2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：平面直角坐標(biāo)系與函數(shù)復(fù)習(xí)講義

第二章平面直角坐標(biāo)系與函數(shù)復(fù)習(xí)講義

直角坐標(biāo)系的引入是數(shù)學(xué)實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的結(jié)合進(jìn)行“量化”的基礎(chǔ).中考中的選擇、填空的壓軸題對(duì)它的考查，往

往通過基于平面直角坐標(biāo)系的圖形變換規(guī)律、函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象信息、特定函數(shù)的最值問題體現(xiàn)，一

般由“閱讀”與“問題”兩部分構(gòu)成.它往往在“閱讀”部分提供一個(gè)信息，內(nèi)容多為再現(xiàn)一種圖形變換（或操作），或一個(gè)

函數(shù)圖象或過程，或給出一種新穎的解題方法等.解題時(shí)需先深入理解其內(nèi)容、過程、方法和思想，把握其本質(zhì)或

生成規(guī)律，再解答試題中提出的問題.解答這類問題的關(guān)鍵是明確題意，找出新圖形變換或圖象中變量的變化規(guī)

律，再確定相關(guān)特征量來解決問題.

函數(shù)圖象中的信息讀取題

解題策略閱讀函數(shù)圖象信息

基于函數(shù)圖象提供問題情境的一類試題是中考選擇或填空題中常見的壓軸題，此類問題往往需要結(jié)合實(shí)際情

境、挖掘、探求關(guān)鍵圖像信息.解題關(guān)鍵是理解函數(shù)圖象中的變化關(guān)系.

解決這類問題一般可以采用以下策略：

1.弄清橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)所表示的含義，包括實(shí)際意義、單位等，此類題目橫坐標(biāo)大多數(shù)與時(shí)間有關(guān)；

2.研究關(guān)鍵點(diǎn)的意義，關(guān)鍵點(diǎn)包括始終點(diǎn)、轉(zhuǎn)折點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；

3.圖象的變化趨勢(shì)，是上升還是下降，是直線還是曲線；

4.若在一個(gè)坐標(biāo)系中有多個(gè)函數(shù)圖象，交點(diǎn)所表示的含義是什么；

5.對(duì)于較復(fù)雜的問題必要時(shí)要求出每段函數(shù)圖象的關(guān)系式進(jìn)行求解.

精選例題

例l.A,B兩地相距的路程為240千米，甲、乙兩車沿同一線路從A地出發(fā)到B地，分別以一定的速度勻速

行駛.甲車先出發(fā)40分鐘后，乙車才出發(fā).途中乙車發(fā)生故障，修車耗時(shí)20分鐘，隨后，乙車車速比發(fā)生故障前減

少了10千米/小時(shí)（仍保持勻速前行），甲、乙兩車同時(shí)到達(dá)B地，甲、乙兩車相距的路程y（千米）與甲車行駛時(shí)間x

（小時(shí)）之間的關(guān)系如圖所示，求乙車修好時(shí)，甲車距B地還有千米.

解析

觀察函數(shù)圖象，橫軸表示時(shí)間，單位是小時(shí)，縱軸表示的是甲、乙兩車相距的路程y（千米），而不是甲、乙車

距離出發(fā)地或終點(diǎn)的距離；與x的交點(diǎn)說明兩車相遇.整個(gè)過程甲車始終正常行駛；A點(diǎn)表示甲車開始出發(fā)，15點(diǎn)

乙車開始出發(fā)；

線段①上升，兩車距離越來越大，說明甲車行駛而乙車尚未出發(fā)，行駛時(shí)間是40分鐘，（注意時(shí)間單位），可

求出甲車的速度，進(jìn)而可求出全程行駛時(shí)間；

線段②下降說明兩者的距離越來越短，乙車的速度大于甲車的速度，根據(jù)（|,30）、（2,10）可求出甲乙車的速度

差，進(jìn)而求出乙車的速度，C點(diǎn)表示乙車追上甲車；

線段③說明乙車超過甲車，兩者距離越來越大，到達(dá)點(diǎn)D發(fā)生轉(zhuǎn)折，說明D點(diǎn)乙車發(fā)生故障，開始修車；

線段④⑤只有甲車行駛，點(diǎn)E說明甲車到達(dá)乙車發(fā)生故障的地點(diǎn)并開始超過乙車行駛；到達(dá)F點(diǎn)后發(fā)生轉(zhuǎn)

折，說明乙車修好開始行駛，此時(shí)說明D、F間的時(shí)間間隔為20分鐘，之后兩者之間的距離越來越近；

線段⑥比線段②下降慢，甲車速度沒變，乙車速度降低，最后共同到達(dá)終點(diǎn)G.

解由題意可得，

甲車的速度為：30+要=45千米/時(shí)，甲車從A地至!]B地用的時(shí)間為：240+45=5；（小時(shí)），

乙車剛開始的速度為：[45x2-10]+（2—|）=60千米/時(shí),

乙車發(fā)生故障之后的速度為：60-10=50千米/時(shí).

設(shè)乙車發(fā)生故障時(shí)，乙車已經(jīng)行駛了a小時(shí)，

60a+50x（5i-----a）=240,

\36060）

解得，a=1.

，乙車修好時(shí)，甲車行駛的時(shí)間為：弓+（+曰=3小時(shí).

OUJOUD

；?乙車修好時(shí)，甲車距B地還有：45x（5??）=90千米，故答案為90.

精選練習(xí)

1.快車從甲地駛往乙地，慢車從乙地駛往甲地，兩車同時(shí)出發(fā)并且在同一條公路上勻速行駛.圖中折線表示

快、慢兩車之間的路程y（km）與它們的行駛時(shí)間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系小欣同學(xué)結(jié)合圖像得出如下結(jié)論：

①快車途中停留了0.5h；②快車速度比慢車速度多20km/h；③圖中a=340；④快車先到達(dá)目的地.其中正確的

是（）

2.如圖，在四邊形ABCD中MD||BC,ND=90。,AB=4,BC=6,ABAD=30。,動(dòng)點(diǎn)P沿路徑A—B—C—D從點(diǎn)A

出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作P”14D,垂足為點(diǎn)H,設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x（單位：

s）,A4P”的面積為y,貝LIy關(guān)于x的函數(shù)圖像大致是（）

3.新龜兔賽跑的故事：龜兔從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)后，兔子很快把烏龜遠(yuǎn)遠(yuǎn)甩在后頭.驕傲自滿的兔子覺得自己

遙遙領(lǐng)先，就躺在路邊呼呼大睡起來當(dāng)它一覺醒來，發(fā)現(xiàn)烏龜已經(jīng)超過它，于是奮力直追，最后同時(shí)到達(dá)終點(diǎn).

用，S]、S2分別表示烏龜和兔子賽跑的路程，t為賽跑時(shí)間，則下列圖象中與故事情節(jié)相吻合的是（）

ABCD

精選例題

例2.在一條筆直的公路上有A、B、C三地,C地位于A、B兩地之間，甲車從A地沿這條公7km

路勻速駛向C地，乙車從B地沿這條公路勻速駛向A地，在甲車出發(fā)至甲車到達(dá)C地的過程隹;氐乙

中，甲、乙兩車各自與C地的距離y(km)與甲車行駛時(shí)間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.下列結(jié)\

論：①甲車出發(fā)2h時(shí)，兩車相遇;②乙車出發(fā)1.5h時(shí)兩車相距170km;③乙車出發(fā)21時(shí)，兩車[]之心

相遇；④甲車到達(dá)C地時(shí)，兩車相距40km.其中正確的是_(填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)).

▲《解析

結(jié)合題目觀察函數(shù)圖象，橫軸表示時(shí)間，縱軸表示甲、乙兩車各自與C地的距離.所以甲乙圖象的第一個(gè)交點(diǎn)

不是表示甲乙車相遇，而是此時(shí)兩車到乙地距離相等；

A.分析甲車：初始時(shí)240km說明AC距離240km,甲車行駛4小時(shí)，可求出甲車速度為60km/h,2小時(shí)后可

求得甲車到C地還有120km;

B.分析乙車:開始1小時(shí)保持200km不變.說明B點(diǎn)距離C地200km,乙車尚未出發(fā),3.5小時(shí)到達(dá)C地，行駛了

2.5小時(shí)，可求出乙車的速度為80km/h；3.5小時(shí)后乙車在CA段行駛.

C.3.5小時(shí)后的交點(diǎn)表示甲乙車再次距離C地的距離相等，同時(shí)也表示兩車相遇.

①觀察函數(shù)圖象可知，當(dāng)t=2時(shí)，兩函數(shù)圖象相交，結(jié)合交點(diǎn)代表的意義，即可得出結(jié)論①錯(cuò)誤；②根據(jù)速度

=路程一時(shí)間分別求出甲、乙兩車的速度，再根據(jù)時(shí)間=路程一速度和可求出乙車出發(fā)1.5h時(shí)，兩車相距170km，結(jié)

論②正確；③根據(jù)時(shí)間=路程+速度和可求出乙車出發(fā)2,八時(shí)，兩車相遇，結(jié)論③正確；④結(jié)合函數(shù)圖象可知當(dāng)甲

到C地時(shí)，乙車離開C地0.5h,根據(jù)路程=速度x時(shí)間,即可得出結(jié)論④正確.綜上即可得出結(jié)論.

解①觀察函數(shù)圖象可知，當(dāng)t=2時(shí)，兩函數(shù)圖象相交.

地位于A、B兩地之間，，交點(diǎn)代表了兩車離C地的距離相等，并不是兩車相遇，結(jié)論①錯(cuò)誤；

②甲車的速度為240+4=60(/nn/m,,乙車的速度為200-(3.5-1)=80(km/h).,/(240+200-60-170)^(60+80)=1.5

(h),.?.乙車出發(fā)1.5h時(shí)，兩車相距170km,結(jié)論②正確；

circled.(240+200-60)+(60+80)=22)一.?.乙車出發(fā)21時(shí)，兩車相遇,結(jié)論③正確；

@v80X(4-3.5)=40(km),...甲車至I」達(dá)C地時(shí)，兩車相距40km,結(jié)論④正確.

故答案為②③④.

精選練習(xí)

4.甲乙兩車從A城出發(fā)前往B城，在整個(gè)行程中，汽車離開A城的距離y與時(shí)刻t的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖所示，則

下列結(jié)論錯(cuò)誤的是().

A.甲車的平均速度為60km/hB.乙車的平均速度為100km/h

C.乙車比甲車先到B城D.乙車比甲車先出發(fā)1h

件

4。。

J分

第4題圖第5題圖

5.某快遞公司每天上午9:：00為集中攬件和派件時(shí)段，甲倉(cāng)庫(kù)用來繳收快件，乙倉(cāng)庫(kù)用來派發(fā)快件,

該時(shí)段內(nèi)甲、乙兩倉(cāng)庫(kù)的快件數(shù)量y(件)與時(shí)間X(分)之間的函數(shù)圖象如圖所示，那么當(dāng)兩倉(cāng)庫(kù)快遞件數(shù)相同時(shí),

此刻的時(shí)間為()

A.9:15B.9:20C.9:25D.9:30

函數(shù)圖象的性質(zhì)題

中考中考查函數(shù)的系數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系的題型一般有兩種考查方式：

1.單獨(dú)考查函數(shù)系數(shù)對(duì)函數(shù)圖象的影響；

2.考查含有相同字母系數(shù)的兩個(gè)不同函數(shù)的圖象是否正確.

而這兩種考查方式都是建立在對(duì)函數(shù)解析式中字母系數(shù)對(duì)函數(shù)圖象的影響的充分理解和掌握的基礎(chǔ)上的，所

以解答的關(guān)鍵還是在于對(duì)函數(shù)知識(shí)的掌握程度，如二次函數(shù)的系數(shù)符號(hào)與其圖象的密切關(guān)系.同時(shí)，要善于用數(shù)形

結(jié)合的思想來思考問題.

解題策略一含有相同字母系數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象的判斷

解答該類型題目時(shí)一般有兩種策略：分類討論和逐項(xiàng)排除法.

1.分類討論：即把函數(shù)圖象中的相同的字母系數(shù)分為大于0、小于。兩種情況，在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中分

別畫出兩種情況下函數(shù)的大致圖象，然后與選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可；

2.逐項(xiàng)排除法：即對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證進(jìn)行排除，其基本方法是，先假定某一選項(xiàng)中“較簡(jiǎn)單”的函數(shù)圖象是正

確的，然后由此推斷該函數(shù)的字母系數(shù)的符號(hào)（正還是負(fù)）,再利用該字母系數(shù)的范圍驗(yàn)證另外一個(gè)函數(shù)的圖象是否

符合，如果符合說明該選項(xiàng)的圖象都正確，如果不符合則該選項(xiàng)的函數(shù)圖象是錯(cuò)誤的.

精選例題

例已知反比例函數(shù)y=受的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y=ax2-2x和一次函數(shù)y=bx+a在同一平面直角坐

局解析

解析一：分類討論

由反比例函數(shù)圖象可知ab>0,故分a>0,b>0或者a<0,b<0兩種情況.

由二次函數(shù)y=a/_2x可知拋物線的圖象過原點(diǎn)，排除A選項(xiàng)；

如果a>0,b>0,則拋物線ax2-2x開口向上，對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，一次函數(shù)圖象過一、二、三象限，排除

B、D,選項(xiàng)C正確；

如果a<0,b<0,則拋物線ax2-2比開口向下，對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，一次函數(shù)圖象過二、三四象限，B、

C、D選項(xiàng)都錯(cuò)誤；

所以只有a>0,b>0,選項(xiàng)C正確，故選C.

解析二：逐項(xiàng)排除

A項(xiàng)，拋物線圖象不過原點(diǎn)，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

B項(xiàng)面一次函數(shù)圖象過一、二、四象限故a>0,b<0,ab<0,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

C項(xiàng)，假定一次函數(shù)圖象正確，由一次函數(shù)圖象過一、二、三象限,故a>0,b>0,此時(shí)拋物線y=ax2-2x

的圖象開口向上，對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，故拋物線的圖象正確，且滿足ab>0,故C正確；

D項(xiàng)，假定一次函數(shù)圖象正確，由一次函數(shù)圖象過二、三、四象限，故a<0,b<0,滿足ab>0,此時(shí)拋物線y

=a%2-2x的圖象開口向下，對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，故拋物線的圖象錯(cuò)誤，雖然滿足ab>0,但選項(xiàng)D依然錯(cuò)誤.

精選練習(xí)

1.已知函數(shù)y=ax2+bx+c（a豐0）的圖象如圖所示，則函數(shù)y=ax+b與y=（的圖象為（）.

2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù).y=ax+。和反比例函數(shù)y=（在同一平面直角坐

解題策略二二次函數(shù)字母系數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a*0）的系數(shù)符號(hào)與拋物線y=ax2+bx+c（a豐0）的圖象有著密切的關(guān)系才艮據(jù)

拋物線的形狀可以判斷a,b,c的符號(hào)，反之a(chǎn),b,c的符號(hào)也可以確定拋物線y=a/+法+c（a*0）的大致形

狀與位置.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a豐0）的系數(shù)對(duì)函數(shù)圖象的影響一般有以下幾個(gè)方面：

La的正負(fù)決定拋物線的開口方向，間的大小決定拋物線開口的大小，|a|越大開口越??；

2.6=0,,即二次函數(shù)中不包含一次項(xiàng)，則對(duì)稱軸為y軸；

3.c為拋物線與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，c>0,,交點(diǎn)在y軸的正半軸上，c<0,,交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上；

4.a,b決定對(duì)稱軸的位置，a,b同號(hào)，對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，a,b異號(hào)，對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，對(duì)于結(jié)合圖

形判斷ma+nb=0（m,n是常數(shù)，式子中不包含c）是否正確，則將原式化簡(jiǎn)成-*=-事然后與函數(shù)圖象中對(duì)稱軸

2a2n

進(jìn)行比較，如果一致說明ma+nb=0正確，否則錯(cuò)誤；

5.千萬不要忘記拋物線的對(duì)稱性和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

6.判斷am2+bm+c>。（或<0）,可在函數(shù)圖象上畫出.x=znm（垂直于x軸）的直線,看該直線與拋物線的交點(diǎn)

在x軸的上方或下方即可；對(duì)于am+bn+c>0（或<0）類型的式子，則將題目中的已知坐標(biāo)代入進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后用同一

個(gè)字母表示另外兩個(gè)字母，最后進(jìn)行判斷；

7./—4ac的正負(fù)性是通過觀察圖象與x軸的交點(diǎn)來判斷的；

8.判斷ax2+bx+c=nr是否有根，可在坐標(biāo)系中畫出.y=m,,看其與拋物線有幾個(gè)交點(diǎn)即可；

9.確定使得ax2+bx+c<0（>0）的x的范圍，常常先從圖象入手，觀察其在對(duì)應(yīng)方程兩根之間還是兩根之

外.

精選例題

例1.如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)，a*0）的圖象的一部分，與x軸的交點(diǎn)A在點(diǎn)（2,0）和（3,0）之

間.對(duì)稱軸是x=l.對(duì)于下列說法:①ab<0;②2a+b=0;③3a+c>0;④a+bNm（am+b）（m為實(shí)數(shù)）;⑤當(dāng)-l<x<3時(shí),y>0.其中正

確的是（）.

A.①②④B.①②⑤

C.②③④D.③④⑤

本題給出了部分函數(shù)圖象、圖象的對(duì)稱軸及圖象與X軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)范圍，所以利用數(shù)形結(jié)合的思想來解

答比較合適.由拋物線的開口方向可判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與。的關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱

軸判定b與。的關(guān)系以及2a+b=0；a+bNm(am+b)可轉(zhuǎn)化成am2+bm+c<a+b+c,即該函數(shù)在x=m處的函數(shù)值

不大于其在X=1處的函數(shù)值，也就是x=l時(shí)，該函數(shù)有最大值.由部分圖象可觀察出當(dāng)x取何值時(shí)y>0.

解①對(duì)稱軸在y軸右側(cè),，a、b異號(hào),ab<0,故①正確；

②：對(duì)稱軸x=-^=l,.-.2a+b=0;故②正確；

(3)2a+b=0,b=-2a,.,.當(dāng)x=-l時(shí),y=a-b+c<0,a--(-2a)+c=3a+c<0,故③錯(cuò)誤；

④根據(jù)圖示知，當(dāng)m=l時(shí)，有最大值；當(dāng)m#l時(shí)，有am2+bm+c<a+b+c,所以a+bNm(am+b)(m為實(shí)

數(shù)).故④正確.

⑤如圖，當(dāng)-l<x<3時(shí),y不只是大于0.故⑤錯(cuò)誤.

故選A.

例2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a豐0)的大致圖象如圖所示，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-9a),下列結(jié)論:①4a+2b+c>0;

2

②5a-b+c=0;③若方程a(x+5)(x-l)=-l有兩個(gè)根Xi和x2，且x2,%i<3則一5<小<冷<1；④若方程\ax+bx

+c|=1有四個(gè)根，則這四個(gè)根的和為4其中正確的結(jié)論有().[[

A.1個(gè)B.2個(gè)\I/

C.3個(gè)D.4個(gè)”\二2o/~J

解析

解析一：利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可知拋物線的對(duì)稱軸為%=-白,將頂點(diǎn)坐標(biāo)(2-9a)代入對(duì)稱軸的關(guān)系式中，

2a

可得到含a的式子，并可表示出b,c,從而將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)字母系數(shù)的解析式，然后進(jìn)行討論即可.

解析二：(①4a+2b+c=ax22+2b+c,在圖象上畫出直線x=2,看其與拋物線的交點(diǎn)位置即可；

②5a-b+c不滿足am2+bm+c類型，則通過對(duì)稱軸和(-2,-9a)把b,c都用a表示出來,然后進(jìn)行判斷，當(dāng)然

①也可以采用此種方法.

③化簡(jiǎn)可得ax2+4ax-5a=-1,與②相結(jié)合，然后作出y=-l,觀察其與拋物線交點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍即可；

④把y=+法+。在x軸下方的圖象沿x軸向上翻折，形成“W”型，然后作出y=l,觀察其與拋物線交點(diǎn)

橫坐標(biāo)，再利用拋物線的對(duì)稱性即可判斷.

解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(2-9a),

2

=—2,4。；：=-9a,b=4a,c=—5a,/.拋物線的解析式為y=ax+4ax-5a,

4a+2b+c=4a+8a-5a=7a>0,故①正確.

5a-b+c=5a-4a-5a=-4a<0,故②錯(cuò)誤.

22

拋物線y=ax+4ax-5a交x軸于(-5,0),(1,0),拋物線y=ax+4ax-5a與交點(diǎn)橫坐標(biāo)即為xltx2,

尸laP+4x+d

(2,4a+2A+c)

J—t------x

匐產(chǎn)T

，若方程a（x+5）（%-1）=T有兩個(gè)根.Xi和久2,且Xi<久2,如圖.

則一5<久］<久2<1,

故③正確.

若方程\ax2+bx+c\-1有四個(gè)根,即ax2+4ax—5a+1=?；騛x2+4ax—5a—1-0,則這四個(gè)根的和為

（-京）+（-~a）=一8,故④錯(cuò)誤.

故選B.

精選練習(xí)

1.如圖拋物線y=ax2+bx+c（a豐0）與x軸交于點(diǎn)（4,0）,其對(duì)稱軸為直線%=1,,結(jié)合圖象給出下列結(jié)論:

①ac<0;②4a-2b+c>0;③當(dāng).x>2時(shí)，y隨x的增大而增大；④關(guān)于x的一元二次方程ad+版+c=。有兩個(gè)不相

等的實(shí)數(shù)根.其中正確的結(jié)論有（）.

C.3個(gè)D.4個(gè)

2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，對(duì)稱軸是直線％=1.下列結(jié)論：①abc<0;②3a+c>0;③（a+c）2-b

2<0;@a+b<m（am+b）（m為實(shí)數(shù)）.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）.

C.3個(gè)D.4個(gè)

3.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a豐0）的圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線.%=.下列結(jié)論不正確的是（）.

A.b2>4acB.abc>0C.a—c<0D,由"+Na—為任意實(shí)數(shù)）

動(dòng)點(diǎn)問題中的函數(shù)圖象題

動(dòng)點(diǎn)問題中的函數(shù)圖象題，是中考常考的選擇題的壓軸題型之一，此類題目的解題方法是理解動(dòng)點(diǎn)的完整運(yùn)

動(dòng)過程，“動(dòng)中覓靜"在“靜”中運(yùn)用相關(guān)知識(shí)探求目標(biāo)量與動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)解析式或每部分的特點(diǎn).有的題目還需要找

出目標(biāo)函數(shù)的圖象，理解圖象中的關(guān)鍵點(diǎn)或者轉(zhuǎn)折點(diǎn)所表示的實(shí)際意義，還要理解圖象的含義，合理運(yùn)用分類討

論解決問題.

解題策略一與面積有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象題

與面積有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象題，常規(guī)的解法有以下兩種：

1.特殊值法：根據(jù)特殊位置時(shí)的函數(shù)值找到圖象的特殊點(diǎn)，反之也可.確定圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，改關(guān)鍵點(diǎn)（包括轉(zhuǎn)折

點(diǎn)），定點(diǎn)到不同運(yùn)動(dòng)路徑的最近點(diǎn)（一般作點(diǎn)到線段的垂線，利用“垂線段最短”解答）.

2.觀察法：根據(jù)題目描述，分析函數(shù)值在每段函數(shù)圖象中的變化.

與面積有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象題，一般采用以下解題策略：

1.確定圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，改關(guān)鍵點(diǎn)（包括轉(zhuǎn)折點(diǎn)），定點(diǎn)到不同運(yùn)動(dòng)路徑的最近點(diǎn)（一般作點(diǎn)到線段的垂線，利用

“垂線段最短”解答）；

2.分類討論，根據(jù)關(guān)鍵點(diǎn)把運(yùn)動(dòng)路徑分為不同的部分，單獨(dú)求出每一部分的函數(shù)解析式（注意取值范圍）；

3.必要時(shí)采用割補(bǔ)法，把不規(guī)則圖形分為幾部分，分別求出各部分的面積后，再求和（差）得到結(jié)果；

4.結(jié)合每段路徑的解析式判斷選項(xiàng)中的圖象是否正確.

此類面積問題一般都與時(shí)間有關(guān)，面積的函數(shù)解析式都是時(shí)間的函數(shù)，為了快速解決問題，可以采用排除法.

使用排除法時(shí)有以下小技巧：

1.首先明確面積的表達(dá)公式，面積一般是兩條線段乘積的形式（梯形面積是線段和與另一條線段的乘積形式）.

2.然后確定該面積公式中的線段的長(zhǎng)度是否隨時(shí)間發(fā)生變化.

⑴如果兩條線段的長(zhǎng)度都發(fā)生變化，則其乘積會(huì)出現(xiàn)平方項(xiàng)，函數(shù)圖象一般是曲線型（此時(shí)需要注意兩者乘積

也可能為常數(shù)，此時(shí)函數(shù)圖象應(yīng)該為一條水平線段）,然后根據(jù)平方項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)再確定是上凸還是下凹.

（2）如果只有一條線段的長(zhǎng)度隨時(shí)間發(fā)生變化，而另一條線段的長(zhǎng)度不隨時(shí)間改變，則圖象一般是直線型（斜線

段）.

⑶如果兩條線段的長(zhǎng)度都不發(fā)生改變，乘積為常數(shù)，此時(shí)函數(shù)圖象應(yīng)該為一條水平線段.

3.要充分利用圖形的特點(diǎn)，比如對(duì)稱性等.如果圖形對(duì)稱，則函數(shù)圖象也經(jīng)常是對(duì)稱的.

4.注意初始和終點(diǎn)時(shí)面積的變化情況，注意最大值和最小值出現(xiàn)的時(shí)間點(diǎn).

當(dāng)然，排除法不見得能解決所有這類問題，必要時(shí)可結(jié)合函數(shù)常規(guī)方法一同使用，這樣能加快解答速度和準(zhǔn)

確率.

精選例題

例1如圖.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2cm,動(dòng)點(diǎn)P,Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，在正方形的邊上,分別按A-D-C,ATBTC

的方向，都以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)C時(shí)運(yùn)動(dòng)終止.連接PQ,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs,△APQ的面積為.川出則下列圖

象中能大致表示y與x的函數(shù)關(guān)系的是（）.

iJ,/cm2Aj/cm2Ay/cm2

tpn小,

2入，2個(gè).2個(gè)，

°24x/s024Vs02%xls024x/s

&----------------'cA.

B.C.D.

解析

根據(jù)題意，當(dāng)點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP=AQ^x,此時(shí)SAPQ=\AQ-AP=|/；當(dāng)點(diǎn)p在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí),（CP

=CQ=^-x,PD=x-2,此時(shí)SAPQ=S—SCPQ，—S^BQ，—Sap，。由此可得△APQ的面積y與x的關(guān)

系，進(jìn)而可判斷出y關(guān)于x的函數(shù)的圖象的大致形狀.

解①當(dāng)(0<%<2時(shí),

.正方形的邊長(zhǎng)為2cm,

11

Q2

???y=SAPQ=-AQ-AP=-X-,

②當(dāng)2WxW4時(shí)，

正方修

y~=S48co—SACFQ'—S^NiQ，-S&WD'

=2x2—|(4—久乃—|x2x(x—2)—|x2x(x-2)=-jx2+2x

；.y與x之間的函數(shù)關(guān)系可以用兩段二次函數(shù)圖象表示，縱觀各選項(xiàng)，只有A選項(xiàng)圖象符合.

故選A.

例2.如圖在正方形ABCD中,AB=3cm,,動(dòng)點(diǎn)M自點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N

自點(diǎn)D出發(fā)沿折線DC-CB以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)運(yùn)動(dòng)同時(shí)停止.設(shè)△4MN的面積為y（單位：（c/

）,,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（單位：秒）,則下列圖象中能大致反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（）.

解析

分兩部分計(jì)算y與x的函數(shù)解析式：①當(dāng)點(diǎn)N在CD上時(shí)，易得SAMN的解析式為一個(gè)一次函數(shù);②當(dāng)點(diǎn)N在C

B上時(shí)，底邊AM變化彳導(dǎo)出.SWMN的解析式為一個(gè)開口向下的二次函數(shù).

解法一.??點(diǎn)N自點(diǎn)D出發(fā)沿折線.DC-CB以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)運(yùn)動(dòng)同時(shí)停止,

???點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的時(shí)間為t=3+2=1.5（秒）.

分兩部分進(jìn)行討論：

①當(dāng)0<x<1.5時(shí),如答圖1,此時(shí)N在DC上，

113

SMN=y=-AM-AD=-xx3^-x.

A答圖1

②當(dāng)l.5<x<3時(shí),如答圖2,此時(shí)N在BC上,

；.DC+CN=2x,

；.BN=6-2x,

SAMN—y—|i4M-BN-|■久(6—2x)=—x2+3%.

故選A-ME

姣圖2

解法二當(dāng)點(diǎn)N在DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，SAMN=V=\AM-AD,AM變動(dòng)，AD不變，乘積改變，所以排除B,D選項(xiàng);

當(dāng)點(diǎn)N在CB上運(yùn)動(dòng)時(shí),SAMN=y=AM-BN,AM,BN都變動(dòng)，所以函數(shù)圖象為曲線型排除C選項(xiàng).故選A.

例3.如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD邊上的一動(dòng)點(diǎn)，它從點(diǎn)A出發(fā)沿A-B-C—D路徑勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)口.設(shè)4PAD的面

積為y,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x,則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（）.

題目可分為三段考慮：AB段，BC段，CD段.

解分三種情況：

①當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上時(shí)，

如答圖1,設(shè)菱形的高為h,y=^AP-h,

；AP隨x的增大而增大，h不變，函數(shù)圖象為直線型,

，y隨x的增大而增大，故選項(xiàng)C,D不正確.

②當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，

如答圖-.2.y=\AD-%,AD和h都不變.

在這個(gè)過程中，y不變，

答圖2

此時(shí)函數(shù)圖象應(yīng)該為平行于x軸的一條線段，故選項(xiàng)A不正確.

③當(dāng)點(diǎn)P在邊CD上時(shí)，如答圖3,y=\PD-h.

VPD隨x的增大而減小，h不變，

，y隨x的增大而減小.

?，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿A-B-C-D路徑勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D,

點(diǎn)P在三條線段上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同，故選項(xiàng)D不正確.答圖3

故選B.

精選練習(xí)

1.如圖，邊長(zhǎng)都為4的正方形ABCD和正三角形EFG如圖放置,AB與EF在一條直線上，點(diǎn)A與點(diǎn)F重合.現(xiàn)

將.△EFG沿AB方向以每秒1個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)停止，在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,正方形A

BCD和△EFG重疊部分的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)t的函數(shù)圖像大致是(

2.如圖，在△4BC中,NB=90。,AB=3cm,BC=6cm,,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB向點(diǎn)B以Icm/s的速度移動(dòng)，動(dòng)

點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng).若P,Q兩點(diǎn)分別從A,B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)運(yùn)動(dòng)

停止，則△PBQ的面積S與出發(fā)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是().

3如圖，在RtAABC中,N4CB=90。,AC=BC=2VxCD14B于點(diǎn)D.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A—DIC的路徑

運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，過點(diǎn)P作PE±AC于點(diǎn)E,作PF1BC于點(diǎn)F.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x,四邊形CEPF的面積為

A.B.C.D.

解題策略二與線段長(zhǎng)度有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象問題

此類型問題的解題策略與前面的類似.在應(yīng)用排除法時(shí)，還需要注意以下幾點(diǎn)：

1.如果求線段長(zhǎng)度需要用到勾股定理時(shí)，其函數(shù)圖象一般為曲線型；

2.要充分利用全等、相似等幾何知識(shí)進(jìn)行分析解答；

3.一定要分析圖形的特點(diǎn)，尤其是注意對(duì)稱性的應(yīng)用.

精選例題

例)如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1cm的速度，沿A-B-C的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C

時(shí)停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x

此題需要分類討論：①當(dāng)0MxM3時(shí)，即點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，將相關(guān)線段的長(zhǎng)度代入該等式，即可求得y

與x的函數(shù)解析式，然后根據(jù)函數(shù)解析式確定該函數(shù)的圖象.②當(dāng)3<%<6時(shí)，即點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，y與x的函

數(shù)解析式是.y=(6-%)2=(%-6)2(3<%<6),根據(jù)該函數(shù)解析式可以確定該函數(shù)的圖象.

解法一如圖，過點(diǎn)C作(CD_L4B很!=|cm,CD=1bcm,點(diǎn)P在AB上時(shí),4P=xm,PD=|j-x|cm.

y=PC2=(|V3)2+(|-%)'=%2-3%+9(0<%<3),該函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線.

②當(dāng)3〈久W6時(shí)，即點(diǎn)P在線段BC上時(shí),PC=(6-%)cm(3<%<6);

則y=PC2=(6—x)2=(x—6)2(3<x<6).B

?,?該函數(shù)的圖象是在：3<%<6上的拋物線.

A'C

故選c.

解法二由于△ABC是等邊三角形，如圖，點(diǎn)A,B關(guān)于CD對(duì)稱，所以PC的長(zhǎng)度在AB段上也關(guān)于CD對(duì)

稱，且CD為PC最小值時(shí)的位置，所以其圖象也應(yīng)該出現(xiàn)對(duì)稱，所以排除A,B選項(xiàng).在BC上方法同解法一.

精選練習(xí)

1.如圖,A48c為等邊三角形，點(diǎn)P從A出發(fā)，沿ATB—C—A做勻速運(yùn)動(dòng)，則線段AP的長(zhǎng)度y與運(yùn)動(dòng)時(shí)間

x之間的函數(shù)關(guān)系圖象大致是（）.

4

y

0

2.已知點(diǎn)P為某個(gè)封閉圖形邊界上一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)P出發(fā)，沿其邊界順時(shí)針勻速運(yùn)動(dòng)一周.設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)

y與x的函數(shù)圖象大致如圖所示，則該封閉圖形可能是（）.

A.C.D.

3.如圖,A,B是半徑為1的OO上兩點(diǎn)，且（0A10B,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),在。0上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速

運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)結(jié)束.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（單位：s）,弦BP的長(zhǎng)為y,那么下列圖象中可能表示y與x函數(shù)關(guān)系的

是（）.

找規(guī)律題⑶-----函數(shù)

與函數(shù)圖象相關(guān)的圖形規(guī)律探究題常以選擇題或填空題的形式壓軸出現(xiàn)彳主往先給出一系列圖形的運(yùn)動(dòng)變化過

程，該系列圖形中往往有一個(gè)頂點(diǎn)在所給函數(shù)的圖象上，通常求該系列圖形中特定點(diǎn)的坐標(biāo)、特定線段的長(zhǎng)度或

特定圖形的面積.解題時(shí)需先理解該圖形的運(yùn)動(dòng)過程，把握其本質(zhì)或生成規(guī)律，并借助圖形與函數(shù)圖象的公共點(diǎn)探

求、歸納出其規(guī)律（較常見的是圖形成倍變化規(guī)律）.此類問題看似繁瑣，但只要耐心地一步步計(jì)算，往往不難解決.

解題策略圖形成倍變化規(guī)律

1.變換前：寫出第一次變換前的目標(biāo)量，如點(diǎn)的坐標(biāo)、線段長(zhǎng)、圖形的周長(zhǎng)或面積等；

2.變換中：借助系列圖形與函數(shù)圖象的公共點(diǎn)計(jì)算出第一次變換、第二次變換、第三次變換后的目標(biāo)量，如變

換后的點(diǎn)的坐標(biāo)、線段長(zhǎng)、圖形的周長(zhǎng)或面積等；

3.歸納后：歸納出后一個(gè)目標(biāo)量（點(diǎn)的坐標(biāo)、線段、周長(zhǎng)、面積等）與前一個(gè)目標(biāo)量存在的倍數(shù)關(guān)系m；

4.寫結(jié)果：根據(jù)上述步驟歸納出的規(guī)律寫出第n次變換后求到的目標(biāo)量（點(diǎn)的坐標(biāo)、線段、周長(zhǎng)、面積為n”a）.

精選例題

例1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線h-.y=日久+1與直線l2-.y=百久交于點(diǎn)A］，過點(diǎn)Ai作x軸的垂線,

垂足為點(diǎn)B］，過點(diǎn)Bi作b的平行線交11于點(diǎn)A2；過點(diǎn)A2作x軸的垂線，垂

足為點(diǎn)B2；過點(diǎn)B2作I2的平行線交11于點(diǎn)A3；過點(diǎn)A3作x軸的垂線，垂

足為點(diǎn)B3…按此規(guī)律，則點(diǎn)A□的縱坐標(biāo)為（）.

解析

先求出11,12這兩條直線的交點(diǎn)心的坐標(biāo)，從而可得點(diǎn)，%的坐標(biāo)；再求直線的解析式，與直線11

的解析式聯(lián)立成方程組，解得點(diǎn)兒的坐標(biāo)，從而可得點(diǎn)&的坐標(biāo)；同理，求出點(diǎn)人,扇的坐標(biāo)，從而找出點(diǎn)A口

的縱坐標(biāo)的規(guī)律.

y=x+

解把公y=去+1與l2-.y=信聯(lián)立成方程組\~L解得"=］''點(diǎn)4的坐標(biāo)為（爭(zhēng)）點(diǎn)B］的坐

.y=A/3X.（y=5,‘'一

標(biāo)為（爭(zhēng)0）；直線的解析式為y=百［-亨），與讖立成方程組解得點(diǎn)兒的坐標(biāo)為（#，），點(diǎn)史的坐標(biāo)為

（W，0）;4B2的解析式為y=