2020-2022年北京市初三一模數(shù)學(xué)試題匯編：二次函數(shù)與一元二次方程

第1頁/共1頁2020-2022北京初三一模數(shù)學(xué)匯編二次函數(shù)與一元二次方程一、單選題1．（2022·北京石景山·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的y與x的部分對應(yīng)值如下表：…﹣1013……0﹣1.5﹣20…根據(jù)表格中的信息，得到了如下的結(jié)論：①二次函數(shù)y=ax2+bx+c可改寫為y=a(x?1)2?2的形式②二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開口向下③關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=?1.5的兩個根為0或2④若y>0，則x>3其中所有正確的結(jié)論為（

）A．①④ B．②③ C．②④ D．①③2．（2021·北京大興·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)，當和時對應(yīng)的函數(shù)值相等，則下列說法中不正確的是（

）A．拋物線的開口向上 B．拋物線與y軸有交點C．當時，拋物線與x軸有交點 D．若是拋物線上兩點，則二、解答題3．（2022·北京海淀·統(tǒng)考一模）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組的同學(xué)共同探究體積為330mL圓柱形有蓋容器（如圖所示）的設(shè)計方案．，他們想探究容器表面積與底面半徑的關(guān)系．具體研究過程如下，請補充完整：（1）建立模型：設(shè)該容器的表面積為S，底面半徑為cm，高為cm，則，

①，

②由①式得，代入②式得．

③可知，S是x的函數(shù)，自變量x的取值范圍是．（2）探究函數(shù)：根據(jù)函數(shù)解析式③，按照下表中自變量x的值計算（精確到個位），得到了S與x的幾組對應(yīng)值：…11.522.533.544.555.56……666454355303277266266274289310336…在下面平面直角坐標系中，描出了以上表中各對對應(yīng)值為坐標的點．根據(jù)描出的點，畫出該函數(shù)的圖象；（3）解決問題：根據(jù)圖表回答，①半徑為2.4cm的圓柱形容器比半徑為4.4cm的圓柱形容器表面積______．（填“大”或“小”）；②若容器的表面積為300，容器底面半徑約為______cm（精確到0.1）．4．（2022·北京門頭溝·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系中，已知拋物線（是常數(shù)）．(1)求該拋物線的頂點坐標（用含代數(shù)式表示）；(2)如果該拋物線上有且只有兩個點到直線的距離為1，直接寫出的取值范圍；(3)如果點，都在該拋物線上，當它的頂點在第四象限運動時，總有，求的取值范圍．5．（2022·北京房山·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)y=x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點A（1，0）與點C（0，-3），其頂點為P．(1)求二次函數(shù)的解析式及P點坐標；(2)當m≤x≤m+1時，y的取值范圍是-4≤y≤2m，求m的值．6．（2021·北京東城·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系xOy中，點A（x1，y1），B（x2，y2）在拋物線y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a上，其中x1＜x2．(1)求拋物線的對稱軸（用含a的式子表示）；(2)①當x＝a時，求y的值；②若y1＝y(tǒng)2＝0，求x1的值（用含a的式子表示）．(3)若對于x1+x2＜﹣4，都有y1＜y2，求a的取值范圍．7．（2021·北京大興·統(tǒng)考一模）已知拋物線經(jīng)過點(?1，8)．（1）求拋物線的解析式；（2）求拋物線與x軸交點的坐標．8．（2020·北京通州·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系中，存在拋物線以及兩點．(1)求該拋物線的頂點坐標；(用含的代數(shù)式表示)(2)若該拋物線經(jīng)過點，求此拋物線的表達式；(3)若該拋物線與線段有公共點，結(jié)合圖象，求的取值范圍．9．（2022·北京燕山地區(qū)·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系中，拋物線與x軸的交點為點和點B．(1)用含a的式子表示b；(2)求拋物線的對稱軸和點B的坐標；(3)分別過點和點作x軸的垂線，交拋物線于點M和點N，記拋物線在M，N之間的部分為圖象G（包括M，N兩點）．記圖形G上任意一點的縱坐標的最大值是m，最小值為n．①當時，求的最小值；②若存在實數(shù)t，使得，直接寫出a的取值范圍．三、填空題10．（2021·北京朝陽·統(tǒng)考一模）如圖，直線與拋物線交于點，且點A在y軸上，點B在x軸上，則不等式的解集為_____．

參考答案1．D【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個選項中的說法是否正確，本題得以解決．【詳解】解：由表格可得，∵該函數(shù)的圖象經(jīng)過（-1，0），（3，0），∴該函數(shù)圖象的對稱軸是直線x==1，∴該函數(shù)圖象的頂點坐標是（1，-2），有最小值，開口向上，∴二次函數(shù)y=ax2+bx+c可改寫為y=a(x?1)2?2的形式，故選項①正確，選項②錯誤；∵該函數(shù)的圖象經(jīng)過（0，-1.5），其關(guān)于對稱軸直線x=1的對稱點為（2，-1.5），∴關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=?1.5的兩個根為0或2，故選項③正確；∵該函數(shù)的圖象經(jīng)過（-1，0），（3，0），∴若y>0，則x>3或x<-1，故選項④錯誤；綜上，正確的結(jié)論為①③，故選：D．【點睛】本題考查的是拋物線與x軸的交點，要求學(xué)生非常熟悉函數(shù)與坐標軸的交點、頂點等點所代表的意義、圖象上點的坐標特征等．2．C【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向、對稱性、與坐標軸交點等性質(zhì)逐條判斷即可．【詳解】解：二次函數(shù)二次項系數(shù)是1，大于0，拋物線開口向上，故A正確，不符合題意；當時，，拋物線與y軸有交點為（0，n），故B正確，不符合題意；二次函數(shù)，當和時對應(yīng)的函數(shù)值相等，它的對稱軸為，即，，拋物線解析式為，若拋物線與x軸有交點，則，解得，故C錯誤，符合題意；兩點關(guān)于拋物線對稱軸直線對稱，所以，故D正確,不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)性質(zhì)，根據(jù)相關(guān)性質(zhì)準確進行推斷．3．①大；②或【分析】①根據(jù)（2）中的表格中數(shù)據(jù)與函數(shù)圖象分析可得當時，，當時，，進而可比較當與時，的值的大小，②根據(jù)函數(shù)圖象求解即可【詳解】解：①（2）中的表格中數(shù)據(jù)可知，當時，，當時，，根據(jù)函數(shù)圖象可知，當時，隨的增大增大，當時，隨的增大而減小，時，,時，半徑為2.4cm的圓柱形容器比半徑為4.4cm的圓柱形容器表面積大故答案為：大②根據(jù)函數(shù)圖象可知，當時，或故答案為：或【點睛】本題考查了函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象獲取信息是解題的關(guān)鍵．4．(1)拋物線的頂點坐標（m，m-2）；(2)2＜m＜4；(3)a≥1．【分析】（1）將二次函數(shù)解析式化為頂點式求解．（2）由拋物線上有且只有兩個點到直線的距離為1，及拋物線開口向下可得頂點在直線y=0和直線y=2之間，進而求解．（3）由頂點在第四象限可得m的取值范圍，由y1＜y2可得點B到對稱軸距離大于點A到對稱軸距離，進而求解．（1）∵，∴拋物線的頂點坐標（m，m-2）；（2）∵拋物線開口向下，頂點坐標為（m，m-2），∴0＜m-2＜2，解得2＜m＜4；（3）∵拋物線頂點在第四象限，∴，解得0＜m＜2，∵拋物線開口向下，對稱軸為直線x=m且y1＞y2，∴在對稱軸右側(cè)，∴a+2-m＞|a-m|，即a+2-m＞a-m或a+2-m＞m-a，解得a＞m-1，∵0＜m＜2，∴a≥1．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．5．(1)，頂點的坐標為(2)【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)得出答案；（2）分①時，②當時，兩種情況分別求解即可．（1）解：解：點、在二次函數(shù)的圖象上，，解得，二次函數(shù)的解析式為：，頂點的坐標為；（2）解：時，的最小值為，，即，①時，，由，解得：（舍去），，②當時，，由，解得：（舍去），（舍去），綜上：的值為．【點睛】此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確分類討論得出的取值范圍．6．(1)對稱軸為直線x＝a﹣1(2)①y=0；②x1＝a﹣2(3)a≥﹣1【分析】（1）根據(jù)拋物線的對稱軸x＝﹣求解即可；（2）①將x＝a代入y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a求解即可；②若y1＝y(tǒng)2＝0，則﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0，解方程并根據(jù)x1＜x2，求出x1的值．（3）由題意得出x1＜﹣2，則只需討論x1＜a﹣1的情況，分兩種情況：①當a≥﹣1時，又有兩種情況：x1＜x2＜a﹣1，x1＜a﹣1＜x2，分別結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及x1+x2＜﹣4計算即可；②當a＜﹣1時，令x1＝a﹣1，x2＝﹣2，此時x1+x2＜﹣4，但y1＞y2，不符合題意．【詳解】（1）解：拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝a﹣1；（2）解：①當x＝a時，y＝﹣a2+（2a﹣2）a﹣a2+2a＝﹣a2+2a2﹣2a﹣a2+2a＝0；②當y1＝y(tǒng)2＝0時，﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0，∴x2﹣（2a﹣2）x+a2﹣2a＝0，∴（x﹣a+2）（x﹣a）＝0，∵x1＜x2，∴x1＝a﹣2；（3）解：①當a≥﹣1時，∵x1＜x2，x1+x2＜﹣4，∴x1＜﹣2，只需討論x1＜a﹣1的情況．若x1＜x2＜a﹣1，∵x＜a﹣1時，y隨著x的增大而增大，∴y1＜y2，符合題意；若x1＜a﹣1＜x2，∵a﹣1≥﹣2，∴2（a﹣1）≥﹣4，∵x1+x2＜﹣4，∴x1+x2＜2（a﹣1）．∴x1＜2（a﹣1）﹣x2．∵x＝2（a﹣1）﹣x2時，y1＝y(tǒng)2，x＜a﹣1時，y隨著x的增大而增大，∴y1＜y2，符合題意．②當a＜﹣1時，令x1＝a﹣1，x2＝﹣2，此時x1+x2＜﹣4，但y1＞y2，不符合題意；綜上所述，a的取值范圍是a≥﹣1．【點睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)、求函數(shù)值、運用二次函數(shù)求不等式等知識點，靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)成為解答本題的關(guān)鍵．7．（1）拋物線解析式為；（2）拋物線與x軸的交點坐標是（1，0），（3，0）．【分析】（1）把已知點的坐標代入中得到關(guān)于c的方程，然后解方程即可；（2）通過解方程可得到拋物線與軸的交點坐標．【詳解】解：（1）∵拋物線經(jīng)過點(?1，8)，∴，解得：，∴拋物線解析式為；（2）當，則．解得，∴拋物線與x軸的交點坐標是（1，0），（3，0）．【點睛】本題考查了拋物線與軸的交點：把求二次函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于的一元二次方程．也考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式．8．（1）；（2）：或；（3）或.【分析】（1）根據(jù)題意將拋物線的一般解析式化為頂點式即可得出拋物線的頂點坐標；（2）根據(jù)題意將代入求出m的值即可求得該拋物線的表達式；（3）根據(jù)題意分m≥0，m＜0兩種情形，分別構(gòu)建不等式解決問題即可．【詳解】解：（1）∵拋物線解析式為：，∴頂點坐標為：.（2）∵拋物線經(jīng)過點，∴，解得，所以該拋物線的表達式為：或.（3）當m≥0時，如圖1中，觀察圖象可知：，∴且，解得．當m＜0時，如圖2中，觀察圖象可知：，∴m2+2m≥0且m2+2m-2≤0，解得，綜上所述，滿足條件的m的值為：或．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解決本題的關(guān)鍵是結(jié)合圖象進行分析解答．9．(1)(2)，(3)①1；②或【分析】（1）把點代入即可得；（2）由對稱軸公式可得拋物線的對稱軸為直線，由拋物線對稱性得點坐標；（3）①當時，，即得拋物線與軸交點坐標為，，與軸交點坐標為，頂點坐標為，當圖象為對稱圖形時有最小值，可得，，即得的最小值為；②由（1）知拋物線為，得，，，頂點坐標為，可分四種情況討論的取值：（Ⅰ）當，且時，，解得，可得；（Ⅱ）當，且時，，可得，（Ⅲ）當，且時，，可得；（Ⅳ）當，且時，，可得，即知當時，，同理可得：當時，也符合條件．【詳解】（1）解：把點代入得：，；（2）解：由（1）知拋物線為，拋物線的對稱軸為直線，而關(guān)于直線的對稱點是，由拋物線對稱性得：點坐標；（3）解：①如圖：當時，，拋物線與軸交點坐標為，，與軸交點坐標為，頂點坐標為，由圖象知：當圖象為對稱圖形時有最小值，又，，，，，過點和點作軸的垂線，交拋物線于點和點，，，頂點坐標為，的最小值為；②點和點作軸的垂線，交拋物線于點和點，由（1）知拋物線為，，，，又拋物線對稱軸為直線，頂點坐標為，根據(jù)、點的相對位置和拋物線的開口方向可分以下四種情況討論的取值：（Ⅰ）當，且時，即圖象在對稱軸左側(cè)時，此時點的縱坐標最大，點的縱坐標最小，，解得，又，，且，；（Ⅱ）當，且時，即圖象在對稱軸右側(cè)時，此時點的縱坐標最大，點的縱坐標最小，，解得，又，，且，，（Ⅲ）當，且時，即最低點是拋物線頂點且點縱坐標大時，此時，，，解得，又，，，，；（Ⅳ）當，且時，即最低點是拋物線頂點時且點縱坐標大，此時，，，解