高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019必修四）第33講專題11-5異面直線所成角問題

專題115異面直線所成角問題TOC\o"13"\h\u題型1異面直線所成的角的概念及辨析 2題型2求異面直線所成的角 5◆類型1直接平移后相交 6◆類型2利用中位線平移 13◆類型3補(bǔ)全長方體 22題型3由異面直線所成的角求其他量 23◆類型1線段條數(shù)問題 23◆類型2線段長度問題 28◆類型3面積問題 35◆類型4體積問題 36知識點(diǎn).異面直線所成角的概念：1.定義：如圖，a,b是異面直線，在空間中任選一點(diǎn)O，過點(diǎn)O分別作a,b的平行線a'和b'，則這兩條直線2.異面直線所成角范圍：（0，π23.求異面直線所成的角的步驟一作，即依據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角二證，即證明作出的角是異面直線所成的角三求，解三角形，求出作出的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角4.向量法已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點(diǎn)，a，b所成的角為θ，則cosθ=|題型1異面直線所成的角的概念及辨析【例題1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）異面直線所成角范圍所構(gòu)成的集合記為集合A，直線與平面所成角構(gòu)成的范圍為集合B，則“α∈A”是“A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要【答案】A【分析】根據(jù)異面直線所成角范圍、直線與平面所成角構(gòu)成的范圍，結(jié)合充分性、必要性的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)锳=(0,π2所以由α∈A能推出α∈B，但由因此“α∈A”是“故選：A【變式11】1．（多選）（2022春·浙江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平行四邊形ABCD，AB=a，BC=1，∠ABCA．當(dāng)a=2B．當(dāng)a=3C．當(dāng)a=4D．當(dāng)a=5【答案】BCD【分析】本題從AD與BC垂直入手，轉(zhuǎn)化為AD與AD'垂直，從何轉(zhuǎn)化為△AED'與【詳解】解：設(shè)翻折前的D記為D'，∵AD⊥BC，BC//AD∵∠D'AE在△D'AE中，AD'=1，由正弦定理知，D'Esin45°=1因?yàn)镋為線段CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則a≥故選：BCD．【變式11】2．（多選）（2022春·廣西桂林·高一?？计谀┤鐖D所示，已知在正方體ABCD?A1B1C1D1A．l與AD平行B．l與AB異面C．l與CD所成的角為30°D．l與BD垂直【答案】BCD【分析】依次分析每個(gè)選項(xiàng)，假設(shè)l∥AD，得出矛盾，A錯(cuò)誤；取l為A1C1所在直線，滿足BD；取l【詳解】假設(shè)l∥AD，則由AD∥BC∥B1C1可得l取l為A1C1所在直線，滿足B，又因?yàn)閘⊥B取l與C1D1成30°角，因?yàn)镃1D1∥故選：BCD【變式11】3．（2022春·上海青浦·高一上海市青浦高級中學(xué)?？计谀゛，b為異面直線，且a，b所成角為40°，過空間一點(diǎn)P作直線c，直線c與a，b均異面，且所成角均為θ，若這樣的c共有四條，則θ的范圍為___________.【答案】(【分析】設(shè)平面α上兩條直線m,n分別滿足m∥a,n∥【詳解】設(shè)平面α上兩條直線m,n分別滿足m∥則m,n相交,設(shè)交點(diǎn)為P，且夾角為40°如圖示：過空間一點(diǎn)P作直線c，若直線c與a，b均異面，且所成角均為θ，則直線c與直線m,n所成角均為θ，當(dāng)0°當(dāng)θ=當(dāng)20°當(dāng)θ=當(dāng)70°當(dāng)θ=故答案為：(題型2求異面直線所成的角【方法總結(jié)】把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是0,π2◆類型1直接平移后相交【例題21】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在正方體ABCD?A1B1C1A．22 B．33 C．63【答案】C【分析】如圖所示，連接CD1，確定∠CFE或其補(bǔ)角是異面直線EF與A【詳解】如圖所示：F是線段C1D的中點(diǎn)，連接CD由正方體的性質(zhì)知CD1//BA故∠CFE或其補(bǔ)角是異面直線EF與A設(shè)正方體邊長為2，在直角△CFE中，CF=2，故cos∠故選：C【變式21】1．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在正方體ABCD?A1B1A．22 B．1 C．3 【答案】A【分析】平移直線DD1至PO，將直線PB與DD【詳解】連接AC與BD交于O，因?yàn)锳BCD?A1所以PO⊥BO,PO//設(shè)正方體的棱長為2，則在Rt△BPO中，BO=2，所以直線PB與DD1故選：A【變式21】2．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在正三棱柱ABC?A1B1C1A．?12 B．22 C．6【答案】D【分析】先利用棱柱的結(jié)構(gòu)特征、異面直線所成角的定義得到∠A1CB是異面直線A【詳解】連接A1B，由棱柱的性質(zhì)得所以∠A1CB是異面直線A由正三棱柱的性質(zhì)及AA得BC=2，AA1在△A得cos∠=4+8?8即異面直線A1C與B1故選：D.【變式21】3．（2022春·福建福州·高一福建省福州高級中學(xué)校考期末）在長方體ABCD-A1B1C1D1中，ABA．60° B．45° C．30° D．90°【答案】A【分析】根據(jù)BC1∥AD1可知【詳解】如圖所示：易知BC所以AA1和BC1所成的角，即為在Rt△AA1所以∠A即AA1和BC故選：A【變式21】4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的棱長都相等，DA．64 B．104 C．24【答案】B【分析】取A1B1的中點(diǎn)E，連接AE、C1E、DE，設(shè)正三棱柱ABC?A1B1C1的棱長為2，證明出CD//C1【詳解】取A1B1的中點(diǎn)E，連接AE、C1E、DE因?yàn)锳A1//BB所以，AB//A1又因?yàn)镈、E分別為AB、A1B1的中點(diǎn)，則AD所以，四邊形AA1ED為平行四邊形，則A又因?yàn)锳A1//CC1且所以，四邊形CC1ED所以CD與AC1所成的角即為C1E與在△AC1E中，AC因?yàn)锳C12=A所以sin∠A故選：B．【變式21】5．（2023·高一單元測試）在如圖所示的正方體ABCD?A1B1A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義及正方體的特征求解【詳解】連接A1D，因?yàn)檎襟w中A1所以∠BA1D就是在△BA1∴∠B故選：C【變式21】6．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1A．32 B．1010 C．35【答案】B【分析】根據(jù)異面直線夾角的概念平移找角，再結(jié)合余弦定理計(jì)算即可.【詳解】解：連接A1C1交B1D1于Q，取由正方體可知，D1C1//DC,D1C1=DC，又即QP//CM,QP則直線CP與B1D1在△D1MQ所以cos∠MQ則直線CP與B1D1故選：B.◆類型2利用中位線平移【例題22】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在正方體ABCD?A1B1C1D1A．30° B．45° C．60°【答案】C【分析】由題易得EF//B1D1【詳解】如下圖所示,連接BD∵EF//則異面直線B1C與EF∵D1B∴∠D故選:C.【變式22】1．（2023·高一單元測試）在正四面體P?ABC中，D為PC的中點(diǎn)，則直線PB與A．33 B．32 C．36【答案】C【分析】作出直線PB與AD所成角，并利用余弦定理求得其余弦值.【詳解】取BC的中點(diǎn)為E，連接DE，AE，則DE∥所以∠ADE為AD與PB設(shè)正四面體的棱長為2a，則DE=a，AD所以在△ADE中，cos∠故選：C【變式22】2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）空間四邊形ABCD的兩對邊AB=CD=3，E、F分別是AD、BC上的點(diǎn)，且EF=7，AEA．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【分析】根據(jù)題意，作EG//AB交BD于G，連接FG，可證得FG//CD，得∠FGE是AB與CD所成的角或其補(bǔ)角，由平行線性質(zhì)求得EG,FG【詳解】作EG//AB交BD于G，如圖，連接則AEED=BGGD，又AEED所以∠FGE是AB與CDAB=CD=3，AEED=FGCD=BF△EFG中，cos∠∠EGF是三角形內(nèi)角，所以∠所以AB與CD所成的角是60°，故選：C．【變式22】3．（2023·高一單元測試）已知PC是圓錐PO的一條母線，AB是底面圓O的一條直徑，△PAB為正三角形，∠ABC=30°A．14 B．13 C．12【答案】A【分析】延長CO交圓O于D，連接PD，取PD的中點(diǎn)E，連接OE，分析可知∠EOB為PC與AB所成的角，利用余弦定理可求得BE，然后利用余弦定理可求得∠【詳解】如圖，延長CO交圓O于D，連接PD，取PD的中點(diǎn)E，連接OE，則OE//則∠EOB為PC與AB不妨設(shè)圓O的半徑為1，則PC=PD=因?yàn)镺為AC、BD的中點(diǎn)，則四邊形ACBD為平行四邊形，∵∠ABC=30°，在△PBD中，cos∠由余弦定理可得BE所以，cos∠EOB故選：A．【變式22】4．（2023·高一單元測試）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，△ABC是等邊三角形，AA1=AB，D，E，A．53 B．55 C．510【答案】C【分析】在棱CC1上取一點(diǎn)H，使得CC1=4CH，取CC1的中點(diǎn)G，連接BG，HF，DH，即可得到HF//C1E，則【詳解】解：如圖，在棱CC1上取一點(diǎn)H，使得CC1=4CH，取CC1的中點(diǎn)由于G,E分別是棱CC1,BB又因?yàn)镕,H是BC,CM的中點(diǎn)，所以HF//BG，所以HF//設(shè)AB=4，則CF從而HF=CAF=A故cos∠DFH故異面直線DF與C1E所成角的余弦值是故選：C【變式22】5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在正方體AC1中，E、F分別是面A1B1C1【答案】45°##【分析】連接A1D、C1D，則點(diǎn)F為A1D的中點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)可得出EF//【詳解】連接A1D、C1D，則點(diǎn)易知點(diǎn)E為A1C1的中點(diǎn)，又因?yàn)镕為A所以，EF和CD所成的角為∠CD故答案為：45°【變式22】6．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠【答案】60°【分析】作出AB1與【詳解】設(shè)BC1∩B1C=則DE//AB1，所以AB根據(jù)直棱柱的性質(zhì)以及∠ABC=90°可知所以DE=所以三角形BDE是等邊三角形，所以∠BDE所以AB1與BC故答案為：60°【變式22】7．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，圓錐SO的底面圓半徑OA=1，母線SA(1)求此圓錐的體積和側(cè)面展開圖扇形的面積；(2)過點(diǎn)O在圓錐底面作OA的垂線交底面圓圓弧于點(diǎn)P，設(shè)線段SO中點(diǎn)為M，求異面直線AM與PS所成角的余弦值【答案】(1)V=2(2)4【分析】（1）根據(jù)圓錐的體積和側(cè)面積公式即可；（2）異面直線所成角，平移其中一條線，然后放到三角形中用余弦定理即可.【詳解】（1）圓錐SO的底面圓半徑OA=1，母線SA=3，所以圓錐的高為所以圓錐的體積V圓錐的側(cè)面展開圖扇形的面積S（2）在圓錐中，作MN//SP，交OP于N，則異面直線AM與PS所成角為AM=1+2=3，所以cos∠AMN所以異面直線AM與PS所成角的余弦值為43【變式22】8．（2023·高一單元測試）如圖所示，在四面體ABCD中，E、F分別是線段AD、BC上的點(diǎn)，AEED(1)求證：直線EF與BD是異面直線；(2)若AB=CD=3，EF=7【答案】(1)證明見解析(2)60°【分析】（1）G為DC上靠近D的三等分點(diǎn)，易證F,G,B,D四點(diǎn)共面FGDB（面（2）H,I分別為AC,BD靠近A,B的三等分點(diǎn)，易知【詳解】（1）若G為DC上靠近D的三等分點(diǎn)，則DGGC=BF所以F,G,B,D四點(diǎn)共面FGDB，顯然而E?面FDB，F(xiàn)∈面FDB，即EF∩面FDB=F，BD所以直線EF與BD是異面直線；（2）若H,I分別為AC,BD靠近所以EI//AB//FH，F(xiàn)I//DC//HE，故又HE=13CD=1由∠IFH∈(0,180°)，故∠IFH=120°，則◆類型3補(bǔ)全長方體【例題3】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在長方體ABCD?A1B1C1D1（平面A1B1C【答案】5221221【分析】在長方體ABCD?A1B1【詳解】解：在長方體ABCD?A1所以，由長方體的性質(zhì)可知：直線A1因?yàn)?AA1=3AD=6，所以BF=17，BC所以cos∠FB所以，異面直線A1D與BF所成角的余弦值為故答案為：5題型3由異面直線所成的角求其他量◆類型1線段條數(shù)問題【方法總結(jié)】一般地，如果兩條異面直線所成的角為θ0<θ≤π2，過空間一點(diǎn)P作直線l與a,b（1）若0<α<θ（2）若α=θ2（3）若θ2<α（4）若α=π?（5）若π?θ（6）若α=π2【例題31】（2022春·江蘇揚(yáng)州·高一?？茧A段練習(xí)）在正方體ABCD?A1B1A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】作圖，直接觀察可得.【詳解】如圖，易知△A1BC1為等邊三角形，所以∠BA1C同理，面對角線B1C，B1故選：B．【變式31】1．（2021秋·陜西西安·高一陜西師大附中?？茧A段練習(xí)）若過正方體ABCD﹣A1B1C1D1的頂點(diǎn)A作直線l，使得直線l與三條棱AB，AD，AA1所在直線的夾角均相等，則這樣的直線l的條數(shù)為（）A．0 B．1 C．3 D．4【答案】D【分析】將小正方體擴(kuò)展成4個(gè)小正方體，根據(jù)直線夾角的定義即可判斷出符合條件的條數(shù)．【詳解】設(shè)ABCD﹣A1B1C1D1邊長為1．第一條：AC1是滿足條件的直線；第二條：延長C1D1到C2且D1C2＝1，AC2是滿足條件的直線；第三條：延長C1B1到C3且B1C3＝1，AC3是滿足條件的直線；第四條：找C1關(guān)于A1的對稱點(diǎn)C4，AC4是滿足條件的直線．綜上，滿足題意的直線l的條數(shù)為4條．故選：D【變式31】2．（2021春·高一課時(shí)練習(xí)）在正方體ABCD?A1B1A．4條 B．6條 C．8條 D．10條【答案】C【分析】首先確定與AD1共面的面對角線中成60°角的共有4條，再通過平行關(guān)系確定異面的面對角線中也有4【詳解】以AD1為一邊的面對角線構(gòu)成的等邊三角形如上圖為：ΔA可知與AD1夾角為60根據(jù)平行關(guān)系可知BD,C1D,可知滿足題意的面對角線共有8條本題正確選項(xiàng)：C【點(diǎn)睛】本題考查兩條直線夾角的問題，關(guān)鍵是在考慮共面的直線的同時(shí)，也需要考慮異面直線的情況.【變式31】3．（2019秋·江西上饒·高一上饒中學(xué)校考階段練習(xí)）已知兩異面直線a，b所成的角為80°，過空間一點(diǎn)P作直線，使得l與a，b的夾角均為50°，那么這樣的直線有條A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】分析：如圖所示，把a(bǔ),b平移到點(diǎn)P處，則與a,詳解：過P作與a,b平行的直線如圖，∠CPD直線AG過點(diǎn)P且∠APC又∠FPC=100°，直線PE為∠FPC綜上，滿足條件的直線的條數(shù)為3.【變式31】4．（多選）（2021春·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知空間中兩條直線a，b所成的角為50°，P為空間中給定的一個(gè)定點(diǎn)，直線l過點(diǎn)P且與直線α和直線b所成的角都是θ0°<A．當(dāng)θ=15°時(shí)，滿足題意的直線l不存在 B．當(dāng)θ=25°時(shí)，滿足題意的直線C．當(dāng)θ=40°時(shí)，滿足題意的直線l有且僅有2條 D．當(dāng)θ=60°時(shí)，滿足題意的直線【答案】ABC【分析】為了討論：過點(diǎn)O與a?b所成的角都是θ(0°?θ?90°)的直線l有且僅有幾條，先將涉及到的線放置在同一個(gè)平面內(nèi)觀察，只須考慮過點(diǎn)O與直線a1?b1所成的角都是θ【詳解】過點(diǎn)O作a1//a，b1//b，則相交直線a1?b1確定一個(gè)平面α.設(shè)直線OA與a1?b1均為作AB⊥面α于點(diǎn)B，BC⊥a1于點(diǎn)C，記∠AOB=θ1，∠BOC因?yàn)?°?θ1?90°當(dāng)θ2=25°時(shí)，由0?cosθ當(dāng)θ2=65°時(shí)，由0?cosθ故當(dāng)θ<25°時(shí)，直線l當(dāng)θ=25°時(shí)，直線l當(dāng)25°<θ<65°時(shí)，直線當(dāng)θ=65°時(shí)，直線l當(dāng)65°<θ<90°時(shí)，直線當(dāng)θ=90°時(shí)，直線l故A，B，C均正確，D錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查線面角大小的判斷，處理技巧上，將直線a,◆類型2線段長度問題【例題32】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．若AC=BD=2，且AC與BD所成的角為60°，則A．1 B．2 C．1或3 D．2或3【答案】C【分析】連接HE,HG，可得∠EHG【詳解】如圖，連接HE,HG，在△ABD中，因?yàn)镠,E在△ACD中，因?yàn)镠,G為中點(diǎn)，所以HG因?yàn)锳C與BD所成的角為60°，所以∠EHG=60°或當(dāng)∠EHG=60°時(shí)，△EHG當(dāng)∠EHG=120°，由余弦定理可得EG所以EG的長為1或3.故選：C.【變式32】1．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）圓柱的高為4厘米，底面半徑為3厘米，已知上底面一條半徑OA所在直線與下底面的一條半徑O'(1)直線AB'與圓柱的軸(2)線段AB【答案】(1)34或(2)AB'=5cm【分析】⑴利用異面直線所成角的定義作平行線，再利用幾何知識求角即可；⑵利用勾股定理求AB（1）如圖，過O'作O已知上底面一條半徑OA所在直線與下底面的一條半徑O'B'所在直線的夾角為60°，則∠A'O'B'=60°或120°，則A'由AA'∥OO'，直線AB'與圓柱的軸OO'所成角為∠A'AB'或其補(bǔ)角，在兩種情況下，A（2）由（1）知，在兩種情況下，A'B'=3cm或33【變式32】2．（2020春·遼寧沈陽·高一沈陽二中?？计谀┮阎浩矫姒痢搔?l，A∈l，B∈l，AB=4，C∈β，CA【答案】5或43【分析】作AE//BD且AE=BD，連接ED,EC，則∠CAE（或其補(bǔ)角）為異面直線AC,BD所成的角，所以∠【詳解】如圖，作AE//BD且AE=BD，連接ED,EC，則∠CAE因?yàn)锳E//BD且AE=BD，所以ABDE是平行四邊形，所以因?yàn)锳B⊥AC,AB⊥BD，所以ED⊥AC,ED⊥AE，AC=AE=3，若∠CAE=60°若∠CAE=120°，則CE=2×3sin60°=3故答案為：5或43．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的應(yīng)用，都可空間兩點(diǎn)間的距離．解題關(guān)鍵是作出異面直線所成的角．構(gòu)造三角形，在三角形中求線段長．【變式32】3．（2020秋·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在底面邊長為1的正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E為A【答案】1或2【分析】連A1B,由A1B//CD1,知異面直線BE與CD1所成角的平面角為∠A【詳解】連A1B,由題可知可得異面直線BE與CD1所成角的平面角為過點(diǎn)E作EH⊥A1B于點(diǎn)有BE=EHsin∠又ΔA1HE得?1=10?2所以AE=所以AA【點(diǎn)睛】本題考查空間中棱長的求法,需要學(xué)生有一定的空間思維和計(jì)算能力,解題關(guān)鍵是將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為平面角求解.【變式32】4．（2022·全國·高一假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，AB=1,BC=22,B=π4，將△ABC繞邊AB翻轉(zhuǎn)至△ABP，使平面ABP⊥平面ABC，DA．52 B．355 C．2【答案】C【分析】由題意可將三棱錐P?ABC放在棱長為2的正方體中如圖所示，當(dāng)DQ//PG時(shí)，【詳解】由題意可將三棱錐P?延長AD交正方體的棱于點(diǎn)E，連接EF，則A,過點(diǎn)C作EF的垂線CG，垂足為點(diǎn)G，則AD⊥平CEF，所以AD又因?yàn)镋F⊥CG，AD∩EF=則PG為PC在平面PAEF內(nèi)的投影，則當(dāng)DQ//PG時(shí)，PC與此時(shí)由AQ//FG,AD//在Rt△FCE中，易得FG=故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線夾角的最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力，將三棱錐放在棱長為2的正方體中是解題的關(guān)鍵.【變式32】5．（2019春·湖北·高一校聯(lián)考期中）如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，ABA．3 B．52 C．2 D．【答案】A【分析】連結(jié)BC1，A1C1，可得異面直線A1B與A【詳解】連結(jié)BC1，∵AD∴異面直線A1B與AD令A(yù)A1=t，則cos∠A∴t2=9，t=3∴AA【點(diǎn)睛】本題考查兩條異面直線所成角的大小的求法，是中檔題．求異面直線所成的角主要方法有兩種：一是向量法，根據(jù)幾何體的特殊性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系后，分別求出兩直線的方向向量，再利用空間向量夾角的余弦公式求解；二是傳統(tǒng)法，利用平行四邊形、三角形中位線等方法找出兩直線成的角，再利用平面幾何性質(zhì)求解.◆類型3面積問題【例題33】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，已知空間四邊形ABCD兩對角線AC和BD的長分別為8和10，所成的角為60°，依次連接各邊中點(diǎn)所得四邊形EFGH【答案】10【分析】根據(jù)E，H，G，F(xiàn)分別為AB，AD，CD，BC中點(diǎn)得到四邊形EFGH為平行四邊形，且EH=FG=12BD=5，EF=GH=1【詳解】因?yàn)镋，H，G，F(xiàn)分別為AB，AD，CD，BC中點(diǎn)，所以EH∥BD∥FG，EF∥所以四邊形EFGH為平行四邊形，因?yàn)锳C與BD所成角為60°，所以平行四邊形EFGH的一個(gè)內(nèi)角為60°，所以SEFGH故答案為：103【變式33】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知長方體ABCD-A1B1C1D1【答案】6+12【分析】根據(jù)異面直線夾角的定義分析可得AB=【詳解】連接BD，設(shè)AC∩∵BB1∥DD∴BD∥又∵異面直線AC與B1D1所成的角為60°，且AB∴AB=設(shè)AB=根據(jù)題意可得abc=9a2則該長方體的表面積為S=2故答案為：6+123◆類型4體積問題【例題34】（2022春·安徽合肥·高一?？茧A段練習(xí)）已知兩平行平面α、β間的距離為3，點(diǎn)A、B∈α，點(diǎn)C、D∈β，且AB=4,【答案】3【分析】作出異面直線所成的角，再根據(jù)等體積法求四面體的體積即可.【詳解】設(shè)平面ABC與平面β交線為CE，取CE=因?yàn)棣?/β，面ABC與平面