高二數學講義（人教A版2019）44數學歸納法（七大題型）

4．4數學歸納法目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導圖】 2【知識點梳理】 2【典型例題】 4題型一：對數學歸納法的理解 4題型二：數學歸納法中的增項問題 6題型三：證明恒等式 9題型四：證明不等式 12題型五：歸納—猜想—證明 14題型六：用數學歸納法證明整除性問題 19題型七：用數學歸納法證明幾何問題 22

【題型歸納目錄】【思維導圖】【知識點梳理】知識點一、數學歸納法的原理1、數學歸納法定義：對于某些與自然數有關的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當取第一個值時命題成立；然后假設當（，）時命題成立，證明當時命題也成立這種證明方法就叫做數學歸納法知識點詮釋：即先驗證使結論有意義的最小的正整數，如果當時，命題成立，再假設當（，）時，命題成立．（這時命題是否成立不是確定的），根據這個假設，如能推出當時，命題也成立，那么就可以遞推出對所有不小于的正整數，，…，命題都成立．2、數學歸納法的原理：數學歸納法是專門證明與正整數集有關的命題的一種方法，它是一種完全歸納法．它的證明共分兩步：①證明了第一步，就獲得了遞推的基礎．但僅靠這一步還不能說明結論的普遍性．在第一步中，考察結論成立的最小正整數就足夠了，沒有必要再考察幾個正整數，即使命題對這幾個正整數都成立，也不能保證命題對其他正整數也成立；②證明了第二步，就獲得了遞推的依據．但沒有第一步就失去了遞推的基礎．只有把第一步和第二步結合在一起，才能獲得普遍性的結論．其中第一步是命題成立的基礎，稱為“歸納基礎”（或稱特殊性），第二步是遞推的證據，解決的是延續(xù)性問題（又稱傳遞性問題）．3、數學歸納法的功能和適用范圍（1）數學歸納法具有證明的功能，它將無窮的歸納過程根據歸納公理轉化為有限的特殊演繹（直接驗證和演繹推理相結合）過程．（2）數學歸納法一般被用于證明某些與正整數（取無限多個值）有關的數學命題．但是，并不能簡單地說所有與正整數有關的數學命題都可使用數學歸納法證明．知識點二、運用數學歸納法的步驟與技巧1、用數學歸納法證明一個與正整數有關的命題的步驟：（1）證明：當取第一個值結論正確；（2）假設當（，）時結論正確，證明當時結論也正確由（1），（2）可知，命題對于從開始的所有正整數都正確2、用數學歸納法證題的注意事項（1）弄錯起始．不一定恒為1，也可能或3（即起點問題）．（2）對項數估算錯誤．特別是當尋找與的關系時，項數的變化易出現錯誤（即跨度問題）．（3）沒有利用歸納假設．歸納假設是必須要用的，假設是起橋梁作用的，橋梁斷了就過不去了，整個證明過程也就不正確了（即偽證問題）．（4）關鍵步驟含糊不清．“假設時結論成立，利用此假設證明時結論也成立”是數學歸納法的關鍵一步，也是證明問題最重要的環(huán)節(jié)，推導的過程中要把步驟寫完整，另外要注意證明過程的嚴謹性、規(guī)范性（即規(guī)范問題）．3、用數學歸納法證題的關鍵：運用數學歸納法由到的證明是證明的難點，突破難點的關鍵是掌握由到的推證方法．在運用歸納假設時，應分析由到的差異與聯系，利用拆、添、并、放、縮等手段，或從歸納假設出發(fā)，或從時分離出時的式子，再進行局部調整；也可以考慮二者的結合點，以便順利過渡．知識點三、用數學歸納法證題的類型：1、用數學歸納法證明與正整數有關的恒等式；對于證明恒等的問題，在由證等式也成立時，應及時把結論和推導過程對比，也就是我們通常所說的兩邊湊的方法，以減小計算的復雜程度，從而發(fā)現所要證明的式子，使問題的證明有目的性．2、用數學歸納法證明與正整數有關的整除性問題；用數學歸納法證明整除問題時，由到時，首先要從要證的式子中拼湊出假設成立的式子，然后證明剩余的式子也能被某式（數）整除，這是數學歸納法證明問題的一大技巧．3、用數學歸納法證明與正整數有關的幾何問題；數學歸納法在高考試題中常與數列、平面幾何、解析幾何等知識相結合來考查，對于此類問題解決的關鍵往往在于抓住對問題的所劃分標準，例如在平面幾何中要抓住線段、平面、空間的個數與交點、交線間的關系等．4、用數學歸納法證明與正整數有關的不等式．用數學歸納法證明一些與有關的不等式時，推導“”時成立，有時要進行一些簡單的放縮，有時還要用到一些其他的證明不等式的方法，如比較法、綜合法、分析法、反證法等等．5、用數學歸納法證明與數列有關的命題．由有限個特殊事例進行歸納、猜想，從而得出一般性的結論，然后加以證明是科學研究的重要思想方法．在研究與正整數有關的數學命題中，此思想方法尤其重要．【典型例題】題型一：對數學歸納法的理解【典例11】用數學歸納法證明：，在驗證成立時，左邊所得的代數式是（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】當時，，所以左邊為.故選：C.【典例12】（2024·高二·上海·隨堂練習）用數學歸納法證明等式時，第一步驗證時，左邊應取的項是（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】由數學歸納法的證明步驟可知：當時，等式的左邊是.故選：D．【方法技巧與總結】即先驗證使結論有意義的最小的正整數，如果當時，命題成立，再假設當（，）時，命題成立．（這時命題是否成立不是確定的），根據這個假設，如能推出當時，命題也成立，那么就可以遞推出對所有不小于的正整數，，…，命題都成立．【變式11】已知n為正偶數，用數學歸納法證明時，若已假設（，k為偶數）時命題為真，則還需要再證（

）A．時等式成立 B．時等式成立C．時等式成立 D．時等式成立【答案】B【解析】由數學歸納法的證明步驟可知，假設（，k為偶數）時命題為真，還需要再證明下一個偶數，即時等式成立.故選：B【變式12】（2024·高二·上?！て谀┈F有命題：，用數學歸納法探究此命題的真假情況，下列說法正確的是（

）A．不能用數學歸納法判斷此命題的真假B．此命題一定為真命題C．此命題加上條件后才是真命題，否則為假命題D．存在一個無限大的常數，當時，此命題為假命題【答案】B【解析】①當時，左邊，右邊，左邊右邊，即時，等式成立；②假設時，等式成立，即，則當時，，即當時，等式成立．綜上，對任意，等式恒成立，所以ACD錯誤.故選：B．【變式13】（2024·高二·遼寧沈陽·期中）平面上個圓最多把平面分成個區(qū)域，通過歸納推理猜測的表達式，再利用數學歸納法證明.用數學歸納法證明的過程中，當時，需證（

）.A． B． C． D．【答案】D【解析】1個圓分把平面分成個區(qū)域，個圓把平面最多分成個區(qū)域，個圓把平面最多分成個區(qū)域，依此類推，可得個圓最多把平面分成個區(qū)域，歸納得，假設當時，即，則當時，.故選：D.【變式14】（2024·高二·上海寶山·階段練習）已知，則共有（

）A．1項 B．項 C．項 D．項【答案】D【解析】由可得，，故的表達式中共有項數為.故選：D.題型二：數學歸納法中的增項問題【典例21】（2024·高二·陜西榆林·階段練習）利用數學歸納法證明不等式的過程中，由到時，左邊增加了（

）A．項 B．項 C．k項 D．1項【答案】B【解析】當時，不等式左邊為，當時，不等式左邊為，故增加的項數為：.故選：B.【典例22】（2024·高二·上海·期中）用數學歸納法證明，由到時，不等式左邊應添加的項是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】當時，左邊的代數式為，當時，左邊的代數式為，故用時左邊的代數式減去時左邊的代數式的結果為：故選：D．【方法技巧與總結】在利用歸納假設論證時等式也成立時，應注意分析和時兩個等式的差別．【變式21】（2024·高二·上海青浦·階段練習）利用數學歸納法證明不等式（，且）的過程，由到時，左邊增加了（

）A．項 B．項C．項 D．k項【答案】B【解析】當時，不等式左邊為，當時，不等式左邊為，增加的項為，共有項.故選：B【變式22】（2024·高二·上?！るS堂練習）用數學歸納法證明：，時，在第二步證明從到成立時，左邊增加的項數是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】從到成立時，左邊增加的項為，，…，，因此增加的項數是.故選：A．【變式23】（2024·高二·遼寧·階段練習）利用數學歸納法證明不等式的過程中，由變到時，左邊增加了（

）A．1項 B．項 C．項 D．項【答案】D【解析】由題意，不等式的左邊中分子都為1，分母是從1開始到，故共有項，又由變到時，左邊由項增加到項，從而左邊增加了項.故選：D.【變式24】（2024·高二·遼寧大連·期中）用數學歸納法證明“”的過程中，從到時，左邊增加的項數為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】時，可得：時，可得：，故增加了項.故選：A【變式25】（2024·高二·河南南陽·專題練習）用數學歸納法證明：時，從到，等式的左邊需要增乘的代數式是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】從到，等式的左邊需要增乘的代數式是.故選：D.題型三：證明恒等式【典例31】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）用數學歸納法證明：對任意的正整數．【解析】當時，左邊右邊；假設時，原等式成立，則時，等式左邊，因此時原等式也成立．綜上，都有．【典例32】（2024·高二·上?！て谥校┮阎炔顢盗械氖醉棡?，公差為，前項和為.若，用數學歸納法證明：.【解析】等差數列中，，，當時，，，原等式成立；假設當時，原等式成立，即，，則，即當時，原等式成立，所以對一切，等式成立.【方法技巧與總結】用數學歸納法證明等式的策略應用數學歸納法證明等式時需要確定兩個式子的結構，即：（1）時，等式的結構．（2）到時，兩個式子的結構：時的代數式比時的代數式增加（或減少）的項．這時一定要弄清三點：①代數式從哪一項（哪一個數）開始，即第一項．②代數式相鄰兩項之間的變化規(guī)律．③代數式中最后一項（最后一個數）與的關系．【變式31】（2024·高二·江蘇·專題練習）有下列命題：；使用數學歸納法證明【解析】當時，左邊，右邊，則原等式成立；假設當時，原不等式成立，即成立，則當時，，即當時原等式成立，所以對于任意成立.【變式32】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）用數學歸納法證明：．【解析】證明：當時，等式顯然成立，假設當時，等式成立，，則當時，，這說明當時，等式成立，因此，對任意的，.【變式33】（2024·高二·上?！ふn后作業(yè)）是否存在常數、、，使等式對任何正整數都成立？證明你的結論．【解析】假設存在，使得所給等式成立．令代入等式得解得以下用數學歸納法證明等式對一切正整數都成立．①當時，由以上可知等式成立；②假設當時等式成立，即，當時，．即時等式成立．由①②知等式對于一切正整數都成立．故存在，使等式對一切正整數都成立.【變式34】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）用數學歸納法證明以下恒等式：(1)；(2).【解析】（1）①當時，左邊，右邊，左邊與右邊相等，即時等式成立；②假設當時，等式成立，即，則當時，左邊右邊，即當時，等式也成立；綜上所述，由①②可知，對于任意正整數，成立.（2）①當時，左邊，右邊，左邊與右邊相等，即時等式成立；②假設當時，等式成立，即，則當時，左邊右邊，即當時，等式也成立；綜上所述，由①②可知，對于任意正整數，成立.題型四：證明不等式【典例41】（2024·高三·全國·專題練習）證明∶不等式成立.【解析】①當時，左邊右邊，∴不等式成立.②假設當時不等式成立，即.③當時，左邊，∴當時，不等式也成立.綜上可得，原不等式恒成立.【典例42】（2024·高三·全國·專題練習）設，其中n為正整數．(1)求，，的值；(2)猜想滿足不等式的正整數n的范圍，并用數學歸納法證明你的猜想．【解析】（1），，．（2）猜想：時，，證明：①當時，成立，②假設當時，猜想正確，即，∴，，，即成立，由①②可知，對于時，成立．【方法技巧與總結】用數學歸納法證明不等式的四個關鍵（1）驗證第一個的值時，要注意不一定為1，若（k為正整數），則．（2）證明不等式的第二步中，從到的推導過程中，一定要用歸納假設，不應用歸納假設的證明不是數學歸納法，因為缺少歸納假設．（3）用數學歸納法證明與有關的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進行證明；二是給出兩個式子，按要求比較它們的大?。畬Φ诙愋问酵葘θ∏皞€值的情況分別驗證比較，以免出現判斷失誤，最后猜出從某個值開始都成立的結論，常用數學歸納法證明．（4）用數學歸納法證明不等式的關鍵是由時成立，得時成立，主要方法有比較法、放縮法等．【變式41】（2024·高二·廣西玉林·期中）用數學歸納法證明不等式：．【解析】證明：①當時，左邊，時成立②假設當時成立，即那么當時，左邊∴時也成立根據①②可得不等式對所有的n>1都成立．【變式42】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）用數學歸納法證明：對于任意的，，不等式恒成立．【解析】等價于．當時，結論顯然成立．當時，轉化為證明．用數學歸納法證明如下：①當時，結論顯然成立．②假設當時，結論成立，即．則當時，，故當時，結論成立．由①②，知當時，．綜上所述，對任意的，，，即恒成立．題型五：歸納—猜想—證明【典例51】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知數列的首項，且，試猜想出這個數列的通項公式，并用數學歸納法證明．【解析】，，，，…，猜想：．證明如下：（1）當時，，猜想成立；（2）假設當時，猜想成立，即，則當時，，所以當時，猜想也成立．綜合（1）（2），可知猜想對于任意都成立．【典例52】（2024·高二·陜西渭南·期中）在數列中，，(1)求，，；(2)猜想數列的通項公式，并用數學歸納法證明你的結論.【解析】（1），，；（2）猜想數列的通項公式為，下面用數學歸納法證明此結論正確．證明：①當時，左邊，右邊，結論成立，②假設當時，結論成立，即，那么，也就是說，當時結論成立，根據①和②可知，結論對任意正整數都成立，即.【方法技巧與總結】（1）利用數學歸納法可以探索與正整數n有關的未知問題、存在性問題，其基本模式是“歸納—猜想—證明”．（2）“歸納—猜想—證明”的基本步驟是“試驗—歸納—猜想—證明”．高中階段與數列結合的問題是最常見的問題．這種方法更適用于已知數列的遞推公式求通項公式．【變式51】（2024·高二·上?！るS堂練習）設數列的前n項和為，，對任意，都有成立．(1)求，，的值；(2)猜想的表達式并用數學歸納法證明．【解析】（1），，令，則；令，；令，；（2）猜想，①當時，滿足上式；②假設時，上式成立，即，則當時，，顯然，猜想成立，所以．【變式52】（2024·高二·上海·期末）已知點，滿足，，且點的坐標為．(1)求過點、的直線的方程；(2)試用數學歸納法證明：對于任意，，點都在（1）中的直線上；(3)試求數列、的通項公式．【解析】（1）由的坐標為知，，．所以，．所以點的坐標為，，所以直線的斜率為，直線方程為，即．（2）證明：①當時，成立．②假設，時，成立，則，當時，命題也成立．由①②知，對，都有，即點在直線上．（3）由（2）知，，所以，所以，因為，，，，，猜想，；用數學歸納法證明如下：因為時，，假設時成立，即，則時，，所以時也成立，所以對于任意都成立，即．所以．【變式53】（2024·高二·四川成都·期中）數列滿足，（）．(1)計算，，猜想數列的通項公式并證明；(2)求數列的前n項和；【解析】（1），.猜測，下面用數學歸納法證明：當時，由知結論成立；假設結論對成立，即，則，故結論對成立.綜上，有成立.（2）設數列的前項和為，則.所以.故.【變式54】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知正項數列的前項和為，滿足．(1)求出數列的前三項；(2)根據數列的前三項猜想出其一個通項公式，并用數學歸納法證明．【解析】（1）當時，由已知條件可得，即，解得；當時，由已知條件可得，將代入得，解得；當時，由已知條件可得，同理解得．（2）由（1）可以猜想，時，等式成立；假設當時，等式也成立，即，又因為，將代入上式解得，所以時命題成立．綜合可得，當時，．【變式55】（2024·高二·上?！るA段練習）已知數列的每一項均為正數，記的前項和為，，嘗試通過計算數列的前四項，猜想數列的通項公式，并用數學歸納法加以證明．【解析】因，當時，由可得，因，故；當時，，即，即，故；當時，即，即，故；當時，，即，即，故.由，，，，可猜測.證明如下：當時，猜想成立；設當（）時，猜想成立，即；則當時，依題意，①，②由①②，可得，，即，即，因，故得，即猜想也成立.綜上，由數學歸納法就可以斷定對任何正整數都成立，這就是該數列的通項公式．題型六：用數學歸納法證明整除性問題【典例61】（2024·高二·全國·隨堂練習）設，用數學歸納法證明：是64的倍數．【解析】（1）當時，能被64整除，命題成立．（2）假設當時，能夠被64整除．當時，，能夠被64整除，能夠被64整除．即當時，命題也成立．由（1）（2）可知，能被64整除，即是64的倍數．【典例62】（2024·高二·全國·隨堂練習）用數學歸納法證明：能被整除（）【解析】當時，，故能被整除，假設當時，結論成立，即能被整除，則當時，，由于和均能被整除，故能被整除，綜上：能被整除（）.【方法技巧與總結】用數學歸納法證明整除問題時，關鍵是把時的式子分成兩部分，其中一部分應用歸納假設，另一部分經過變形處理，確定其能被某數（某式）整除．【變式61】（2024·高三·全國·專題練習）求證：對任何正整數n，數都能被8整除【解析】證明:1°當n=1時，，命題成立．2°假設n=k時，能被8整除，則當n=k+1時，,因為是8的倍數，而也是8的倍數，所以Ak+1也是8的倍數，即n=k+1時，命題也成立由以上1°、2°可知，對一切正整數n，能被8整除．【變式62】設，．(1)當時，計算的值；(2)你對的值有何猜想？用數學歸納法證明你的猜想．【解析】（1）由，，得；；；．（2）由（1）猜想：當時，能被8整除．①當時，有，能被8整除，命題成立；②假設當時命題成立，即能被8整除，則當時，，顯然和均為奇數，它們的和必為偶數，從而能被8整除，又依歸納假設，能被8整除，所以能被8整除，因此當時命題也成立，由①②知，當時，能被8整除.【變式63】（2024·高三·全國·對口高考）是否存在正整數使得對任意正整數都能被整除，若存在，求出最大的的值，并證明你的結論．若不存在說明理由．【解析】，，所以，、的最大公約數為，猜想：對任意的，能被整除，當時，猜想顯然成立；假設當，猜想成立，即能別整除，即存在，使得，則當時，，因為為奇數，則為偶數，則能被整除，所以，能被整除，這說明當時，猜想也成立，故對任意的，對任意正整數都能被整除，且.故的最大值為.【變式64】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）證明：能夠被6整除．【解析】⑴當時，，顯然能夠被6整除，命題成立；⑵假設當時，命題成立，即能夠被6整除，當時，，由假設知：能夠被6整除，而為偶數，故能夠被6整除，故能夠被6整除，即當時，命題成立，由⑴⑵可知，命題對一切正整數成立，即能夠被6整除．【變式65】（2024·高三·上?！ｎ}練習）求證：當，且時，能被整除.【解析】證明：當時，原式為，顯然能被整除，假設當時能被整除，設上式除以所得的商為，則因而，當時命題成立，當，且時，能被整除．題型七：用數學歸納法證明幾何問題【典例71】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）平面上有個點，其中任何三點都不在同一條直線上．過這些點中任意兩點作直線，這樣的直線共有多少條？證明你的結論．【解析】當時，過任意兩個點作直線，共有3條；當時，設四個點為，過三點中的任意2點的直線有三條，過三點中的任意1點與D點相連的直線有3條，即共有條；當時，設五個點為，同上，過中的任意2點的直線有6條，過中的任意1點與的連線共有4條，即共有條；假設當，過k個點（任意三點不共線）中任意2點作直線，共有條；當時，共有k+1個點（任意三點不共線），過k個點中任意2個作直線，共有條；過這k個點中的任一個點與相連的直線共有k條，因此，過這k+1個點中的任意2個點作直線，共有，所以當時，假設成立；綜上，有個點，其中任何三點都不在同一條直線上．過這些點中任意兩點作直線，這樣的直線共有條.【典例72】（2024·高二·吉林·期末）已知點滿足，，且點的坐標為.（1）求過點的直線的方程；（2）試用數學歸納法證明：對于，點都在（1）中的直線上.【解析】(1)由P1的坐標為(1,?1)知：a1=1，b1=?1.∴,a2=a1?b2=.∴點P2的坐標為.∴直線l的方程為2x+y1=0.(2)要證明原問題成立只需證明點都滿足即可.①當n=1時，2a1+b1=2×1+(?1)=1，成立.②假設n=k(,k?1)時，2ak+bk=1成立，即成立，則2ak+1+bk+1=2ak?bk+1+bk+1，∴當n=k+1時，命題也成立.由①②知，對n∈N?，都有2an+an=