2024-2025學(xué)年高二年級上冊期末復(fù)習(xí)：一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 十一大題型歸納（拔尖篇）（含答案）

2024高二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)第五章十一大題型歸納(拔尖篇)

【人教A版(2019)]

求在曲線上一點的切線方程、過二點的曲線方程

1.(2023?北京東城?統(tǒng)考一模)過坐標原點作曲線y=e'-2+i的切線，則切線方程為()

A.y=xB.y=2xC.y=-^xD.y=ex

2.(2023下?山東東營?高二統(tǒng)考期末)已知〃為實數(shù)，函數(shù)/(%)=3/+2。/+(2+。)%的導(dǎo)函數(shù)為尸(%),

且(O)是偶函數(shù)，則曲線y=/(%)在點(1廳(1))處的切線方程為()

A.11%—y—6=0B.9%+y—6=0

C.5x-lly+2=0D.6x+5y-ll=0

3.(2023上?湖南常德?高二?？计谀?已知曲線y=#+1.

(1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程；

(2)求滿足斜率為1的曲線的切線方程.

4.(2023上?江蘇鎮(zhèn)江?高二?？计谀?已知函數(shù)f(久)=lnx,g(x)=tanx.

(1)求曲線y=g(%)在％=g處切線方程；

(2)若直線，過坐標原點且與曲線y=/(%)相切，求直線1的方程.

題型2N兩條切線平行、垂直、重合(公切線)問題

1.(2023上?內(nèi)蒙古阿拉善盟?高三校考期末)已知函數(shù)f(%)=ex-ax+b,g(x)=x2-%.若曲線y=/(%)和

y=g(%)在公共點4(1,0)處有相同的切線，則〃，b的值分別為()

A.e-1,—1B.-l,e—1C.e,-1D.-l,e

2.(2023?遼寧遼陽?統(tǒng)考二模)若對函數(shù)f(%)=2x-sin%的圖象上任意一點處的切線函數(shù)g(%)=mex+

(6—2)%的圖象上總存在一點處的切線使得Lil。，則血的取值范圍是()

A.(-1,0)B.(0,|)

C.(-1,0)D.(0,1)

3.(2023?高二課時練習(xí))已知函數(shù)尤eR)的圖象為曲線C.

(1)求過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍；

(2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標的取值范圍.

4.(2023下?江西?高二校聯(lián)考期中)已知函數(shù)/(久)=(比―a)2,g(%)=—(%―6產(chǎn)

(1)當a=1.時，求曲線y=/(行在乂=0處的切線方程.

(2)若a+6=1,是否存在直線1與曲線y=/(久)和y=g(x)都相切？若存在，求出直線/的方程(若直線1的

方程含參數(shù)，則用a表示)；若不存在，請說明理由.

題型3N與導(dǎo)數(shù)運算有關(guān)的新定義問題

1.(2023下?河南南陽?高二校聯(lián)考期末)給出新定義：設(shè)尸(乃是函數(shù)/(*)的導(dǎo)函數(shù)，/'(X)是尸(為的導(dǎo)函

數(shù)，若方程尸(久)=0有實數(shù)解Xo，則稱點(%0，/(久0))為/'(久)的"拐點"，已知函數(shù)/Xx)=sin2x+cos2x+jx

的一個拐點是PG。,小),且一:〈比o<O,則=()

2.(2023上?河南商丘?高二?？计谀?給出定義：設(shè)尸0)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f"(x)是函數(shù)y=((x)

的導(dǎo)函數(shù)，若方程/"(%)=0有實數(shù)解x=xO,則稱0°,/Oo))為函數(shù)y=/(x)的“拐點”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有

的三次函數(shù)/(%)=ax3+bx2+c%+d(aW0)都有“拐點”，且該“拐點”也是函數(shù)y=/(%)的圖像的對稱中

心.若函數(shù)f(%)=-%3+3%2,則/(嘉)+/(急)+/(急)+…+/(翳)+/(翳)=()

A.8082B.-8082C.8084D.-8084

3.(2023下?河南信陽?高二統(tǒng)考期中)給出定義：設(shè)尸(%)是函數(shù)y=/(%)的導(dǎo)函數(shù)，尸(%)是函數(shù)(Q)的

導(dǎo)函數(shù)，若方程/(%)=0有實數(shù)解％=&,則稱((%。/(&)))為函數(shù)y=/(%)的“拐點”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的

三次函數(shù)./(%)=ax3+bx2+ex+d(aW0)都有“拐點”，且該“拐點”也是函數(shù)y=/(%)的圖像的對稱中心,

已知函數(shù)f(%)=|x3—|%2+

⑴求出f(%)的對稱中心；

⑵求一(短)+f(短)+…+/(翳)的值?

4.(2022?河南南陽?南陽中學(xué)校考模擬預(yù)測)對于三次函數(shù)f(%)=ax3+bx2+ex+d(aW0),定義：設(shè)/“(%)

是函數(shù)y=/(%)的導(dǎo)函數(shù)y=/'(%)的導(dǎo)數(shù)，若/''(%)=。有實數(shù)解%0,則稱點(%o，/(%o))為函數(shù)V=/(%)的“拐

點”.現(xiàn)已知/(%)=%3-3x2+2%-2.請解答下列問題：

⑴求函數(shù)/(%)的“拐點2的坐標；

(2)求證：/(久)的圖像關(guān)于“拐點”A對稱，并求/(一2020)+/(-2019)+…/(2019)+/(2022)的值.

題型4■根據(jù)極值(Q求參數(shù)

1.(2023下?江蘇鎮(zhèn)江?高二?？计谀?若函數(shù)=x+：與函數(shù)g(x)=ae，-x有相等的極小值，則實數(shù)

a=()

1i

A.-B.eo3C.2D.4

2e2

2.(2023下?安徽滁州?高二統(tǒng)考期末)已知/(%)=(+In%—%存在唯一極小值點，則a的范圍是()

A.a>-B.a>-C.a<eD.a>e

ee

3.(2023上?浙江杭州?高二?？计谀?已知函數(shù)f(x)=(x2+2)-fcln(x+1)(%為常數(shù),且k力0).

(1)當k=1時，求/(久)在x=0處的切線方程；

(2)若函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,1)上存在極值，求實數(shù)上的取值范圍.

4.(2023下?北京海淀?高二清華附中?？计谀?已知函數(shù)/(x)=ln(ax+6)-/在點(ij(i))處的切線方

程為y=-x.

(1)求a、b的值：

(2)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)令g(x)=f(久)+1/-mx,若函數(shù)g(x)的極小值小于0,求小的取值范圍.

已知函數(shù)最值求參數(shù)

(短藝工:藍。的最小值是.2,則實數(shù)皿的取值范圍是

1.(2023?四川宜賓?統(tǒng)考三模)若函數(shù)〃>)=

)

A.m<0B.m<0C.m>0D.m>0

2.(2023上?遼寧?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=|%3+-2%+1,若/(%)在(2a,a+3)內(nèi)存在

最小值，則。的取值范圍為()

A-(-2修)B.(-2,3)

71'

C.D.(—5,—1)

4‘2,

3.(2023上?河南許昌?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/O)=lnex+MaeR.

(1)若a=2e,求/(久)在久=e處的切線方程；

(2)當a€(-8相2］時，函數(shù)〃K)在［l,e2］上的最小值為3,求實數(shù)a的值.

4.(2023下?北京朝陽?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)f(x)=Inx-ax(a6R).

(1)當a=3時，求曲線y=在點(14(1))處的切線方程；

(2)若x=2是/(久)的一個極值點，求“X)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(3)是否存在a,使得f(x)在區(qū)間(0,e］上的最大值為-2?若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.

函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用

1.(2023上?河南南陽?高三統(tǒng)考期末)對于函數(shù)/(?=411%+乂—^,%6［0,伺，下列說法正確的是()

A.函數(shù)f(x)有唯一的極大值點B.函數(shù)〃久)有唯一的極小值點

C.函數(shù)/(x)有最大值沒有最小值D.函數(shù)/(久)有最小值沒有最大值

2.(2022下.北京海淀?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)fQ)=Inx-ksinx,xG(0,n］,給出下列三個結(jié)論：

①/(久)一定存在零點；

②對任意給定的實數(shù)k,/(0一定有最大值；

③f(乃在區(qū)間(0,TT)上不可能有兩個極值點.

其中正確結(jié)論的個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

3.(2023下?北京通州?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(久)=alnx+bx,a,beR.

(1)當a=l,6=1時，求曲線y=f(x)在點處的切線方程；

(2)當a>0,6=-2時，求f(x)在區(qū)間［1,刀上的最大值：

(3)當a=1時，設(shè)g(O=f(x)+sinx.判斷g(x)在xG(0加上是否存在極值.若存在.指出是極大值還是極

小值；若不存在，說明理由.

4.(2023下?重慶江津?高二校聯(lián)考期末)已知函數(shù)/(%)=x\nx—|mx2—x,mER.

(1)若g(%)=/'(%)(/'(%)為/(%)的導(dǎo)函數(shù))，求函數(shù)g(%)的單調(diào)區(qū)間;

⑵求函數(shù)g(%)在區(qū)間[l,e]上的最大值；

(3)若函數(shù)/(%)有兩個極值點久。％2)，求證：+2-

題型7、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(方程的根)

1.(2023上?河北?高三校聯(lián)考期末)已知函數(shù)/0)=眇-。一也％-￡1有兩個零點，貝心的取值范圍為()

A.(1,+oo)B.(e,+oo)C.[1,+oo)D.[e,+8)

2.(2023上?山東濟南?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(%)=春p關(guān)于％的方程[TOOK-2(a+1)/(%)+a2+2a=

0至少有三個互不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是()

A.[1,4-oo)B.(―1,0)U(1,+8)

C.(-1,0)U[1,+00)D.(-00,0)U(1,+8)

3.(2023下?廣西桂林?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(%)=%—ln(%+1)—sin%.

⑴求函數(shù)/(%)在區(qū)間[0,初上的最大值；

(2)求函數(shù)/(%)零點的個數(shù).

4.(2023下?廣東東莞?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(久)=：x3+ax2—2x—i.

(1)求函數(shù)f(x)在久=0處的切線方程；

(2)若x=1是”久)的極值點，且方程/(久)-爪=0有3個不同的實數(shù)解，求實數(shù)小的取值范圍.

4利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

1.(2023下?內(nèi)蒙古?高二校聯(lián)考期末)已知函數(shù)/(%)=|ax2+(2+a)x+21nx,

(1)當a=0,求曲線y=/(%)在(1,7(1))處的切線方程；

(2)若aV0,證明：f(x)<—:—4.

2.(2023下?安徽蚌埠?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(%)=(1-%)emx.

⑴討論f(%)在區(qū)間(0,+8)上的單調(diào)性；

(2)當zn=1時，若存在Q<b滿足a+ln(l—a)=b+ln(l—b),證明弓+1>0.

3.(2023下?河北保定?高二校聯(lián)考期末)已知函數(shù)/(%)=alnx+1%2一%.

⑴討論/(%)的單調(diào)性；

(2)若>%2>0，且奈=1，證明：%1%2<e".

4.(2023下?江西贛州?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(%)=ex+ax.

⑴求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

mx

(2)若函數(shù)g(%)=e—Inx+(m—1)%有兩個不同的零點%％2aL<%2)，證明：21n%i+ln%2>e.

利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立、存在性問題—01

1.(2023下?北京?高二校考期末)已知函數(shù)/(%)=In%-％+血，若存在使/(%)<0,則根的取

值范圍是()

A.(—8,1]B.(—8,1+}]

C.(―8,e—1]D.(―8,e]

2.(2023下?河南新鄉(xiāng)?高二統(tǒng)考期末)若關(guān)于x的不等式%In%+(2—%)ln(2—x)>m2—27n對任意％e(0,2)

恒成立，則整數(shù)機的取值可能為()

A.1B.2C.3D.4

3.(2023下?江西九江?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(%)=21nx—|mx2+l(mGR).

(1)當/n=l時，證明：/(%)<1；

(2)若關(guān)于％的不等式/(%)<(m-2)%恒成立，求整數(shù)TH的最小值.

4.(2023下?重慶北倍?高二?？计谀?/(%)=e%T+%2-3x.

⑴求/(%)在優(yōu)t+2］上的最小值；

x32

(2)gQ)=6e—%—4x—ax—7,且V%1e(0,+oo),3x2W(0,2),g3)>求a的取值范圍.

題型10、利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題

1.(2023下?上海浦東新?高二?？计谀?已知aCR,函數(shù)/(%)=In%—a%.

(1)若a=3,求曲線y=/(%)在P(l,—3)處的切線方程；

(2)若/(%)有零點，求實數(shù)a的取值范圍；

2

(3)若/(%)有兩個相異零點%1，%2，求證：Xr-x2>e.

2.(2023下?河南洛陽?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)f(x)=之久2—2ax+lnx(a為常數(shù)).

(1)若函數(shù)/(久)是增函數(shù)，求。的取值范圍；

(2)設(shè)函數(shù)/(%)的兩個極值點分別為%1，%2(%1<%2)，求/(%1)-/(%2)的范圍.

2,2

3.(2023上?云南德宏?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)f(%)=e%-^(x)=Inx+a.當a>0時,g(%)—/(%)在

(0,+8)上的最大值為ln4.

⑴求實數(shù)〃的值；

(2)VxE(0,+oo),有+2—m)>fcx+fc—1>~g(q=)-當k>。時，求zn/c—/的最大值.

4.(2023下?山東泰安?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/'(%)=In%—1Tn/,血ER.

⑴討論/(%)的單調(diào)性;

x2

(2)設(shè)函數(shù)g(%)=xe-a(/(%)+|mx+%)(a〉0),若存在x2(0<<&)使得9(%i)=g(%2)，證明:

X1X2

x±e+x2e>2a.

題型na導(dǎo)數(shù)中的新定義問題。|

1.(2023上?上海黃浦?高三校考開學(xué)考試)對于函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y'=尸(￡),若在其定義域內(nèi)存在實

數(shù)久。和如使得f0。+1)=Q+D?尸(%。)成立，則稱y="X)是“躍點”函數(shù)，并稱“。是函數(shù)y=/(久)的”躍

點”.

(1)若函數(shù)y=sinx-m(xeR)是(躍點”函數(shù)，求實數(shù)機的取值范圍；

(2)若函數(shù)y=/—+1是定義在(-1,3)上的“1躍點”函數(shù)，且在定義域內(nèi)存在兩個不同的“1躍點”，求實

數(shù)a的取值范圍；

(3)若函數(shù)、=眇+"(久6K)是“1躍點”函數(shù)，且在定義域內(nèi)恰存在一個“1躍點”，求實數(shù)b的取值范圍.

2.(2023?高二課時練習(xí))對于定義在。上的函數(shù)f(x),其導(dǎo)函數(shù)為尸(久).若存在keD,使得r(k)=f(k),

且x=k是函數(shù)/(久)的極值點，則稱函數(shù)/O)為“極致左函數(shù)”.

(1)設(shè)函數(shù)，(久)=x+atanx,其中一：＜久a&R.

①若/(久)是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

②證明：函數(shù)f(x)不是“極致。函數(shù)

(2)對任意meR,證明：函數(shù)g(久)=xsinx+nicos久-m是“極致0函數(shù)

3.(2023上?上海浦東新?高三統(tǒng)考期末)設(shè)y=/(x)是定義在R上的函數(shù)，若存在區(qū)間［a,切和(a,6),

使得y=f(x)在［a,久上嚴格減，在［久0,0上嚴格增，則稱y=/Q)為“含谷函數(shù)”，而為“谷點”，［a,切稱為y=

f(x)的一個“含谷區(qū)間”.

(1)判斷下列函數(shù)中，哪些是含谷函數(shù)？若是，請指出谷點；若不是，請說明理由：

(i)y=21x1，(ii)y—x+cosx；

(2)已知實數(shù)nt>0,y=/-2%-mln(久-1)是含谷函數(shù)，且［2,4］是它的一個含谷區(qū)間，求小的取值范圍；

(3)設(shè)p,qeR,h(x)=—x4+px3+qx2+(4-3p-2q)x.設(shè)函數(shù)y=Rx)是含谷函數(shù)，［a,b］是它的一個

含谷區(qū)間，并記6—a的最大值為L(p,q).若九(1)W%(2),且旗1)W0,求L(p,q)的最小值.

4.(2023?河北石家莊?統(tǒng)考三模)若定義在區(qū)間/上的函數(shù)y=/(x),其圖象上存在不同兩點處的切線相互

平行，則稱函數(shù)y=/(久)為區(qū)間/上的“曲折函數(shù)”，“現(xiàn)已知函數(shù)fO)=2a21nx+/但>0).

⑴證明:y=f(x)是(0,+8)上的“曲折函數(shù)”;

(2)設(shè)0<X。<a,證明：3%16(.x0,d),使得對于Vx〈(/,a),均有(a-尤。)/(久)一/(a)+/(配)<0.

高二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)第五章十一大題型歸納(拔尖篇)

【人教A版(2019)]

求在曲線上二點的切線方程過二點的曲線方程

1.(2023?北京東城?統(tǒng)考一模)過坐標原點作曲線y=e'-2+i的切線，則切線方程為()

A.y=xB.y=2xC.y=-^xD.y=ex

【解題思路】設(shè)切點坐標為(t,et-2+1),求得切線方程為y—(e~2+1)=et-2(x_t),把原點(0,0)代入方

程，得到(t-l)e~2=i,解得t=2,即可求得切線方程.

【解答過程】由函數(shù)y=e，-2+i,可得y，=e=2,

設(shè)切點坐標為(t,e-2+1),可得切線方程為y—(e-2+1)=e”2(x_t))

把原點(0,0)代入方程，可得0-色-2+1)=/-2(0一。，即(t一l)e-2=i,

解得t=2,所以切線方程為y-(e°+l)=e°(x—2),即丫=x.

故選：A.

2.(2023下?山東東營?高二統(tǒng)考期末)已知。為實數(shù)，函數(shù)/(久)=3久3+2a/+(2+a)久的導(dǎo)函數(shù)為尸(x),

且尸0)是偶函數(shù)，則曲線y=/0)在點處的切線方程為()

A.11%—y—6=0B.9%+y—6=0

C.5x-lly+2=0D.6x+5y-ll=0

【解題思路】由偶函數(shù)的定義確定參數(shù)a的值，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合導(dǎo)數(shù)運算求解即可得切線方程.

【解答過程】因為/''(%)=9x2+4ax+2+a是偶函數(shù)，

所以尸(一x)=9x2—4ax+2+a-9x2+4ax+2+a—

所以a=0,故f'(x)=9x2+2,/(%)=3x3+2x,

所以"1)=5,尸(1)=11,

故曲線y=f(x)在點(l,f(D)處的切線方程為y-5=11(%-1),

即11工7—6=0.

故選：A.

3.(2023上?湖南常德?高二?？计谀?已知曲線y=1久3+￡

(1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程；

(2)求滿足斜率為1的曲線的切線方程.

【解題思路】(1)對曲線y=：婷+］求導(dǎo),求出點P(2,4)處切線的斜率，再求出切線方程;

(2)設(shè)切點為(％,y°),由曲線的切線斜率為1,求出切點坐標，再求出切線方程.

【解答過程】(1)由y=13+§得了=/,

在點P(2,4)處切線的斜率k=y'I工=2=4.

曲線在點P(2,4)處的切線方程為y-4=4(%-2),

即4%—y—4=0.

(2)設(shè)切點為(xo，y。)，則切線的斜率為卜=。.

,?,曲線的切線斜率為I/.xl=1,解得久o=±1,

???切點為(-1,1).

???切線方程為y—|=x—1和y—1=%+1,

即3第―3y+2=0和％—y+2=0.

4.(2023上?江蘇鎮(zhèn)江?高二校考期末)已知函數(shù)/(%)=ln、,g(%)=tan%.

(1)求曲線y=g(%)在％=g處切線方程；

⑵若直線/過坐標原點且與曲線y=/(%)相切，求直線1的方程.

【解題思路】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，然后利用點斜式寫切線方程即可；

(2)設(shè)切點坐標(xo，lnxo),然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到斜率卜=工，進而得到直線/的方程.

%0

【解答過程】(1)g(x)=tan^=所以g，(%)=竺黑運=熹，所以g，0)=4,g0=百,

所以切線方程為：y-V3=4(x-^),整理得4x-y+W-苧=0.

(2)/(%)=In%,所以廣(x)=3設(shè)切點坐標為(xo/nxo),所以切線斜率為々=二，

xXO

則切線方程為：y-lnx0=—(%-x0),

%o

又因為切線過原點，所以將(0,0)代入切線方程得—ln&=!?(―沏)，解得Xo=e,

XO

所以切線方程為：y-l=j(x-e),整理得x—ey=0.

題型2兩條切線平行、垂直、重合(公切線)問題

1.(2023上?內(nèi)蒙古阿拉善盟?高三校考期末)已知函數(shù)/(%)=ex-ax+b,g(x)=x2一%.若曲線y=/(%)和

y=g(%)在公共點4(1,0)處有相同的切線，則〃，人的值分別為()

A.e-1,—1B.-l,e—1C.e,-1D.-l,e

【解題思路】先根據(jù)y=f。)和y=g(x)在公共點4(1,0)處有相同的切線得出在％=1處兩函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相等,

再由4(1,0)在y=f(x)上，列方程組求解即可.

【解答過程】因為g'(x)=2x-l,所以g'(l)==ex-a,

由題意，，點D=eUjL解得｛2=，—J,

(./(l)=e-a+b=0,Lb=-1.

故選:A.

2.(2023?遼寧遼陽?統(tǒng)考二模)若對函數(shù)f(久)=2x-sin久的圖象上任意一點處的切線小函數(shù)g(x)=mex+

(m-2)x的圖象上總存在一點處的切線G，使得kl%，則小的取值范圍是()

A.(-1,0)B.(0,|)

C.(-1,0)D.(0,1)

【解題思路】求導(dǎo)得到-啟范圍A,再分巾>0,m<0,巾=0三種情況討論得g'(x)范圍B,最后根據(jù)

條件得A與B包含關(guān)系，計算得到答案.

【解答過程】由/(久)=2%-sin%,得廣(%)=2-cos%E[1,3],所以———E=A,

2—COSXL3J

由g(%)=mex4-(m—2)%,得g'(%)=mex+m—2,設(shè)該導(dǎo)函數(shù)值域為B,

(1)當7n>0時，導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，grMG(m-2,+QO),

由題意得V/萬X2,廣(*1)9'(久2)=-1'1-g'(%2)=-77777■■AQB

故m—2<—1,解得0Vzn<1；

(2)當TH<0時，導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞減，g'(%)C(-8,6一2),同理可得m-2>-1,與mV0矛盾，舍去；

(3)當m=0時，不符合題意.

綜上所述：血的取值范圍為(0,1).

故選：D.

3.(2023?高二課時練習(xí))已知函數(shù)兀0=#—Z^+BxQeR)的圖象為曲線C.

(1)求過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍；

(2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標的取值范圍.

【解題思路】(1)先求導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出其取值范圍，從而可求出曲線C上任意一點處的切線

的斜率的取值范圍；

(2)根據(jù)(1)可知k與的取值范圍，從而可求出k的取值范圍，然后解不等式可求出曲線C的切點的

k

橫坐標取值范圍.

【解答過程】(1)由題意得了(尤)=/—4x+3,則/(x)=(x—2)2—1之一1,

即過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍是[-1,+oo).

(k>—1

(2)設(shè)曲線C的其中一條切線的斜率為七則由(2)中條件并結(jié)合(1)中結(jié)論可知，_工2_1

Ik-

解得一13左<0或后1,故由一1<X2-4X+3<0或^-4%+3>1,

得工￡(—oo,2—V2]U(1,3)[2+V2,+co).

4.(2023下?江西?高二校聯(lián)考期中)已知函數(shù)/(%)=西一二2,g(%)=一(%一切2.

(1)當。=1時，求曲線y=/(%)在％=0處的切線方程.

(2)若a+b=l,是否存在直線Z與曲線y=/(%)和y=g(%)都相切？若存在，求出直線1的方程(若直線1的

方程含參數(shù)，則用a表示)；若不存在，請說明理由.

【解題思路】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，先求導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率，利用點斜式可得方程；

(2)先求兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用公切線建立等量關(guān)系，求解方程可得答案.

【解答過程】(1)當。=1時，f(x)=2(x-l),/(0)=1,r(0)=-2.

曲線y-/(%)在汽=0處的切線方程為y—/(0)=/(0)(%—0),即y=—2x+1.

(2)設(shè)直線Z與曲線y=/(%)相切于點與曲線y=g(%)相切于點8(%2，丫2)，/'(%)=2(%-a),

gfM=-2(%-6).

曲線y=f(%)在點A處的切線為y-(%i-a)2=2(%i-a)(%-xj,

與曲線y=g(%)相切于點

2

則一2(&-b)=2Qi—a)且—(g-b)2一(%i-a)=2(/—a)(x2—%i)(*)，

由％i+型=a+匕=1，則％1—a=—(%2—b),

2

代入(*)得—Cq—a)=(血—a)(x2—%i),

解得％1=。或％2=a-

當%i=a時，直線Ly=0.當%2=a時，%i=1-a,直線上y=2(1—2a)x+2a—1.

故存在直線/與曲線y=/0)和y=g(x)都相切，直線/的方程為y=0或y=2(1-2a)x+2a-l.

與導(dǎo)數(shù)運算有關(guān)的新定義問題。I

1.(2023下?河南南陽?高二校聯(lián)考期末)給出新定義：設(shè)尸(乃是函數(shù)/(久)的導(dǎo)函數(shù)，尸0)是尸0)的導(dǎo)函

數(shù)，若方程/"(%)=0有實數(shù)解%0，則稱點(%0，/(%0))為f(%)的“拐點”，已知函數(shù)f(%)=Sin2x+cos2x+|x

的一個拐點是P(%o，yo),且一則yo=()

【解題思路】二次求導(dǎo)，根據(jù)拐點定義求得然后代入函數(shù)/(乃可得.

【解答過程】由題可知/'(%)=2cos2%—2sin2x+/"(%)=—4sin2x—4cos2%,

結(jié)合題意知一4sin2&—4cos2x0=0,EPsin2x0+cos2%0=V2sin（2%。+：）=0,

又一；＜第0＜。，所以第o=—：所以Yo=sin2x+cos2x+-X=~X=—芻

4o03030024

故選：B.

2.(2023上?河南商丘?高二校考期末)給出定義：設(shè)/(%)是函數(shù)y=/(%)的導(dǎo)函數(shù)，尸'(乃是函數(shù)y=/'(%)

的導(dǎo)函數(shù)，若方程產(chǎn)(%)=0有實數(shù)解%=%°,則稱。°,/(%o))為函數(shù)y=/(%)的“拐點”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有

的三次函數(shù)/(%)=ax3+bx2+c%+d(aH0)都有“拐點”，且該“拐點”也是函數(shù)y=/(%)的圖像的對稱中

心.若函數(shù)/(%)=——+3/，則〃募)+〃急)+〃急)+...+/(翳)+/(瑞)=()

A.8082B.-8082C.8084D.-8084

【解題思路】按定義求得拐點，即為函數(shù)y=/(%)的圖像的對稱中心，利用對稱性化簡求值即可.

【解答過程】/'(%)=-3%2+6%,令/"(%)=-6x+6=0得x=1,/(I)=2,即函數(shù)y=/(%)的圖像的對

稱中心為(1,2),則/(%)+/(2-％)=4,

1/￡,1、.￡/2、a/3、I1/4040、//4041、

故"痂）+〃痂）+f（赤）+…+f（痂）+〃痂）

（））一+））一+???+,2021*,2021-------）

'2021+”2021“2021+“2021202/

=4X2020+2

=8082

故選：A.

3.(2023下?河南信陽?高二統(tǒng)考期中)給出定義：設(shè)尸(%)是函數(shù)y=/(%)的導(dǎo)函數(shù)，/(%)是函數(shù)尸。)的

導(dǎo)函數(shù)，若方程尸(久)=0有實數(shù)解x=x0,則稱((xo/Qo)))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的

三次函數(shù)./(%)=ad+bx2+ex+d(a豐0)都有“拐點”，且該“拐點”也是函數(shù)y=/(x)的圖像的對稱中心,

已知函數(shù)/(%)=|x3—|x2+3x—卷

(1)求出/(久)的對稱中心；

⑵求/(康)+f(施)+…+f(1S)的值?

【解題思路】(1)求出函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的零點后可求函數(shù)圖象的對稱中心.

⑵利用倒序相加法可求f島)+/(￡)+…+/(篇的直

【解答過程】(1)/'(%)=汽2_%+3,/"(%)=2%—1,令/"(%)=0可得X=5

因為“X)為三次函數(shù)，故函數(shù)“X)的拐點為(|,fG))=Q,l).

故/(￡!圖象的對稱中心為6，1).

(2)因為f(x)圖象的對稱中心為&1),故fO)+f(l—幻=2,

設(shè)4=/(/)+f京)+…+f箭)

則a=f篇)+/(震)+…+f島)+/島)

所以24=/(募)+,(鬣)+f(短)+,(黑)+…+f(鬣)+f(康)

=2x2022,

故4=2022.

4.(2022.河南南陽.南陽中學(xué)?？寄M預(yù)測)對于三次函數(shù)f(%)=ax3+bx2+ex+d(aW0),定義：設(shè)f”(%)

是函數(shù)y=/(%)的導(dǎo)函數(shù)y=((%)的導(dǎo)數(shù),若廣⑺=。有實數(shù)解%°,則稱點(%。)(%0))為函數(shù)y=/(%)的“拐

點”.現(xiàn)已知/(%)=X3-3%2+2%-2.請解答下列問題：

(1)求函數(shù)/(%)的“拐點2的坐標；

(2)求證：/(%)的圖像關(guān)于“拐點”對稱，并求/(一2020)+/(-2019)+…/(2019)+/(2022)的值.

【解題思路】(1)根據(jù)“拐點”的定義求出/"(%)=0的根，然后代入函數(shù)解析式可求出“拐點”4的坐標.

(2)設(shè)出點的坐標，根據(jù)中心對稱的定義即可證明，利用對稱性可得結(jié)果.

【解答過程】(1)\?廣(%)=3——6%+2,/"(%)=6%—6,???令f"(%)=6%—6=0,

得％=1.

有/(I)=13-3+2-2=-2,???“拐點為(1,一2).

(2)證明：設(shè)P(%0，yo)是y=/(%)圖像上任意一點，則yo=益-+2-0-2.

P(%o,y°)是關(guān)于“拐點”(1,一2)的對稱點為P'(2-沏,一4-y0).

把點P坐標代入y=/(%)得左邊=一4一=-XQ+3XQ-2x0-2,

右邊=(2—%o)3—3(2—%Q)2+2(2—XQ)—2=-%Q+3XQ—2XQ-2,左邊=右邊.

...點P'(2一％°,—4一y。)在y=f(%)的圖像上.

=f(x)關(guān)于“拐點”A對稱.

由對稱性可得/(#)+/(2-x)=—4

/(-2020)+/(-2019)+-/(2019)+f(2022)=2021x(-4)+/(I)=-8086.

題型4根據(jù)極值(點)求參數(shù)

1.(2023下?江蘇鎮(zhèn)江?高二校考期末)若函數(shù)f(x)=久+：與函數(shù)。(K)=。眇-%有相等的極小值，則實數(shù)

a=()

11

A.-B.eo3C.2D.4

2e2

【解題思路】由對勾函數(shù)可知：“X)=x+：的極小值4,對g(x)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷g(x)的單調(diào)性和極值,

運算求解即可.

【解答過程】由對勾函數(shù)可知：/(%)=比+(在x=2時取到極小值f(2)=2+|=4,

對于9(%)=ae%-%，則有：

當a40時，gO)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，無極值，不合題意；

當a>0時，g'(%)=aex—1,

令g'(%)<0,解得上<—Ina；令“(%)>0,解得(>—Ina；

則g(%)在(-8,-Ina)上單調(diào)遞減，在(-Ina,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(%)的極小值為g(-Ina)=1+Ina=4,解得a=e3.

故選：B.

2.(2023下?安徽滁州?高二統(tǒng)考期末)已知/(%)=?+In%-%存在唯一極小值點，貝！Ja的范圍是()

11

A.a>-B.a>-C.a<eD.a>e

ee

【解題思路】求導(dǎo)得廣⑺=?*—l)(a—W),分兩種情況：當aWO時，當a>0時，分析尸⑺的符號，

/(X)的單調(diào)性，極值，即可得出答案.

【解答過程】由/(%)=今■+hrr—%,%G(O1+oo),

(⑺=a?二+:1=『一整=?"一1)("3，

當a40時，a—三<0怛成立,

ex

所以在％6(0,1)上尸(%)>0,/(%)單調(diào)遞增,

在％E(1,+8)上/(%)<0,/(%)單調(diào)遞減，

所以/(%)沒有極小值點，只有極大值點，不合題意,

當。>0時，令g(x)=W，xE(0,+oo),

g'(x)==W，令g'(x)=°得x=L

所以在％e(0,1)上。(%)>Og(%)單調(diào)遞增，

在%6(L+8)上“(%)<0,9(%)單調(diào)遞減，

g(%)max=g(l)=￡，9(。)=0，當％>。時gCr)>0,且當％—+8時，g(x)t0,

①若0<aV，，則存在znE(0,1),nE(1,d-oo),使得=。(兀)=a,=fr(n)=0,

所以在％E(0,TH)上，x-1<0,a-^>0,/'(%)<0,/(久)單調(diào)遞減，

在x€(zn,1)上，%—1<0,a—^>0,/(%)V0,/(%)單調(diào)遞減，

在工€(1，幾)上，%-1>0,a-^<0,//(x)<0,/(%)單調(diào)遞減，

在％E(九,+8)上，%—1>0,a—^>0,/'(%)>0,/(%)單調(diào)遞增，

所以當0<aV亍時，/(%)有兩個極小值點，不合題意，

當。之工時，a>^(x),即。一彳之0,

eex

在％E(0,1)上/Q)VO/(%)單調(diào)遞減，

在汽G(1,+8)上/(%)>0,f(%)單調(diào)遞增,

所以/(%)有唯一極小值點％=1，無極大值點，

綜上所述，當a2：時，/(x)有唯一極小值點.

故選：A.

3.(2023上?浙江杭州?高二校考期末)已知函數(shù)/(X)=(x2+2)-kln(x+1)(左為常數(shù),且k力0).

⑴當k=1時，求/(無)在x=0處的切線方程；

(2)若函數(shù)/(久)在區(qū)間(0,1)上存在極值，求實數(shù)上的取值范圍.

【解題思路】(1)根據(jù)已知條件及函數(shù)值的定義，利用導(dǎo)數(shù)的法則及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線的點斜式

方程即可求解；

(2)將函數(shù)/(%)在區(qū)間(0,1)上存在極值轉(zhuǎn)化為e(0,1),使得廣(Xo)=0,3兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號，利用二

次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【解答過程】(1)當/c=l時，/(x)=(x2+2)-ln(x+1),x￡(-1,+oo),

所以/XO)=(o2+2)-ln(0+1)=2,

所以廣⑺=2x-奈

所以f(x)在久=0處的切線的斜率為k=尸(0)=2x0-^=-1,

所以/(%)在％=。處的切線方程為y—2=(-1)(%—0),即久+y—2=0.

(2)因為/(%)=(/+2)—/cln(%+1),xG(—l,+oo),

所以尸0)=2%-三，

因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上存在極值，

所以C(0,1),使得尸(%0)=0,%0兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號，

2

所以2久0--------=0,即k=2XQ+2XQ9XQ6(0,1),

*o+l

2x

令g(%o)=2x0+2x0?o6(0,1),

由二次函數(shù)的性質(zhì)知，對稱軸為曲=-5開口向上，

所以g(3)在(0,1)上單調(diào)遞增，

所以g(0)<gOo)<g(D，即O<g(%o)<4,

所以實數(shù)k的取值范圍為(0,4).

4.(2023下?北京海淀?高二清華附中?？计谀?已知函數(shù)f(x)=ln(ax+6)-/在點。j(i))處的切線方

程為y=-%.

(1)求a、b的值：

(2)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑶令g(x)=/(%)一皿，若函數(shù)g(x)的極小值小于0,求小的取值范圍.

【解題思路】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得一：，即可得到方程組，從而求出參數(shù)的值；

(2)由(1)可得f(x)=lnx--,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(3)首先可得g(x)=Inx+-m無，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分?nW0、-2<m<2,m>2三種情況討論,

得到函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的極小值，再說明極小值恒小于0,即可得解.

【解答過程】(1)因為f(x)=ln(ax+b)-尤2,所以尸(%)=/一2%,

又函數(shù)/Xx)在點(1"(D)處的切線方程為y=-%,

7(1)=-1ln(a+b)—1——1(a=1

所以即,解得

廣⑴=一1'--2=-1

a+b

(2)由(1)可得f(%)=In久一％2定義域為(0,+8),

所以尸(X)=工_2X=上空=(「二皇1+-2

XXX

所以當。<X<子時尸(%)>0,當X>/時尸(久)<0,

所以/⑺的單調(diào)遞增區(qū)間為(O弓)，單調(diào)遞減區(qū)間為停,+8).

2

(3)因為g(%)=/(%)+1/—mx=Inx+1%—nu:定義域為(0,+oo),

貝=^+x—m=x2-mx+l

X

當￡工0,即時“(%)>0恒成立，所以g(x)在定義域(0,+8)上單調(diào)遞增，不符合題意;

對于方程式2—mx+1=0,當4=m2—2<0,即—2<m<2時％2—rnx+1>0恒成立，

所以g'Q)N0恒成立，所以g(%)在定義域(0,+8)上單調(diào)遞增，不符合題意;

當血>2則5>1時方程/-mx+1=0有兩個不相等的正實數(shù)根%1、%2,

不妨設(shè)%1<%2，貝<%i<1<%2且熠一mx2+1=0

所以當0<X<%1或%>%2時。'(%)>0，當％1<X<%2時“(%)<0,

所以9(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,%1)，(%2，+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(乙,％2)，

此時gO)在久=%1處取得極大值，在％=汽2處取得極小值，

則極小值=。(%2)=ln%2-mx2=ln%2-1避一1，

令h(%)=Inx--x2—1,xE(1,+00),則“(%)=--x=(i+@i"I<0,

2XX

所以h(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減，所以Mx)<h(i)=一|<0，

即g(x)極小值=