jī)病毒每分鐘的增長(zhǎng)率為1，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由題意可得：，可得，則，即，故D正確；故選：ACD.11．（多選題）（2024·高一·廣東惠州·期末）現(xiàn)代研究結(jié)果顯示，飲茶溫度最好不要超過60，一杯茶泡好后置于室內(nèi)，1分鐘、2分鐘后測(cè)得這杯茶的溫度分別為80，65，給出兩個(gè)茶溫T（單位：）關(guān)于茶泡好后置于室內(nèi)時(shí)間t（單位：分鐘）的函數(shù)模型：①；②.根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．選擇函數(shù)模型① B．該杯茶泡好后到飲用至少需要等待3分鐘C．選擇函數(shù)模型② D．該杯茶泡好后到飲用至少需要等待分鐘【答案】AD【解析】選擇函數(shù)模型①，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，符合要求，選擇函數(shù)模型②，則當(dāng)時(shí)，，不符合要求，故選選擇函數(shù)模型①，即A正確，C錯(cuò)誤；令，則有，即，即，故該杯茶泡好后到飲用至少需要等待分鐘，故B錯(cuò)誤，D正確.故選：AD.12．（2024·高一·廣東深圳·期中）將進(jìn)貨單價(jià)為80元的商品按90元一個(gè)售出時(shí)，能賣出400個(gè)，每漲價(jià)1元，其銷售量就減少20個(gè)，為了使商家利潤(rùn)有所增加（只考慮漲價(jià)的情況），售價(jià)的取值范圍應(yīng)是.【答案】【解析】設(shè)總利潤(rùn)元，因?yàn)槊總€(gè)售價(jià)為元，則根據(jù)題意可得，現(xiàn)在商家的售價(jià)為90元，將其代入解析式得：，要使商家總利潤(rùn)有所增加，則要滿足，即，則，所以，解得，所以售價(jià)的取值范圍應(yīng)是.故答案為：.13．（2024·高一·江蘇·階段練習(xí)）某工廠需要建造一個(gè)倉庫，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研分析運(yùn)費(fèi)與工廠和倉庫之間的距離成正比，倉儲(chǔ)費(fèi)與工廠和倉庫之間的距離成反比，當(dāng)工廠和倉庫之間的?離為3千米時(shí)，運(yùn)費(fèi)為9萬元，倉儲(chǔ)費(fèi)為4萬元，則運(yùn)費(fèi)與倉儲(chǔ)費(fèi)之和的最小值為萬元.【答案】12【解析】設(shè)工廠和倉庫之間的距離為千米，運(yùn)費(fèi)為萬元，倉儲(chǔ)費(fèi)為萬元，依題意可設(shè).工廠和倉庫之間的距離為3千米時(shí)，運(yùn)費(fèi)為9萬元，倉儲(chǔ)費(fèi)用為4萬元，代入求得：于是，運(yùn)費(fèi)與倉儲(chǔ)費(fèi)之和為萬元，因，由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，運(yùn)費(fèi)與倉儲(chǔ)費(fèi)之和最小，最小為12萬元.故答案為：12.14．（2024·高三·云南楚雄·階段練習(xí)）已知海面上的大氣壓強(qiáng)是，大氣壓強(qiáng)P（單位：）和高度（單位：）之間的關(guān)系為（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是常數(shù)），根據(jù)實(shí)驗(yàn)知高空處的大氣壓強(qiáng)是型直升機(jī)巡航高度為型直升機(jī)的巡航高度為時(shí)，A型直升機(jī)所受的大氣壓強(qiáng)是B型直升機(jī)所受的大氣壓強(qiáng)的倍（精確到0.01）.【答案】【解析】依題意，即，則A型直升機(jī)所受的大氣壓強(qiáng)，型直升機(jī)所受的大氣壓強(qiáng)，所以，所以A型直升機(jī)所受的大氣壓強(qiáng)是B型直升機(jī)所受的大氣壓強(qiáng)的倍.故答案為：.15．（2024·高一·福建福州·期中）某汽車制造企業(yè)計(jì)劃在2025年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新能源電動(dòng)汽車.通過市場(chǎng)分析，生產(chǎn)此款新能源電動(dòng)汽車全年需投入固定成本300萬，每生產(chǎn)x百輛新能源電動(dòng)汽車，需另投入成本萬元，且，由市場(chǎng)調(diào)研知，每一百輛新能源電動(dòng)汽車總售價(jià)700萬元，且全年生產(chǎn)的新能源電動(dòng)汽車當(dāng)年能全部銷售完.(1)求出2025年的利潤(rùn)（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）的函數(shù)關(guān)系式.（注：利潤(rùn)＝銷售額－成本）；(2)當(dāng)2025年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)、【解析】（1）由題意可得：.（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值；因?yàn)?，可知?dāng)2025年產(chǎn)量為100百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為萬元.16．（2024·高一·江蘇無錫·期中）如圖，某居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場(chǎng)所，它的主體造型平面圖是由兩個(gè)相同的矩形和構(gòu)成的十字形地域．四個(gè)小矩形、、、與小正方形面積之和為，且．計(jì)劃在正方形上建一座花壇，造價(jià)為元；在四個(gè)矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪，造價(jià)為元；在四個(gè)空角（圖中四個(gè)三角形）上鋪草坪，造價(jià)為元．設(shè)長(zhǎng)為（單位：）．

(1)用表示的長(zhǎng)度，并寫出的取值范圍；(2)用表示花壇與地坪的造價(jià)之和；(3)設(shè)總造價(jià)為元，當(dāng)長(zhǎng)為何值時(shí)，總造價(jià)最低？并求出最低總造價(jià)．【解析】（1）由題意：矩形的面積為，因此，因?yàn)椋裕?）.（3）由題意可得：，（）由基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，總造價(jià)最小，最小值為元．17．（2024·高一·重慶·期中）為了緩解交通壓力，需要限定汽車速度，交管部門對(duì)某路段作了調(diào)研，得到了某時(shí)間段內(nèi)的車流量（千輛/小時(shí)）和汽車平均速度（千米/小時(shí)）的下列數(shù)據(jù)：10304060700.8684.83.5為了描述車流量和汽車平均速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種模型供選擇：，，(1)選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型，請(qǐng)說明理由并計(jì)算的值；(2)計(jì)算該路段最大車流量及最大車流量時(shí)汽車的平均速度．【解析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知，隨著汽車平均速度的增大，車流量呈現(xiàn)出先增大后減少的趨勢(shì)；再由一次函數(shù)性質(zhì)可知成持續(xù)增大模式，由冪函數(shù)性質(zhì)可知成持續(xù)減少模式；只有符合題意；將代入表達(dá)式可得，解得（2）由（1）可知，由基本不等式可得，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立；因此該路段最大車流量為千輛/小時(shí),最大車流量時(shí)汽車的平均速度千米/小時(shí).18．（2024·高一·吉林·期中）某水庫有a萬條魚，計(jì)劃每年捕撈一些魚，假設(shè)水庫中魚不繁殖，只會(huì)因捕撈而減少魚的