小學(xué)六年級數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)知識點歸納

小學(xué)六年級數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)知識點歸納

一.負數(shù)：

1、在熟悉的生活情境中初步認識負數(shù)，能正確的讀、寫正數(shù)和

負數(shù),知道0既不是正數(shù)也不是負數(shù)。

2、初步學(xué)會用負數(shù)表示一些日常生活中的實際問題，體驗數(shù)學(xué)

與生活的密切聯(lián)系。

3、能借助數(shù)軸初步學(xué)會比較正數(shù)、0和負數(shù)之間的大小。

二.圓柱和圓錐

1、認識圓柱和圓錐，掌握它們的基本特征。認識圓柱的底面、

側(cè)面和高。認識圓錐的底面和高。

2、探索并掌握圓柱的側(cè)面積、表面積的計算方法，以及圓柱、

圓錐體積的計算公式，會運用公式計算體積，解決有關(guān)的簡單實際問題。

3、通過觀察、設(shè)計和制作圓柱、圓錐模型等活動,了解平面圖

形與立體圖形之間的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

三、比例

1、理解比例的意義和基本性質(zhì)，會解比例。

2、理解正比例和反比例的意義，能找出生活中成正比例和成反

比例量的實例，能運用比例知識解決簡單的實際問題。

3、認識正比例關(guān)系的圖像，能根據(jù)給出的有正比例關(guān)系的數(shù)據(jù)

在有坐標(biāo)系的方格紙上畫出圖像，會根據(jù)其中一個量在圖像中找出或估

計出另一個量的值。

4、了解比例尺，會求平面圖的比例尺以及根據(jù)比例尺求圖上a巨

離或?qū)嶋H距離。

5、認識放大與縮小現(xiàn)象，能利用方格紙等形式按一定的比例將

簡單圖形放大或縮小，體會圖形的相似。

6、滲透函數(shù)思想，使學(xué)生受到辯證唯物主義觀點的啟蒙教育

四、統(tǒng)計

1、會綜合應(yīng)用學(xué)過的統(tǒng)計知識，能從統(tǒng)計圖中準確提取統(tǒng)計信

息，能夠正確解釋統(tǒng)計結(jié)果。

2、能根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，做出正確的判斷或簡單預(yù)測。

五、數(shù)學(xué)廣角

1、經(jīng)歷〃抽屜原理〃的探究過程，初步了解〃抽屜原理〃，會

用〃抽屜原理〃解決簡單的實際問題。2、通過〃抽屜原理〃的靈活應(yīng)

用感受數(shù)學(xué)的魅力。

六、整理和復(fù)習(xí)

L比較系統(tǒng)地掌握有關(guān)整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)和百分數(shù)、負數(shù)、比

和比例、方程的基礎(chǔ)知識。能比較熟練地進行整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的四則

運算，能進行整數(shù)、小數(shù)加、減、乘、除的估算，會使用學(xué)過的簡便算

法，合理、靈活地進行計算;會解學(xué)過的方程;養(yǎng)成檢查和驗算的習(xí)慣。

2、鞏固常用計量單位的表象，掌握所學(xué)單位間的進率，能夠進

行簡單的改寫。

3、掌握所學(xué)幾何形體的特征;能夠比較熟練地計算一些幾何形

體的周長、面積和體積，并能應(yīng)用;鞏固所學(xué)的簡單的畫圖、測量等技能;

鞏固軸對稱圖形的認識，會畫一個圖形的對稱軸，鞏固圖形的平移、旋

轉(zhuǎn)的認識;能用數(shù)對或根據(jù)方向和距離確定物體的位置掌握有關(guān)比例尺

的知識，并能應(yīng)用。

4、掌握所學(xué)的統(tǒng)計初步知識，能夠看和繪制簡單的統(tǒng)計圖表,

能夠根據(jù)數(shù)據(jù)做出簡單的判斷與預(yù)測，會求一些簡單事件的可能性，能

夠解決一些計算平均數(shù)的實際問題。

5、進一步感受數(shù)學(xué)知識間的相互聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)的作用;掌握

所學(xué)的常見數(shù)量關(guān)系和解決問題的思考方法，能夠比較靈活地運用所學(xué)

知識解決生活中一些簡單的實際問題。

（一）數(shù)的讀法和寫法1.整數(shù)的讀法：從高位到低位，一級一

級地讀。讀億級、萬級時，先按照個級的讀法去讀，再在后面加一個〃億〃

或〃萬〃字。每一級末尾的0都不讀出來，其它數(shù)位連續(xù)有幾個0都只

讀一個零。

2.整數(shù)的寫法：從高位到低位，一級一級地寫，哪一個數(shù)位上

一個單位也沒有，就在那個數(shù)位上寫

0o

3.小數(shù)的讀法：讀小數(shù)的時候，整數(shù)部分按照整數(shù)的讀法讀,

小數(shù)點讀作〃點〃，小數(shù)部分從左向右順次讀出每一位數(shù)位上的數(shù)字。

4.小數(shù)的寫法：寫小數(shù)的時候，整數(shù)部分按照整數(shù)的寫法來寫，

小數(shù)點寫在個位右下角，小數(shù)部分順次寫出每一個數(shù)位上的數(shù)字。

5.分數(shù)的讀法：讀分數(shù)時，先讀分母再讀〃分之〃然后讀分子，

分子和分母按照整數(shù)的讀法來讀。6.分數(shù)的寫法：先寫分數(shù)線，

再寫分母，最后寫分子，按照整數(shù)的寫法來寫。

7.百分數(shù)的讀法：讀百分數(shù)時，先讀百分之，再讀百分號前面

的數(shù)，讀數(shù)時按照整數(shù)的讀法來讀。

8.百分數(shù)的寫法：百分數(shù)通常不寫成分數(shù)形式，而在原來的分

子后面加上百分號〃％〃來表示。

（二）數(shù)的改寫

一個較大的多位數(shù)，為了讀寫方便，常常把它改寫成用〃萬〃

或〃億〃作單位的數(shù)。有時還可以根據(jù)需要，省略這個數(shù)某一位后面的

數(shù)，寫成近似數(shù)。

1.準確數(shù)：在實際生活中，為了計數(shù)的簡便，可以把一個較大

的數(shù)改寫成以萬或億為單位的數(shù)。改寫后的數(shù)是原數(shù)的準確數(shù)。例如把

1254300000改寫成以萬做單位的數(shù)是125430萬;改寫成以億

做單位的數(shù)12.543億。

2,近似數(shù)：根據(jù)實際需要，我們還可以把一個較大的數(shù)，省略

某一位后面的尾數(shù),用一個近似數(shù)來表示。例如：1302490015省略

億后面的尾數(shù)是13億。

3.四舍五入法要省略的尾數(shù)的最高位上的數(shù)是4或者比4小,

就把尾數(shù)去掉;如果尾數(shù)的最高位上的數(shù)是5或者比5大，就把尾數(shù)舍

去，并向它的前一位進lo例如：省略345900萬后面的尾數(shù)約是

35萬。省略4725097420億后面的尾數(shù)約是47億。

4.大小比較

1.比較整數(shù)大?。罕容^整數(shù)的大小，位數(shù)多的那個數(shù)就大，如

果位數(shù)相同，就看最高位，最高位上的數(shù)大，那個數(shù)就大;最高位上的數(shù)

相同，就看下T立，哪一位上的數(shù)大那個數(shù)就大。

2.比較小數(shù)的大?。合瓤此鼈兊恼麛?shù)部分，，整數(shù)部分大的那

個數(shù)就大;整數(shù)部分相同的，十分位上的數(shù)大的那個數(shù)就大;十分位上的

數(shù)也相同的，百分位上的數(shù)大的那個數(shù)就大……

3.比較分數(shù)的大小:分母相同的分數(shù)，分子大的分數(shù)比較大;分

子相同的數(shù)，分母小的分數(shù)大。分數(shù)的分母和分子都不相同的，先通分，

再比較兩個數(shù)的大小。

（三）數(shù)的互化

1.小數(shù)化成分數(shù)：原來有幾位小數(shù)，就在1的后面寫幾個零作

分母，把原來的小數(shù)去掉小數(shù)點作分子，能約分的要約分。

2.分數(shù)化成小數(shù):用分母去除分子。能除盡的就化成有限小數(shù),

有的不能除盡，不能化成有限小數(shù)的，一般保留三位小數(shù)。

3.一個最簡分數(shù)，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的

質(zhì)因數(shù)，這個分數(shù)就能化成有限小數(shù);如果分母中含有2和5以外的質(zhì)

因數(shù)，這個分數(shù)就不能化成有限小數(shù)。

4.小數(shù)化成百

分數(shù)：只要把小數(shù)點向右移動兩位，同時在后面添上百分號。

5.百分數(shù)化成小數(shù)：把百分數(shù)化成小數(shù)，只要把百分號去掉,

同時把小數(shù)點向左移動兩位。

6.分數(shù)化成百分數(shù)：通常先把分數(shù)化成小數(shù)（除不盡時，通常保

留三位小數(shù)），再把小數(shù)化成百分數(shù)。

7.百分數(shù)化成小數(shù)：先把百分數(shù)改寫成分數(shù),能約分的要約成

最簡分數(shù)。

（四）數(shù)的整除

1.把一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，通常用短除法。先用能整除這個合

數(shù)的質(zhì)數(shù)去除，一直除到商是質(zhì)數(shù)為止，再把除數(shù)和商寫成連乘的形式。

2.求幾個數(shù)的最大公約數(shù)的方法是：先用這幾個數(shù)的公約數(shù)連

續(xù)去除，一直除到所得的商只有公約數(shù)1為止，然后把所有的除數(shù)連乘

求積，這個積就是這幾個數(shù)的的最大公約數(shù)。

3.求幾個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法是:先用這幾個數(shù)（或其中的部

分數(shù)）的公約數(shù)去除，一直除到互質(zhì)（或兩兩互質(zhì)）為止，然后把所有的除

數(shù)和商連乘求積，這個積就是這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。4.成為互

質(zhì)關(guān)系的兩個數(shù)：1和任何自然數(shù)互質(zhì)；相鄰的兩個自然數(shù)互質(zhì)；當(dāng)合

數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時這個合數(shù)和這個質(zhì)數(shù)互質(zhì)；兩個合數(shù)的公約數(shù)

只有1時，這兩個合數(shù)互質(zhì)。（五）約分和通分約分的方法：用

分子和分母的公約數(shù)Q除外）去除分子、分母;通常要除到得出最簡分數(shù)

為止。

通分的方法：先求出原來的幾個分數(shù)分母的最小公倍數(shù)，然后

把各分數(shù)化成用這個最小公倍數(shù)作分母的分數(shù)。

小數(shù)

1.小數(shù)的意義

把整數(shù)1平均分成10份、100份、1000份……得到的十分之

幾、百分之幾、千分之幾……可以用小數(shù)表示。一位小數(shù)表示十分

之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾……一個小

數(shù)由整數(shù)部分、小數(shù)部分和小數(shù)點部分組成。數(shù)中的圓點叫做小數(shù)點,

小數(shù)點左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分，小數(shù)點左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分，小數(shù)點

右邊的數(shù)叫做小數(shù)部分。

在小數(shù)里，每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進率都是10。小數(shù)部分

的最高分數(shù)單位〃十分之一〃和整數(shù)部分的最低單位〃一〃之間的進率

也是

10o

2.小數(shù)的分類

純小數(shù)：整數(shù)部分是零的小數(shù)，叫做純小數(shù)。例如：025、

0.368都是純小數(shù)。帶小數(shù)：整數(shù)部分不是零的小數(shù)，叫做帶小數(shù)。

例如：3.25、5.26都是帶小數(shù)。

有限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是有限的小數(shù)，叫做有限小數(shù)。

例如：41.7、25.3、0.23都是有限小數(shù)。

無限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是無限的小數(shù)，叫做無限小數(shù)。

例如：4.33??????3.1415926……

無限不循環(huán)小數(shù)：一個數(shù)的小數(shù)部分，數(shù)字排列無規(guī)律且位數(shù)

無限，這樣的小數(shù)叫做無限不循環(huán)小數(shù)。例如：n循環(huán)小數(shù)：一

個數(shù)的小數(shù)部分，有一個數(shù)字或者幾個數(shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn)，這個數(shù)

叫做循環(huán)小數(shù)。例如:3.555.???..0.0333??????12.109109?

一個循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分，依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字叫做這個循環(huán)小數(shù)

的循環(huán)節(jié)。例如：3.99……的循環(huán)節(jié)是"9",0.5454……的循

環(huán)節(jié)是〃54〃。純循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位開始的，叫

做純循環(huán)小數(shù)。例如：3.111……0.5656……

混循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開始的，叫做混循

環(huán)小數(shù)。3.1222……0.03333……寫循環(huán)小數(shù)的時候為了簡便,

小數(shù)的循環(huán)部分只需寫出一個循環(huán)節(jié)，并在這個循環(huán)節(jié)的首、末位數(shù)字

上各點一個圓點。如果循環(huán)節(jié)只有一個數(shù)字，就只在它的上面點一個

點。例如：3.777……簡寫作0.5302302……簡寫作o

分數(shù)

1.分數(shù)的意義把單位〃r平均分成若干份，表示這樣的一

份或者幾份的數(shù)叫做分數(shù)。

在分數(shù)里，中間的橫線叫做分數(shù)線;分數(shù)線下面的數(shù)，叫做分母,

表示把單位平均分成多少份;分數(shù)線下面的數(shù)叫做分子，表示有這

樣的多少份。

把單位“r平均分成若干份，表示其中的一份的數(shù)，叫做分數(shù)

單位。

2.分數(shù)的分類

真分數(shù)：分子比分母小的分數(shù)叫做真分數(shù)。真分數(shù)小于lo

假分數(shù)：分子比分母大或者分子和分母相等的分數(shù)，叫做假分

數(shù)。假分數(shù)大于或等于1.帶分數(shù)：假分數(shù)可以寫成整數(shù)與真分數(shù)合成

的數(shù)，通常叫做帶分數(shù)。3約分和通分

把一個分數(shù)化成同它相等但是分子、分母都比較小的分數(shù)，叫

做約分。分子分母是互質(zhì)數(shù)的分數(shù)，叫做最簡分數(shù)。把異分母分

數(shù)分別化胡口原來分數(shù)相等的同分母分數(shù)，叫做通分。

（四）百分數(shù)1.表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)叫做

百分數(shù)，也叫做百分率或百分比。百分數(shù)通常用“％”來表示。百分號是表

示百分數(shù)的符號。

比例表示兩個相等的式子叫做比例。在比例里，兩個外項的積

等于兩個內(nèi)項。這叫做《比例的基本性質(zhì)》

根據(jù)比例的基本性質(zhì)，如果已知比例中的任何三項，就可以求

出這個比例中的另一個未知項。求比例中的未知項，叫做解比例如：

x:320=1:1010x=320x1x=320+10x=32

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第一章數(shù)和數(shù)的運算

-概念

1整數(shù)的意義

自然數(shù)和0都是整數(shù)。

2自然數(shù)

我們在數(shù)物體的時候，用來表示物體個數(shù)的1,2,3……叫做自

然數(shù)。

一個物體也沒有，用0表示。0也是自然數(shù)。

3計數(shù)單位

一（個）、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億……都是計數(shù)

單位。

每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進率都是10。這樣的計數(shù)法叫做十

進制計數(shù)法。

4數(shù)位

計數(shù)單位按照一定的順序排列起來，它們所占的位置叫做數(shù)位。

5數(shù)的整除

整數(shù)a除以整數(shù)b（b/0）,除得的商是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們

就說a能被b整除，或者說b能整除a。

如果數(shù)a能被數(shù)b（b豐0）整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做

a的約數(shù)（或a的因數(shù)）。倍數(shù)和約數(shù)是相互依存的。

因為35能被7整除，所以35是7的倍數(shù)，7是35的約數(shù)。

一個數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是有限的，其中最小的約數(shù)是1,最大的

約數(shù)是它本身。例如：10的約數(shù)有1、2、5、10,其中最小的約數(shù)是

1,最大的約數(shù)是10。

一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身。3

的倍數(shù)有：3、6、9、12……其中最小的倍數(shù)是3,沒有最大的倍數(shù)。

個位上是0、2、4、6、8的數(shù),都能被2整除，例如:202、

480、304,都能被2整除。。

個位上是0或5的數(shù)，都能被5整除,例如：5、30、405都

能被5整除。。

一個數(shù)的各位上的數(shù)的和能被3整除，這個數(shù)就能被3整除，

例如：12、例8、204都能被3整除。

一個數(shù)各位數(shù)上的和能被9整除，這個數(shù)就能被9整除。

能被3整除的數(shù)不一定能被9整除，但是能被9整除的數(shù)一定

能被3整除。

一個數(shù)的末兩位數(shù)能被4（或25）整除,這個數(shù)就能被4（或25）

整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675

都能被25整除。

一個數(shù)的末三位數(shù)能被8（或125）整除，這個數(shù)就能被8（或12

5）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、1

3375、5000都能被125整除。

能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)。

不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。

0也是偶數(shù)。自然數(shù)按能否被2整除的特征可分為奇數(shù)和偶數(shù)。

一個數(shù)，如果只有1和它本身兩個約數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或

素數(shù)）,100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、

31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、9

7。

一個數(shù)，如果除了1和它本身還有別的約數(shù)，這樣的數(shù)叫做合

數(shù)，例如4、6、8、9、12都是合數(shù)。

1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，自然數(shù)除了1外,不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。

如果把自然數(shù)按其約數(shù)的個數(shù)的不同分類，可分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和lo

每個合數(shù)都可以寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式。其中每個質(zhì)數(shù)都是

這個合數(shù)的因數(shù)，叫做這個合數(shù)的質(zhì)因數(shù)，例如15=3x5,3和5叫做

15的質(zhì)因數(shù)。

把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。

例如把28分解質(zhì)因數(shù)

幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)。其中最大的一個，

叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)，例如12的約數(shù)有L2、3、4、6、12;1

8的約數(shù)有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和18的

公約數(shù)，6是它們的最大公約數(shù)。

公約數(shù)只有1的兩個數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)，成互質(zhì)關(guān)系的兩個數(shù)，

有下列幾種情況：

1和任何自然數(shù)互質(zhì)。

相鄰的兩個自然數(shù)互質(zhì)。

兩個不同的質(zhì)數(shù)互質(zhì)。

當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時，這個合數(shù)和這個質(zhì)數(shù)互質(zhì)。

兩個合數(shù)的公約數(shù)只有1時，這兩個合數(shù)互質(zhì)，如果幾個數(shù)中

任意兩個都互質(zhì)，就說這幾個數(shù)兩兩互質(zhì)。

如果較小數(shù)是較大數(shù)的約數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個數(shù)的最大

公約數(shù)。

如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公約數(shù)就是lo

幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個，

叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)，如2的倍數(shù)有2、4、6、8、10、12、1

4、16、18.......

3的倍數(shù)有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……

是2、3的公倍數(shù)，6是它們的最小公倍數(shù)一

如果較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較大數(shù)就是這兩個數(shù)的最小

公倍數(shù)。

如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個數(shù)的積就是它們的最小公倍

數(shù)。

幾個數(shù)的公約數(shù)的個數(shù)是有限的，而幾個數(shù)的公倍數(shù)的個數(shù)是

無限的。

（二）小數(shù)

1小數(shù)的意義

把整數(shù)I平均分成10份、100份、1000份……得到的十分之

幾、百分之幾、千分之幾可以用小數(shù)表示。

一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表

示千分之幾……

一個小數(shù)由整數(shù)部分、小數(shù)部分和小數(shù)點部分組成。數(shù)中的圓

點叫做小數(shù)點，小數(shù)點左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分，小數(shù)點左邊的數(shù)叫做整

數(shù)部分，小數(shù)點右邊的數(shù)叫做小數(shù)部分。

在小數(shù)里，每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進率都是10。小數(shù)部分

的最高分數(shù)單位〃十分之一〃和整數(shù)部分的最低單位〃一〃之間的進率

也是10。

2小數(shù)的分類

純小數(shù)：整數(shù)部分是零的小數(shù)，叫做純小數(shù)。例如：0.25、

0.368都是純小數(shù)。

帶小數(shù):整數(shù)部分不是零的小數(shù)，叫做帶小數(shù)。例如：3.25、

5.26都是帶小數(shù)。

有限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是有限的小數(shù)，叫做有限小數(shù)。

例如：41.7、25.3、0.23都是有限小數(shù)。

無限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是無限的小數(shù)，叫做無限小數(shù)。

例如：4.33……3.1415926……

無限不循環(huán)小數(shù)：一個數(shù)的小數(shù)部分，數(shù)字排列無規(guī)律且位數(shù)

無限，這樣的小數(shù)叫做無限不循環(huán)小數(shù)。例如：口

循環(huán)小數(shù)：一個數(shù)的小數(shù)部分，有一個數(shù)字或者幾個數(shù)字依次

不斷重復(fù)出現(xiàn)，這個數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。例如：3.555……0.0333……

12.109109……

一個循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分，依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字叫做這個

循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。例如：3.99……的循環(huán)節(jié)是〃9",0.5454

……的循環(huán)節(jié)是〃54”。

純循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位開始的，叫做純循環(huán)小

數(shù)。例如：3.111……0.5656……

混循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開始的，叫做混循

環(huán)小數(shù)。3.1222??????0.03333……

寫循環(huán)小數(shù)的時候，為了簡便，小數(shù)的循環(huán)部分只需寫出一個

循環(huán)節(jié)，并在這個循環(huán)節(jié)的首、末位數(shù)字上各點一個圓點。如果循環(huán)

節(jié)只有一個數(shù)字，就只在它的上面點一個點。例如：3.777……簡寫

作0.5302302……簡寫作。

（三）分數(shù)

1分數(shù)的意義

把單位〃1〃平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)叫

做分數(shù)。

在分數(shù)里，中間的橫線叫做分數(shù)線;分數(shù)線下面的數(shù)，叫做分母,

表示把單位平均分成多少份;分數(shù)線下面的數(shù)叫做分子，表示有這

樣的多少份。

把單位〃r平均分成若干份，表示其中的一份的數(shù)，叫做分數(shù)

單位。

2分數(shù)的分類

真分數(shù)：分子比分母小的分數(shù)叫做真分數(shù)。真分數(shù)小于1。

假分數(shù)：分子比分母大或者分子和分母相等的分數(shù)，叫做假分

數(shù)。假分數(shù)大于或等于lo

帶分數(shù)：假分數(shù)可以寫成整數(shù)與真分數(shù)合成的數(shù)，通常叫做帶

分數(shù)。

3約分和通分

把一個分數(shù)化成同它相等但是分子、分母都比較小的分數(shù)，叫

做約分。

分子分母是互質(zhì)數(shù)的分數(shù)，叫做最簡分數(shù)。

把異分母分數(shù)分別化成和原來分數(shù)相等的同分母分數(shù)，叫做通

分。

（四）百分數(shù)

1表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)叫做百分數(shù),也叫做

百分率或百分比。百分數(shù)通常用”％”來表示。百分號是表示百分數(shù)的符

號。

—方法

（一）數(shù)的讀法和寫法

1.整數(shù)的讀法：從高位到低位，一級一級地讀。讀億級、萬級

時，先按照個級的讀法去讀，再在后面加一個〃億〃或〃萬〃字。每一

級末尾的0者壞讀出來，其它數(shù)位連續(xù)有幾個0都只讀一個零。

2.整數(shù)的寫法：從高位到低位,一級一級地寫，哪一個數(shù)位上

一個單位也沒有，就在那個數(shù)位上寫0。

3.小數(shù)的讀法：讀小數(shù)的時候，整數(shù)部分按照整數(shù)的讀法讀，

小數(shù)點讀作〃點〃，小數(shù)部分從左向右順次讀出每一位數(shù)位上的數(shù)字。

4.小數(shù)的寫法：寫小數(shù)的時候，整數(shù)部分按照整數(shù)的寫法來寫,

小數(shù)點寫在個位右下角，小數(shù)部分順次寫出每一個數(shù)位上的數(shù)字。

5.分數(shù)的讀法：讀分數(shù)時，先讀分母再讀〃分之〃然后讀分子,

分子和分母按照整數(shù)的讀法來讀。

6.分數(shù)的寫法：先寫分數(shù)線，再寫分母，最后寫分子，按照整

數(shù)的寫法來寫。

7.百分數(shù)的讀法：讀百分數(shù)時，先讀百分之，再讀百分號前面

的數(shù)，讀數(shù)時按照整數(shù)的讀法來讀。

8.百分數(shù)的寫法：百分數(shù)通常不寫成分數(shù)形式，而在原來的分

子后面加上百分號〃％〃來表示。

（二）數(shù)的改寫

一個較大的多位數(shù)，為了讀寫方便，常常把它改寫成用〃萬〃

或〃億〃作單位的數(shù)。有時還可以根據(jù)需要，省略這個數(shù)某一位后面的

數(shù)，寫成近似數(shù)。

1.準確數(shù)：在實際生活中，為了計數(shù)的簡便，可以把一個較大

的數(shù)改寫成以萬或億為單位的數(shù)。改寫后的數(shù)是原數(shù)的準確數(shù)。例如

把1254300000改寫成以萬做單位的數(shù)是125430萬;改寫成以億

做單位的數(shù)12.543億。

2.近似數(shù)：根據(jù)實際需要，我們還可以把一個較大的數(shù)，省略

某一位后面的尾數(shù)，用一個近似數(shù)來表示。例如：1302490015省

略億后面的尾數(shù)是13億。

3.四舍五入法：要省略的尾數(shù)的最高位上的數(shù)是4或者比4

小，就把尾數(shù)去掉;如果尾數(shù)的最高位上的數(shù)是5或者比5大，就把尾

數(shù)舍去，并向它的前一位進lo例如：省略345900萬后面的尾數(shù)約

是35萬。省略4725097420億后面的尾數(shù)約是47億。

4.大小比較

1.比較整數(shù)大?。罕容^整數(shù)的大小，位數(shù)多的那個數(shù)就大，如

果位數(shù)相同，就看最高位，最高位上的數(shù)大，那個數(shù)就大;最高位上的數(shù)

相同，就看下T立，哪一位上的數(shù)大那個數(shù)就大。

2.比較小數(shù)的大小：先看它們的整數(shù)部分，，整數(shù)部分大的那

個數(shù)就大;整數(shù)部分相同的，十分位上的數(shù)大的那個數(shù)就大;十分位上的

數(shù)也相同的，百分位上的數(shù)大的那個數(shù)就大……

3.比較分數(shù)的大小:分母相同的分數(shù)，分子大的分數(shù)比較大;分

子相同的數(shù)，分母小的分數(shù)大。分數(shù)的分母和分子都不相同的，先通分，

再比較兩個數(shù)的大小。

（三）數(shù)的互化

1.小數(shù)化成分數(shù)：原來有幾位小數(shù)，就在1的后面寫幾個零作

分母，把原來的小數(shù)去掉小數(shù)點作分子，能約分的要約分。

2.分數(shù)化成小數(shù):用分母去除分子。能除盡的就化成有限小數(shù),

有的不能除盡，不能化成有限小數(shù)的，一般保留三位小數(shù)。

3.一個最簡分數(shù)，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的

質(zhì)因數(shù)，這個分數(shù)就能化成有限小數(shù);如果分母中含有2和5以外的質(zhì)

因數(shù)，這個分數(shù)就不能化成有限小數(shù)。

4.小數(shù)化成百分數(shù)：只要把小數(shù)點向右移動兩位，同時在后面

添上百分號。

5.百分數(shù)化成小數(shù)：把百分數(shù)化成小數(shù)，只要把百分號去掉，

同時把小數(shù)點向左移動兩位。

6.分數(shù)化成百分數(shù)：通常先把分數(shù)化成小數(shù)（除不盡時，通常保

留三位小數(shù)），再把小數(shù)化成百分數(shù)。

7.百分數(shù)化成小數(shù)：先把百分數(shù)改寫成分數(shù)，能約分的要約成

最簡分數(shù)。

（四）數(shù)的整除

1.把一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，通常用短除法。先用能整除這個合

數(shù)的質(zhì)數(shù)去除，一直除到商是質(zhì)數(shù)為止，再把除數(shù)和商寫成連乘的形式。

2.求幾個數(shù)的最大公約數(shù)的方法是：先用這幾個數(shù)的公約數(shù)連

續(xù)去除，一直除到所得的商只有公約數(shù)1為止，然后把所有的除數(shù)連乘

求積，這個積就是這幾個數(shù)的的最大公約數(shù)。

3.求幾個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法是:先用這幾個數(shù)（或其中的部

分數(shù)）的公約數(shù)去除，一直除到互質(zhì)（或兩兩互質(zhì)）為止，然后把所有的除

數(shù)和商連乘求積，這個積就是這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。

4.成為互質(zhì)關(guān)系的兩個數(shù)：1和田可自然數(shù)互質(zhì)；相鄰的兩個

自然數(shù)互質(zhì)；當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時，這個合數(shù)和這個質(zhì)數(shù)互質(zhì)；兩

個合數(shù)的公約數(shù)只有1時，這兩個合數(shù)互質(zhì)。

（五）約分和通分

約分的方法：用分子和分母的公約數(shù)Q除外）去除分子、分母；

通常要除到得出最簡分數(shù)為止。

通分的方法：先求出原來的幾個分數(shù)分母的最小公倍數(shù)，然后

把各分數(shù)化成用這個最小公倍數(shù)作分母的分數(shù)。

三性質(zhì)和規(guī)律

（一）商不變的規(guī)律

商不變的規(guī)律：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時擴大或者同時縮

小相同的倍，商不變。

（二）小數(shù)的性質(zhì)

小數(shù)的性質(zhì)：在小數(shù)的末尾添上零或者去掉零小數(shù)的大小不變。

（三）小數(shù)點位置的移動引起小數(shù)大小的變化

L小數(shù)點向右移動一位，原來的數(shù)就擴大10倍;小數(shù)點向右移

動兩位，原來的數(shù)就擴大100倍;小數(shù)點向右移動三位，原來的數(shù)就擴

大1000倍……

2.小數(shù)點向左移動一位，原來的數(shù)就縮小10倍;小數(shù)點向左移

動兩位，原來的數(shù)就縮小100倍;小數(shù)點向左移動三位，原來的數(shù)就縮

小1000倍……

3.小數(shù)點向左移或者向右移位數(shù)不夠時，要用〃0”補足位。

（四）分數(shù)的基本性質(zhì)

分數(shù)的基本性質(zhì)：分數(shù)的分子和分母都乘以或者除以相同的數(shù)

（零除外），分數(shù)的大小不變。

（五）分數(shù)與除法的關(guān)系

1.被除數(shù)+除數(shù)=被除數(shù)/除數(shù)

2.因為零不能作除數(shù)，所以分數(shù)的分母不能為零。

3.被除數(shù)相當(dāng)于分子，除數(shù)相當(dāng)于分母。

四運算的意義

（一）整數(shù)四則運算

1整數(shù)加法：

把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算叫做加法。

在加法里，相加的數(shù)叫做加數(shù)，加得的數(shù)叫做和。加數(shù)是部分

數(shù)，和是總數(shù)。

加數(shù)十加數(shù)二和一個加數(shù)二和-另T加數(shù)

2整數(shù)減法：

已知兩個加數(shù)的和與其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算叫

做減法。

在減法里，已知的和叫做被減數(shù)，已知的加數(shù)叫做減數(shù)，未知

的加數(shù)叫做差。被減數(shù)是總數(shù)，減數(shù)和差分別是部分數(shù)。

加法和減法互為逆運算。

3整數(shù)乘法：

求幾個相同加數(shù)的和的簡便運算叫做乘法。

在乘法里，相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個數(shù)都叫做因數(shù)。相同加

數(shù)的和叫做積。

在乘法里。和任何數(shù)相乘都得0.1和任何數(shù)相乘都的任何數(shù)。

一個因數(shù)x一個因數(shù)二積一個因數(shù)二積：另一個因數(shù)

4整數(shù)除法：

已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算叫做

除法。

在除法里，已知的積叫做被除數(shù)，已知的一個因數(shù)叫做除數(shù)，

所求的因數(shù)叫做商。

乘法和除法互為逆運算。

在除法里，0不能做除數(shù)。因為0和任何數(shù)相乘都得0,所以

彳小可一個數(shù)除以0,均得不到一個確定的商。

被除數(shù);除數(shù)工商除數(shù)二被除數(shù)?商被除數(shù)工商X除數(shù)

（二）小數(shù)四則運算

1.小數(shù)加法：

小數(shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同。是把兩個數(shù)合并成一

個數(shù)的運算。

2.小數(shù)減法：

小數(shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同。已知兩個加數(shù)的和與

其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算.

3?小數(shù)乘法：

小數(shù)乘整數(shù)的意義和整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個相同加

數(shù)和的簡便運算;一個數(shù)乘純小數(shù)的意義是求這個數(shù)的十分之幾、百分之

幾、千分之幾……是多少。

4.小數(shù)除法：

小數(shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同，就是已知兩個因數(shù)的

積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算。

5.乘方：

求幾個相同因數(shù)的積的運算叫做乘方。例如3x3=32

（三）分數(shù)四則運算

1.分數(shù)加法：

分數(shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同。是把兩個數(shù)合并成一

個數(shù)的運算。

2.分數(shù)減法：

分數(shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同。已知兩個加數(shù)的和與

其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算。

3.分數(shù)乘法：

分數(shù)乘法的意義與整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個相同加數(shù)

和的簡便運算。

4.乘積是1的兩個數(shù)叫做互為倒數(shù)。

5.分數(shù)除法:

分數(shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同。就是已知兩個因數(shù)的

積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算。

(四)運算定律

1.加法交換律：

兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，它們的和不變，即a+b=b+a。

2.加法結(jié)合律：

三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，再加上第三個數(shù);或者先把后

兩個數(shù)相加，再和第一個數(shù)相加它們的和不變，即(a+b)+c=a+(b+c)。

3.乘法交換律：

兩個數(shù)相乘,交換因數(shù)的位置它們的積不變,§Paxb=bxae

4.乘法結(jié)合律：

三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，再乘以第三個數(shù);或者先把后

兩個數(shù)相乘，再和第一個數(shù)相乘，它們的積不變，即(axb)xc=ax(bxc)

5.乘法分配律:

兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，可以把兩個加數(shù)分別與這個數(shù)相乘

再把兩個積相加，BP(a+b)xc=axc+bxco

6.減法的性質(zhì)：

從一個數(shù)里連續(xù)減去幾個數(shù)，可以從這個數(shù)里減去所有減數(shù)的

和,差不變，即a-b-c=a-(b+c)。

(五)運算法則

1.整數(shù)加法計算法則：

相同數(shù)位對齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)相加滿十，就向前

T立進一。

2.整數(shù)減法計算法則：

相同數(shù)位對齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)不夠減，就從它的

前一位退一作十，和本位上的數(shù)合并在一起，再減。

3.整數(shù)乘法計算法則：

先用一個因數(shù)每一位上的數(shù)分別去乘另一個因數(shù)各個數(shù)位上的

數(shù)，用因數(shù)哪一位上的數(shù)去乘，乘得的數(shù)的末尾就對齊哪T立，然后把

各次乘得的數(shù)加起來。

4.整數(shù)除法計算法則：

先從被除數(shù)的高位除起，除數(shù)是幾位數(shù)，就看被除數(shù)的前幾位;

如果不夠除，就多看一位，除到被除數(shù)的哪一位，商就寫在哪一位的

上面。如果哪T立上不夠商1,要補"0"占位。每次除得的余數(shù)要小

于除數(shù)。

5.小數(shù)乘法法則：

先按照整數(shù)乘法的計算法則算出積，再看因數(shù)中共有幾位小數(shù),

就從積的右邊起數(shù)出幾位，點上小數(shù)點;如果位數(shù)不夠，就用補足。

6.除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法計算法則：

先按照整數(shù)除法的法則去除，商的小數(shù)點要和被除數(shù)的小數(shù)點

對齊;如果除到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù)，就在余數(shù)后面添，再繼續(xù)

除。

7.除數(shù)是小數(shù)的除法計算法則：

先移動除數(shù)的小數(shù)點，使它變成整數(shù)，除數(shù)的小數(shù)點也向右移

動幾位（位數(shù)不夠的補〃0〃）然后按照除數(shù)是整數(shù)的除法法則進行計算。

8.同分母分數(shù)加減法計算方法：

同分母分數(shù)相加減，只把分子相加減，分母不變。

9.異分母分數(shù)加減法計算方法：

先通分，然后按照同分母分數(shù)加減法的的法則進行計算。

10.帶分數(shù)加減法的計算方法：

整數(shù)部分和分數(shù)部分分別相加減，再把所得的數(shù)合并起來。

11.分數(shù)乘法的計算法則：

分數(shù)乘整數(shù)，用分數(shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子，分母不變;

分數(shù)乘分數(shù)，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。

12.分數(shù)除法的計算法則：

甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)。

（六）運算順序

1.小數(shù)四則運算的運算順序和整數(shù)四則運算順序相同。

2.分數(shù)四則運算的運算順序和整數(shù)四則運算順序相同。

3.沒有括號的混合運算：

同級運算從左往右依次運算;兩級運算先算乘、除法，后算加

減法。

4.有括號的混合運算：

先算小括號里面的，再算中括號里面的，最后算括號外面的。

5.第一級運算：

加法和減法叫做第一級運算。

6.第二級運算：

乘法和除法叫做第二級運算。

五應(yīng)用

(一)整數(shù)和小數(shù)的應(yīng)用

1簡單應(yīng)用題

(1)簡單應(yīng)用題：只含有一種基本數(shù)量關(guān)系，或用一步運算解

答的應(yīng)用題，通常叫做簡單應(yīng)用題。

(2)解題步驟:

a審題理解題意：了解應(yīng)用題的內(nèi)容，知道應(yīng)用題的條件和問

題。讀題時，不丟字不添字邊讀邊思考，弄明白題中每句話的意思。也

可以復(fù)述條件和問題，幫助理解題意。

b選擇算法和列式計算：這是解答應(yīng)用題的中心工作。從題目

中告訴什么,要求什么著手,逐步根據(jù)所給的條件和問題,聯(lián)系四則運

算的含義，分析數(shù)量關(guān)系確定算法，進行解答并標(biāo)明正確的單位名稱。

C檢驗：就是根據(jù)應(yīng)用題的條件和問題進行檢查看所列算式和

計算過程是否正確，是否符合題意。如果發(fā)現(xiàn)錯誤，馬上改正。

2復(fù)合應(yīng)用題

Q)有兩個或兩個以上的基本數(shù)量關(guān)系組成的，用兩步或兩步以

上運算解答的應(yīng)用題，通常叫做復(fù)合應(yīng)用題。

(2)含有三個已知條件的兩步計算的應(yīng)用題。

求比兩個數(shù)的和多(少)幾個數(shù)的應(yīng)用題。

比較兩數(shù)差與倍數(shù)關(guān)系的應(yīng)用題。

(3)含有兩個已知條件的兩步計算的應(yīng)用題。

已知兩數(shù)相差多少(或倍數(shù)關(guān)系)與其中一個數(shù)，求兩個數(shù)的和

(或差)。

已知兩數(shù)之和與其中一個數(shù)，求兩個數(shù)相差多少(或倍數(shù)關(guān)系)。

(4)解答連乘連除應(yīng)用題。

(5)解答三步計算的應(yīng)用題。

(6)解答小數(shù)計算的應(yīng)用題：小數(shù)計算的加法、減法、乘法和除

法的應(yīng)用題，他們的數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)、和解題方式都與正式應(yīng)用題基本

相同，只是在已知數(shù)或未知數(shù)中間含有小數(shù)。

d答案：根據(jù)計算的結(jié)果，先口答，逐步過渡到筆答。

(3)解答加法應(yīng)用題：

a求總數(shù)的應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少，乙數(shù)是多少，求甲乙兩

數(shù)的和是多少。

b求比一個數(shù)多幾的數(shù)應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少和乙數(shù)比甲數(shù)

多多少，求乙數(shù)是多少。

(4)解答減法應(yīng)用題：

a求剩余的應(yīng)用題：從已知數(shù)中去掉一部分，求剩下的部分。

-b求兩個數(shù)相差的多少的應(yīng)用題：已知甲乙兩數(shù)各是多少，求

甲數(shù)比乙數(shù)多多少，或乙數(shù)比甲數(shù)少多少。

c求比一個數(shù)少幾的數(shù)的應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少，，乙數(shù)比

甲數(shù)少多少，求乙數(shù)是多少。

(5)解答乘法應(yīng)月題：

a求相同加數(shù)和的應(yīng)用題已知相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個數(shù)，

求總數(shù)。

b求一個數(shù)的幾倍是多少的應(yīng)用題：已知一個數(shù)是多少，另一

個數(shù)是它的幾倍，求另一個數(shù)是多少。

(6)解答除法應(yīng)月題：

a把一個數(shù)平均分成幾份，求每一份是多少的應(yīng)用題：已知一

個數(shù)和把這個數(shù)平均分成幾份的，求每一份是多少。

b求一個數(shù)里包含幾個另一個數(shù)的應(yīng)用題：已知一個數(shù)和每份

是多少，求可以分成幾份。

C求一個數(shù)是另一個數(shù)的的幾倍的應(yīng)用題：已知甲數(shù)乙數(shù)各是

多少，求較大數(shù)是較小數(shù)的幾倍。

d已知一個數(shù)的幾倍是多少，求這個數(shù)的應(yīng)用題。

(7)常見的數(shù)量關(guān)系:

總價=單價x數(shù)量

路程二速度x時間

工作總量二工作時間x工效

總產(chǎn)量二單產(chǎn)量X數(shù)量

3典型應(yīng)用題

具有獨特的結(jié)構(gòu)特征的和特定的解題規(guī)律的復(fù)合應(yīng)用題，通常

叫做典型應(yīng)用題。

Q)平均數(shù)問題：平均數(shù)是等分除法的發(fā)展。

解題關(guān)鍵：在于確定總數(shù)量和與之相對應(yīng)的總份數(shù)。

算術(shù)平均數(shù)：已知幾個不相等的同類量和與之相對應(yīng)的份數(shù)，

求平均每份是多少。數(shù)量關(guān)系式:數(shù)量之和小數(shù)量的個數(shù)二算術(shù)平均數(shù)。

加權(quán)平均數(shù)：已知兩個以上若干份的平均數(shù)，求總平均數(shù)是多

少。

數(shù)量關(guān)系式（部分平均數(shù)X權(quán)數(shù)）的總和：（權(quán)數(shù)的和）二加權(quán)平均

數(shù)。

差額平均數(shù)：是把各個大于或小于標(biāo)準數(shù)的部分之和被總份數(shù)

均分，求的是標(biāo)準數(shù)與各數(shù)相差之和的平均數(shù)。

數(shù)量關(guān)系式伏數(shù)-小數(shù)H2=小數(shù)應(yīng)得數(shù)最大數(shù)與各數(shù)之差的

和：總份數(shù)二最大數(shù)應(yīng)給數(shù)最大數(shù)與個數(shù)之差的和：總份數(shù)二最小數(shù)應(yīng)

得數(shù)。

例：一輛汽車以每小時100千米的速度從甲地開往乙地,又

以每小時60千米的速度從乙地開往甲地。求這輛車的平均速度。

分析：求汽車的平均速度同樣可以利用公式。此題可以把甲地

到乙地的路程設(shè)為〃1〃，則汽車行駛的總路程為〃2〃，從甲地到

乙地的速度為100,所用的時間為，汽車從乙地到甲地速度為60

千米，所用的時間是，汽車共行的時間為十二，汽車的平均速度為

2-=75（千米）

（2）歸一問題：已知相互關(guān)聯(lián)的兩個量，其中一種量改變，另

一種量也隨之而改變，其變化的規(guī)律是相同的，這種問題稱之為歸一問

題。

根據(jù)求〃單一量〃的步驟的多少，歸一問題可以分為一次歸一

問題，兩次歸一問題。

根據(jù)球癡單一量之后，解題采用乘法還是除法，歸一問題可以

分為正歸一問題，反歸一問題。

一次歸一問題，用一步運算就能求出〃單一量〃的歸一問題。

又稱〃單歸一。〃

兩次歸一問題，用兩步運算就能求出“單一量”的歸一問題。

又稱〃雙歸一?！?/p>

正歸一問題：用等分除法求出〃單一量〃之后，再用乘法計算

結(jié)果的歸一問題。

反歸一問題：用等分除法求出〃單一量〃之后，再用除法計算

結(jié)果的歸一問題。

解題關(guān)鍵：從已知的一組對應(yīng)量中用等分除法求出一份的數(shù)量

（單一量），然后以它為標(biāo)準，根據(jù)題目的要求算出結(jié)果。

數(shù)量關(guān)系式：單一量X份數(shù)=總數(shù)量（正歸一）

總數(shù)量：單一量二份數(shù)（反歸一）

例一個織布工人,在七月份織布4774米,照這樣計算，

織布6930米，需要多少天？

分析：必須先求出平均每天織布多少米，就是單一量。6930

?（4774+31）=45（天）

（3）歸總問題：是已知單位數(shù)量和計量單位數(shù)量的個數(shù)，以及不

同的單位數(shù)量（或單位數(shù)量的個數(shù)），通過求總數(shù)量求得單位數(shù)量的個數(shù)

（或單位數(shù)量）。

特點：兩種相關(guān)聯(lián)的量，其中一種量變化，另一種量也跟著變

化，不過變化的規(guī)律相反，和反比例算法彼此相通。

數(shù)量關(guān)系式：單位數(shù)量x單位個數(shù)?另一個單位數(shù)量二另一個

單位數(shù)量單位數(shù)量x單位個數(shù)：另一個單位數(shù)量=另一個單位數(shù)量。

例修一條水渠，原計劃每天修800米，6天修完。實際4

天修完，每天修了多少米？

分析：因為要求出每天修的長度，就必須先求出水渠的長度。

所以也把這類應(yīng)用題叫做〃歸總問題〃。不同之處是〃歸一〃先求出單

一量，再求總量，歸總問題是先求出總量，再求單一量。800x6

-4=1200（米）

（4）和差問題：已知大小兩個數(shù)的和，以及他們的差，求這兩

個數(shù)各是多少的應(yīng)用題叫做和差問題。

解題關(guān)鍵：是把大小兩個數(shù)的和轉(zhuǎn)化成兩個大數(shù)的和（或兩個小

數(shù)的和），然后再求另一個數(shù)。

解題規(guī)律：（和+差H2=大數(shù)大數(shù)-差二小數(shù)

（和-差H2二小數(shù)和■小數(shù)二大數(shù)

例某加工廠甲班和乙班共有工人94人，因工作需要臨時從乙

班調(diào)46人到甲班工作，這時乙班比甲班人數(shù)少12人，求原來甲班

和乙班各有多少人？

分析：從乙班調(diào)46人到甲班，對于總數(shù)沒有變化，現(xiàn)在把乙

數(shù)轉(zhuǎn)化成2個乙班，即94?12,由此得到現(xiàn)在的乙班是（94-

12）+2=41（人），乙班在調(diào)出46人之前應(yīng)該為41+46=87（人），

甲班為94-87=7（人）

（5）和倍問題：已知兩個數(shù)的和及它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求兩

個數(shù)各是多少的應(yīng)用題，叫做和倍問題。

解題關(guān)鍵：找準標(biāo)準數(shù)（即1倍數(shù)）一般說來，題中說是〃誰〃

的幾倍，把誰就確定為標(biāo)準數(shù)。求出倍數(shù)和之后，再求出標(biāo)準的數(shù)量是

多少。根據(jù)另一個數(shù)（也可能是幾個數(shù)）與標(biāo)準數(shù)的倍數(shù)關(guān)系,再去求另

一個數(shù)（或幾個數(shù)）的數(shù)量。

解題規(guī)律：和+倍數(shù)和二標(biāo)準數(shù)標(biāo)準數(shù)X倍數(shù)二另一個數(shù)

例:汽車運輸場有大小貨車115輛，大貨車比小貨車的5倍多

7輛，運輸場有大貨車和小汽車各有多少輛？

分析：大貨車上口'貨車的5倍還多7輛，這7輛也在總數(shù)

115輛內(nèi)，為了使總數(shù)與（5+1）倍對應(yīng)，總車輛數(shù)應(yīng)（115-7）輛。

列式為（115-7）+（5+1）=18（輛），18x5+7=97（輛）

（6）差倍問題：已知兩個數(shù)的差,及兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求兩個

數(shù)各是多少的應(yīng)用題。

解題規(guī)律：兩個數(shù)的差*倍數(shù)-1）=標(biāo)準數(shù)標(biāo)準數(shù)x倍數(shù)二另

一數(shù)。

例甲乙兩根繩子，甲繩長63米，乙繩長29米，兩根繩

剪去同樣的長度，結(jié)果甲所剩的長度是乙繩長的3倍，甲乙兩繩所剩

長度各多少米？各減去多少米？

分析：兩根繩子剪去相同的一段，長度差沒變，甲繩所剩的長

度是乙繩的3倍，實比乙繩多（3-1）倍，以乙繩的長度為標(biāo)準數(shù)。列

式（63-29）：（3-1）=17（米）…乙繩剩下的長度,17x3=51

（米）…甲繩剩下的長度，29-17=12（米）…剪去的長度。

（7）行程問題：關(guān)于走路、行車等問題，一般都是計算路程、時

間、速度，叫做行程問題。解答這類問題首先要搞清楚速度、時間、路

程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他們之間的關(guān)系，再根據(jù)這

類問題的規(guī)律解答。

解題關(guān)鍵及規(guī)律：

同時同地相背而行：路程二速度和x時間。

同時相向而行：相遇時間=速度和x時間

同時同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及時間二路程速度

差。

同時同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程二速度差X

時間。

例甲在乙的后面28千米，兩人同時同向而行，甲每小時行

16千米，乙每小時行9千米，甲幾小時追上乙？

分析：甲每小時比乙多行（16-9汗米，也就是甲每小時可以

追近乙（16-9）千米,這是速度差。

已知甲在乙的后面28千米（追擊路程），28千米里包含著

幾個（16-9汗米，也就是追擊所需要的時間。列式28-（16-9）

=4（小時）

（8）流水問題：一般是研究船在〃流水〃中航行的問題。它是行

程問題中比較特殊的一種類型，它也是一種和差問題。它的特點主要是

考慮水速在逆行和順行中的不同作用。

船速：船在靜水中航行的速度。

水速：水流動的速度。

順?biāo)俣龋捍樍骱叫械乃俣取?/p>

逆水速度：船逆流航行的速度。

順?biāo)?船速+水速

逆速=船速-水速

解題關(guān)鍵：因為順流速度是船速與水速的和，逆流速度是船速

與水速的差，所以流水問即當(dāng)作和差問題解答。解題時要以水流為線

索。

解題規(guī)律：船行速度二（順?biāo)俣?逆流速度升2

流水速度=（順流速度逆流速度）-2

路程二順流速度x順流航行所需時間

路程二逆流速度X逆流航行所需時間

例一只輪船從甲地開往乙地順?biāo)校啃r行28千米，

到乙地后，又逆水航行，回到甲地。逆水比順?biāo)嘈?小時，已知水

速每小時4千米。求甲乙兩地相距多少千米？

分析：此題必須先知道順?biāo)乃俣群晚標(biāo)枰臅r間，或者

逆水速度和逆水的時間。已知順?biāo)俣群退魉俣?，因此不難算出逆

水的速度，但順?biāo)玫臅r間，逆水所用的時間不知道，只知道順?biāo)?/p>

逆水少用2小時，抓住這一點，就可以就能算出順?biāo)畯募椎氐揭业氐?/p>

所用的時間，這樣就能算出甲乙兩地的路程。列式為284x2=20（千

米）20x2=40（千米）40-（4x2）=5（小時）28x5=140

（千米）。

（9）還原問題：已知某未知數(shù)，經(jīng)過一定的四則運算后所得的

結(jié)果，求這個未知數(shù)的應(yīng)用題，我們叫做還原問題。

解題關(guān)鍵：要弄清每一步變化與未知數(shù)的關(guān)系。

解題規(guī)律：從最后結(jié)果出發(fā)，采用與原題中相反的運算（逆運

算）方法，逐步推導(dǎo)出原數(shù)。

根據(jù)原題的運算順序列出數(shù)量關(guān)系，然后采用逆運算的方法計

算推導(dǎo)出原數(shù)。

解答還原問題時注意觀察運算的順序。若需要先算加減法，后

算乘除法時別忘記寫括號。

例某小學(xué)三年級四個班共有學(xué)生168人，如果四班調(diào)3人

到三班，三班調(diào)6人到二班，二班調(diào)6人到一班，一班調(diào)2人到四

班，則四個班的人數(shù)相等，四個班原有學(xué)生多少人？

分析：當(dāng)四個班人數(shù)相等時，應(yīng)為168?4,以四班為例，

它調(diào)給三班3人，又從T調(diào)入2人，所以四班原有的人數(shù)減去3

再加上2等于平均數(shù)。四班原有人數(shù)列式為168+4-2+3=43（人）

一班原有人數(shù)列式為168