2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義- 二次函數(shù)與幕函數(shù)

§2.6二次函數(shù)與幕函數(shù)

【考試要求】I.通過具體實(shí)例，了解幕函數(shù)及其圖象的變化規(guī)律2掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

(單調(diào)性、對稱性、頂點(diǎn)、最值等).

■落實(shí)主干知識

【知識梳理】

1.幕函數(shù)

⑴幕函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)叫做幕函數(shù)，其中尤是自變量，a是常數(shù).

(2)常見的五種幕函數(shù)的圖象

(3)幕函數(shù)的性質(zhì)

①幕函數(shù)在(0,+8)上都有定義；

②當(dāng)a>0時(shí)，幕函數(shù)的圖象都過點(diǎn)和,且在(0,+8)上單調(diào)遞增;

③當(dāng)a<0時(shí)，募函數(shù)的圖象都過點(diǎn),且在(0,+8)上單調(diào)遞減；

④當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，y=K為；當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，y=K為.

2.二次函數(shù)

(1)二次函數(shù)解析式的三種形式

一般式：fix)—.

頂點(diǎn)式：?x)=a(x—%)2+w(aW0),頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

零點(diǎn)式：/(x)=a(無一無。(無一彳2)(。力。)，xi，及為式尤)的.

(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

函數(shù)y=ax2-\~bx-\-c(a>0)y=ax2-\~bx-\-C(Q<0)

圖象

/二

(拋物線)1J力rA

定義域

值域

對稱軸X—___________

頂點(diǎn)坐標(biāo)

奇偶性當(dāng)》=0時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)6W0時(shí)是非奇非偶函數(shù)

在（-8,一"上單調(diào)遞______；在（一8,一昱上單調(diào)遞______；

單調(diào)性

在［―/，+8）上單調(diào)遞______在［—蔣+8）上單調(diào)遞______

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確（請?jiān)诶ㄌ栔写颉癑”或“義”）

1I

（1）函數(shù)y=是解函數(shù).（）

（2）二次函數(shù)>=加+法+。的圖象恒在x軸下方，則a<0且/<0.（）

（3）二次函數(shù)y=q（x—1>+2的單調(diào)遞增區(qū)間是［1,+°°）.（）

（4）若森函數(shù)y=P是偶函數(shù)，則a為偶數(shù).（）

【教材改編題】

1.已知事函數(shù)人尤）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（5,9，則式8）的值等于（）

11

-4C8D-

A.4B.8

2.已知函數(shù)於:)=一必一4%+5,則函數(shù)＞=%)的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.(—8,-2]B.(—8,2]

C.[-2,+8)D.[2,+8)

3.函數(shù)加v)=—2?+4x,x￡[—1,2]的值域?yàn)?)

A.[-6,2]B.[-6,1]

C.[0,2]D.[0,1]

■探究核心題型

題型一事函數(shù)的圖象與性質(zhì)

例1（1）若幕函數(shù)>=/與y=，在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，貝!1（）

A.—l<n<O<m<l

B.n<—l,O<m<l

C.—l<n<0,m>l

D.n<—1,m>l

⑵（2023?德州模擬）幕函數(shù)於尸（病+，”一5）%環(huán)+21在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增，貝或3）等

于（）

A.27B.9C.^

聽課記錄：______________________________________________________________________

思維升華（1）對于暴函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個(gè)區(qū)域，

即x=l,y=l,y=x所分區(qū)域.根據(jù)a<0,0<a〈l,a=l,a>l的取值確定位置后，其余象限

部分由奇偶性決定.

⑵在比較暴值的大小時(shí)，必須結(jié)合露值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較.

￡

跟蹤訓(xùn)練1⑴已知幕函數(shù)丁=爐⑦GZ）的圖象關(guān)于y軸對稱，如圖所示，貝1（）

A.p為奇數(shù)，且p>Q

B.p為奇數(shù)，且p<0

C.p為偶數(shù)，且p>0

D.p為偶數(shù)，且p<0

54

（2）（2023?哈爾濱模擬）已知函數(shù)y=x^-"^（meZ）為偶函數(shù)且在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞減,

則實(shí)數(shù)根的值為（）

A.1B.2C.3D.2或3

題型二二次函數(shù)的解析式

例2已知二次函數(shù)1x）滿足式2）=—1,八-1）=—1,且式尤）的最大值是8,試確定該二次函數(shù)

的解析式.

思維升華求二次函數(shù)解析式的三個(gè)策略：

(1)已知三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，宜選用一般式；

(2)已知頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、最大(小)值等，宜選用頂點(diǎn)式；

(3)已知圖象與x軸的兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，宜選用零點(diǎn)式.

跟蹤訓(xùn)練2已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(一3,0),(1,0),且頂點(diǎn)到x軸的距離等于2,則二次函

數(shù)的解析式為?

題型三二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

命題點(diǎn)1二次函數(shù)的圖象

例3設(shè)abc>0,則二次函數(shù)/(x)=ax2+bx+c的圖象可能是()

CD

聽課記錄：

命題點(diǎn)2二次函數(shù)的單調(diào)性與最值

例4(2023?福州模擬)已知二次函數(shù)八打二④?一x+2a—1.

(1)若7U)在區(qū)間口⑵上單調(diào)遞減，求。的取值范圍；

(2)若a>0,設(shè)函數(shù)/(x)在區(qū)間［1⑵上的最小值為g(a),求g(a)的表達(dá)式.

思維升華二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間

動，不論哪種類型，解題的關(guān)鍵都是對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，要依據(jù)對稱

軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論.

跟蹤訓(xùn)練3(1)(2022?茂名模擬)二次函數(shù)〉=。/+法+。的圖象如圖所示，則下列說法正確的

是.(填序號)

?2a+b=Q；?4a+2b+c<0；③9a+3b+c<0；?abc<Q.

(2)(2022?鎮(zhèn)江模擬)函數(shù)八尤)=f-4元+2在區(qū)間團(tuán)，切上的值域?yàn)椋?2,2］,則b-a的取值范圍

是.

§2.6二次函數(shù)與幕函數(shù)

【考試要求】1.通過具體實(shí)例，了解暴函數(shù)及其圖象的變化規(guī)律2掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

(單調(diào)性、對稱性、頂點(diǎn)、最值等).

■落實(shí)主干知識

【知識梳理】

1.募函數(shù)

(1)募函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)y=K叫做幕函數(shù),其中x是自變量，a是常數(shù).

(2)常見的五種幕函數(shù)的圖象

(3)寡函數(shù)的性質(zhì)

①嘉函數(shù)在(0,+8)上都有定義;

②當(dāng)a>0時(shí)，嘉函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上單調(diào)遞增;

③當(dāng)a<0時(shí)，幕函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1.1),且在(0,+8)上單調(diào)遞減；

④當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，丫=》為奇函數(shù);當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，丫=4為偶函數(shù).

2.二次函數(shù)

(1)二次函數(shù)解析式的三種形式

一般式：性)=加+法+。(。片0).

頂點(diǎn)式：fix)=a(x-tn)2+n(a#0),頂點(diǎn)坐標(biāo)為(小，

零點(diǎn)式：/(x)=a(無一不)(無一尤2)(aW0),xi,尤2為*元)的零點(diǎn).

(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

函數(shù)y=加+bx+c(a>0)y=ax2-\-bx-\-c(?<0)

圖象(拋物線)

q7y.7o\\

定義域R

[4ac—b1,\(4(2(7—/?2"|

值域.-kOO——8.

L4a，十J1，4a」

b

對稱軸X=-7T

2a

(_b_44.一叫

頂點(diǎn)坐標(biāo)

2a4〃)

奇偶性當(dāng)b=0時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)bWO時(shí)是非奇非偶函數(shù)

在(-8,-鼠上單調(diào)遞減；在1-8,氣上單調(diào)遞增；

單調(diào)性

在[-5+8]

在「梟+6上單調(diào)遞增上單調(diào)遞減

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確（請?jiān)诶ㄌ栔写颉癑”或“X”）

￡|

（1）函數(shù)y=2*是賽函數(shù).（X）

（2）二次函數(shù)ynqr+bx+c的圖象恒在x軸下方，則時(shí)0且/＜0.（V）

（3）二次函數(shù)y=a（x—1產(chǎn)+2的單調(diào)遞增區(qū)間是[1,+°°）.（X）

（4）若森函數(shù)＞=犬是偶函數(shù)，則a為偶數(shù).（X）

【教材改編題】

1.已知事函數(shù)人尤）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（5,9，則式8）的值等于（）

11

-4C8D-

A.4B.8

答案D

解析設(shè)嘉函數(shù)外）=K,因?yàn)楦：瘮?shù)八x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（5,I）,所以?=5。=/

解得a=-1,所以加）=式I則式8）=8r=/.

2.已知函數(shù)/U）=—x2—4x+5,則函數(shù)＞=六尤）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.（—8,-2]B.（-8,2]

C.[-2,+8）D.[2,+8）

答案A

解析兀0=—X2—4尤+5=—（無+2w+9,故函數(shù)兀0的對稱軸為X=-2,

又函數(shù)八%）的圖象開口向下，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（一8,-2].

3.函數(shù)式x）=—2f+4x,苫引一1,2]的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[-6,2]B.[-6,1]

C.[0,2]D.[0,11

答案A

解析函數(shù)黃x)=-2/+4x的對稱軸為x=l,

則人x)在［—1,1］上單調(diào)遞增，在［1,2］上單調(diào)遞減，

???y(X)max=/Q)=2,?min=X-l)=-2-4=-6,

即兀0的值域?yàn)椋?6,2］.

?探究核心題型

題型一事函數(shù)的圖象與性質(zhì)

例1(1)若幕函數(shù)>=/與y=/在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，貝1()

A.-1<n<O<m<1

B.n<—l,O<m<l

C.—l<n<0,m>\

D.n<—\,m>l

答案B

解析由圖象知，y=1〃在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以m>0,

又/=產(chǎn)的圖象增長得越來越慢，

所以m<l,

在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以n<0,

又當(dāng)x>l時(shí)，y=x"的圖象在的下方，

所以n<-l.

綜上，n<—1,Q<m<1.

(2)(2023?德州模擬)幕函數(shù)/(x)=(m2+rn-5)xm2+2m-5在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，貝1］犬3)等于

()

A.27B.9C.^D房

答案A

解析由題意，得:層+加一5=1,

即%2+?〃-6=0,解得”2=2或加=一3,

當(dāng)初=2時(shí)，可得函數(shù)五無)=必，

此時(shí)函數(shù)八x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，符合題意；

當(dāng)m=-3時(shí)，可得/(x)=/2,

此時(shí)函數(shù)式x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，不符合題意，

即雇函數(shù)1x)=V,則式3)=27.

思維升華(1)對于賽函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個(gè)區(qū)域，

即x=l,y=l,y=無所分區(qū)域.根據(jù)a<0,0<a<l,a=l,a>l的取值確定位置后，其余象限

部分由奇偶性決定.

(2)在比較賽值的大小時(shí)，必須結(jié)合賽值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較.

跟蹤訓(xùn)練1(1)已知累函數(shù)>=爐(0CZ)的圖象關(guān)于y軸對稱，如圖所示，貝1()

A.p為奇數(shù)，且。>0

B.p為奇數(shù)，且p<0

C.p為偶數(shù)，且p>0

D.p為偶數(shù)，且p<0

答案D

解析因?yàn)楹瘮?shù)y=/的圖象關(guān)于y軸對稱,

所以函數(shù)y=%3為偶函數(shù)，即P為偶數(shù),

又函數(shù)了=爐的定義域?yàn)?一8,0)U(0,+°°),

且在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以/<0,

即p<0.

(2)(2023?哈爾濱模擬)已知函數(shù)>=%蘇一5"+4(/ez)為偶函數(shù)且在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減,

則實(shí)數(shù)機(jī)的值為()

A.1B.2C.3D.2或3

答案D

解析因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以,"2—5〃Z+4<0,解得l<m<4,

因?yàn)閙￡Z,

所以m=2或3,

當(dāng)根=2時(shí)，函數(shù)2為偶函數(shù)，符合題意;

當(dāng)根=3時(shí)，函數(shù)y=x、為偶函數(shù)，符合題意,

綜上，優(yōu)=2或機(jī)=3.

題型二二次函數(shù)的解析式

例2已知二次函數(shù)五尤)滿足式2)=-1,八-1)=-1,且7U)的最大值是8,試確定該二次函數(shù)

的解析式.

解方法一(利用“一般式”解題)

設(shè)八防二加+匕1+戊^#。).

~4。+26+。=-1,

a=-4,

由題意得＜a~b+c=~^解得＜

b=4,

4ac-b2

、4a=8,c=7.

所以所求二次函數(shù)的解析式為

火龍)=-4*+4%+7.

方法二(利用“頂點(diǎn)式”解題)

設(shè)fix')=a(x—機(jī))2+”(aW0).

因?yàn)檠?)=/(—1),

2+1

所以拋物線的對稱軸為X=C)=l

所以m=1.

又根據(jù)題意，函數(shù)有最大值8,

所以n=8,

所以/(^)=44：一,2+8.

因?yàn)槿?)=-1,所以a(2—g)2+8=-1,

解得a=~4,

所以/(x)=-4G—，)?+8=—4/+4彳+7.

方法三(利用“零點(diǎn)式”解題)

由已知?r)+l=0的兩根為制=2,x2=-1,

故可設(shè)/(%)+1=a(x—2)(x+1)(〃W。)，

即J[x)=ax1—ax—2a—l.

4a(-2a—1)一(一°)

又函數(shù)有最大值8,即

解得a=-4.

故所求函數(shù)的解析式為兀r)=—41+4x+7.

思維升華求二次函數(shù)解析式的三個(gè)策略：

(1)已知三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，宜選用一般式；

(2)已知頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、最大(小)值等，宜選用頂點(diǎn)式；

(3)已知圖象與無軸的兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，宜選用零點(diǎn)式.

跟蹤訓(xùn)練2已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(一3,0),(1,0),且頂點(diǎn)到x軸的距離等于2,則二次函

數(shù)的解析式為.

答案j=1x2+x-|1Ky=-^x2—x+|

解析因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象過點(diǎn)(一3,0),(1,0),

所以可設(shè)二次函數(shù)為y=a(x+3)(x—l)(aW0),

展開得，y—cu^-\-2ax—?>a,

頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為=-4a,

由于二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)到x軸的距離為2,

所以|一43=2,即a=±1,

1313

所以二次函數(shù)的解析式為>=/2+無一]或y=一方2—x+].

題型三二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

命題點(diǎn)1二次函數(shù)的圖象

例3設(shè)abc>0,則二次函數(shù)八尤)=加+法+。的圖象可能是()

答案D

解析因?yàn)?/p>

二次函數(shù)人勸二加+法+以那么可知,

在A中，〃<0,Z?<0,c<0,不符合題意;

B中，〃<0,/?>0,c>0,不符合題意；

C中，〃>0,Z?>0,c<0,不符合題意；

D中，a>0,b<0,c<0,符合題意.

命題點(diǎn)2二次函數(shù)的單調(diào)性與最值

例4(2023?福州模擬)已知二次函數(shù)八%)=加一x+2〃一1.

⑴若1x)在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減，求〃的取值范圍；

⑵若〃>0,設(shè)函數(shù)/(x)在區(qū)間［1,2］上的最小值為g(〃)，求g(〃)的表達(dá)式.

解(1)當(dāng)〃>0時(shí)，

次=—X+2Q—1的圖象開口向上，對稱軸方程為

所以加0在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減需滿足*22,6/>0,解得

當(dāng)4<o時(shí)，的圖象開口向下，對稱軸方程為冗=五<0,

所以/(X)在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減需滿足4<0,

綜上，。的取值范圍是(一8,0)U(0,1.

(2)①當(dāng)0公<1，即a〉/時(shí)，

;(x)在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞增，

此時(shí)g(a)=/U)=3a—2.

②當(dāng)1W/W2,即時(shí)，

府)在區(qū)間［1,用上單調(diào)遞減，在區(qū)間氐，21上單調(diào)遞增，

此時(shí)則)=/田=2“一專一1.

③當(dāng)古>2,即0<懸時(shí)，

式x)在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減，

此時(shí)g(a)=/(2)=6a—3,

((n

6a—3,I,

綜上所述，g(〃)=<2〃一專一1,/，

、3〃-2,+°°\

思維升華二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間

動，不論哪種類型，解題的關(guān)鍵都是對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，要依據(jù)對稱

軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論.

跟蹤訓(xùn)練3(1)(2022?茂名模擬)二次函數(shù)>=加+法+。的圖象如圖所示，則下列說法正確的

是.(填序號)

①2a+b=0；

②4a+26+c<0；

③9a+3b+c<0；

?abc<Q.

答案①③④

解析由二次函數(shù)的圖象開口向下知，a<0,

h

對稱軸為尤=一%=1,即2a+b=0,故6>0.

又因?yàn)?0)=c>0,所以abc<Q.

fl.2)=/(0)=4。+2b+c>0,

式3)=式一l)=9a+36+c<0.

(2)(2022?鎮(zhèn)江模擬)函數(shù)式x)=/—4x+2在區(qū)間伍，切上的值域?yàn)椋邸?,2］,則b-a的取值范圍

是—.

答案［2,4］

解析解方程“x)=f—4x+2=2,解得x=0或x=4,

解方程式元)=/—4x+2=—2,解得x=2,

由于函數(shù)段)在區(qū)間［a,6］上的值域?yàn)椋邸?,2］.

若函數(shù)八x)在區(qū)間［a,切上單調(diào)，

則［a,句=［0,2］或［a,切=［2,4］,此時(shí)6—a取得最小值2；

若函數(shù)九%)在區(qū)間隆，切上不單調(diào)，

且當(dāng)取最大值時(shí)，［a,b］=［Q,4］,

所以b-a的最大值為4.

所以b-a的取值范圍是［2,4］.

課時(shí)精練

維基礎(chǔ)保分練

1.已知P：危）是塞函數(shù)，0段）的圖象過點(diǎn)（0,0）,則P是4的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

答案D

解析段）=式2是嘉函數(shù)，但其圖象不過點(diǎn)（0,0）,故充分性不成立；

Ax）=2x-1的圖象過點(diǎn)（0,0）,但其不是倦函數(shù)，故必要性不成立.

所以p是4的既不充分也不必要條件.

42￡

2.（2023?保定檢測）已知〃=2?,Z?=3"c=25^,則（）

A.b<a<cB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

答案A

224

解析由題意得b=3號<=a,

42\

〃=2§=4§<4<5=255=C,

所以b<a<c.

3.（2023?廈門模擬）函數(shù)y=ax+b和y=ax1+bx+c在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可以是

（）

答案C

解析若〃>0,則一次函數(shù)y=Qx+Z?為增函數(shù)，二次函數(shù)+析+。的圖象開口向上,

故可排除A,D；

b

對于選項(xiàng)B,由直線可知a>0,b>0,從而一五<0,而二次函數(shù)的對稱軸在y軸的右側(cè)，故應(yīng)

排除B.

4.幕函數(shù)段）=（療-5m+7）x""6在（0,+8）上單調(diào)遞增，則下列說法正確的是（）

A.m=2或3

B.函數(shù)八尤）在（一8,0）上單調(diào)遞減

C.函數(shù)人元）是偶函數(shù)

D.函數(shù)式力的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱

答案D

解析因?yàn)榫幒瘮?shù)危）=（療-5加+7口46在（0,+8）上單調(diào)遞增，

fm2—cyyi—I—71

所以2'解得機(jī)=3,故A錯(cuò)誤；

[m2—6>0,

則為）=/,

所以八一X）=（—X）3=—/=一9）,

故八X）=T為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，

故C錯(cuò)誤，D正確；

且共0在（一8,0）上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤.

5.若二次函數(shù)人勸="2+2依+1在區(qū)間[—2,3]上的最大值為6,則a等于（）

A?一5B|

C.1■或一5D.一1■或5

答案C

解析顯然aWO,有/（x）=a（x+l）2—a+1,

當(dāng)a>0時(shí)，危）在[-2,3]上的最大值為<3）=15。+1,

由15a+l=6,解得a=],符合題意；

當(dāng)a<0時(shí)，加）在[—2,3]上的最大值為八—1）=1—a,

由1—〃=6,解得〃=—5,符合題意，

所以。的值為/或一5.

6.已知函數(shù)1尤）=/—2（a—l）x+a,若對于區(qū)間[―1,2]上的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)尤i，也，

都有犬制）司:無2）,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（—8,0]B.[0,3]

C.（—8,0]U[3,+8）D.[3,+8）

答案C

解析二次函數(shù)/（%）=%2—2（〃-1）X+"圖象的對稱軸為直線X=〃一1,

,對于任意XI,為2口一1⑵且無1。尤2,都有加1)差凡X2),

即八X)在區(qū)間［—1,2］上是單調(diào)函數(shù)，

.'.a—1W一1或a—122,

；.aWO或a23,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-8,0］U［3,+°°).

7.二次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點(diǎn)(0,3),(2,3),且函數(shù)的最大值是5,則函數(shù)兀0的解析式是

答案fix)=-2JT+4.r+3

解析由于點(diǎn)(0,3),(2,3)在y=/(x)的圖象上，

所以y(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，

又/U)的最大值為5,

設(shè)fix)=a(x—l)2+5(a<0),

由式0)=犬2)=3,得3=。+5,

所以a=-2,

因此f(x)=-2(%—1)?+5=—2x2~\~4-x~\-3.

14

8.(2022?人大附中質(zhì)檢)已知二次函數(shù)段)=渥+2%+總611)的值域?yàn)榭冢?°o),則的

最小值為.

答案3

解析因?yàn)槎魏瘮?shù)的值域?yàn)椋?,+°°),則a>0,

4ac-4ac—1

1

所以Ax)min=4a=~^~=，

BPac-1=a,可得a=r>0,則c>l,

c—1

i44r~i

所以/7=。+丁1c--l=3,

當(dāng)且僅當(dāng)c=2時(shí)，等號成立，

14

因此的最小值為3.

9.已知事函數(shù)人元)=(2*-m-2)/>-2(加GR)為偶函數(shù).

(1)求人X)的解析式；

(2)若函數(shù)g(x)=/(尤)一2(“一l)x+l在區(qū)間［0,4］上的最大值為9,求實(shí)數(shù)a的值.

,3

解(1)由嘉函數(shù)可知2m2—根一2=1,解得m=—1或相=5

當(dāng)機(jī)=一1時(shí)，火光)=%2,函數(shù)為偶函數(shù),符合題意；

3

當(dāng)根=1時(shí)，危)=/,函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意，

故人X)的解析式為人x)=_?.

(2)由(1)得，g(x)=/(x)—2(a—l)x+1—2(a—1)x+1.

函數(shù)的對稱軸為x=a—l,開口向上，八0)=1,犬4)=17—8(a—1),

由題意得，在區(qū)間[0,4]上，y(x)max=44)=17—8(cz—1)=9,解得〃=2,經(jīng)檢驗(yàn)a=2符合題意，

所以實(shí)數(shù)。的值為2.

10.設(shè)二次函數(shù)_/(x)滿足：①當(dāng)xGR時(shí)，總有人-1+無)=八一1—x)；②函數(shù)式尤)的圖象與x

3

軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A,B,且|AB|=4；(§)/(0)=-4.

(1)求_/(x)的解析式；

(2)若存在/GR,只要尤G[l,m](m>l),就有加1成立，求滿足條件的實(shí)數(shù)機(jī)的最

大值.

解(1)由題意知，函數(shù)的圖象關(guān)于直線X=-1對稱，且方程黃x)=0的兩根為一3和1,

設(shè)Z(x)=a(x+3)(x—1),

331

又八。)=一不則八。)=_3°=_不解得4=不

故病)

(2)只要xd[l,就有1,即/+2?—1)尤+(HT)2W0,

取x=l,尸+4fW0,—4W/W0；

取x=?i,[m+(?—l)]2^~4t,即l—t—2q—fWmWl—f+2\/—3

由一得0W—fW4,l—f+2V^Wl+4+2x5=9,

故當(dāng)t——4時(shí)，〃zW9；

當(dāng)根=9時(shí)，存在f=—4,只要xd[l,9],

就有尤一4)—(x—l)=w(x—l)(x—9)W0成立，滿足題意.

故滿足條件的實(shí)數(shù)m的最大值為9.

合提升練

11.已知幕函數(shù)>=/與y=/的部分圖象如圖所示