2023年上海市15區(qū)中考數(shù)學(xué)一模匯編：證明題（解答題23題）（解析版）

2023年上海市15區(qū)中考數(shù)學(xué)一模匯編

專(zhuān)題09證明題（解答題23題）

一.解答題（共14小題）

1.（2022秋?浦東新區(qū)期末）如圖，在△48C中，點(diǎn)。、尸分別是邊2C、48上的點(diǎn)，4D和CF交于點(diǎn)￡

(1)如果BF?AB=BD,BC.求證：EF-CE=DE-AE；

（2）如果4E，BF=2AF?DE,求證：ND是△/8C的中線(xiàn).

【分析】⑴根據(jù)收?/5=助?2。，得到比例式巫=區(qū)，又因?yàn)槌杀壤倪叺膴A角相等，證明△NAD

BDAB

s^CBF,所以對(duì)應(yīng)角再因?yàn)閷?duì)頂角相等得到

△AEFsACED,最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證明；

（2）過(guò)。作DG〃/8交比于G,根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理和已知條件等量代換即可證明.

【解答】證明（1）"：BF'AB=BD'BC,

.BF=BC

??麗AB，

：.ZBAD=ZBCF,

又：NAEF=NCED,

：./\AEF^/\CED,

.EF=AE

"EDCE，

:.EF?CE=DE,AE；

（2）過(guò)。作。6〃48交。尸于G,

.AE=AF

',EDDG!

,:AE，BF=2AF，DE,

.AE=2AF

"ED~W'

.AF=2AF

"DG~W'

即—工

FB2AF2

..CD=DG

,BC而，

?.?CD_1—J

BC2

為3c的中點(diǎn)，N。是△NBC的中線(xiàn).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理、三角形中線(xiàn)定義等知識(shí)點(diǎn)，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)作出輔助線(xiàn).

2.（2022秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末）已知等腰△N8C中,，AB=AC,點(diǎn)。、E是邊BC、NC上的點(diǎn)，且。=

3BD,聯(lián)結(jié)BE,交點(diǎn)為F.

（1）若4F=4DF,求處的值.

EC

（2）若BD2=DF,AD,求證：BC2=4CE'AC.

A

BDC

【分析】（1）作/G〃臺(tái)C,交延長(zhǎng)線(xiàn)于G,證明A/G尸SADBF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出

BD』CB，則NC=2C，進(jìn)而得出期■=^■=1；

4ECBC

（2）根據(jù)已知條件證明得出/B4D=/FBD,進(jìn)而證明△NBOs^BCE,根據(jù)相似三

角形的性質(zhì)以及/5=/C2C=AD+CD=4AD,即可得證.

【解答】（1）解：作NG〃2C,交BE延長(zhǎng)線(xiàn)于G,

BDC

YAG//BC,

，△AGFs^DBF,

\'AF=4DF,

：.AG=4BD,

,:CD=3BD,

；?BD=CB，

4

:.AC=BC,

又AG〃BC,

：.AAGEsACBE,

.AEAC,

ECBC

(2)證明：:BD2=DF-AD,

?.?-B-D--P-F-,

ADBD

,//BDF=/ADB,

：.△BDFs^ADB,

，NBAD=NFBD,

又,:/4BD=NACB,

：.AABOS△BCE,

?.?-B-D--A-B-,

CEBC

：.CE?AB=BD?BC,

又'：AB=ACBC=BD+CD=4BD,

???CEAC=4-BCBC-

4

：.BC2=4CE-AC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

3.(2022秋?金山區(qū)校級(jí)期末)已知：如圖，在△N8C中，點(diǎn)。在邊3c上，AE//BC,BE與AD、NC分

別相交于點(diǎn)F、G,AF2=FG'FE.

(1)求證：ACADsACBG；

(2)聯(lián)結(jié)。G,求證：DG'AE=AB-AG.

【分析】(1)通過(guò)證明4Gs△尸可得/E4G=/E,由平行線(xiàn)的性質(zhì)可得/￡=/MC=/E4G,

且/NCD=/3CG,可證△CNOsZ\c8G；

(2)由相似三角形的性質(zhì)可得竺=型，且NDCG=//C2,可證△CZX?sZ\C4B,可得幽=",

CBCGABCB

由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例可得運(yùn)二道,可得結(jié)論.

CBCG

【解答】證明：(1),:AF?=FG-FE.

.AF=EF

"FGAF'

ZAFG=ZEFA,

AFAGsAFEA,

：.ZFAG=ZE,

'JAE//BC,

：./E=ZEBC,

：.ZEBC=ZFAG,

'：/ACD=NBCG,

:.△CADs^CBG；

(2)?：ACADsACBG,

?CA__CD

"CBCG"

NDCG=NACB,

.,.△CDGs^CAB,

.DG=CG

"ABCB"

?：AE〃BC,

.AE=AG

,,而而’

?AG=GC

"AE而’

?DG_=AG

"ABAE'

；.DG，AE=4B，AG.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考

常考題型.

4.(2022秋?黃浦區(qū)校級(jí)期末)如圖，在RtzXC/5與RtZkCE產(chǎn)中，ZACB=ZFCE=90°,ZCAB=Z

CFE,/C與昉相交于點(diǎn)G,3c=15,/C=20.

(1)求證：NCEF=NCAF：

(2)若AE=1,求//的長(zhǎng).

【分析】(1)由//。2=/尸。￡=90°,NC42=/C7芭可以得出可以得出生

CBCE

ZB=ZCEF,由等式的性質(zhì)就可以得出乙BCE=GCR就可以得出△BCEs/^cF就可以得出結(jié)論；

(2)由勾股定理可以得出/瓦可以得出3E的值由就可以得出或典，進(jìn)而求出結(jié)

ACAF

論.

【解答】解：(1)證明：?：ZACB=ZFCE=90°,ZCAB=ZCFE,

:.ACABsACFE,

.CA_CF,NB=/CEF.

''CB'CE

???/ACB=/FCE,

：.ZACB-ZACE=ZFCE-NACE,

：./ACF=/BCE,

：.ABCEs^ACF,

：./B=NCAF,

：.ZCEF=ZCAF；

(2)VZACB=90°,BC=15,AC=20,

???由勾股定理，得

45=25.

■:AE=7,

；?BE=18.

?.?△BCEs^ACF,

?

?B?—C_B——E,

ACAF

?.1?5----1-8,

20AF

：.AF=24.

答：4F=24.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形相似是關(guān)鍵.

5.(2022秋?嘉定區(qū)校級(jí)期末)如圖，已知點(diǎn)。在△48C的外部，AD〃BC,點(diǎn)、E在邊AB上ZBAC=Z

AED.

(1)求證：AB?AD=BC?AE；

(2)在邊/C取一點(diǎn)尸，如果，旭L=2E,求證：NAFE=ND.

BCAC

【分析】(1)利用平行線(xiàn)的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可；

(2)利用⑴中的結(jié)論和已知條件得到迪利用相似三角形的判定與性質(zhì)得到再

ABAC

利用(1)中的結(jié)論和相似三角形的性質(zhì)解答即可得出結(jié)論.

【解答】證明：(1)-：AD//BC,

：.ZDAE=ZB.

*.?ZBAC=ZAED,

：.LADEsABCA,

?.?-A-D--A-E-,

BCAB

：.AB'AD=BC'AE；

⑵??AD_AEAD_AF

?而而B(niǎo)C'AC

?.?-A-E--A-F-,

ABAC

,/ZEAF=ZBAC,

：.△AEFs^ABC,

：.ZAFE=ZC.

由（1）知：LADEsABCA,

：.ZADE=ZC,

：.ZAFE=ZD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

6.(2022秋?徐匯區(qū)期末)如圖，在△/BC中，ZACB^90°,ZC=2C,點(diǎn)。是斜邊48的中點(diǎn)，點(diǎn)E是

邊NC上的一點(diǎn)，ZEDF^45°,。尸交射線(xiàn)8c于點(diǎn)足

(1)求證：ZADE=ZF；

(2)求證：BC2=2AE，BF.

【分析】（1）由//C8=90°,4C=BC,得N/=N2=45°,則/斤=135°-ZBDF,因?yàn)?￡。戶(hù)=

45°,所以/ADE=135°-ZBDF,則/ADE=ZF；

（2）由/。2+8。2=/82,^AD=BD,AB=2AD,推導(dǎo)出8。2=2/。2,由=ZADE=ZF,證

明△ADEs&BFD,得包■=￡??,貝1|凡即可證明3。2=2/02=2/￡.3尸.

BFBD

【解答】證明：（1）'：ZACB=90°,AC=BC,

.??N4=N5=45°,

AZF=180°-AB-ZBDF=135°-ZBDF,

*.*/EDF=45

二NADE=180°-/EDF-/BDF=T35°-ZBDF,

：.ZADE=Z.F.

(2);點(diǎn)。是48的中點(diǎn)，

；.AD=BD,AB=2AD,

'：AC2+BC2=AB2,

：.2BC2=(2AD)2=4必，

：.BC2=2AD2,

由(1)得=/ADE=NF,

：.LADEs△BFD,

.AD=AE

"BF而，

：.AD'BD=AE'BF,

：.2AD2=2AE，BF,

：.BC2=2AE'BF.

【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、勾股定理、相似三角形的判定與性

質(zhì)等知識(shí)，證明即是解題的關(guān)鍵.

7.(2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期末)已知：如圖，在菱形/BCD中，點(diǎn)E、/分別在邊/8、AD1.,BE=DF,

CE的延長(zhǎng)線(xiàn)交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,CF的延長(zhǎng)線(xiàn)交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H.

(1)求證：△BECs^BCH；

(2)如果求證：AG=DF.

【分析】(1)由菱形的性質(zhì)得出CD=C2,ND=/B,證明△CD尸絲△CAE(5L4S),由全等三角形的性

質(zhì)得出得出/H=/BCE,則可得出結(jié)論.

(2)利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理結(jié)合已知條件解決問(wèn)題即可.

【解答】(1)證明：：四邊形/BCD是菱形，

：.CD=CB,/D=/B,

?：DF=BE,

:.ACDF%ACBE(S4S),

/DCF=/BCE,

'：CD//BH,

：.ZH=ZDCF,

：.ZH^ZBCE,

：.ABECsABCH.

(2)證明：,:BE2=AB?AE,

.ABBE

"BF"AE'

'：CB//DG,

：./\AEG^/\BEC,

?AE=AG

"BE而’

.AG=BE

,,而AB'

"：BC=AB,

:.AG=BE,

"；△CDF”ACBE,

：.DF=BE,

J.AG^DF.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理等知

識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

8.（2022秋?黃浦區(qū)期末）已知：如圖，點(diǎn)D、尸分別在等邊三角形/2C的邊C2的延長(zhǎng)線(xiàn)與反向延長(zhǎng)線(xiàn)

上，且滿(mǎn)足

求證：(1)△ADBs&AC；

(2)AF-AD=BC'DF.

【分析】(1)由△4BC是等邊三角形，可得AB=BC=AC,乙4BC=/4CB=60°,所以

=120°,由BO?CF=BC2,可得BD?CF=4BJC,§PBD：AC=4B：CF,進(jìn)而可得結(jié)論；

(2)由(1)知，AADBsAFAC,所以/D4B=NF,易證△4D8s△包％,所以AD：DF=AB：AF,

即AD'AF=AB-DF,再由48=8C可得結(jié)論.

【解答】證明：(1)：△NBC是等邊三角形，

：.AB=BC=AC,ZABC=ZACB=60°,

AZABC^ZACB^120°,

"：BD'CF=BC1,

：.BD'CF=AB'AC,即BD：AC=AB：CF,

：.AADBsAFAC；

(2)由(1)知，AADB^AFAC,

：.ZDAB=ZF,

,//D=/D,

：.△ADBsAFDA,

：.AD：DF=AB：AF,BPAD-AF^AB'DF,

：.AF'AD=BC'DF.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題

關(guān)鍵.

9.(2022秋?閔行區(qū)期末)已知：如圖，在△48C中，48=/C,點(diǎn)。、￡分別是邊NC、N8的中點(diǎn)，DFA.

AC,DF與CE相交于點(diǎn)尸，/尸的延長(zhǎng)線(xiàn)與AD相交于點(diǎn)G.

(1)求證：/4BD=NACE；

(2)求證：CD2=DG'BD.

【分析】(1)利用等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可；

(2)利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)和(1)的結(jié)論，依據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可.

【解答】證明：(1);點(diǎn)。、E分別是邊/C、48的中點(diǎn)，

：.AE=^AB,AD=^-AC,

22

'：AB^AC,

：.AD=AE.

在△4D2和△/EC中，

'AD=AE

-ZBAD=ZCAE-

tAB=AC

/./\ADB^/\AEC(SAS),

ZABD=ZACE；

(2)?.?。尸L4C,點(diǎn)。是邊NC的中點(diǎn)，

二。尸是/C的垂直平分線(xiàn)，

：.FA=FC,

：./FAC=/ACE.

由(1)知：ZABD=ZACE,

：.NFAC=NABD.

,//ADG=NBDA,

：.AADGsABDA,

?.?-A-D--B-D-,

DGAD

：.AD2^DG-BD.

:點(diǎn)。是邊的中點(diǎn),

：.AD=—AC^CD,

2

：.CD2=DG'BD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，相似

三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.（2022秋?靜安區(qū)期末）如圖，在梯形N8CD中，AD//BC,分別交對(duì)角線(xiàn)NC、底邊8c于點(diǎn)￡、F,

S.AD'AC=AE-BC.

（1）求證：AB//FD-,

（2）點(diǎn)G在底邊上，8c=10,CG=3,聯(lián)結(jié)NG,如果△NGC與的面積相等，求尸C的長(zhǎng).

B

【分析】（1）根據(jù)題意可證明，△AEDs^CAB,所以N4ED=/C4B,則48〃FD；

（2）根據(jù)三角形的面積公式及相似三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論.

【解答】（1）證明：

J.AD-.AE=BC：AC,

'JAD//BC,

NDAE=/ACB,

：.△AEDs^CAB,

：./AED=NCAB,

J.AB//FD-,

（2）根據(jù)題意可得，Saagc=.2￡=2_,

^AABCBC10

'：EF//FD,

：.△EFCs/xABC,

.SAEFC〈CF）2=CF、

,△ABCBC100

AAGC和面積相等,

2

.3=CF

*'Ioloo"

解得

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形的面積公式等相關(guān)知識(shí)，根據(jù)題意表達(dá)三角形

的面積比，得出方程是解題關(guān)鍵.

11.(2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末)已知：如圖，在△48C中，點(diǎn)。，￡分別在邊48,8c上，BA-BD=BC

?BE

(1)求證：DE'AB=AC-BE-,

(2)如果求證：4E=AC.

【分析】(1)由8/得也結(jié)合48=/3,證A4BCsAEBD得鯉■即可得誣

BCBDBEED

(2)先根據(jù)AC2^AD'AB證△/OCS/UCB得//CD=ZB,再由組里?證△RIE'S△BCD得NB4E=

BCBD

/BCD,tg?ZAEC=ZB+ZBAE,/ACE=NACD+/BCD可得/4EC=/4CE,即可得證.

【解答】證明：(1)；BA?BD=BC?BE,

?.A?-B----B-E-，

BCBD

又：/B=/B,

：.LABCsAEBD,

?.A?-B----A-C--,

BEED

；.DE?AB=AC,BE；

(2)\'AC2=AD-AB,

?.?AC=AB,

ADAC

*.*/DAC=/CAB,

：.△ADCs^ACB,

：.NACD=/B,

???ABAEsABCD,

：.NBAE=NBCD,

NAEC=NB+NBAE,ZACE=/ACD+/BCD,

：.ZAEC=NACE,

；?AE=AC.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩三角形相似

是解題的關(guān)鍵.

12.（2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期末）已知：如圖，在△N8C中，AB=AC,點(diǎn)尸在邊NC上，DF與

8E相交于點(diǎn)G,且/EDF=/4BE.

求證：（1）ADEFsABDE；

(2)DG?DF=DB,EF.

【分析】（1）由/2=/C,根據(jù)等邊對(duì)等角，即可證得：NABC=N4CB,又由DE〃2C,易得N4BC+

ZBDE=180°,ZACB+ZCED=1SO°,則可證得：ZBDE=ZCED,又由已知尸=//BE,則可

根據(jù)有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，證得ADEFs4BDE；

（2）由（1）易證得DE2=DB*EF,又由/臺(tái)即二/0信與證得：AGDE^AEDF,則

可得：DE2=DG'DF,則證得：DG'DF=DB'EF.

【解答】證明：（1）；AB=AC,

：./ABC=/ACB,

"：DE//BC,

：.ZABC+ZBDE=ISO°,ZACB+ZCED=ISO°.

：.ZBDE^ZCED,

"：ZEDF=ZABE,

/.ADEFsABDE；

(2)由△DEFs^BDE,得叫上殳.

DEEF

:.DE2=DB-EF,

由ADEFsABDE,得/BED=/DFE.

?：/GDE=NEDF,

:.叢GDEs^EDF.

?.?-D-G--D-E-,

DEDF

:.DE2^DG-DF,

：.DG-DF=DB'EF.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定.注意有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似以及相似三角形的對(duì)

應(yīng)邊成比例定理的應(yīng)用，還要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

13.(2022秋?楊浦區(qū)期末)如圖，Rt448C中，ZACB=9Q°,。是斜邊45上的中點(diǎn)，￡是邊3C上的點(diǎn)，

4E與CD交于點(diǎn)F,且4c2=CE?CB.

(1)求證：AELCD-,

(2)連接如果點(diǎn)￡是8c中點(diǎn)，求證：NEBF=/EAB.

A

【分析】(1)先根據(jù)題意得出△/CBs△EC4,再由直角三角形的性質(zhì)得出CD=4D,由NC4O+//2C

=90°可得出/NCD+N￡/C=90°,進(jìn)而可得出//FC=90°；

(2)根據(jù)/￡_LCD可得出N￡FC=90°,ZACE=ZEFC,故可得出△ECFs再由點(diǎn)￡是BC

的中點(diǎn)可知CE=2E,故巫月■,根據(jù)/BEF=得出ABEFs&4EB,進(jìn)而可得出結(jié)論.

EABE

【解答】證明：(1),：AC2=CE'CB,

???-A-C=-C-B-.

CEAC

又NACB=NECA=90°

△ACBs^ECA,

：.ZABC=ZEAC.

;點(diǎn)。是48的中點(diǎn)，

：.CD=AD,

：.ZACD=ZCAD

"：ZCAD+ZABC=90°