2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章統(tǒng)計(jì)案例1.1獨(dú)立性檢驗(yàn)學(xué)案新人教B版選修1-2

PAGEPAGE11．1獨(dú)立性檢驗(yàn)1.了解事務(wù)獨(dú)立的概念．2.理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想和方法．3.會(huì)利用2×2列聯(lián)表解決一些實(shí)際問(wèn)題．1．獨(dú)立事務(wù)(1)獨(dú)立事務(wù)的定義對(duì)于兩個(gè)事務(wù)A、B，假如有P(AB)＝P(A)P(B)，就稱事務(wù)A與B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱A與B獨(dú)立．(2)假如A、B相互獨(dú)立，則eq\o(A,\s\up6(－))與B、A與eq\o(B,\s\up6(－))、eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))相互獨(dú)立．2．2×2列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)2×2列聯(lián)表對(duì)于兩個(gè)事務(wù)A、B，用下表表示抽樣數(shù)據(jù)：Beq\o(B,\s\up6(－))合計(jì)An11n12n1＋eq\o(A,\s\up6(－))n21n22n2＋合計(jì)n＋1n＋2n表中：n＋1＝n11＋n21，n＋2＝n12＋n22，n1＋＝n11＋n12，n2＋＝n21＋n22，n＝n11＋n21＋n12＋n22．形如此表的表格為2×2列聯(lián)表．(2)χ2統(tǒng)計(jì)量依據(jù)2×2列聯(lián)表給定的數(shù)據(jù)引入χ2(讀作“卡方”)統(tǒng)計(jì)量．它的表達(dá)式是：χ2＝eq\f(n(n11n22－n12n21)2,n1＋n2＋n＋1n＋2)．(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)思想①用H0表示事務(wù)A與B獨(dú)立的判定式，即H0：P(AB)＝P(A)P(B)，稱H0為統(tǒng)計(jì)假設(shè)．②用χ2與其臨界值3.841與6.635的大小關(guān)系來(lái)確定是否拒絕原來(lái)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)H0，如下表：大小比較結(jié)論χ2≤3.841事務(wù)A與B是無(wú)關(guān)的χ2＞3.841有95%的把握說(shuō)事務(wù)A與B有關(guān)χ2＞6.635有99%的把握說(shuō)事務(wù)A與B有關(guān)1．推斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是兩個(gè)分類變量的頻數(shù)．()(2)事務(wù)A與B的獨(dú)立性檢驗(yàn)無(wú)關(guān)，即兩個(gè)事務(wù)互不影響．()(3)χ2的值越大，兩個(gè)事務(wù)的相關(guān)性就越大．()答案：(1)√(2)×(3)√2．下面是2×2列聯(lián)表．y1y2合計(jì)x1332154x2a1346合計(jì)b34則表中a，b處的值應(yīng)為()A．33，66 B．25，50C．32，67 D．43，56答案：A3．若事務(wù)A、B相互獨(dú)立，且P(AB)＝eq\f(1,8)，P(A)＝eq\f(1,2)，則P(B)＝________.答案：eq\f(1,4)獨(dú)立事務(wù)概率的求法甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員分別進(jìn)行一次投籃，假如兩人投中的概率都是0.6.計(jì)算：(1)兩人都投中的概率；(2)其中恰有一人投中的概率；(3)至少有一人投中的概率．【解】設(shè)A＝“甲投籃一次，投中”，B＝“乙投籃一次，投中”．(1)由設(shè)得AB＝“兩人各投籃一次，都投中”，由題意知，事務(wù)A與B相互獨(dú)立，所以P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.6×0.6＝0.36.(2)事務(wù)“兩人各投籃一次，恰好有一人投中”包括兩種狀況：一種是甲投中，乙未投中(事務(wù)Aeq\o(B,\s\up6(－))發(fā)生，)另一種是甲未投中，乙投中(事務(wù)eq\o(A,\s\up6(－))B發(fā)生)．依據(jù)題意，這兩種狀況在各投籃一次時(shí)不行能同時(shí)發(fā)生，即事務(wù)Aeq\o(B,\s\up6(－))與eq\o(A,\s\up6(－))B互斥，并且A與eq\o(B,\s\up6(－))，eq\o(A,\s\up6(－))與B各自相互獨(dú)立，因而所求概率為P＝P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(A)·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(B)＝0.6×(1－0.6)＋(1－0.6)×0.6＝0.48.(3)事務(wù)“兩人各投籃一次，至少有一人投中”的對(duì)立事務(wù)“兩人各投籃一次，均未投中”的概率是P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝(1－0.6)×(1－0.6)＝0.16.因此，至少有一人投中的概率為P(A∪B)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－0.16＝0.84.若本例中條件不變，則“至多有一人投中”的概率是多少？解：事務(wù)“至多有一人投中”包括三種狀況，一種是“甲、乙都未投中”(事務(wù)eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))發(fā)生)，一種是“甲投中，乙未投中”(事務(wù)Aeq\o(B,\s\up6(－))發(fā)生)，一種是“甲未投中，乙投中”(事務(wù)eq\o(A,\s\up6(－))B發(fā)生)，由題意，這三種狀況在各投籃一次時(shí)不行能同時(shí)發(fā)生，即eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))，Aeq\o(B,\s\up6(－))與eq\o(A,\s\up6(－))B兩兩互斥，且eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))，A與eq\o(B,\s\up6(－))，eq\o(A,\s\up6(－))與B各自相互獨(dú)立，因此“至多有一人投中”的概率為P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＋P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＋P(A)·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(B)＝0.64.eq\a\vs4\al()(1)在求概率問(wèn)題中，常常遇到“恰有”“至少”“至多”等術(shù)語(yǔ)，在此肯定要深刻理解其含義，分清它的各種狀況，以免計(jì)算錯(cuò)誤．(2)對(duì)于含有“至少”“至多”的概率問(wèn)題，我們通常轉(zhuǎn)化為求其對(duì)立事務(wù)的概率，即利用公式P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))達(dá)到求解的目的．已知事務(wù)A與B相互獨(dú)立，P(A)＝P1，P(B)＝P2，則P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))的值為()A．P1＋P2 B．P1P2C．1－P1P2 D．(1－P1)(1－P2)解析：選D．若A與B相互獨(dú)立，則eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))也相互獨(dú)立，且P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－P(A)，P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－P(B)．故選D．獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用在對(duì)人們的休閑方式的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休閑方式是看電視，另外27人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng)；男性中有21人主要的休閑方式是看電視，另外33人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng)．(1)依據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2列聯(lián)表；(2)推斷性別與休閑方式是否有關(guān)系．【解】(1)列表如下：休閑方式性別看電視運(yùn)動(dòng)合計(jì)女432770男213354合計(jì)6460124(2)由上表可得χ2＝eq\f(124×(43×33－27×21)2,70×54×64×60)≈6.201.因?yàn)棣?＞3.841，所以有95%的把握認(rèn)為性別與休閑方式有關(guān)系．eq\a\vs4\al()獨(dú)立性檢驗(yàn)方法的應(yīng)用，關(guān)鍵是確定兩個(gè)變量并列出2×2列聯(lián)表，只要完成了這兩步，下面的計(jì)算和推斷就迎刃而解了．為了探究學(xué)生選報(bào)文、理科是否與對(duì)外語(yǔ)的愛好有關(guān)，某同學(xué)調(diào)查了361名高二在校學(xué)生，調(diào)查結(jié)果如下：理科對(duì)外語(yǔ)有愛好的有138人，無(wú)愛好的有98人，文科對(duì)外語(yǔ)有愛好的有73人，無(wú)愛好的有52人．能否有95%的把握認(rèn)為“學(xué)生選報(bào)文、理科與對(duì)外語(yǔ)的愛好有關(guān)”？解：依據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：理科文科合計(jì)有愛好13873211無(wú)愛好9852150合計(jì)236125361依據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)由公式計(jì)算得χ2＝eq\f(361×(138×52－73×98)2,211×150×236×125)≈1.871×10－4.因?yàn)?.871×10－4＜3.841，所以沒(méi)有95%的把握認(rèn)為“學(xué)生選報(bào)文、理科與對(duì)外語(yǔ)的愛好有關(guān)”．獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用同時(shí)拋擲兩顆勻稱的骰子，請(qǐng)回答以下問(wèn)題：(1)求兩顆骰子都出現(xiàn)2點(diǎn)的概率；(2)若同時(shí)拋擲兩顆骰子180次，其中甲骰子出現(xiàn)20次2點(diǎn)，乙骰子出現(xiàn)30次2點(diǎn)，問(wèn)兩顆骰子出現(xiàn)2點(diǎn)是否相關(guān)？【解】(1)每顆骰子出現(xiàn)2點(diǎn)的概率都為eq\f(1,6)，由相互獨(dú)立事務(wù)同時(shí)發(fā)生的概率公式得兩顆骰子都出現(xiàn)2點(diǎn)的概率為eq\f(1,6)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,36).(2)依題意，列2×2列聯(lián)表如下：出現(xiàn)2點(diǎn)出現(xiàn)其他點(diǎn)合計(jì)甲骰子20160180乙骰子30150180合計(jì)50310360由公式計(jì)算得χ2＝eq\f(360×(20×150－160×30)2,50×310×180×180)≈2.323.因?yàn)?.323<3.841，因此我們沒(méi)有理由說(shuō)兩顆骰子出現(xiàn)2點(diǎn)相關(guān)．eq\a\vs4\al()統(tǒng)計(jì)的基本思維模式是歸納，它的特征之一是通過(guò)部分?jǐn)?shù)據(jù)的性質(zhì)來(lái)推想全部數(shù)據(jù)的性質(zhì)，因此，統(tǒng)計(jì)推斷是可能犯錯(cuò)誤的，即從數(shù)據(jù)上體現(xiàn)的只是統(tǒng)計(jì)關(guān)系，而不是因果關(guān)系．為了調(diào)查胃病是否與生活規(guī)律有關(guān)，在某地對(duì)540名40歲以上的人所作的調(diào)查結(jié)果如下：患胃病未患胃病合計(jì)生活不規(guī)律60260320生活有規(guī)律20200220合計(jì)80460540依據(jù)以上數(shù)據(jù)推斷40歲以上的人患胃病與生活規(guī)律有關(guān)嗎？解：由公式得χ2＝eq\f(540×(60×200－260×20)2,320×220×80×460)≈9.638.因?yàn)?.638>6.635，所以有99%的把握說(shuō)40歲以上的人患胃病與生活是否有規(guī)律有關(guān)，即生活不規(guī)律的人易患胃病．1．在求事務(wù)的概率時(shí)，有時(shí)遇到求“至少……”或“至多……”等事務(wù)概率的問(wèn)題，假如從正面解決這些問(wèn)題，它們是諸多事務(wù)的和或積，求解過(guò)程煩瑣，但這些事務(wù)的對(duì)立事務(wù)卻往往很簡(jiǎn)潔，其概率也易求出．此時(shí)，可逆向思索，先求其對(duì)立事務(wù)的概率，進(jìn)而求得原來(lái)事務(wù)的概率．2．獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟(1)依據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表．(2)依據(jù)公式χ2＝eq\f(n(n11n22－n12n21)2,(n11＋n12)(n21＋n22)(n11＋n21)(n12＋n22))，計(jì)算χ2的值．(3)比較χ2與臨界值的大小關(guān)系作統(tǒng)計(jì)推斷．對(duì)2×2列聯(lián)表中n11，n12，n21，n22的位置務(wù)必正確填寫．1．甲、乙二人分別對(duì)一目標(biāo)射擊一次．記“甲射擊一次，擊中目標(biāo)”為事務(wù)A，“乙射擊一次，擊中目標(biāo)”為事務(wù)B，則在A與B、eq\o(A,\s\up6(－))與B、A與eq\o(B,\s\up6(－))、eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))中，滿意相互獨(dú)立的有()A．1對(duì) B．2對(duì)C．3對(duì) D．4對(duì)解析：選D．易知A與B是相互獨(dú)立事務(wù)，從而A與eq\o(B,\s\up6(－))，eq\o(A,\s\up6(－))與B，eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))都相互獨(dú)立．2．依據(jù)下表：不看電視看電視合計(jì)男3785122女35143178合計(jì)72228300計(jì)算χ2＝________．解析：χ2＝eq\f(300×(37×143－35×85)2,122×178×72×228)≈4.514.答案：4.5143．某衛(wèi)朝氣構(gòu)對(duì)366人進(jìn)行健康體檢，有陽(yáng)性家族史者糖尿病發(fā)病的有16例，不發(fā)病的有93例，陰性家族史者糖尿病發(fā)病的有17例，不發(fā)病的有240例，則有________的把握認(rèn)為糖尿病患者與遺傳有關(guān)系．解析：列出2×2列聯(lián)表：發(fā)病不發(fā)病合計(jì)陽(yáng)性家族史1693109陰性家族史17240257合計(jì)33333366所以隨機(jī)變量χ2的值為：χ2＝eq\f(366×(16×240－17×93)2,109×257×33×333)≈6.067＞3.841.所以有95%的把握認(rèn)為糖尿病患者與遺傳有關(guān)．答案：95%[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．事務(wù)A、B相互獨(dú)立，下列四個(gè)式子①P(AB)＝P(A)·P(B)；②P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(B)；③P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)·P(eq\o(B,\s\up6(－)))；④P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(eq\o(B,\s\up6(－)))．其中正確的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選D．閱歷證①②③④都正確．2．對(duì)于分類變量A與B的統(tǒng)計(jì)量χ2，下列說(shuō)法正確的是()A．χ2越大，說(shuō)明“A與B有關(guān)系”的可信度越小B．χ2越大，說(shuō)明“A與B無(wú)關(guān)”的程度越大C．χ2越小，說(shuō)明“A與B有關(guān)系”的可信度越小D．χ2接近于0，說(shuō)明“A與B無(wú)關(guān)”的程度越小解析：選C．由獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義及χ2的意義可知C正確．3．下面是一個(gè)2×2列聯(lián)表：y1y2合計(jì)x1a2173x222527合計(jì)b46100則表中a，b的值分別為()A．94，96 B．52，50C．52，54 D．54，52解析：選C．因?yàn)閍＋21＝73，所以a＝73－21＝52.又因?yàn)閍＋2＝b，所以b＝52＋2＝54.4．甲、乙兩人獨(dú)立地解同一問(wèn)題，甲解決這個(gè)問(wèn)題的概率是P1，乙解決這個(gè)問(wèn)題的概率是P2，那么恰好有一人解決這個(gè)問(wèn)題的概率是()A．P1P2 B．P1(1－P2)＋P2(1－P1)C．1－P1P2 D．1－(1－P1)(1－P2)解析：選B．設(shè)甲、乙解決這個(gè)問(wèn)題分別為事務(wù)A、B，則P(Aeq\o(B,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P(eq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(B)，即P1(1－P2)＋(1－P1)P2.5．在探討吸煙與患肺癌的關(guān)系中，通過(guò)收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得“吸煙與患肺癌有關(guān)”的結(jié)論，并有99%以上的把握認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是成立的，下列說(shuō)法中正確的是()A．100個(gè)吸煙者中至少有99個(gè)患有肺癌B．1個(gè)人吸煙，那么這個(gè)人肯定患有肺癌C．在100個(gè)吸煙者中肯定有患肺癌的人D．在100個(gè)吸煙者中可能一個(gè)患肺癌的人也沒(méi)有解析：選D．有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)，但吸煙的人不肯定會(huì)患肺癌，可信度是就整體而言的，對(duì)詳細(xì)的樣本不具有精確的推斷性．6．為了考察長(zhǎng)頭發(fā)與女性頭暈是否有關(guān)系，隨機(jī)抽取了301名女性，得到如下列聯(lián)表，試依據(jù)表格中已有數(shù)據(jù)填空．常常頭暈很少頭暈合計(jì)長(zhǎng)發(fā)35①121短發(fā)37143②合計(jì)72③④空格中的數(shù)據(jù)應(yīng)分別為①________；②________；③________；④________．解析：題表中最右側(cè)的總計(jì)是對(duì)應(yīng)的行上的兩個(gè)數(shù)據(jù)的和，由此可求出①和②；而題表中最下面的總計(jì)是對(duì)應(yīng)的列上兩個(gè)數(shù)據(jù)的和，由剛才的結(jié)果可求得③④.答案：861802293017.假如元件A、B、C正常工作的概率分別為P1、P2、P3，則如圖所示的線路，正常工作的概率為________．解析：A正常工作，B、C至少有一個(gè)元件正常工作即可．答案：P1(P2＋P3－P2P3)8．調(diào)查者通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)72名男女中學(xué)生喜愛文科還是理科，得到如下列聯(lián)表(單位：名)：性別與喜愛文科還是理科列聯(lián)表喜愛文科喜愛理科合計(jì)男生82836女生201636合計(jì)284472估計(jì)中學(xué)生的性別和喜愛文科還是理科________關(guān)系．(填“有”或“沒(méi)有”)解析：χ2＝eq\f(72×(16×8－28×20)2,36×36×44×28)≈8.416＞6.635.故我們有99%的把握認(rèn)為中學(xué)生的性別和喜愛文科還是理科有關(guān)系．答案：有9．某學(xué)生騎自行車上學(xué)，從家到學(xué)校的途中有兩個(gè)交通崗，假設(shè)他在每個(gè)交通崗處遇到紅燈的事務(wù)是相互獨(dú)立的，并且概率都是0.6.(1)求兩次都遇到紅燈的概率；(2)求至少遇到一次紅燈的概率．解：(1)第一次遇到紅燈的概率為0.6，其次次遇到紅燈的概率也為0.6，且兩次遇到紅燈是相互獨(dú)立的，所以兩次都遇到紅燈的概率P1＝0.6×0.6＝0.36.(2)“至少遇到一次紅燈”的對(duì)立事務(wù)為“兩次均沒(méi)有遇到紅燈”，所以至少遇到一次紅燈的概率P2＝1－(1－0.6)×(1－0.6)＝1－0.4×0.4＝0.84.10．在某醫(yī)院，因?yàn)榛夹呐K病而住院的665名男性病人中，有214人禿頂，而另外772名不是因?yàn)榛夹呐K病而住院的男性病人中有175人禿頂．請(qǐng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)方法推斷禿頂與患心臟病是否有關(guān)系？解：依據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)得到如下2×2列聯(lián)表：患心臟病患其他病合計(jì)禿頂214175389不禿頂4515971048合計(jì)6657721437依據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得到：χ2＝eq\f(1437×(214×597－175×451)2,389×1048×665×772)≈16.373>6.635.所以有99%的把握認(rèn)為“禿頂與患心臟病有關(guān)”．[B實(shí)力提升]11．調(diào)查某桑場(chǎng)采桑員和協(xié)助工中患桑毛蟲皮炎病狀況結(jié)果如下表：采桑不采桑合計(jì)患者人數(shù)181230健康人數(shù)57883合計(jì)2390113則患桑毛蟲皮炎病與采桑有關(guān)系的把握大約有()A．90% B．95%C．99% D．無(wú)充分依據(jù)解析：選C．n11＝18，n12＝12，n21＝5，n22＝78，所以n1＋＝n11＋n12＝30，n2＋＝n21＋n22＝83，n＋1＝n11＋n21＝23，n＋2＝n12＋n22＝90，n＝113.所以χ2＝eq\f(n(n11n22－n12n21)2,n1＋n2＋n＋1n＋2)＝eq\f(113×(18×78－5×12)2,30×83×23×90)＝39.6>6.635.所以有99%的把握認(rèn)為“患桑毛蟲皮炎病與采?！庇嘘P(guān)系．12．某校對(duì)有心理障礙學(xué)生進(jìn)行測(cè)試得到如下列聯(lián)表：焦慮說(shuō)謊懶散合計(jì)女生5101530男生20105080合計(jì)252065110則在焦慮、說(shuō)謊、懶散這三種心理障礙中與性別關(guān)系最大的是________．解析：對(duì)于題中三種心理障礙分別構(gòu)造三個(gè)隨機(jī)變量χeq\o\al(2,1)，χeq\o\al(2,2)，χeq\o\al(2,3)，由表中數(shù)據(jù)列出焦慮是否與性別有關(guān)的2×2列聯(lián)表：焦慮不焦慮合計(jì)女生52530男生206080合計(jì)2585110可得χeq\o\al(2,1)＝eq\f(110×(5×60－25×20)2,30×80×25×85)≈0.863＜3.841，同理，χeq\o\al(2,2)＝eq\f(110×(10×70－20×10)2,30×80×20×90)≈6.366＞3.841，χeq\o\al(2,3)＝eq\f(110×(15×30－15×50)2,30×80×65×45)≈1.