2024-2025學年高一數(shù)學同步試題（人教A版2019）第三章 函數(shù)的概念與性質 單元綜合測試卷

第三章函數(shù)的概念與性質單元綜合測試卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，，解得，所以函數(shù)的定義域為.故選：A2．下列函數(shù)圖象中，可以表示偶函數(shù)的有（）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)偶函數(shù)圖象關于y軸對稱，結合函數(shù)圖象可知符合題意是A選項，B，C，D不合題意.故選：A.3．下列各組函數(shù)是同一個函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】A【解析】對于A，易知兩函數(shù)定義域均為R，且，故A正確；對于B，的定義域為，而的定義域為，兩函數(shù)定義域不同，故B錯誤；對于C，的定義域為R，的定義域為，兩函數(shù)定義域不同，故C錯誤；對于D，易知兩函數(shù)定義域均為R，但，故D錯誤.故選：A4．若函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，則（

）A．函數(shù)是奇函數(shù)B．函數(shù)是奇函數(shù)C．函數(shù)是奇函數(shù)D．函數(shù)是奇函數(shù)【答案】C【解析】依題意，函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，A選項，，所以是偶函數(shù)，A選項錯誤.B選項，，所以函數(shù)是偶函數(shù)，B選項錯誤.C選項，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，C選項正確.D選項，，所以函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，D選項錯誤.故選：C5．已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，當時，.若，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】當時，的對稱軸為，故在上單調遞增.函數(shù)在處連續(xù)，又是定義域為R的奇函數(shù)，故在R上單調遞增.因為f-x=-fx，由，可得又因為在R上單調遞增，所以，解得.故選：D6．已知函數(shù)，在上是單調函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的對稱軸為若函數(shù)在上是單調遞增函數(shù)，則若函數(shù)在上是單調遞減函數(shù)，解得或故的取值范圍是故選：C．7．已知函數(shù)在上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B．-1,0 C． D．【答案】B【解析】函數(shù)在上單調遞增，當時，單調遞增，當時，也需要單調遞增，所以，解得，故B正確.故選：B.8．一般地，若函數(shù)的定義域為，值域為，則稱為的“k倍跟隨區(qū)間”；特別地，若函數(shù)的定義域為，值域也為，則稱為的“跟隨區(qū)間”.下列結論不正確的是（）A．函數(shù)存在跟隨區(qū)間B．若為的跟隨區(qū)間，則C．函數(shù)存在跟隨區(qū)間D．二次函數(shù)存在“2倍跟隨區(qū)間”【答案】C【解析】對于A，因為在R上單調遞增，所以對于，其值域為，由“跟隨區(qū)間”的定義可知函數(shù)存在無數(shù)個跟隨區(qū)間，故A正確；對于B，若為的跟隨區(qū)間，且的對稱軸為，所以，解得或（舍），故B正確；對于C，假設存在“跟隨區(qū)間”，因為在單調區(qū)間上均單調遞減，則有，解得，此時在內包含0，時函數(shù)無意義，故不存在跟隨區(qū)間，故C錯誤；對于D，若函數(shù)存在2倍跟隨區(qū)間，設定義域為，值域為，當時，函數(shù)在定義域上單調遞增，則，則是方程的兩個不相等的實數(shù)根，解得或，故存在定義域為使得值域為，D正確.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的定義域為B．函數(shù)的值域為C．函數(shù)與函數(shù)是同一個函數(shù)D．函數(shù)滿足【答案】AD【解析】對于A，函數(shù)有意義，即，即，故A正確；對于B，因當時，，即函數(shù)的值域為，故B錯誤；對于C，由A分析知，函數(shù)的定義域為，而的定義域為，故C錯誤；對于D，由，可得D正確.故選：AD.10．已知函數(shù)，若，則x的取值可以是（

）A．3 B．20 C． D．5【答案】CD【解析】當時，，解得（舍去）或，當時，，解得，符合，綜上，或5.故選：CD.11．已知函數(shù)，若，記，則（

）A．的最小值為1 B．的最大值為C．的最大值為5 D．的最小值為3【答案】ABD【解析】依題意，函數(shù)在上遞減，在上遞減，其圖象如圖：當，時，，由，得，且，因此，，對于AB，，當時，，當時，，AB正確；對于CD，，函數(shù)在上單調遞增，當時，，無最大值，C錯誤，D正確.故選：ABD第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為．【答案】【解析】由，得，所以函數(shù)的定義域為．故答案為：13．若函數(shù)在區(qū)間0,1上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】由題意，解得．故答案為：.14．定義在上的函數(shù)，，對，，使得，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】因為，當時，所以；當時，則在上單調遞增，所以；綜上可得；因為對，，使得，所以函數(shù)在上的值域是函數(shù)在上的值域的子集，又，，當時，，則有，解得，當時，，不符合題意；當時，，則有，解得．綜上所述，可得的取值范圍為．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）已知，．(1)求，的值；(2)求的值．【解析】（1）因為，所以，．（2）因為，所以，所以．16．（15分）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)判斷函數(shù)在上的單調性，并用定義證明；(3)解不等式.【解析】（1））函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，解得：，∴，而，解得，∴，.（2）函數(shù)在上為減函數(shù)；證明如下：任意且，則，因為，所以，，所以，即，所以函數(shù)在上為減函數(shù).（3）由題意，不等式可化為，所以，解得，所以該不等式的解集為.17．（15分）近幾年來，“盲盒文化”廣為流行，這種文化已經(jīng)在中國落地生根，并發(fā)展處具有中國特色的盲盒經(jīng)濟，某盲盒生產(chǎn)及銷售公司今年初用98萬購進一批盲盒生產(chǎn)線，每年可有50萬的總收入，已知生產(chǎn)此盲盒年（為正整數(shù)）所用的各種費用總計為萬元.(1)該公司第幾年首次盈利（總收入超過總支出，今年為第一年）？(2)該公司第幾年年平均利潤最大，最大是多少？【解析】（1）設利潤為，則，由整理得，解得，由于，所以，所以第3年首次盈利.（2）首先，由（1）得平均利潤萬元，當且僅當，萬元時等號成立，綜上，第7年，平均利潤最大，為12萬元.18．（17分）高斯，著名的數(shù)學家、物理學家、天文學家、是近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”之稱.函數(shù)成為高斯函數(shù)，其中表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，如，.(1)求的解集和的解集.(2)若，恒成立，求取值范圍.(3)若的解集為，求的范圍.【解析】（1）由題意得，且，由，即，所以，故的解集為；由，即，，則，所以.所以的解集為.（2），恒成立，即，恒成立，又，當且僅當時，即時等號成立.故的最小值為，所以要使恒成立，則.故的取值范圍為.（3）不等式，即，由方程可得或.①若，不等式為，即，所以，顯然不符合題意；②若，，由，解得，因為不等式的解集為，所以，解得③若，，由，解得，因為不等式解集為，所以，解得.綜上所述，或.故的范圍為.19．（17分）“函數(shù)的圖像關于點對稱”的充要條件是“對于函數(shù)定義域內的任意x，都有”．若函數(shù)的圖像關于點對稱，且當時，．(1)求的值；(2)設函數(shù)．（?。┳C明：函數(shù)的圖像關于點對稱；（ⅱ）若對任意，總存在，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）因為函數(shù)的圖像關于點對稱，則，令，可得．（2）（?。┳C明：由，得，所以函數(shù)的圖像關于對稱．（ⅱ），則在上單調遞增，所以的值域為，設在上的值域為A，對任意，總存在，使得成立，則，當時，，函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為，且，當，即，函數(shù)在上單調遞增，由對稱性可知，在上單調遞增，所以在上單調遞增