2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.1.1任意角學(xué)案含解析新人教A版必修4

PAGE第一章三角函數(shù)1.1隨意角和弧度制1．1.1隨意角[目標(biāo)]1.理解隨意角的概念，能區(qū)分各類角的概念．2.駕馭象限角的概念，并會(huì)用集合表示象限角．3.理解終邊相同的角的含義及其表示，并能解決有關(guān)問題．[重點(diǎn)]用集合的形式表示終邊相同的角．[難點(diǎn)]會(huì)推斷角的終邊所在的象限．學(xué)問點(diǎn)一角的概念的推廣和分類[填一填]1．隨意角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線圍著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形．2．正角、負(fù)角和零角我們規(guī)定，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角．假如一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個(gè)零角．這樣，零角的始邊與終邊重合．假如α是零角，那么α＝0°.[答一答]1．依據(jù)角的新的定義，角的范圍有什么改變？提示：角的范圍不再是以前學(xué)的銳角、直角以及鈍角，而是隨意的角．2．如圖所示，圖(1)中，角α的度數(shù)為330°，圖(2)中，角β的度數(shù)為－150°，角γ的度數(shù)為570°.解析：題圖(1)中，α＝360°－30°＝330°；題圖(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°；γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°.學(xué)問點(diǎn)二象限角[填一填]為了探討問題的便利，我們?cè)谥苯亲鴺?biāo)系內(nèi)使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合．那么，角的終邊在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限角．假如角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限，稱它為軸線角(或稱為象限界角)．[答一答]3．把角的頂點(diǎn)放在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，旋轉(zhuǎn)該角，則其終邊(除端點(diǎn)外)可能落在什么位置？提示：坐標(biāo)軸上或四個(gè)象限內(nèi)．4．“銳角”、“第一象限角”、“小于90°的角”三者有何不同？提示：銳角是第一象限角也是小于90°的角，而第一象限角可以是銳角，也可以大于360°，還可能是負(fù)角，小于90°的角可以是銳角，也可以是零角或負(fù)角．學(xué)問點(diǎn)三終邊相同的角[填一填]全部與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．[答一答]5．終邊相同的角相等嗎？相等的角終邊相同嗎？提示：終邊相同的角不肯定相等，它們相差360°的整數(shù)倍；相等的角，終邊相同．6．與－2014°角終邊相同的最小正角是146°.解析：－2014°＝146°－360°×6，填146°.類型一隨意角的概念[例1]分別求出下圖中從OA旋轉(zhuǎn)到OB，OB1，OB2時(shí)所成的角α，β，γ.[解]題圖①中，正角α＝720°＋30°＝750°.題圖②中，負(fù)角β＝－(360°－210°)＝－150°，正角γ＝210°－150°＝60°.在推斷角度時(shí)，應(yīng)時(shí)刻抓住“旋轉(zhuǎn)”二字：①要明確旋轉(zhuǎn)方向；②要明確旋轉(zhuǎn)角的大?。虎垡鞔_射線未作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)的位置；④留意由旋轉(zhuǎn)方一直確定的符號(hào).[變式訓(xùn)練1](1)將時(shí)鐘撥快20分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的度數(shù)是－120°.(2)射線OA繞端點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°到OB位置，接著逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)250°到OC位置，然后再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)270°到OD位置，則∠AOD＝－100°.解析：(1)將時(shí)鐘撥快20分鐘，分針順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，所以分針轉(zhuǎn)過的度數(shù)為－120°.(2)如圖：∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝(－80°)＋250°＋(－270°)＝－100°.類型二終邊相同的角的表示命題視角1：終邊相同的角及象限角的表示[例2]將下列各角表示為k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，并指出是第幾象限角．(1)420°；(2)－510°；(3)1020°.[解](1)420°＝360°＋60°，而60°角是第一象限角，故420°是第一象限角．(2)－510°＝－2×360°＋210°，而210°是第三象限角，故－510°是第三象限角．(3)用1020°除以360°的商為2，余數(shù)為300°，即1020°＝2×360°＋300°，而300°是第四象限角，故1020°是第四象限角．首先把β寫成k·360°＋αk∈Z，0°≤α<360°的形式，然后只需推斷β所在的象限即可.[變式訓(xùn)練2](1)在四個(gè)角20°，－30°，100°，220°中，其次象限角的個(gè)數(shù)為(B)A．0B．1C．2D．3(2)與－460°角終邊相同的角可以表示成(C)A．460°＋k·360°，k∈ZB．100°＋k·360°，k∈ZC．260°＋k·360°，k∈ZD．－260°＋k·360°，k∈Z解析：(2)因?yàn)椋?60°＝260°＋(－2)×360°，故－460°可以表示成260°＋k·360°，k∈Z，故選C.命題視角2：終邊落在直線上的角的表示[例3](1)寫出終邊落在x軸上的角的集合；(2)終邊落在y＝eq\r(3)x(x≥0)上的角的集合；(3)寫出終邊落在直線y＝－x上的角的集合．[解](1)在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在直線y＝0上的角有兩個(gè)，即0°和180°，又全部與0°角終邊相同的角的集合為S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，全部與180°角終邊相同的角的集合為S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，終邊在直線y＝0上的角的集合為S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．(2)∵y＝eq\r(3)x(x≥0)表示第一象限內(nèi)的一條射線，∴終邊落在y＝eq\r(3)x(x≥0)上的角與60°角的終邊重合，故終邊落在y＝eq\r(3)x(x≥0)上的角的集合為{α|α＝k·360°＋60°，k∈Z}．(3)如圖，直線y＝－x過原點(diǎn)，傾斜角為135°，以射線OA為終邊的角的集合為S1＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z},以射線OB為終邊的角的集合為S2＝{α|α＝135°＋180°＋k·360°，k∈Z}．所以，終邊落在直線y＝－x上的角的集合為S＝S1∪S2＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝135°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝135°＋(2k＋1)180°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋n·180°，n∈Z}．已知終邊求角的一般方法是：先依據(jù)終邊位置在0°～360°范圍內(nèi)寫出符合要求的角α，再依據(jù)終邊相同的角的集合的表示形式寫出與角α終邊相同的角的集合，假如已知角的終邊在一條直線上，則需對(duì)寫出的兩個(gè)集合求并集并進(jìn)行化簡.[變式訓(xùn)練3]如圖所示，已知直線l1：y＝eq\f(\r(3),3)x及直線l2：y＝－eq\r(3)x，且l1與l2垂直，請(qǐng)表示出終邊落在直線l1，l2上的角．解：由題圖知，終邊落在直線l1上的角的集合為M1＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋m·180°，m∈Z}；終邊落在直線l2上的角的集合為M2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋m·180°，m∈Z}．命題視角3：區(qū)域角的表示[例4]已知角α的終邊在圖中陰影部分內(nèi)，試指出角α的取值范圍．[分析]結(jié)合圖形，在0°～360°范圍內(nèi)，寫出終邊在陰影部分內(nèi)的角的范圍，再加上360°的整數(shù)倍后進(jìn)行集合的運(yùn)算．[解]終邊在30°角的終邊所在直線上的角的集合為S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，終邊在180°－75°＝105°角的終邊所在直線上的角的集合為S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，終邊在圖中陰影部分內(nèi)的角α的取值范圍為{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}．表示區(qū)間角的三個(gè)步驟,第一步：先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；其次步：按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的－360°～360°范圍內(nèi)的角α和β，寫出最簡區(qū)間{x|α<x<β}；第三步：起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角α，β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)間角集合.[變式訓(xùn)練4]寫出頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊重合于x軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分的角的集合，如圖所示．解：如題圖(1)所示，以O(shè)B為終邊的角有330°角，可看成是－30°，∴以O(shè)A，OB為終邊的角的集合分別是：S1＝{x|x＝75°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{x|x＝－30°＋k·360°，k∈Z}．∴終邊落在陰影部分的角的集合為{θ|k·360°－30°≤θ≤k·360°＋75°，k∈Z}．如題圖(2)所示，以O(shè)B為終邊的角有225°角，可看成是－135°，∴終邊落在陰影部分的角的集合為{θ|－135°＋k·360°≤θ≤135°＋k·360°，k∈Z}.1．以下說法，其中正確的有(D)①－75°是第四象限角②225°是第三象限角③475°是其次象限角④－315°是第一象限角A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析：①②③④都正確．2．手表時(shí)針走過了1小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過的度數(shù)為(D)A．60° B．－60°C．30° D．－30°解析：順時(shí)針轉(zhuǎn)過eq\f(1,12)個(gè)周角，轉(zhuǎn)過的度數(shù)為－30°.3．設(shè)A＝{小于90°的角}，B＝{銳角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有(D)A．BCA B．BACC．D(A∩C) D．C∩D＝B解析：明顯第一象限角不是都小于90°，且小于90°的角不都在第一象限，故A，B錯(cuò)，0°不屬于任何象限，故C錯(cuò)，銳角為小于90°而大于0°的角，∴C∩D＝B，選D.4．將－885°化為α＋k·360°(k∈Z,0°≤α<360°)的形式是195°＋(－3)×360°.解析：－885°＝(－3)×360°＋195°.5．若角α的終邊和函數(shù)y＝－|x|的圖象重合，試寫出角α的集合．解：由于y＝－|x|的圖象是三、四象限的平分線，故在0°～360°間所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)角分別為225°及315°，從而角α的集合為S＝{α|α＝k·360°＋225°或α＝k·360°＋315°，k∈Z}．——本課須駕馭的兩大問題1．對(duì)角的理解，初中階段是以“靜止”的眼光看，中學(xué)階段應(yīng)用“運(yùn)動(dòng)”的觀點(diǎn)下定義，理解這一概念時(shí)，要留意“旋轉(zhuǎn)方向”確定角的“正負(fù)”，“旋轉(zhuǎn)幅度”確定角的“肯定值大小”．2．關(guān)于終邊相同的角的相識(shí)一般地，全部與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．留意：(1)α為隨意角．(2)k·360°與α之間是“＋”號(hào)，k·360°－α可理解為k·360°＋(－α)．(3)相等的角終邊肯定相同；終邊相同的角不肯定相等，終邊相同的角有多數(shù)多個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍．(4)k∈Z這一條件不能少．學(xué)科素養(yǎng)培優(yōu)精品微課堂角eq\f(α,n)，nα(n∈N*)所在象限的確定開講啦由角α的范圍確定出eq\f(α,n)或nα的范圍，然后依據(jù)k與n的關(guān)系探討eq\f(α,n)或nα所在的象限．[典例]已知α是其次象限角，求：(1)角2α的終邊的位置；(2)角eq\f(α,2)所在的象限．[解](1)∵α是其次象限角，∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)．∴k·720°＋180°<2α<k·720°＋360°(k∈Z)．∴角2α的終邊在第三或第四象限或在y軸的非正半軸上．(2)方法1：∵α是其次象限角，∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)．∴eq\f(k,2)·360°＋45°<eq\f(α,2)<eq\f(k,2)·360°＋90°(k∈Z)．當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，令k＝2n(n∈Z)，得n·360°＋45°<eq\f(α,2)<n·360°＋90°，這表明eq\f(α,2)是第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，令k＝2n＋1(n∈Z)，得n·360°＋225°<eq\f(α,2)<n·360°＋270°，這表明eq\f(α,2)是第三象限角．∴eq\f(α,2)為第一或第三象限角．方法2：如圖，先將各象限分成2等份，再從x軸正向的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則標(biāo)有二的區(qū)域即為eq\f(α,2)的終邊所在的區(qū)域，故eq\f(α,2)為第一或第三象限角．[名師點(diǎn)評(píng)]已知α是第m(m取一、二、三、四)象限角，要確定eq\f(α,n)(n∈N*)是第幾象限角的常用方法有兩種：一是分類探討，即先依據(jù)α所在象限寫出α的范圍，然后求出eq\f(α,n)的范圍，進(jìn)而對(duì)n進(jìn)行探討，從而確定出eq\f(α,n)所在的象限；二是幾何法，即先把各象限均分為n等份，再從x軸的正向的上方起，按逆時(shí)針方向，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四循環(huán)標(biāo)注，則α原來是第m象限，標(biāo)號(hào)為m的區(qū)域即為eq\f(α,n)終邊所在的區(qū)域．[針對(duì)訓(xùn)練]假如角α是其次象限角，那么角eq\f(α,3)的終邊落在第幾象限？解：方法1：∵角α是其次象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z.∴30°＋k·120°<eq\f(α,3)<60°＋k·120°，k∈Z.當(dāng)k＝3n(n∈Z)時(shí)，有30°＋n·360°<eq\f(α,3)<60°＋n·360°，則角eq\f(