2024-2025學年高一數(shù)學同步試題（人教A版2019）第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式綜合能力測試

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式綜合能力測試（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由，設(shè)集合，，則為的真子集.所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B2．若且，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】A：當時，，故A錯誤；B：當時，滿足，，不成立，故B錯誤；C：，因為，所以，得，即，故C正確；D：當時，滿足，，不成立，故D錯誤.故選：C3．由于豬肉的價格有升也有降，小張想到兩種買肉方案.第一種方案：每次買3斤豬肉；第二種方案：每次買50元豬肉.下列說法正確的是（

）A．采用第一種方案劃算 B．采用第二種方案劃算C．兩種方案一樣 D．采用哪種方案無法確定【答案】B【解析】不妨設(shè)兩次購買豬肉的價格分別為，，第一種方案，均價為，第二種方案，均價為，其中，當且僅當時，等號成立，，當且僅當時，等號成立，故，當且僅當時，等號成立，所以采用第二種方案劃算.故選：B4．若變量x，y滿足約束條件，，則的最小值為（

）A．-7 B．-6 C．-5 D．-4【答案】B【解析】設(shè)，故且，所以，故，由于，，所以，，故最小值為，此時，故選：B.5．若不等式對一切實數(shù)都成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】當時，不等式為對一切實數(shù)都成立，符合題意，當時，要使得不等式對一切實數(shù)都成立，則，解得，綜上所述，的取值范圍為.故選：D．6．不等式的解集為（

）．A．或 B．或C．或 D．【答案】B【解析】由，得或，解得或，所以不等式的解集為或.故選：B.7．設(shè)表示與的最大值，若，都是正數(shù)，，則的最小值為（

）A． B．3 C．8 D．9【答案】B【解析】由，得，于是，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為3.故選：B8．存在三個實數(shù)，使其分別滿足下述兩個等式：（1）（2）其中M表示三個實數(shù)中的最小值，則（

）A．M的最大值是 B．M的最大值是C．M的最小值是 D．M的最小值是【答案】B【解析】由已知得，中必有個正數(shù)，1個負數(shù)，設(shè)，，則，因為，所以，所以，即，所以，由得，，即，所以，故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．若，則下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】對于A，，，，，，即，A正確；對于B，，，，，，即，B正確；對于C，當，，，時，，C錯誤；對于D，當，，，時，，D錯誤.故選：AB.10．若正實數(shù)滿足，則下列說法正確的是（

）A．有最大值為 B．有最小值為C．有最小值為 D．有最大值為【答案】ABC【解析】對于A：因為，則，當且僅當，即時取等號，故A正確，對于B，，當且僅當，即時取等號，故B正確，對于C：因為，則，當且僅當，即時取等號，故C正確，對于D：因為，當且僅當，即，時取等號，這與均為正實數(shù)矛盾，故D錯誤，故選：ABC．11．已知，且，以下說法正確的是（

）A．中至少有一個不大于1 B．C． D．若，則【答案】ABD【解析】對于A,若均大于1,那么,矛盾,所以中至少有一個不大于1,A正確.對于B,,當且僅當""時,等號成立,B正確.對于C,.所以:,當且僅當,即時,等號成立,C錯誤.對于D,,,即,則,D正確.故選：ABD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知不等式的解集為，則=，=【答案】【解析】依題意，不等式的解集為，所以，解得.故答案為：；13．一元二次不等式的解集為.【答案】【解析】由得，所以的解集為.故答案為：.14．若實數(shù)滿足，則的最大值為.【答案】/【解析】由可得，可得；而，所以，解得；當且僅當，也即時，上式右邊等號成立；此時的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）求解下列不等式：(1)(2)【解析】（1）因為，所以，解得；（2）因為，所以，即，此時有，解得．16．（15分）2022年新冠肺炎仍在世界好多國家肆虐，并且出現(xiàn)了傳染性更強的“德爾塔”變異毒株、“拉姆達”變異毒株，盡管我國疫情得到了很好的遏制，但由于整個國際環(huán)境的影響，時而也會出現(xiàn)一些散發(fā)病例，故而抗疫形勢依然嚴峻，日常防護依然不能有絲毫放松．在日常防護中，醫(yī)用防護用品必不可少，某公司一年購買某種醫(yī)用防護用品600噸，每次都購買x噸，運費為6萬元/次，一年的存儲費用為萬元.一年的總費用y（萬元）包含運費與存儲費用.(1)要使總費用不超過公司年預算260萬元，求x的取值范圍.(2)要使總費用最小，求x的值.【解析】（1）因為公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，所以購買貨物的次數(shù)為，故，化簡得，解得，所以x的取值范圍為.（2）由（1）可知，因為，當且僅當即時等號成立，所以當時，一年的總費用最小，故x的值為30.17．（15分）已知不等式.(1)當時不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；(2)當時不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.【解析】（1）①若，則原不等式可化為，顯然恒成立，②若，則不等式恒成立，等價于，解得，綜上，實數(shù)m的取值范圍是.（2）①當時，則原不等式可化為，顯然恒成立，②當時，函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線，若時不等式恒成立，則，解得，③當時，函數(shù)的圖象開口向下，若時不等式恒成立，則，解得，綜上，實數(shù)m的取值范圍是.18．（17分）根據(jù)要求完成下列問題：(1)若、、.①求證：；②求證：；③在②中的不等式中，能否找到一個代數(shù)式，滿足所求式？若能，請直接寫出該代數(shù)式；若不能，請說明理由.(2)設(shè)，求證：成立的充要條件是.【解析】（1）①∵，且、，∴，∴；②∵，∴，又，∴，∴，∴，∵、，∴，由（1）知，∴，∴；③∵，，∴或（只要寫出其中一個即可）；（2）①充分性：如果，則有和兩種情況，當時，當時，則、，等式成立，當時，則、，等式成立，當時，等式成立，當時，即、或、，當、時，、，等式成立，當、時，、，等式成立，∴當時，等式成立，∴當時，成立，②必要性：若且，則，即，則，故，綜上所述，是等式成立的充要條件.19．（17分）已知關(guān)于的不等式．(1)當，時，求原不等式的解集；(2)在（1）的條件下，若原不等式恰有個整數(shù)解，求的取值集合．【解析】（1）當時，不等式為，即，又，則所以，即不等式的解集為；（2）在（