2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題突破課件：專題五 幾何探究型問題

專題五幾何探究型問題(2024·南充)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6cm，E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，CE＝2AE，點(diǎn)P在AB邊上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在BC邊上以2cm/s的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(0＜t≤3)s.(1)求證：△AEP∽△CEQ．例1類型一

動(dòng)態(tài)型探究(成都2023.26，2022.26；南充2024.24，2022.24；涼山州2024.26；綿陽(yáng)2022.25)?解題思路

(2)連接PQ，當(dāng)△EPQ是直角三角形時(shí)，求t的值．?解題思路過點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥BC于點(diǎn)N．分別用含t的代數(shù)式表示EP2，PQ2，EQ2，然后分三種情況討論：①當(dāng)∠EPQ＝90°時(shí)，②當(dāng)∠PEQ＝90°時(shí)，③當(dāng)∠PQE＝90°時(shí)，利用勾股定理分別求解即可．

例1題答圖①

例1題答圖①

過點(diǎn)A作AF⊥AC，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接FE交AQ于點(diǎn)G．判斷△EQC的形狀，利用平行線分線段成比例求出QC和QE的長(zhǎng)度，最后利用S△AEQ＝S△AQC－S△EQC解答即可．?解題思路

答圖②答圖③

例2類型二

折疊、旋轉(zhuǎn)和剪拼型探究(成都2024.26；南充2023.24；綿陽(yáng)2024.22；巴中2024.24)例2題圖①

?解題思路

【深入探究】(2)如圖②，在三角形紙片ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在△ABC的中線BM的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)ED交AC于點(diǎn)F，求CF的長(zhǎng)．例2題圖②?解題思路

例2題答圖①

∴AB∥CE，∴∠BAM＝∠QCM，∠ABM＝∠CQM．又∵AM＝CM，∴△BAM≌△QCM(AAS)，∴BM＝QM，∴四邊形ABCQ是平行四邊形．∵∠ABC＝90°，∴四邊形ABCQ是矩形，∴AB＝CQ＝3，BC＝AQ＝4，∠AQC＝90°，PQ∥CN，例2題答圖①

例2題答圖①

【拓展延伸】(3)在三角形紙片ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中，試探究C，D，E三點(diǎn)能否構(gòu)成直角三角形．若能，直接寫出所有直角三角形CDE的面積；若不能，請(qǐng)說明理由．分四種情況，分別畫出圖形解答即可．?解題思路

答圖②

答圖③

答圖④

答圖⑤

①∠BOC的度數(shù)是

；②BD∶CE＝

．1∶1①

90°(2023·巴中)綜合與實(shí)踐．(1)提出問題．如圖①，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，且AB＝AC，AD＝AE，連接BD，連接CE交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)O．類型三

類比型探究(巴中2023.24)例3①【解法提示】∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE.又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴∠ABD＝∠ACE.∵∠BAC＝90°，∴∠ABC＋∠ACB＝∠ABD＋∠OBC＋∠ACB＝90°，∴∠ACE＋∠OBC＋∠ACB＝90°，即∠BCO＋∠OBC＝90°，∴∠BOC＝90°.②【解法提示】由①得△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∴BD∶CE＝1∶1.從圖形可辨知，這個(gè)是手拉手全等或相似模型，可按模型的相關(guān)結(jié)論解題．②

(2)類比探究．如圖②，在△ABC和△DEC中，∠BAC＝∠EDC＝90°，且AB＝AC，DE＝DC，連接AD，BE并延長(zhǎng)交于點(diǎn)O．①∠AOB的度數(shù)是

；②AD∶BE＝________．45°?解題思路

(3)問題解決．如圖③，在等邊三角形ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在線段AD上(不與點(diǎn)A重合)，以AE為邊在AD的左側(cè)構(gòu)造等邊三角形AEF，將△AEF繞著點(diǎn)A在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度．如圖④，M為EF的中點(diǎn)，N為BE的中點(diǎn)．③

④

受前兩問的啟發(fā)，連接BF，CE完成手拉手模型的構(gòu)造，再結(jié)合三角形中位線知識(shí)解題．?解題思路①試說明△MND為等腰三角形；

答圖②求∠MND的度數(shù)．由①及全等三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)求解即可．?解題思路③

④

②【解答】∵△ACE≌△ABF，∴∠ACE＝∠ABF.易得∠BOC＝60°，∴∠FOC＝180°－∠BOC＝180°－60°＝120°.又∵BF∥MN，CP∥DN，∴∠MND＝∠MPE＝∠FOC＝120°.綜合訓(xùn)練1．(2023·南充)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M在邊BC上，E是AM的中點(diǎn)，連接BE，ED，EC．(1)求證：ED＝EC．

(2)解：△CMB'是等腰直角三角形．理由如下：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得EB'＝EB．∵EB＝AE＝ME，∴EB'＝AE＝ME，∴∠EAB'＝∠EB'A，∠EMB'＝∠EB'M．∵∠EAB'＋∠EB'A＋∠EB'M＋∠EMB'＝180°，∴∠AB'M＝90°，∴∠MB'C＝90°．在正方形ABCD中，∠ACB＝45°，∴∠B'MC＝45°，∴B'M＝B'C，∴△CMB'是等腰直角三角形．(2)將BE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'落在AC上，連接MB'．當(dāng)點(diǎn)M在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)M不與點(diǎn)B，C重合)，判斷△CMB'的形狀，并說明理由．(3)解：延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)F，如答圖.易得∠BEM＝2∠BAE，∠B'EM＝2∠B'AE，∠BAB'＝45°，∴∠BEB'＝90°，∴∠B'EF＝90°.∵∠DEB'＝45°，∴∠DEF＝45°.∵△EAD≌△EBC，∴∠AED＝∠BEC.∵∠AEF＝∠BEM，∴∠CEM＝∠DEF＝45°.∵∠MCA＝45°，∴∠MEC＝∠MCA.答圖(3)在(2)的條件下，已知AB＝1，當(dāng)∠DEB'＝45°時(shí)，求BM的長(zhǎng)．

答圖

①

②

③

答圖3．(2024·巴中)綜合與實(shí)踐(1)操作與發(fā)現(xiàn)平行四邊形和梯形都可以剪開拼成一個(gè)矩形，拼接示意圖如圖①、圖②．在圖②中，四邊形ABCD為梯形，AB∥CD，E，F(xiàn)分別是AD，BC邊上的點(diǎn)．經(jīng)過剪拼，四邊形GHJK為矩形，則△EDK≌

．△EAG(1)【解法提示】∵AB∥CD，∴∠GAE＝∠D.由題意得E為AD中點(diǎn)，∴EA＝ED.∵∠AEG＝∠DEK，∴△EDK≌△EAG.(2)探究與證明探究將任意一個(gè)四邊形剪開拼成一個(gè)平行四邊形，拼接示意圖如圖③、圖④、圖⑤．在圖⑤中，E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD邊上的點(diǎn)，OJKL是拼接之后形成的四邊形．①通過操作得出：AE與EB的比值為

．1

答圖①②證明：四邊形OJKL為平行四邊形．②證明：如答圖②．由題意得E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．題圖的操作是將四邊形EBFO繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°得到四邊形EAQL，將四邊形OHDG繞點(diǎn)H旋轉(zhuǎn)180°得到四邊形JHAP，將四邊形OGCF向左上方平移得到四邊形KPAQ，則AQ＝BF＝CF，AP＝DG＝CG，∠BFO＝∠AQL，∠CFO＝∠AQK，∠5＝∠L，∠6＝∠J，∵∠BFO＋∠CFO＝180°，∴∠AQL＋∠AQK＝180°，∴K，Q，L三點(diǎn)共線．同理得K，P，J三點(diǎn)共線．∵∠5＋∠7＝180°，∠6＋∠7＝180°，∴∠7＋∠L＝180°，∠7＋∠J＝180°，∴OJ∥KL，OL∥KJ，∴四邊形OJKL為平行四邊形．答圖②

(3)實(shí)踐與應(yīng)用任意一個(gè)四邊形能不能剪開拼成一個(gè)矩形？若能，請(qǐng)將四邊形ABCD剪成4塊，按圖⑤的方式補(bǔ)全圖⑥，并簡(jiǎn)單說明剪開和拼接過程；若不能，請(qǐng)說明理由．解：如答圖③，取AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)為E，H，G，F(xiàn)，連接FH，過點(diǎn)E，G分別作EM⊥FH，GN⊥FH，垂足分別為M，N，將四邊形EBHM繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°得到四邊形EAH'M'，將四邊形FDGN繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)180°得到四邊形FAG'N'，將四邊形NGCH向左上方平移，使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，CG與AG'重合，CH與AH'重合，點(diǎn)N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N″，則四邊形MM'N″N'即為所求矩形．易得∠EMF＝∠EMH＝∠M'＝90°，∠GNH＝∠GNF＝∠N'＝90°，由操作得∠1＝∠4，∠2＝∠3．∵∠1＋∠2＝180°，∴∠3＋∠4＝180°，∴N″，H'，M'三點(diǎn)共線．同理得N'，G'，N″三點(diǎn)共線．∵∠N'＝∠EMF＝∠M'＝90°，∴四邊形MM'N″N'為矩形．答圖③

答圖④

∵∠BAD＋∠D＋∠C＋∠B＝360°，∠D＝∠G'AF，∠B＝∠H'AE，∠BAD＋∠H'AE＋∠G'AF＋∠H'AG'＝360°，∴∠H'AG'＝∠C．∵四邊形MM'N″N'為矩形，∴N'N″＝MM'，N″M'＝N'M，∴N'F＋FM＝H'M'＋H'N″，∴NF＋FM＝MH＋MF＝M'H'＋N″H'，∴NH＝N″H'，同理可得NG＝N″G'，∴四邊形NGCH能放置到左上方，∴按照以上操作可以拼成一個(gè)矩形．答圖④

4．(2024·眉山)綜合與實(shí)踐問題提出：在一次綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)興趣小組將足夠大的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)放在正方形的中心O處，并繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，探究直角三角板與正方形ABCD重疊部分的面積變化情況．操作