2024-2025學年湖南省長沙市高三年級上冊月考（四）數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年湖南省長沙市高三上學期月考（四）數(shù)學

檢測試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

_l-2i

1.若復數(shù)z滿足z2-i（i為虛數(shù)單位），則z的模目=（）

5

A.1B.—C.V5D.

53

【答案】A

【解析】

【分析】先將z化簡，再根據(jù)模長的運算公式以及性質(zhì)求解即可.

l-2i_（l-2i）（2+i）_4-3i_43.

【詳解】因為z=------=-----------------=-------=-------]

2-i（2-i）（2+i）555

故選：A.

2.已知命題?：VxeR,2*T<0；命題qTxeZ,/+1是質(zhì)數(shù)，則（）

A.夕,q均是真命題B.-'P，q均是真命題

c.p，rq均是真命題D.一夕,-11均是真命題

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到。是假命題，舉出反例得到4為真命題，得到答案.

【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得VxeR,2~〉0，。是假命題，則"是真命題;

當x=l時，必+1=2是質(zhì)數(shù)，故4為真命題，為假命題.

故選：B.

3.已知向量扇B滿足同=3，W=2G,且+則萬與B的夾角為（）

【答案】D

【解析】

【分析】由數(shù)量積公式可得2%=一也，由夾角公式即可得結果.

2

【詳解】?二1-L(1+B),同=3,.,.展(1+B)=|殲+展3=0,

■-a-b=-\a|2=-9,.-.COS<a,b〉=j|^=—乎，故夾角為g.

故選：D.

4.有一組數(shù)據(jù)，按從小到大排列為：1,2,3,6,7,9,加，這組數(shù)據(jù)的50%分位數(shù)等于他們的平均數(shù)，則加為

()

A.10B.12C.14D.16

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)百分位數(shù)概念，求出50%分位數(shù)，也求出平均值，構造方程計算即可.

【詳解】因為該組數(shù)據(jù)共7個，且7x50%=3.5,所以這組數(shù)據(jù)的50%分位數(shù)為從小到大第4個數(shù)，即

6,

l+2+3+6+7+9+ml+2+3+6+7+9+m

又組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為則6=----解---得---切--=---1--4--.--------

7

故選：C.

5.如圖所示，用一個與圓柱底面成。的平面截圓柱，截面是一個橢圓.若圓柱的底面圓半徑為

7T

1,0=-,則下列結論正確的是()

3

A.橢圓的長軸長等于2

B.橢圓的離心率為上

2

C.橢圓的標準方程可以是匕+/=1

4

D.橢圓上的點到一個焦點的距離的最小值為4-273

【答案】C

【解析】

【分析】設橢圓的長半軸長為。，短半軸長為6,半焦距為。，依題意可得a=2、b=\,從而求出c,再

一一判斷即可.

【詳解】設橢圓的長半軸長為。，短半軸長為b,半焦距為c,橢圓長軸在圓柱底面上的投影為圓柱底面

圓直徑，

則由截面與圓柱底面所成銳二面角，==得2。=二二=4,解得a=2,故A不正確；

3cos。

顯然3=1,則°=力2一〃=5離心率e=3=也,故B不正確；

a2

當以橢圓長軸所在直線為歹軸，短軸所在直線為不軸建立平面直角坐標系時，

橢圓的標準方程為匯+1=1,故C正確；

4

橢圓上的點到焦點的距離的最小值為a-c=2，故D不正確.

故選：C

6.已知函數(shù)/(月=2'+2：則下列函數(shù)的圖象關于直線x=l對稱的是()

A./(x-l)+cos^-xB./(x+l)+sin^x

C./(x-l)+sin-^xD./(x+l)+cos]x

【答案】C

【解析】

【分析】首先判斷了(x)的奇偶性和對稱性，再由圖象的平移和正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的對稱性，可得結論.

【詳解】因為函數(shù)/(同=2工+2-工的定義域為R,且/(—%)=2一，+2工=/(%),故函數(shù)

=為偶函數(shù)，圖象關于歹軸對稱，

函數(shù)/(x-1)的圖象為函數(shù)/(x)的圖象向右平移1個單位長度得到，故函數(shù)/(x-l)的圖象關于直線

X=1對稱，

而函數(shù)/(x+1)的圖象為函數(shù)/(x)的圖象向左平移1個單位長度得到，故函數(shù)/(X+1)的圖象關于直線

x=_l對稱，則可排除B,D選項；

又函數(shù)了=$池］%的圖象關于直線x=l對稱，因此函數(shù)/(x-D+sin^x的圖象關于直線x=l對稱.

而又函數(shù)了=85］》的圖象關于點(1,0)對稱，故排除A選項.

故選：C.

7.已知三棱錐Z—BCD內(nèi)接于直徑為行的球=2,則三棱錐4—BCD的體積的最大值為

()

124

A.—B.-C.1D.一

333

【答案】B

【解析】

【分析】過CD作平面ECD,使4BJ_平面ECD,交4B于點￡,設點E到CD的距離為斯，分析出當

球心在EE上時，EF最大,此時E,尸分別為4B,C。的中點，且球心。為EE的中點，進而直接求解體

積即可.

【詳解】如圖，過C。作平面ECD,使48,平面EC。，交4B于點￡,

設點￡到。。的距離為斯，當球心在EE上時，EF最大,

此時已尸分別為AB,CD的中點，且球心。為斯的中點，

所以所=1,所以囁ax=gxgx2xlx2=g.

A

8.關于尤的方程(25-力(5+力=-2024恰有兩個根為再、馬,且西三分別滿足3』="3石和

3

log3(x2—1)—a—3X2,則再+'2+。的值為()

A.77+aB.57+aC.57D.77

【答案】D

【解析】

【分析】先根據(jù)對數(shù)和指數(shù)的運算性質(zhì)化簡可知。=玉-1與右=々-1分別是函數(shù)y=3,與y=log3r和

y=--l-t的兩交點的橫坐標，結合韋達定理即可求解.

3

【詳解】因為(25—x)(5+x)=-2024,展開化簡得――+20^+25x5+2024=0，故西+%2=20,

又3西-a-3石,log(x-l)3

32-a-3X2,所以3西一1二

即3工小=；_1_(石_1),唾3(/_1)=三_1_(/_1)，

所以％=X]—1與72=%—1分別是函數(shù)丁=3'與y=10g3f和y=1—1—，的兩交點的橫坐標,

a(2

所以由對稱性可得玉—1+々—1=§-1，即可+/=§+1=20,解得。=57,

所以石+%2+。=20+57=77,

故選：D

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)/(x)=sinx與g(x)=sin12x+；，下列說法正確的是()

A,將/(x)的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，并向左平移g個單位可以得到g(x)的圖象

2O

B./(x)與g(x)的圖象存在相同的對稱中心

JTJT

c./⑴與g(x)在區(qū)間-7，三上單調(diào)性相同

D.當xe[0,2;r]時，/(x)與g(x)的圖象有且僅有4個交點

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖像平移，正弦函數(shù)的對稱中心和單調(diào)性，以及化簡求值，即可逐個選項判斷.

【詳解】對于A,將/(x)的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼姆?，得到y(tǒng)=sin2x,

再將了=sin2x向左平移/個單位，得了=sin2［x+W］=sin［2x+；］的圖象，A正確；

對于B,/(x)=sinx的圖象對稱中心的橫坐標滿足x=E,keZ,

又g(%)=sin［2x+；］的圖象對稱中心橫坐標滿足2x+：=E,左eZ,

TTKTT

解得X=—+左eZ,兩個方程無公共解，

82

所以兩個函數(shù)圖象不存在相同的對稱中心，選項B錯誤；

對于C,令—巴WxW巴，則0<2%+色〈0，

8842

則/(x)與g(x)在區(qū)間-U上均單調(diào)遞增，故選項C正確；

兀)兀兀

2x+—,得x=2x+—+2ht或x+2x+—=兀+2左兀,左EZ,

［4J44

解得工二一三一2左?；?、=四+也二左EZ,

443

TT11nT|OTTI,jr

所以xe［0,2jr］時，零點有一,,---,—，共有4個，選項D正確.

412124

故選：ACD

10.已知三次函數(shù)/(》)="3--+歷：(4/61<。力0),則()

A.當a=6時，函數(shù)/(x)為單調(diào)遞增函數(shù)

B.當2a=96時，函數(shù)y=/(X)的圖象關于［go］對稱

C.存在a,6,使得函數(shù)y=f(x)圖象關于直線x=b對稱

D.函數(shù)/(x)有三個零點的一個充分條件是。<46<0

【答案】BD

【解析】

【分析】對于A,給出一個反例即可；對于B,驗證/=即可；對于C,使用反證法證明

滿足條件的a,6不存在即可；對于D,利用零點存在定理證明f(x)存在三個零點即可.

【詳解】對于A,由于當a=b=—1時，有/("=一/+》2一%，但此時由/(1)=-1<0=/(0)可知

/(%)并不單調(diào)遞增，故A錯誤;

232a

對于B,當2Q=96時,有b=故/(x)=ax'-ax+bx=ax-CIX2H---X—

9

這表明>=/(x)的圖象關于卜寸稱，故B正確;

對于C,假設存在a,6使得。=/(力的圖象關于歹=6對稱,則/伍+力=/優(yōu)-x)恒成立.

止匕即〃(b+工丫—q(b+%)2=6z(/7-x)3-a(b-x^+Z7(Z7-x).

整理得+2Q%3+2/zx=4aZzx,BP3ab2x+ax3+bx=labx,止匕即

ax3=2abx-3ab2x-bx=bx(<2a-3ab-1).

故對任意實數(shù)%均有時時二辰3卜怔(2a二網(wǎng)聞2a-3a6-1歸同國(2問+3|回+1).

從而對任意XH0均有H<g(2問+3|她+1),但當X〉J*2|a|+3|回+1)時，該式顯然不成立,

矛盾.

所以不存在a,6使得y=/(x)的圖象關于x=6對稱，故C錯誤；

對于D,當a<46<0時，直接計算可得/(O)=O,/f-K4<0,="/〉0,

\a)a<2J8

/⑴=b<0.

而o<2<L<L<i,故根據(jù)零點存在定理，可知/(X)存在零點x=o,且在［2,g］和上分別有一

a42Io2J12)

個零點.

所以f。)一定有三個零點，故D正確.

故選：BD.

11.已知點尸為拋物線c：/=2.（夕＞0）的焦點，。為坐標原點，過了軸左側一點尸作拋物線C的兩

條切線，切點為4民P"B分別交》軸于M、N兩點,設/（再,％）,3（々,"）,則下列結論一定正確的

是（）

A.kPA-kpB=——B.尸,N,尸,“四點共圓

\OM\_\MA\\OM\：：\FA\

I----------------------------------------

|ON|\MP\，|ON|\FB\

【答案】ABC

【解析】

【分析】求出切線斜率得出斜率之積判斷A,證明=57R可判斷B'計算\M扁A的\值可判斷C'當滿

足條件時求出直線方程，可知直線過焦點或與x軸垂直，不符合題意判斷D錯誤.

【詳解】如圖，對于A,由題，4（久1，%）為拋物線。上一點（刀尸0）,則弁=2px-

過點A的切線方程為y-凹=k（x-x^,

聯(lián)立方程組［?"一玉）'消去x得/—?y+?X—才=0,

y"=2px,kk

令△=（）,解得左=二，即過拋物線上一點A的切線的斜率為巨

弘弘

2

同理可得過B點切線斜率為二，所以kpA-kpB=J,故A正確.

8%%

對于B,設幺，%，8

）

所以過點A的切線方程為y=2x+4,令x=0,可得y=即拉0,A

%2.2I

又尸goj,所以原L—,則1，

7171

所以gJ.9,即NPW=—,同理可得N7W=—,

22

則P,N,尸,〃四點共圓，故B正確;

對于c,因為《。,力《。3可得肌卡,故僻

2L

2，

%

y=2x+?，

凹2%為+%、

聯(lián)立方程組角單得X=VM吁必+J1即/在

「一2I2

y=^-x+^-,P'2

[%2

42

.?必

I小|2=4p24=%3：+/)療OMMA

-=T，所以-?，故C正確

'正+五黃[yl+p2)ONMP

4P24

對于D,由拉0看

Py^+p_

^J0M\-_^_*+「_222_v；+-

口」II，F(xiàn)B7、n

[。叫%X+P.y^+p_+P

222P2

四=且可得上=3

|0N|FB"y2"+p2

則%=一了；出一必22，所以必力=一/或％+%=0，

代入拋物線方程/=2px,

可得,2_孕J_//=（）,可得為力=一〃2,

k

所以當直線過拋物線焦點時，兩交點的縱坐標之積為一22,

又當直線與x軸垂直時必+%=0,而直線48不一定過焦點或與x軸垂直，故D錯誤;

故選：ABC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知a,，，且(l-tana)(l+tanP)=2,則&一，=.

JT

【答案】kit—，左wZ

4

【解析】

【分析】由兩角差的正切公式即可求解.

【詳解】?.?(1-tan67)(1+tan/?)=1-tana+tan/3-tanatan/3=2,

即tanB-tana=1+tanatan(3,

tanp-tan

1+tanatanf3

兀

即tan(/7-6tr)-a-f3=kn-—,k.

jr

故答案為：ku——，4eZ

4

13.若數(shù)列｛%｝的前〃項和｛J｝是首項為4,公比為2的等比數(shù)列，則｛%｝的前"項積為.

【答案】2#+界1

【解析】

【分析】利用等比數(shù)列表示出數(shù)列｛4｝的前〃項和為5“，再根據(jù)?！芭cS”之間的關系式得到乙,即可直接

求出結果.

【詳解】設數(shù)列｛%｝的前〃項和為J,

則￥=4X2"T=2計1,

因為a”=S〃一(〃之2),

2n,n>2

則4=L?,

4,“=1

故｛%｝的前〃項積為北=4X212X23X---X2"=22"2+2n+1-

1,1

故答案為：2，"5向

14.現(xiàn)有質(zhì)量分別為1,2,3,4,5,7千克的六件貨物，將它們隨機打包裝入三個不同的箱子，每個箱子裝入兩

件貨物，每件貨物只能裝入一個箱子.則第一、二個箱子的總質(zhì)量均不小于第三個箱子的總質(zhì)量的概率是

2

【答案】y##0.4

【解析】

【分析】根據(jù)條件概率和全概率公式的概率公式求解.

【詳解】由于六件貨物的質(zhì)量之和不是3的倍數(shù)，因而不可能出現(xiàn)三個箱子的總重量都相同的情況.

設事件A表示存在兩個箱子，它們的總質(zhì)量相同且同時最小，事件8表示第一、二個箱子的總質(zhì)量均不小

于第三個箱子的總質(zhì)量.

由對稱性，可得尸（5⑷=§.

當A發(fā)生時,這兩個箱子的貨物組合只能是｛1,4｝和｛2,3｝,｛1,5｝和｛2,4｝,｛2,5｝和｛3,4｝三種可能，故

尸（小萼=’.

5C值5

當A不發(fā)生時，彳表示僅有一個箱子的總質(zhì)量最小，于是由對稱性，得尸（5岡=；.

故尸⑶=尸（8⑶尸⑷+尸（3團尸⑷=gx（+；x>|.

故答案為：—■

【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵是求出尸（MZ）=g,以及尸（5岡=；,利用全概率公式求解.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.記銳角三角形△48C的內(nèi)角4民C的對邊分別為a,b,c,的面積為S,已知

a2+443S=（b+c）2.

（1）求角A；

（2）若6+。=2,求。的取值范圍.

TT

【答案】（1）A=-

3

【解析】

【分析】（1）根據(jù)已知結合余弦定理可得GsinZ=l+cosN，然后利用二倍角公式求出結果;

V3

jrH----------------------------------------------

(2)先確定8+—的取值范圍，并得到.「.r271n),再用三角恒等變換求出取值范圍.

6sm5+sin-----B

【小問1詳解】

1廠2

由于SngbcsinN,故/+2j3bcsin/=(b+c).

所以2y/3bcsinZ=(b+op—a?=(b~+c2+23c)—(/+c2-2bccosZ)=2bc(l+cosZ),即

J^sinZ=1+cosZ.

2^3sin—cos—

,,,GsinZ-V3,tan—,止匕即tanW=，^，所以夕=?故/=g.

故22

26

20cos2—%2233

2

【小問2詳解】

TTTT27r

因為z=—,所以C=7T—2—8=兀-----B=——B.

333

(兀、771(71I171711

由于△45C是銳角三角形，故——B—Celo,-I,所以5的取值范圍是［x，'J，故

71

B+—的取值范圍是

6

、

故1…3^-cosB=0

sin5+sinf:-5)=sin3+cos5+—sin5二一sin8+sin15+巳］的取值范

2)22

圍是［5,、/^.

2=6+C=^^+^^-=^—(sinB+sinC)=-^(sin3+sinC)=與［sinB+sin(生一3

而sin/sin/sin/'707(3

所以"=［；―'(2n八的取值范圍是［攣］.

sin5+sinl—--B\3J

16.已知函數(shù)/(x)=ax—e*,g(x)=lnx—ax.

(1)當a=2時，求曲線y=/(x)在點(1/(1))處的切線方程;

(2)若函數(shù)“X)和g(x)有相同的最大值，求。的值.

【答案】⑴(e-2)x+y=0

(2)a=1.

【解析】

【分析】(1)把a=2代入函數(shù)解析式，求導函數(shù)，可得/'(1),再求出了。)，利用直線方程的點斜式得

答案；

(2)利用導數(shù)分別求出/(x)與g(x)的最大值，由最大值相等可得關于。的方程，再構造關于。的函數(shù),

然后利用導數(shù)求最值即可.

【小問1詳解】

當a=2時，則/(x)=2x-e"(x)=2-e，,

可得/(1)=2-ej'⑴=2-e,

即切點坐標為(1,2—e),切線斜率左=2-e,

所以切線方程為y-(2-e)=(2-e)(x-l),即(e-2)x+y=0.

【小問2詳解】

/(X)=ax—e”的定義域為R,而f'{x}=a-ex,

若aWO,貝|/'(x)<0,

此時函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞減，無最大值，不符合題意，故a〉0.

令/'(x)=0,得x=lna,當xe(—oo,lna)時,令(x)〉0,/(x)在(-a?,lna)單調(diào)遞增,

當xe(Ina,+oo)時，在(lna,+e)單調(diào)遞減，

所以/(x)的最大值為/(lna)=alna—a.

g(x)=lnx-ax的定義域為(0,+。),Wg，(x)=--a=-—―.

XX

當時，g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增，

當xe\,+oo|時，g'(x)<O,g(x)單調(diào)遞減，

所以g(x)的最大值為g［，］=ln，-l=T-lna.

因為/(x)和g(x)有相同的最大值，

Q—1

故alna-q=-l-lna,整理得到----=ln。，其中。〉0,

1+。

〃一121—a2-1

——ln〃,Q>0,則〃(Q)=-------——=--------<0,

J1+〃V7(1+〃)2aQ(1+Q)2

故為(0,+e)上的減函數(shù)，而力(1)=0,

故〃(a)=0的唯一解為。=1,故巴土=lna的解為a=l.

1+Q

綜上所述，a=l.

17.如圖，在四棱錐P—48co中，底面48CD是矩形，

PA=PD=瓜PB=PC=區(qū)NAPB=ZCPD=90°，點、M,N分別是棱BC,R4的中點.

(1)證明：JW〃平面PCD；

(2)若平面尸45J_平面尸CD,求直線"N與平面尸48所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

(2)

3

【解析】

【分析】(1)要證直線與平面平行，只需在平面內(nèi)找到已知直線的一條平行線即可；

(2)過點P作的垂面，作平面/5C。的垂線，建立空間直角坐標系，求出平面尸的法向量，利用向

量法即可得解.

【小問1詳解】

證明：取PQ的中點為。，連接NQ,CQ,

???點N是R4的中點，則NQ〃N￡>且N0=；N￡),

又點初是5c的中點，底面48CD是矩形，

則且CM//AD,

2

：.NQ//C”且N0=CW,.,.四邊形〃是平行四邊形，〃CQ,

又JW(Z平面PCD,C0在平面PCD內(nèi)，.?.〃平面尸C￡>；

【小問2詳解】

過點尸作交45于點￡,作尸ELCD交CD于點尸，連接￡尸,

則PF±AB,PEcPF=P,PE,PFu平面PEF,

.-.48,平面尸￡7"

又ABu平面ABCD,平面PEF±平面ABCD,

???PA=PD=?PB=PC=5/APB=NCPD=90°,

AB=CD=3,PE=PF=O,BE=CF=1,AE=DF=2.

設平面尸48c平面尸CD=/,可知/〃C￡>〃4B,

平面尸48平面尸CD,；.NEPF=90°,.-.EF=2,

取ER的中點為。，連接OP、(W,則OP,平面48CR0尸=1.

.?.(W、0E、0尸兩兩垂直.

以0為坐標原點，分別以OM,OF,OP所在直線為xJ,z軸建立空間直角坐標系。-孫z,

如圖所示，貝加(0,0,1),

PA=(-2,-l,-l),A8=(3,0,0),]W-"J，

設平面PAB的一個法向量為元=(x,y,z),

n-PA=-2x-y-z=0,

則由《=(0,1-1).

n-AB=3x=0,

設直線跖V與平面PAB所成角為e,

\n-MN\]]

則sin8=cos件MN

同1而.逑一相

2

綜上，直線與平面尸48所成角的正弦值為

3

18.湖南某高中在校園藝術節(jié)舉辦形式多樣的活動.

（1）抽獎活動規(guī)則如下：在一不透明的紙箱中有8張完全相同的卡片，其中3張寫有。字母，3張寫有A

字母，2張寫有B字母，抽獎學生每次不放回從箱中隨機取出1張卡片，若抽到寫有。的卡片，則再抽1

次，直至取到寫有A或5卡片為止.抽到A卡片送精美校園明信片一張，抽到B卡片送文學社設計的精美信

封一個.甲同學想要明信片，請問甲同學取到寫有A卡片的概率.

（2）領福袋活動規(guī)則如下：每位同學都可以去文化長廊領取自己最喜歡的福袋，規(guī)定只能取一次，并且

只可以向前走，不能回頭，長廊上一共懸掛〃個福袋（每個福袋的大小不同），福袋出現(xiàn)在各個位置上的

概率相等，乙同學想要摘取最大的福袋，他準備采用如下策略：不摘前左（1〈左＜〃）個福袋，自第左+1個

開始，只要發(fā)現(xiàn)比他前面見過的福袋都大時，就摘這個福袋，否則就摘最后一個.設左=切，記乙同學摘到

最大的福袋概率為P.

①若〃=4,左=2,求尸；

②當〃趨向于無窮大時，從理論的角度，求尸的最大值及尸取最大值時，的值.（取

111?

—+-----+???+------=ln—）

k女+1n—1k

3

【答案】（1）-

（2）①9；②尸的最大值為工，/的值為

12ee

【解析】

【分析】（1）利用隨機事件的關系結合獨立事件乘法公式與互斥事件加法公式求解即可；

（2）①由題意可知，要摘到最適合他的福袋，有兩種情況，最適合他的福袋是第3個和最適合他的福袋是

最后1個，分情況分析兩種情況的可能性，結合古典概型即可求出結果；

②記事件A表示最適合的福袋被摘到，根據(jù)條件概率和全概率公式求出尸（幺），再用導數(shù)求出最值即可.

【小問1詳解】

8張完全相同的卡片，3張寫有。字母，3張寫有A字母，2張寫有8字母，

33332332133

由抽取規(guī)則可知，甲同學取到寫有A卡片的概率為P=—+—X—+—X—X—+—X—X—X—=—;

88787687655

【小問2詳解】

①這4個福袋的位置從第1個到第4個排序，有A：=24種情況,

要摘到最大的福袋，有以下兩種情況:

最大的福袋是第3個，其他的福袋隨意在哪個位置，有A；=6種情況,

最大的福袋是最后1個，第二大的福袋是第1個或第2個，其他的福袋隨意在哪個位置，有2A；=4種情

況，

故所求概率為尸=9±3=3；

②記事件A表示最大的福袋被摘到，事件乃表示最大的福袋在福袋中排在第7個，

因為最大的福袋出現(xiàn)在各個位置上的概率相等，所以尸（8j=：,

以給定所在位置的序號作為條件，尸（幺）=力（削耳J尸（鳥）」力（削B）,

j=ln7=1

當1<J〈左時，最大的福袋在前上個福袋之中，不會被摘到，此時尸（刃耳）=0,

當左+1</<〃時，最大的福袋被摘到，當且僅當前J-1個福袋中的最大的一個在前左個福袋中時，所以

叩⑸=J-1

由全概率公式知尸八(/N八)=-1S2L—k==一kR2二1=一k必,7n,

nj=k+iJ-vnj=kjnk

令函數(shù)g(x)=2ln?(x>0),g'(x)=Lln4_L,

nxnxn

令g<x)=0,貝i|x=C,

e

當時，g'（x）〉0,當時，g[x）<0,

所以g（x）在[o，E上單調(diào)遞增，在￡,〃上單調(diào)遞減,

所以gOOmax=g

77kHIi

所以當左=—時，尸（4）二—In：取得最大值，最大值為一，此時，=—,

enkee

即產(chǎn)的最大值為工，此時/的值為』.

ee

19.己知雙曲線C:4「—f=M，點《（fl）在。上按如下方式構造點月（〃22）：過點匕t作斜率為

-1的直線與C的下支交于點0,1，點2T關于X軸的對稱點為匕，記點匕的坐標為（%,為）.

（1）求點巴，巴的坐標;

(2)記4=2^—%,證明：數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列;

(3)。為坐標原點，G,〃分別為線段4￡+2，勺+1月+3的中點，記AO6+I與+2，AOG〃的面積分別為

s,求空的值.

H，2

?2

137

【答案】（1）片（1」），A

5.9

（2）證明見解析（3）—

2/1

【解析】

【分析】（1）由點片（-1」）可得加的值，求出/臉的方程后聯(lián)立雙曲線可得即可得巴，再借助/股2的

方程后聯(lián)立雙曲線可得Q,即可得巴；

CQ

（2）聯(lián)立y-y“_i=-（x-x”i）與雙曲線方程，結合韋達定理可得當=§%_1+^匕_1，結合點

?！币?（當，一”）代入可得匕=+X,