2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第3章函數(shù)3.1函數(shù)的概念與性質(zhì)3.1.3函數(shù)的奇偶性第2課時(shí)奇偶性的應(yīng)用學(xué)案含解析新人教B版必修第一冊(cè)

PAGE10-第2課時(shí)奇偶性的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.會(huì)依據(jù)函數(shù)奇偶性求函數(shù)值或解析式．2．能利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性分析、解決較簡(jiǎn)潔的問(wèn)題．1.利用奇偶性求函數(shù)的解析式，培育邏輯推理素養(yǎng)．2．借助奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．問(wèn)題(1)圖(1)和圖(2)分別是偶函數(shù)和奇函數(shù)的一部分圖像，你能結(jié)合奇偶函數(shù)圖像的特征畫(huà)出相應(yīng)圖像的另一部分嗎？(1)(2)(2)就圖(1)而言，函數(shù)在區(qū)間(－∞，－2]與[2，＋∞)上的單調(diào)性是否相同？就圖(2)而言，函數(shù)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，0))與eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))上的單調(diào)性是否相同？1．函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的性質(zhì)(1)若f(x)為奇函數(shù)且在區(qū)間[a，b](a＜b)上為增函數(shù)(減函數(shù))，則f(x)在[－b，－a]上為增函數(shù)(減函數(shù))，即在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相同．(2)若f(x)為偶函數(shù)且在區(qū)間[a，b](a＜b)上為增函數(shù)(減函數(shù))，則f(x)在[－b，－a]上為減函數(shù)(增函數(shù))，即在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反．2．奇偶函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)在公共定義域內(nèi)：(1)兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；(2)兩個(gè)偶函數(shù)的和、積都是偶函數(shù)；(3)一個(gè)奇函數(shù)、一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù)．3．函數(shù)的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心(1)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，對(duì)?x∈D都有f(a＋x)＝f(a－x)(a為常數(shù))，則x＝a是f(x)的對(duì)稱軸．(2)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，對(duì)?x∈D都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(a，b為常數(shù))，則(a，b)是f(x)的對(duì)稱中心．1．思索辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)奇函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)，當(dāng)x>0時(shí)的解析式與x<0時(shí)的解析式相同，所以一般的奇函數(shù)在(0，＋∞)上的解析式與(－∞，0)上的解析式也相同． ()(2)對(duì)于偶函數(shù)f(x)，恒有f(x)＝f(|x|). ()(3)若存在x0使f(1－x0)＝f(1＋x0)，則f(x)關(guān)于直線x＝1對(duì)稱． ()(4)若奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上有最小值a，則f(x)在(－∞，0)上有最大值－a. ()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，則f(0)＝0是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件B[當(dāng)f(x)＝x2時(shí)，f(0)＝0，但f(x)＝x2為偶函數(shù)；若f(x)為奇函數(shù)，則f(0)＝－f(0)，所以f(0)＝0，所以f(0)＝0是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)的必要不充分條件．故選B.]3．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在(0，1)上是增函數(shù)的是()A．y＝x(x－1) B．y＝eq\f(1,x2)－xC．y＝x(x2－1) D．y＝2x－eq\f(1,x)D[選項(xiàng)A，B不是奇函數(shù)，選項(xiàng)C中y＝x(x2－1)在(0，1)上不是單調(diào)函數(shù)，選項(xiàng)D符合條件，故選D.]4．定義在[－3，3]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，3]上的圖像如圖中曲線OAB，其中點(diǎn)O，A，B的坐標(biāo)分別為(0，0)，(1，2)，(3，1)，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是________．[－1，0]和[1，3][利用偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，作出其在[－3，0]上的圖像后寫(xiě)出單調(diào)遞減區(qū)間．由于函數(shù)f(x)是[－3，3]上的偶函數(shù)，所以其圖像如圖所示．所以它的單調(diào)遞減區(qū)間為[－1，0]和[1，3].]用奇偶性求解析式【例1】(1)函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝－x＋1，求f(x)的解析式；(2)設(shè)f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)，求函數(shù)f(x)，g(x)的解析式．[思路點(diǎn)撥](1)eq\x(設(shè)x<0，則－x>0)eq\o(→,\s\up9(當(dāng)x>0),\s\do15(f（x）＝－x＋1))eq\x(求f（－x）)eq\o(→,\s\up9(奇函數(shù)))eq\x(得x<0時(shí)f（x）的解析式)eq\o(→,\s\up9(奇函數(shù)),\s\do15(的性質(zhì)))eq\x(f（0）＝0)eq\o(→,\s\up9(分段函數(shù)))eq\x(f（x）的解析式)(2)eq\x(f（x）＋g（x）＝\f(1,x－1))eq\o(→,\s\up9(用－x代式中x))eq\x(得f（－x）＋g（－x）＝\f(1,－x－1))eq\o(→,\s\up9(奇偶性))eq\x(得f（x）－g（x）＝－\f(1,x＋1))eq\o(→,\s\up9(解方程組))eq\x(得f（x），g（x）的解析式)[解](1)設(shè)x<0，則－x>0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又∵函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，∴當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝－x－1.又x＝0時(shí)，f(0)＝0，所以f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x－1，x<0，,0，x＝0，,－x＋1，x>0.))(2)∵f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x).由f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)，①用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝eq\f(1,－x－1)，∴f(x)－g(x)＝eq\f(1,－x－1)，②(①＋②)÷2，得f(x)＝eq\f(1,x2－1)；(①－②)÷2，得g(x)＝eq\f(x,x2－1).把本例(2)的條件“f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)”改為“f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)”，再求f(x)，g(x)的解析式．[解]∵f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，又f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)，①用－x代替上式中的x，得f(－x)＋g(－x)＝eq\f(1,－x－1)，即f(x)－g(x)＝eq\f(1,x＋1).②聯(lián)立①②得f(x)＝eq\f(x,x2－1)，g(x)＝eq\f(1,x2－1).,利用函數(shù)奇偶性求解析式的方法(1)“求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)”，即在哪個(gè)區(qū)間上求解析式，x就應(yīng)在哪個(gè)區(qū)間上設(shè)．(2)要利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入．(3)利用f(x)的奇偶性寫(xiě)出－f(x)或f(－x)，從而解出f(x).提示：若函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)含0且為奇函數(shù)，則必有f(0)＝0，但若為偶函數(shù)，未必有f(0)＝0.函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的綜合問(wèn)題[探究問(wèn)題]1．假如奇函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增，那么f(x)在(－b，－a)上的單調(diào)性如何？假如偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減，那么f(x)在(－b，－a)上的單調(diào)性如何？[提示]假如奇函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增，那么f(x)在(－b，－a)上單調(diào)遞增；假如偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減，那么f(x)在(－b，－a)上單調(diào)遞增．2．你能否把上述問(wèn)題所得出的結(jié)論用一句話概括出來(lái)？[提示]奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反．3．若偶函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，那么f(3)和f(－2)的大小關(guān)系如何？若f(a)>f(b)，你能得到什么結(jié)論？[提示]f(－2)>f(3)，若f(a)>f(b)，則|a|<|b|.角度一比較大小問(wèn)題【例2】函數(shù)y＝f(x)在[0，2]上單調(diào)遞增，且函數(shù)f(x＋2)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論成立的是()A．f(1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))<f(1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))<f(1)D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))<f(1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))[思路點(diǎn)撥]eq\x(y＝f（x＋2）是偶函數(shù))→eq\x(f（x）的圖像關(guān)于x＝2對(duì)稱)eq\o(→,\s\up9([0，2]上),\s\do15(遞增))eq\x(比較大小)B[∵函數(shù)f(x＋2)是偶函數(shù)，∴函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，又f(x)在[0，2]上單調(diào)遞增，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))<f(1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))<f(1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2))).],比較大小的求解策略看自變量是否在同一單調(diào)區(qū)間上．(1)在同一單調(diào)區(qū)間上，干脆利用函數(shù)的單調(diào)性比較大??；(2)不在同一單調(diào)區(qū)間上，需利用函數(shù)的奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，然后利用單調(diào)性比較大小．(變條件)設(shè)偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)是增函數(shù)，則f(－2)，f(π)，f(－3)的大小關(guān)系是()A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)A[由偶函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系知，若x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)是增函數(shù)，則x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)是減函數(shù)，故其圖像的幾何特征是自變量的肯定值越小，則其函數(shù)值越小，∵|－2|＜|－3|＜π，∴f(π)＞f(－3)＞f(－2)，故選A.]角度二解不等式問(wèn)題【例3】已知定義在[－2，2]上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2]上是減函數(shù)，若f(1－m)<f(m)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解]因?yàn)閒(x)在區(qū)間[－2，2]上為奇函數(shù)，且在區(qū)間[0，2]上是減函數(shù)，所以f(x)在[－2，2]上為減函數(shù)．又f(1－m)<f(m)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2≤1－m≤2，,－2≤m≤2，,1－m>m，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1≤m≤3，,－2≤m≤2，,m<\f(1,2)．))解得－1≤m<eq\f(1,2).故實(shí)數(shù)m的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))).解有關(guān)奇函數(shù)f(x)的不等式f(a)＋f(b)<0，先將f(a)＋f(b)<0變形為f(a)<－f(b)＝f(－b)，再利用f(x)的單調(diào)性去掉“f”，化為關(guān)于a，b的不等式．另外，要特殊留意函數(shù)的定義域．由于偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相反，所以我們要利用偶函數(shù)的性質(zhì)f(x)＝f(|x|)＝f(－|x|)將f(g(x))中的g(x)全部化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，再利用單調(diào)性去掉符號(hào)f，使不等式得解．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．函數(shù)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上是增函數(shù)，f(3)<f(2a＋1)，則a的取值范圍是A．a(chǎn)>1 B．a(chǎn)<－2C．a(chǎn)>1或a<－2 D．－1<a<2C[因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在實(shí)數(shù)集上是偶函數(shù)，且f(3)<f(2a＋1)，所以f(3)<f(|2a＋1|)，又函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，所以3<|2a＋1|，解得a>1或a函數(shù)圖像的對(duì)稱性【例4】對(duì)于定義在R上的函數(shù)f(x)，有下述結(jié)論：①若f(x)是奇函數(shù)，則f(x－1)的圖像關(guān)于點(diǎn)A(1，0)對(duì)稱；②若f(x＋1)＝f(x－1)，則f(x)的圖像關(guān)于直線x＝1對(duì)稱；③若函數(shù)f(x－1)的圖像關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，則f(x)為偶函數(shù)；④函數(shù)f(1＋x)與函數(shù)f(1－x)的圖像關(guān)于直線x＝1對(duì)稱；⑤若f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)，則f(x)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱．其中正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_______．①③[∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而f(x－1)的圖像是將f(x)的圖像向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，∴f(x－1)的圖像關(guān)于點(diǎn)A(1，0)對(duì)稱，故①正確．令t＝x－1，則由f(x＋1)＝f(x－1)可知，f(t)＝f(t＋2)，即f(x)＝f(x＋2)，其圖像不肯定關(guān)于直線x＝1對(duì)稱．例如，函數(shù)f(x)＝eq\f(x,2)－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))(其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù))，其圖像如圖所示，滿意f(x＋1)＝f(x－1)，但其圖像不關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，故②不正確．若g(x)＝f(x－1)的圖像關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，則有g(shù)(x＋1)＝g(－x＋1)，即f(x)＝f(－x)，∴③正確．易知函數(shù)y＝f(x＋1)的圖像與函數(shù)y＝f(1－x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，∴④不正確．⑤∵f(x)＝－f(x＋2)，∴－f(x＋2)＝f(x＋4)，∴f(x)＝f(x＋4).又f(4－x)＝f(x)，∴f(4＋x)＝f(－x)，∴f(x)＝f(4＋x)＝f(－x)，從而f(x)為偶函數(shù)，可知f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，故⑤不正確．],1．函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱若函數(shù)f(x)對(duì)定義域內(nèi)任一x，都有(1)f(a－x)＝f(a＋x)?y＝f(x)的圖像關(guān)于直線x＝a對(duì)稱；(2)f(x)＝f(a－x)?y＝f(x)的圖像關(guān)于直線x＝eq\f(a,2)對(duì)稱；(3)f(a＋x)＝f(b－x)?y＝f(x)的圖像關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)對(duì)稱．2.函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱若函數(shù)f(x)對(duì)定義域內(nèi)任一x，都有(1)f(a－x)＝－f(a＋x)?y＝f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱；(2)f(x)＝－f(a－x)?y＝f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0))對(duì)稱；(3)f(a＋x)＝－f(b－x)?y＝f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，0))對(duì)稱．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿意f(2－x)為奇函數(shù)，函數(shù)f(x＋3)關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，則下列式子肯定成立的是()A．f(x－2)＝f(x) B．f(x－2)＝f(x＋6)C．f(x－2)·f(x＋2)＝1 D．f(－x)＋f(x＋1)＝0B[令F(x)＝f(2－x)，∵f(2－x)為奇函數(shù)，∴F(－x)＝－F(x)，即f(2＋x)＝－f(2－x)，∴即f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2，0)對(duì)稱，令G(x)＝f(x＋3)，G(x)圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，即G(1＋x)＝G(1－x)，f[(1＋x)＋3]＝f[(1－x)＋3]，f(4＋x)＝f(4－x)，即f(x)的圖象關(guān)于直線x＝4對(duì)稱，f(x)＝f[4＋(x－4)]＝f[4－(x－4)]＝f(8－x)，用x＋6換表達(dá)式中的x，可得f(2－x)＝f(x＋6)，又－f(2＋x)＝f(2－x)，即－f(2＋x)＝f(x＋6)，∴－f(x)＝f(x＋4)，用x＋4換表達(dá)式中的x，則－f(x＋4)＝f(x＋8)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函數(shù)f(x)的周期為8，故選B.]學(xué)問(wèn)：1．具有奇偶性的函數(shù)的單調(diào)性的特點(diǎn)(1)奇函數(shù)在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的單調(diào)性．(2)偶函數(shù)在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的單調(diào)性．2．偶函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)：f(|x|)＝f(x)，它能使自變量化歸到[0，＋∞)上，避開(kāi)分類(lèi)探討．方法：利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式的方法：已知函數(shù)f(x)的奇偶性及函數(shù)f(x)在某區(qū)間上的解析式，求該函數(shù)在整個(gè)定義域上的解析式的方法如下：①求哪個(gè)區(qū)間上的解析式，x就設(shè)在那個(gè)區(qū)間上；②把x對(duì)稱轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，代入到已知區(qū)間上的函數(shù)解析式中；③利用f(x)的奇偶性將f(－x)用－f(x)或f(x)表示，從而求出f(x)