2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破和專(zhuān)題檢測(cè)專(zhuān)題04函數(shù)的概念與性質(zhì)2

專(zhuān)題04函數(shù)的概念與性質(zhì)5題型分類(lèi)1．函數(shù)的概念概念一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)三要素對(duì)應(yīng)關(guān)系y＝f(x)，x∈A定義域x的取值范圍值域與x對(duì)應(yīng)的y的值的集合{f(x)|x∈A}2．函數(shù)的單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D?I，如果?x1，x2∈D當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＜f(x2)，那么就稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，我們就稱(chēng)它是增函數(shù)當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＞f(x2)，那么就稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減，特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，我們就稱(chēng)它是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的3．函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件(1)?x∈I，都有f(x)≤M；(2)?x0∈I，使得f(x0)＝M(1)?x∈I，都有f(x)≥M；(2)?x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M為最大值M為最小值4．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)5．函數(shù)的周期性周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱(chēng)函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱(chēng)T為這個(gè)函數(shù)的周期.（一）函數(shù)的概念與表示1．函數(shù)的三要素（1）函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域．（2）如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)．2．函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法．3．分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示，這種函數(shù)稱(chēng)為分段函數(shù)．4．函數(shù)的定義域（1）無(wú)論抽象函數(shù)的形式如何，已知定義域還是求定義域，均是指其中的x的取值集合．（2）若f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出．（3）若復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在[a，b]上的值域．5．函數(shù)解析式的求法（1）配湊法．（2）待定系數(shù)法．（3）換元法．（4）解方程組法．6．分段函數(shù)求值問(wèn)題的解題思路（1）求函數(shù)值：當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．（2）求自變量的值：先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗(yàn)．題型1：函數(shù)的概念與表示11．（2024高二下·寧夏吳忠·學(xué)業(yè)考試）如圖，可以表示函數(shù)的圖象的是（

）A． B．C． D．12．（2024高三·全國(guó)·課后作業(yè)）下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是（

）．A．，B．，C．，D．，13．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（

）A．6 B．0 C．4 D．614．（2024·北京朝陽(yáng)·二模）函數(shù)的定義域?yàn)?15．（2024高三·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?6．（2024高一上·湖南邵陽(yáng)·期末）已知的定義域?yàn)?，那么a的取值范圍為．17．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域?yàn)椋?8．（2024高三·全國(guó)·課后作業(yè)）函數(shù)的值域?yàn)?19．（2024高一·上海·專(zhuān)題練習(xí)）求下列函數(shù)的值域（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）（9）；（10）.110．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）求下列函數(shù)的解析式：(1)已知，求的解析式；(2)已知，求的解析式；(3)已知是一次函數(shù)且，求的解析式；(4)已知滿足，求的解析式.（二）函數(shù)的單調(diào)性與最值1．函數(shù)的單調(diào)性（1）?x1，x2∈I且x1≠x2，有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)?f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增(減)．（2）在公共定義域內(nèi)，增函數(shù)＋增函數(shù)＝增函數(shù)，減函數(shù)＋減函數(shù)＝減函數(shù)．（3）y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定義域內(nèi)與y＝－f(x)，y＝eq\f(1,fx)的單調(diào)性相反．（4）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減．2．確定函數(shù)單調(diào)性的四種方法（1）定義法．（2）導(dǎo)數(shù)法．（3）圖象法．（4）性質(zhì)法．3．函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用（1）比較函數(shù)值的大小時(shí)，先轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)單調(diào)性解決．（2）求解函數(shù)不等式時(shí)，由條件脫去“f”，轉(zhuǎn)化為自變量間的大小關(guān)系，應(yīng)注意函數(shù)的定義域．（3）利用單調(diào)性求參數(shù)的取值(范圍)．根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程(組)(不等式(組))或先得到其圖象的升降，再結(jié)合圖象求解．對(duì)于分段函數(shù)，要注意銜接點(diǎn)的取值．題型2：函數(shù)的單調(diào)性與最值21．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)，且，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．22．（2024高三上·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則實(shí)數(shù).23．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)為定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且，則在上的值域?yàn)椋?4．（2024高三下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)且，若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則在上的最大值為.25．（2024·天津河西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，對(duì)任意，，且都有成立．若，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．（三）函數(shù)的奇偶性1．函數(shù)的奇偶性（1）奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性．（2）偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．2．函數(shù)奇偶性的判斷（1）定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，否則即為非奇非偶函數(shù)．（2）判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立．3．函數(shù)奇偶性的應(yīng)用（1）利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值．（2）利用函數(shù)的奇偶性可畫(huà)出函數(shù)在其對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問(wèn)題．題型3：函數(shù)的奇偶性31．（2024·廣東湛江·二模）已知奇函數(shù)則．32．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的解析式為．33．（2024·新疆阿勒泰·一模）若函數(shù)為偶函數(shù)，則.34．（2024高三下·江西·階段練習(xí)）若函數(shù)是偶函數(shù)，則．35．（2024高一上·安徽蚌埠·期末）已知定義在上的函數(shù)，滿足：①；②為奇函數(shù)；③，；④任意的，，.（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性.（四）函數(shù)的周期性1．函數(shù)周期性常用結(jié)論（1）若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0)．（2）若f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，則T＝2a(a>0)．2．函數(shù)的周期性（1）求解與函數(shù)的周期有關(guān)的問(wèn)題，應(yīng)根據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期．（2）利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問(wèn)題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進(jìn)而解決問(wèn)題．題型4：函數(shù)的周期性41．（2024高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）在如圖所示的的圖象中，若，則.42．（2024高一上·陜西寶雞·期末）已知是定義在上的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，且當(dāng)時(shí)，，則.43．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）已知是定義在上的偶函數(shù)，并且滿足，當(dāng)時(shí)，，則等于（

）A． B． C． D．44．（2024高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，試求當(dāng)時(shí)，的解析式.（五）函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性1、函數(shù)自身的對(duì)稱(chēng)性(1)函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的充要條件是：，即。推論：函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的充要條件是。(2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的充要條件是：，即。推論：函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的充要條件是。2、不同函數(shù)對(duì)稱(chēng)性(1)函數(shù)與的圖像關(guān)于直線成軸對(duì)稱(chēng)。推論1:函數(shù)與圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)推論2:函數(shù)與圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)推論3:函數(shù)與圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)題型5：函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性51．（2024高三上·湖北武漢·期末）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)在時(shí)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．52．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，恒成立.若存在實(shí)數(shù)，，…，（），使得成立，則n的最大值為（

）A．25 B．26 C．28 D．3153．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的圖象連續(xù)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是，，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．54．（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知定義在R上的函數(shù)滿足：對(duì)任意，都有，且當(dāng)時(shí)，（其中為的導(dǎo)函數(shù)）．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．一、單選題1．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)y=f(x)的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)（

）A．至少1個(gè) B．至多1個(gè) C．僅有1個(gè)D．有0個(gè)、1個(gè)或多個(gè)2．（2024高一上·湖南·期中）下列四組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的一組是（

）A． B．C． D．3．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（

）A．，B．C．，D．，，0，，，，0，4．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)且，則（

）A．16 B．16 C．26 D．275．（2024·四川樂(lè)山·一模）已知，滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．（2024·江西）已知函數(shù)f(x)=(a∈R)，若，則a=（

）A． B． C．1 D．27．（2024·山東）已知函數(shù)的定義域是，若對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，總有成立，則函數(shù)一定是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．增函數(shù) D．減函數(shù)8．（2024高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）若定義在R上的函數(shù)f(x)對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a，b，總有>0成立，則必有（

）A．f(x)在R上是增函數(shù) B．f(x)在R上是減函數(shù)C．函數(shù)f(x)先增后減 D．函數(shù)f(x)先減后增9．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．和C．和 D．和10．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．11．（2024高二下·陜西寶雞·期末）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．12．（2024高三上·山東·階段練習(xí)）若函數(shù)（且）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．13．（2024高一上·四川廣安·期末）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．14．（2024高三上·江西撫州·期末）已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．15．（2024高一上·天津紅橋·期末）已知函數(shù)在上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）．A． B．C．或 D．或16．（2024·北京朝陽(yáng)·一模）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．17．（2024·北京順義·一模）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．18．（2024·北京海淀·二模）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．19．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)．若，則（

）A． B． C．0 D．20．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)與的定義域是，函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，是一個(gè)奇函數(shù)，且，則等于（

）A． B． C． D．21．（2024·寧夏銀川·二模）已知函數(shù)，若，則（

）A． B．0 C．1 D．22．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知在R上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù).若正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．23．（2024高三·重慶渝中·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間的最大值是M，最小值是m，則的值等于(

)A．0 B．10 C． D．24．（2024高一下·福建福州·期中）已知函數(shù)，若，則（

）A．等于 B．等于 C．等于 D．無(wú)法確定25．（2024高一上·山西長(zhǎng)治·階段練習(xí)）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，，若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．26．（2024·全國(guó)·一模）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，.設(shè)在上的最大值為（），且數(shù)列的前項(xiàng)的和為.若對(duì)于任意正整數(shù)不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．27．（2024·四川內(nèi)江·二模）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．28．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)定義域?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．為奇函數(shù)C．在上是減函數(shù) D．方程僅有6個(gè)實(shí)數(shù)解29．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，對(duì)任意，且，有，若，則不等式的解集是（

）A．B．C． D．30．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為偶函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．31．（2024·北京西城·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．32．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測(cè)）已知是定義在上的奇函數(shù)，，且在上單調(diào)遞增，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．33．（2024·安徽黃山·二模）已知函數(shù)，則使不等式成立的的取值范圍是（

）A． B．C． D．34．（2024·河北唐山·一模）已知函數(shù),則不等式的解集為（

）A． B．C． D．35．（2024高二下·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B．C．∪ D．∪二、多選題36．（2024高一上·甘肅慶陽(yáng)·期中）已知函數(shù)在區(qū)間上是偶函數(shù)，在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，且，則（）A． B．C． D．37．（2024高一上·浙江杭州·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域都為R，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)38．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，的定義域均為，導(dǎo)函數(shù)分別為，，若，，且，則（

）A．4為函數(shù)的一個(gè)周期 B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C． D．39．（2024·山東濱州·二模）函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且滿足，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B．8是的一個(gè)周期C．一定存在零點(diǎn) D．40．（2024高二下·江蘇南通·期末）已知函數(shù)對(duì)任意都有，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且對(duì)任意的，，且，都有，則下列結(jié)論正確的是（

）．A．是偶函數(shù) B．的周期C． D．在單調(diào)遞減三、填空題41．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若，則.42．（2024高一下·湖北省直轄縣級(jí)單位·期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋?3．（2024高三上·海南·階段練習(xí)）已知正數(shù)a，b滿足，則函數(shù)的定義域?yàn)?44．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)?5．（2024高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?46．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?7．（2024高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?8．（2024高一上·安徽合肥·期中）若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．49．（2024高一上·江蘇南通·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.50．（2024高一上·黑龍江佳木斯·階段練習(xí)）若函數(shù)的定義域是R，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.51．（2024高三·廣東深圳·階段練習(xí)）寫(xiě)出一個(gè)滿足：的函數(shù)解析式為.52．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知定義在上的單調(diào)函數(shù)，若對(duì)任意都有，則方程的解集為．53．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的值