2020-2022年北京市初三一模數(shù)學(xué)試題匯編：相似三角形

第1頁(yè)/共1頁(yè)2020-2022北京初三一模數(shù)學(xué)匯編相似三角形一、單選題1．（2022·北京西城·一模）△ABC和△DEF是兩個(gè)等邊三角形，AB=2，DE=4，則△ABC與△DEF的面積比是（

）A． B． C． D．2．（2021·北京東城·一模）一個(gè)直角三角形木架的兩條直角邊的邊長(zhǎng)分別是，．現(xiàn)要做一個(gè)與其相似的三角形木架，如果以長(zhǎng)的木條為其中一邊，那么另兩邊中長(zhǎng)度最大的一邊最多可達(dá)到（

）A． B． C． D．3．（2020·北京·一模）如圖，矩形ABCD中，BC＝2AB，點(diǎn)E在邊AD上，EF⊥BD于點(diǎn)F．若EF＝1，則DE的長(zhǎng)為（

）A． B． C．2 D．34．（2020·北京西城·一模）如圖，在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課上，小明同學(xué)打算通過(guò)測(cè)量樹(shù)的影長(zhǎng)計(jì)算樹(shù)的高度，陽(yáng)光下他測(cè)得長(zhǎng)1m的竹竿落在地面上的影長(zhǎng)為0.9m，在同一時(shí)刻測(cè)量樹(shù)的影長(zhǎng)時(shí)，他發(fā)現(xiàn)樹(shù)的影子有一部分落在地面上，還有一部分落在墻面上，他測(cè)得這棵樹(shù)落在地面上的影長(zhǎng)BD為2.7m，落在墻面上的影長(zhǎng)CD為1.0m，則這棵樹(shù)的高度是（

）A．6.0m B．5.0m C．4.0m D．3.0m二、填空題5．（2022·北京朝陽(yáng)·一模）如圖，在中，，點(diǎn)D在上（不與點(diǎn)A，C重合），只需添加一個(gè)條件即可證明和相似，這個(gè)條件可以是____________（寫(xiě)出一個(gè)即可）．6．（2022·北京通州·一模）如圖，在△ABC中點(diǎn)D在AB上（不與點(diǎn)A，B重合），連接CD．只需添加一個(gè)條件即可證明△ACD與△ABC相似，這個(gè)條件可以是______（寫(xiě)出一個(gè)即可）．7．（2021·北京朝陽(yáng)·一模）如圖，中，，點(diǎn)D是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)不重合），若再增加一個(gè)條件，就能使與相似，則這個(gè)條件可以是____（寫(xiě)出一個(gè)即可）．8．（2020·北京·一模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，DE∥BC，若AD=1，AB=4，則_____．9．（2020·北京平谷·一模）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，點(diǎn)E、F是BC的三等分點(diǎn)，連接AF，DE，相交于點(diǎn)M，則線段ME的長(zhǎng)為_(kāi)____．10．（2020·北京海淀·一模）如圖，在?ABCD中，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E，使DE=DC，連接BE與AC于點(diǎn)F，則的值是_____．11．（2020·北京石景山·一模）如圖，身高1.8米的小石從一盞路燈下B處向前走了8米到達(dá)點(diǎn)C處時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己在地面上的影子CE長(zhǎng)是2米，則路燈的高AB為_(kāi)____米．12．（2020·北京·一模）如圖(1)，將一個(gè)正六邊形各邊延長(zhǎng)，構(gòu)成一個(gè)正六角星形AFBDCE，它的面積為1，取△ABC和△DEF各邊中點(diǎn)，連接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如圖(2)中陰影部分；取△A1B1C1和1D1E1F1各邊中點(diǎn)，連接成正六角星形A2F2B2D2C2E2F2，如圖(3)中陰影部分；如此下去…，則正六角星形AnFnBnDnCnEnFn的面積為_(kāi)______.

13．（2020·北京延慶·一模）如圖，小明在A時(shí)測(cè)得某樹(shù)的影長(zhǎng)為3米，B時(shí)又測(cè)得該樹(shù)的影長(zhǎng)為12米，若兩次日照的光線互相垂直，則樹(shù)的高度為_(kāi)________米.三、解答題14．（2021·北京海淀·一模）如圖，四邊形是矩形，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，．（1）求證：；（2）F為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，滿足，連接交于點(diǎn)G．若，求的長(zhǎng)．15．（2020·北京大興·一模）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC，AB＝10，CD＝4，DM⊥AB于點(diǎn)M．連接BD并延長(zhǎng)到E，使DE＝BD，作EF⊥AB，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求MB的長(zhǎng)；（2）求AF的長(zhǎng)．16．（2020·北京順義·一模）已知，如圖，△ABC是等邊三角形．（1）如圖1，將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到AD，連接BD，∠BAC的平分線交BD于點(diǎn)E，連接CE．①求∠AED的度數(shù)；②用等式表示線段AE、CE、BD之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫(xiě)出結(jié)果）．（2）如圖2，將線段AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到AD，連接BD，∠BAC的平分線交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接CE．①依題意補(bǔ)全圖2；②用等式表示線段AE、CE、BD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

參考答案1．B【分析】所有的等邊三角形都相似，且相似比等于其邊長(zhǎng)比，再利用兩個(gè)相似三角的面積之比等于其相似比的平方，即可求解．【詳解】∵△ABC和△DEF是兩個(gè)等邊三角形，∴，且有相似比為：，又∵兩個(gè)相似三角的面積比等于其相似比的平方，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的基本性質(zhì)，利用兩個(gè)相似三角的面積比等于其相似比的平方是解答本題關(guān)鍵．2．C【分析】根據(jù)勾股定理求出斜邊的長(zhǎng)，以長(zhǎng)的木條為直角邊，設(shè)相似的三角形中斜邊長(zhǎng)為，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等列分式方程，解方程即可得到答案．【詳解】∵直角三角形兩條直角邊分別是，，∴斜邊，∵要做一個(gè)與其相似的三角形木架，∴兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，∵直角三角形中斜邊最大，∴以長(zhǎng)的木條為直角邊，設(shè)相似的三角形中斜邊長(zhǎng)為，則有2種情況，①，解得：，②，解得：，∴另兩邊中長(zhǎng)度最大的一邊最多可達(dá)到，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)及勾股定理，利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．3．B【分析】設(shè)AB＝x則BC＝2x，根據(jù)矩形ABCD中，，可得BD的長(zhǎng)，證明，對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出DE的長(zhǎng)．【詳解】設(shè)AB＝x，則BC＝2x∵矩形ABCD中，∴∵∴∵∴∴，即∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．C【分析】根據(jù)在同一時(shí)刻物高和影長(zhǎng)比值相同，即在同一時(shí)刻的兩個(gè)物體，影子，經(jīng)過(guò)物體頂部的太陽(yáng)光線三者構(gòu)成的兩個(gè)直角三角形相似進(jìn)而解答即可．【詳解】解：延長(zhǎng)AC交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，根據(jù)物高與影長(zhǎng)成正比得：，∵CD=1，∴解得：DE=0.9，則BE=2.7+0.9=3.6米，∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴，即，解得：AB=4，即樹(shù)AB的高度為4米，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是作出輔助線得到AB的影長(zhǎng)．5．∠A=∠CBD或∠ABC=∠BDC或或BC2=AC·DC（答案不唯一）【分析】相似三角形的判定定理：①兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似；②兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．據(jù)此解答即可．【詳解】解：∵∠C=∠C∴添加∠A=∠CBD或∠ABC=∠BDC或或BC2=AC·DC．故答案為：∠A=∠CBD或∠ABC=∠BDC或或BC2=AC·DC（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】此題考查了補(bǔ)充條件使兩個(gè)三角形相似．解題的關(guān)鍵是熟知相似三角形的判定定理，特別注意用對(duì)應(yīng)邊成比例和一個(gè)角相等判定三角形相似的時(shí)候，其中相等的角一定要是這兩條邊的夾角．6．∠ACD=∠B（答案不唯一，或∠ADC=∠ACB或均可）【分析】根據(jù)相似三角形的判定條件解答即可．【詳解】解：∵∠A=∠A∴添加∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或．故答案是：∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定．兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩個(gè)三角形相似；兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似．7．答案不唯一，如：【分析】根據(jù)題目特點(diǎn)，結(jié)合三角形相似的判定定理，添加合適的條件即可．【詳解】∵∠DBA=∠CBA，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例及其夾角相等的兩個(gè)三角形相似，∴添加的條件是DB：BA=AB：BC；∵∠DBA=∠CBA，根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)相等相等的兩個(gè)三角形相似，∴添加的條件是；故答案為：DB：BA=AB：BC或．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定定理，熟練掌握三角形相似的判定定理是解題的關(guān)鍵．8．【分析】證明△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．【詳解】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．9．【分析】根據(jù)勾股定理即可得到DE的長(zhǎng)，再根據(jù)△ADM∽△FEM，即可得到ME的長(zhǎng)．【詳解】解：∵矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，點(diǎn)E、F是BC的三等分點(diǎn)，∴CE＝4，CD＝3，EF＝2，AD＝6，∴Rt△CDE中，DE＝＝5，∵AD∥EF，∴△ADM∽△FEM，∴＝，即＝，∴EM＝DE＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．10．【分析】在?ABCD中，AB∥CD，AB=CD，根據(jù)DE=DC，可得AB=CD=DE=CE，再由AB∥CD，可得△ABF∽△CEF，對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得結(jié)論．【詳解】解：在?ABCD中，AB∥CD，AB=CD，∵DE=DC，∴AB=CD=DE=CE，∵AB∥CD，∴△ABF∽△CEF，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握并運(yùn)用了相似三角形的判定與性質(zhì)．11．9【分析】根據(jù)CD∥AB，得出△ECD∽△EBA，進(jìn)而得出比例式求出即可．【詳解】解：由題意知，CE＝2米，CD＝1.8米，BC＝8米，CDAB，則BE＝BC+CE＝10米，∵CDAB，∴△ECD∽△EBA∴＝，即＝，解得AB＝9（米），即路燈的高AB為9米；故答案為：9．【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，得出△ECD∽△EBA是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．12．【分析】先分別求出第一個(gè)正六角星形AFBDCE與第二個(gè)邊長(zhǎng)之比，再根據(jù)相似多邊形的面積比等于相似比的平方，找到規(guī)律即可解答.【詳解】∵A1，F(xiàn)1，B1，D1，C1，E1，分別是△ABC和△DEF各邊中點(diǎn)，∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1，且相似比為2:1∵正六角星形AFBDCE的面積為1，∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面積為同理可知，第二個(gè)六角星形的面積為第三個(gè)六角星形的面積為∴第n個(gè)六角星形的面積為【點(diǎn)睛】此題主要考查相似多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知相似多邊形的面積比等于相似比的平方.13．6【分析】根據(jù)題意，畫(huà)出示意圖，易得：Rt△EDC∽R(shí)t△FDC，進(jìn)而可得；即DC2=ED?FD，代入數(shù)據(jù)可得答案．【詳解】根據(jù)題意，作△EFC，樹(shù)高為CD，且∠ECF=90°，ED=3，F(xiàn)D=12，易得：Rt△EDC∽R(shí)t△DCF，有，即DC2=ED×FD，代入數(shù)據(jù)可得DC2=36，DC=6，故答案為6．14．（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）由矩形的性質(zhì)和垂直的定義，得到，，即可得到結(jié)論成立；（2）由相似三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，求出，，再證明，再利用相似三角形的性質(zhì)，即可求出的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．（2）解：∵由（1），∴．∵矩形中，，∴．∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴，即．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，以及垂直的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的進(jìn)行解題．15．（1）MB＝7；（2）AF＝4．【分析】（1）作CN⊥AB于點(diǎn)N，然后即可證明四邊形DMNC是矩形和△DMA≌△CNB，然后即可得到BM的長(zhǎng)；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果和三角形相似的知識(shí)，可以得到BF的長(zhǎng)，然后根據(jù)AB=10，即可得到AF的長(zhǎng)．【詳解】（1）作CN⊥AB于點(diǎn)N，∵AB∥CD，DM⊥AB，CN⊥AB，∴∠DMN＝∠MNC＝∠MDC＝90°，∴四邊形DMNC是矩形，∴DM＝CN，DC＝MN，在Rt△DMA和Rt△CNB中，，∴Rt△DMA≌Rt△CNB（HL），∴AM＝BN，∵AB＝10，CD＝4，∴AM＝BN＝3，MN＝4，∴MB＝MN+BN＝7；（2）∵DM⊥AB，EF⊥AB，∴DM∥EF，∴△BDM∽△BEF，∴，∵點(diǎn)D為BE的中點(diǎn)，∴BD＝BE，∴＝，∴＝，∵BM＝7，∴BF＝14，∵AB＝10，∴AF＝BF﹣AB＝14﹣10＝4．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．16．（1）①45°，②；（2）①見(jiàn)解析，②，證明見(jiàn)解析【分析】（1）①證明∠AED＝∠D＝15°，∠BAE＝30°，再利用三角形的外角的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．②結(jié)論：．作CK⊥BC交BD于K，連接CD．證明BE＝EK，DK＝AE即可解決問(wèn)題．（2）①根據(jù)要求畫(huà)出圖形即可．②結(jié)論：．過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AE，交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F（如圖3），利用全等三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．【詳解】（1）解：①如圖1中，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝30°，由旋轉(zhuǎn)可知：AD＝AC，∠CAD＝90°．∴AB＝AD，∠BAD＝150°，∴∠ABD＝∠D＝15°，∴∠AED＝∠ABD+∠BAE＝45°．②結(jié)論：．理由：作CK⊥BC交BD于K，連接CD．∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，∴△AEB≌△AEC（SAS），∴BE＝EC，∠A