2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章直線與方程333點到直線的距離334兩條平行直線間的距離課件新人教A版必修2

3.3.3點到直線的距離3.3.4兩條平行直線間的距離1.點到直線的距離點P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離d=.【思考】能不能直接用直線的斜截式方程求點到直線的距離?提示:不能,必須先化成一般式,再代入公式求距離.2.兩條平行直線間的距離直線l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0間的距離

.【思考】直線l1,l2的方程具備什么特征時,才能直接應(yīng)用公式求距離?提示:直線l1,l2的方程必須是一般式,且一次項系數(shù)A,B相同.【素養(yǎng)小測】

1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)點P(x0,y0)到直線y=kx+b的距離為.(

)(2)直線外一點與直線距離的最小值就是點到直線的距離. (

)(3)兩條平行線x+y-1=0,2x+2y+5=0之間的距離是d==3. (

)提示:(1)×.應(yīng)用點到直線的距離公式時必須將直線方程化為一般式,即本問題的距離為.(2)√.因為最小值就是由該點向直線所作的垂線段的長,即點到直線的距離.(3)×.雖然兩條平行直線的方程均為一般式方程,但是兩直線方程中,x,y的系數(shù)不滿足分別相等.2.直線3x+4y+5=0與直線3x+4y-5=0的距離為(

)A.2

B.3

C.4

D.5【解析】選A.直線3x+4y+5=0與直線3x+4y-5=0的距離為d=3.點M(-3,4)到直線l:x-y+3=0的距離為______.

【解析】由題意得:d=答案:2

類型一點到直線距離公式的應(yīng)用【典例】1.(2019·宜昌高一檢測)若點到直線l:x+3y+m=0(m>0)的距離為,則m= (

)A.7

B.

C.14

D.172.(2019·北京高一檢測)已知O為原點,點P在直線x+y-1=0上運動,那么|OP|的最小值為(

)A. B.1 C. D.23.(2019·武侯高一檢測)當點P(3,2)到直線mx-y+1-2m=0的距離最大時,m的值為________.

【思維·引】1.代入距離公式,列方程求解.2.|OP|的最小值即O到直線的距離.3.求出直線所過的定點,確定距離最大時直線的位置后求m值.【解析】1.選B.由題意可得:m>0,解得m=.2.選A.|OP|的最小值為原點O到直線x+y-1=0的距離d=3.直線mx-y+1-2m=0可化為y-1=m(x-2),由直線點斜式方程可知直線恒過定點Q(2,1)且斜率為m,結(jié)合圖象可知當PQ與直線mx-y+1-2m=0垂直時,點到直線距離最大,此時m·=-1,解得m=-1.答案:-1【內(nèi)化·悟】解決與點到直線距離的最值有關(guān)的問題時,需要注意什么?提示:需要結(jié)合點到直線的幾何意義、直線的位置關(guān)系解題.【類題·通】點到直線的距離的求解方法(1)求點到直線的距離時,只需把直線方程化為一般式,直接利用點到直線的距離公式即可.(2)若已知點到直線的距離求參數(shù)值時,只需根據(jù)點到直線的距離公式列出關(guān)于參數(shù)的方程即可.【習(xí)練·破】1.點F(,0)到直線x-y=0的距離為(

)A. B.m C.3 D.3m【解析】選A.點F到直線x-y=0的距離為2.過點A(1,2),且與原點距離最大的直線方程是 (

)A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0D.x-2y+3=0【解析】選A.當與直線OA垂直時距離最大,因直線OA的斜率為2,所以所求直線斜率為-,所以由點斜式方程得:y-2=-(x-1),化簡得:x+2y-5=0.【加練·固】點(-1,0)到直線x+y-1=0的距離是 (

)【解析】選A.由點到直線的距離公式可得:d=類型二兩條平行直線間距離公式的應(yīng)用【典例】1.直線3x+4y-2=0和直線6x+8y+1=0的距離是 (

)2.(2019·張家界高一檢測)直線2x+3y-9=0與直線6x+my+12=0平行,則兩直線間的距離為 (

)【思維·引】1.將x,y的系數(shù)變?yōu)橄嗤蟠牍角缶嚯x.2.先利用平行關(guān)系求出m,再代入兩條平行直線的距離公式求值.【解析】1.選B.直線3x+4y-2=0和直線6x+8y+1=0,即直線6x+8y-4=0和直線6x+8y+1=0,兩條直線的距離是d=2.選B.因為直線2x+3y-9=0與直線6x+my+12=0平行,所以所以m=9,故平行直線即6x+9y-27=0與直線6x+9y+12=0,距離為【內(nèi)化·悟】應(yīng)用兩條平行直線距離公式的前提是什么?提示:兩條直線方程中x,y的系數(shù)相同.【類題·通】兩條平行線距離的求法(1)化為一般式,且兩條平行線方程中x,y的系數(shù)化為相同的,代入兩條平行線的距離公式.(2)一條直線上任取一點,求該點到另一條直線的距離.【習(xí)練·破】1.(2019·石家莊高一檢測)P,Q分別為3x+4y-10=0與6x+8y+5=0上任意一點,則|PQ|的最小值為(

)【解析】選B.因為3x+4y-10=0與6x+8y+5=0是平行線,即3x+4y-10=0與3x+4y+=0,所以|PQ|的最小值d=2.(2019·鄂爾多斯高一檢測)已知直線l與兩直線l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0平行且距離相等,則l的方程為________.

【解析】由題意,設(shè)直線l:2x-y+m=0,-1<m<3,因為所以m=1,所以直線l的方程為2x-y+1=0.答案:2x-y+1=0【加練·固】與直線2x+y+1=0的距離為的直線的方程是(

)A.2x+y=0B.2x+y-2=0C.2x+y=0或2x+y-2=0D.2x+y=0或2x+y+2=0【解析】選D.設(shè)所求的直線方程是2x+y+m=0,則

解得m=0或m=2,故所求的直線方程為2x+y=0或2x+y+2=0.類型三距離公式的綜合應(yīng)用角度1距離幾何意義的應(yīng)用【典例】(2019·西城高一檢測)若P(x,y)在直線x+y-4=0上,則x2+y2的最小值是 (

)A.8

B.2

C.

D.16【思維·引】將x2+y2變形,轉(zhuǎn)化為點到直線的距離求最小值.【解析】選A.因為x2+y2≥0,所以表示直線上的點到原點的距離,所以原點到直線的距離d=所以的最小值為2,所以x2+y2的最小值為8.【素養(yǎng)·探】在距離公式的應(yīng)用過程中,常常用到核心素養(yǎng)中的直觀想象,通過對式子的變形,轉(zhuǎn)化為兩點、點到線的距離,即給式子賦予其幾何意義,利用圖形的性質(zhì)解題.本例的條件不變,試求的最小值.【解析】

表示直線上的點(x,y)與點(1,2)的距離,其最小值即點(1,2)到直線x+y-4=0的距離,故最小值為角度2距離公式的綜合應(yīng)用【典例】(2019·臺州高一檢測)已知坐標平面上三點A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),過點C作AB的平行線交x軸于點D, (1)求點D的坐標.(2)求四邊形ABCD的面積.【思維·引】(1)求出過點C與AB平行的直線方程,求出與x軸的交點.(2)先判斷四邊形的形狀,再利用面積公式求值.【解析】(1)根據(jù)題意,A(5,1),B(7,-3),則kAB==-2,又由AB∥CD知,kCD=-2,則直線CD的方程為y+8=-2(x-2),即2x+y+4=0.令y=0,解得x=-2,則D(-2,0).(2)因為|AB|=2,|CD|=4,AB∥CD,故四邊形ABCD為梯形,點A(5,1)到直線CD:2x+y+4=0的距離為所以四邊形ABCD的面積S=×(2+4)×3=45.【類題·通】距離公式綜合應(yīng)用的三種常見類型(1)最值問題.①利用對稱轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離問題.②利用所求式子的幾何意義轉(zhuǎn)化為點到直線的距離.③利用距離公式將問題轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問題,通過配方求最值.(2)求參數(shù)問題.利用距離公式建立關(guān)于參數(shù)的方程或方程組,通過解方程或方程組求值.(3)求方程的問題.立足確定直線的幾何要素——點和方向,利用直線方程的各種形式,結(jié)合直線的位置關(guān)系(平行直線系、垂直直線系及過交點的直線系),巧設(shè)直線方程,在此基礎(chǔ)上借助三種距離公式求解.【習(xí)練·破】(2019·武漢高一檢測)若兩條平行直線l1:x-2y+m=0(m>0)與l2:2x+ny-6=0之間的距離是2,則m+n=(

)A.3 B.-17C.2 D.3或-17【解析】選A.由題意可得兩條平行直線l1:2x-4y+2m=0(m>0)與