2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步試題（人教A版2019）5．5 三角恒等變換（十二大題型）

5．5三角恒等變換目錄TOC\o"1-2"\h\z\u【題型歸納】 2題型一：兩角和與差的正（余）弦公式 2題型二：兩角和與差的正切公式 2題型三：二倍角公式的簡單應(yīng)用 3題型四：給角求值 5題型五：給值求值 5題型六：給值求角 6題型七：利用半角公式化簡求值問題 8題型八：三角恒等式的證明 9題型九：輔助角公式的應(yīng)用 10題型十：三角恒等變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合 11題型十一：利用兩角和與差的余弦進行證明 12題型十二：三角恒等變換在實際問題中的應(yīng)用 14【重難點集訓(xùn)】 17【高考真題】 28【題型歸納】題型一：兩角和與差的正（余）弦公式1．（2024·高一·貴州貴陽·階段練習(xí)）已知銳角的終邊過點，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意可得，故.故選：B.2．（2024·高一·山東臨沂·期中）（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得：，所以.故選：D.3．（2024·高一·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）計算：（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】.故選：D.題型二：兩角和與差的正切公式4．（2024·湖南岳陽·模擬預(yù)測）已知，且，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故選：A.5．（2024·高一·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】.故選：D6．（2024·高一·甘肅甘南·期末）（

）A． B．2 C．1 D．【答案】A【解析】.故選：A題型三：二倍角公式的簡單應(yīng)用7．（2024·高三·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期中）若，則（

）A． B．C．45 D．【答案】B【解析】因為且，將代入得：，，，所以.由，，可得.因為，又，所以，由，可得.將，代入可得：.故選：B.8．（2024·高一·山東淄博·期中）下列各式中，值為的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】選項A，，錯誤；選項B，，正確；選項C，，原式的值為1，錯誤；選項D，，錯誤.故選：B.9．（2024·高一·上海·單元測試）已知是第二象限的角，且，則的值為（

）A． B． C． D．–3【答案】C【解析】因為，所以，又是第二象限的角，所以，所以，所以.故選：C題型四：給角求值10．（2024·高一·河南信陽·階段練習(xí)）.【答案】【解析】.故答案為：.11．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）．【答案】【解析】由正切的和角公式得若，則，再根據(jù)此結(jié)論求解即可得答案.∵，，∴，∴．∴故答案為：12．（2024·高一·全國·單元測試）的值為.【答案】【解析】.故答案為題型五：給值求值13．（2024·高一·江蘇南通·期中）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，，則，所以.故選：A14．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則，，所以，所以.故選：C．15．（2024·高一·江蘇淮安·階段練習(xí)）設(shè)為銳角，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為為銳角，則，因為，所以，所以.故選：D.題型六：給值求角16．（2024·高一·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·開學(xué)考試）已知角，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】角，由得，則，又因為在上單調(diào)遞增，則，而，同理有，所以，且，得.故選：A.17．（2024·高三·貴州銅仁·階段練習(xí)）已知，且和均為鈍角，則的值為（

）A． B． C．或 D．【答案】D【解析】∵和均為鈍角，∴，．∴．由和均為鈍角，得，∴．故選：D18．（2024·高一·全國·課堂例題）已知，，且和均為鈍角，則的值為（

）A． B． C．或 D．【答案】D【解析】∵和均為鈍角，∴，．∴．由和均為鈍角，得，∴．故選：D題型七：利用半角公式化簡求值問題19．（2024·高一·上?！ふn后作業(yè)）已知，，則，，.【答案】【解析】因為，所以，，所以，同理，所以，從而.故答案為：.20．（2024·高一·上海徐匯·階段練習(xí)）已知，則．【答案】【解析】依題意，．故答案為：.21．（2024·高三·河北石家莊·期末）已知，則.【答案】【解析】因為，且，所以，故答案為：.題型八：三角恒等式的證明22．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）已知，求證：．【解析】證明：由已知，得，∴，∴，，∴．23．（2024·高一·廣東湛江·期末）證明下列等式：(1)(2).【解析】（1）左邊右邊，得證；（2）左邊右邊，得證.24．（2024·高二·四川成都·開學(xué)考試）（1）已知，，求的值；（2）證明：.【解析】（1）因為，，所以，可知，則，.（2）證明：，即.題型九：輔助角公式的應(yīng)用25．（2024·高三·福建南平·階段練習(xí)）函數(shù)3在上的最大值是．【答案】2【解析】，因為，所以，所以，所以，所以在上的最大值為2.故答案為：2.26．（2024·高一·上海松江·期末）設(shè)函數(shù)對任意的實數(shù)均滿足，則．【答案】【解析】因為，又因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，即，，，所以，.故答案為：.27．（2024·高三·上海楊浦·期中）已知函數(shù)，當取得最大值時，.【答案】32/【解析】由函數(shù)，其中，當取得最大值，則，解得，此時.故答案為：.題型十：三角恒等變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合28．（2024·高一·山東青島·期中）設(shè)函數(shù).(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當時，求函數(shù)的最大值和最小值.【解析】（1）依題意，，由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由（1）知，，由，得，當，即時，函數(shù)取最小值，最小值為；當，即時，函數(shù)取最大值，最大值為.所以函數(shù)的最大值和最小值分別為和.29．（2024·高一·廣西崇左·期末）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的值域.【解析】（1）由題意可得，令，解得，故的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）因為，所以.當，即時，取得最大值，最大值為當，即時，取得最小值，最小值為.故在區(qū)間上的值域為.題型十一：利用兩角和與差的余弦進行證明30．如圖，在直角坐標系中，角、以為始邊，其終邊分別交單位圓于點、.（1）已知角以為始邊，終邊交單位圓于點，試在圖中作出點（寫明作法），并寫出點的坐標；（2）根據(jù)圖示，推導(dǎo)兩角差的余弦公式：；（3）由兩角差的余弦公式推導(dǎo)兩角和的正弦公式：.【解析】（1）以為始邊順時針作角，其終邊交單位圓于點，如圖所示，則，由三角函數(shù)的定義，可得.（2）設(shè)單位圓與軸正半軸交于點，因為，所以，又因為，，，所以，，則整理得.（3）因為，又因為，所以.31．如圖，在平面直角坐標系xOy中，角的始邊為Ox，終邊與單位圓交于點P，角的始邊為OP，終邊與單位圓交于點Q．試利用勾股定理推導(dǎo)出角與角的和與差的四個正弦與余弦公式．【解析】①如圖，將△OPQ旋轉(zhuǎn)到OAB位置，即繞著O點，將△OPQ旋轉(zhuǎn)到OP邊在x軸上，則PQ＝AB.，，由兩點間距離式得：，又，由勾股定理得：，,即，即.②.③===.④==.題型十二：三角恒等變換在實際問題中的應(yīng)用32．（2024·高一·四川成都·期中）如圖，在扇形OAB中，半徑，圓心角，F(xiàn)是扇形弧上的動點，矩形CDEF內(nèi)接于扇形，設(shè)，則矩形CDEF的面積的最大值為．【答案】【解析】連結(jié)，設(shè)，則，，，，矩形的面積，，，因為，則，當，即時，面積取得最大值.故答案為：33．（2024·高一·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在扇形中，半徑，圓心角.是扇形圓弧上的動點，矩形內(nèi)接于扇形，記.(1)將矩形的面積表示成關(guān)于的函數(shù)的形式；(2)求的最大值，及此時的角.【解析】（1）在中，，，，，，，（）；（2），，，因為，，當，即時，取得最大值.34．某工人要從一塊圓心角為的扇形木板中割出一塊一邊在半徑上的內(nèi)接長方形桌面，若扇形的半徑長為1m，求割出的長方形桌面的最大面積（如圖）．【解析】如圖，連接OC，設(shè)，則，因,則則，故．因，則，故當，即當時，即割出的長方形桌面的最大面積為．【重難點集訓(xùn)】1．已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，則，，，由，易知，解得，由，，且，則，可得，所以，當時，，，此時，則，由，，則，易知，解得，此時；當時，，，此時，則，由，，則，易知，解得，；故選：B.2．已知為銳角，且，，則角等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，∴，∴，又因為為銳角，所以.故選：C.3．若，，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因，所以.又，所以.根據(jù)，得，同時也能確定.因為，，，所以..將轉(zhuǎn)化為.所以因為，，所以.在這個區(qū)間內(nèi)，時，.故選：C.4．若，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，，，，所以，，所以，則．故選：D.5．若，，并且均為銳角，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由可得，易知得，，則又因為，所以.故選：C6．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，再由，可知，即，則.故選：D.7．已知，，則的值為（

）A．－8 B．－6 C．6 D．8【答案】A【解析】，，所以，所以，故選：A8．古希臘的數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割率，黃金分割率的值也可以用表示.若實數(shù)滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，因為，，，所以，所以的值為.故選：D9．（多選題）已知，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】因為，所以，所以，解得，故A錯誤，B正確；又因為，故C正確；因為，且，所以，所以，故D正確；故選：BCD.10．（多選題）計算下列各式的值，其結(jié)果為2的有（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】對于選項A：，故A正確；對于選項B：，故B錯誤；對于選項C：，故C正確；對于選項D：，故D錯誤.故選：AC.11．（多選題）已知，其中，為參數(shù)，若對，恒為定值，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．滿足題意的一組，可以是，【答案】ACD【解析】依題意，，而恒為定值，則，兩式平方相加得，C正確；因此，A正確；對于D，當時，，，D正確；對于B，當時，成立，而，B錯誤.故選：ACD12．已知，且，則的最大值為.【答案】【解析】因為，則，，所以，又，所以，當時，，則；當時，，當且僅當，即時，等號成立，此時，所以；綜上，的最大值為.故答案為：.13．若，，＝，＝，則＝.【答案】/【解析】∵，∴，故由，得.又∵，∴，＝，∴，則，故答案為：.14．若，則.【答案】【解析】令，則，即，所以，；因此.故答案為：15．已知.(1)記，求在上的最大值和最小值；(2)求的值.【解析】（1），因為，則，故，從而，即，所以在上的最大值為，最小值為；（2），16．（1）化簡；（2）證明：.【解析】（1）原式.（2）左邊右邊.所以原等式成立.17．已知，，且，，求的值.【解析】∵，，∴.又∵，，∴，.∴，∴.18．閱讀下面材料：解答問題：(1)用表示；(2)根據(jù)恒等式，求的值；(3)若函數(shù)，，求的值域．【解析】（1）；即得證；（2）令，由等式知，，即，顯然，所以，即，解得：，又，所以，即（3）令，則，且令，，又函數(shù)開口向下，對稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；因此，即，由二次函數(shù)圖象得值域為19．已知函數(shù)(1)求的值；(2)求函數(shù)的遞增區(qū)間；(3)求函數(shù)在區(qū)間上的值域．【解析】（1）則；（2）令：，解得的單調(diào)遞增區(qū)間為：,；（3）由（2）可得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上的值域為：．【高考真題】1．（2024年上海秋季高考數(shù)學(xué)真題）下列函數(shù)的最小正周期是的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】對A，，周期，故A正確；對B，，周期，故B錯誤；對于選項C，，是常值函數(shù)，不存在最小正周期，故C錯誤；對于選項D，，周期，故D錯誤，故選：A．2．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，，所以，故選：B.3．（2023年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知，則（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】因為