2024年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：解直角三角形（58題）含答案及解析

專題28解直角三角形（58題）

一、單選題

1.（2024?吉林長春?中考真題）2024年5月29日16時12分，“長春凈月一號”衛(wèi)星搭乘谷神星一號火箭在

黃海海域成功發(fā)射.當(dāng)火箭上升到點A時，位于海平面R處的雷達(dá)測得點R到點A的距離為。千米，仰角為

e,則此時火箭距海平面的高度乩為（）

A.asin夕千米B.acosg千米D.“千米

cos6

2.（2024.天津.中考真題）V2cos45-1的值等于()

A.0B.1C.D.V2-1

2

4

3.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖，在-ABC中，AB=AC=5,sinB=-,則的長是（）

A.3B.6C.8D.9

4.（2024?四川自貢?中考真題）如圖，等邊.71BC鋼架的立柱CDLAB于點。，長12m.現(xiàn)將鋼架立柱

縮短成DE,ZB￡D=60°.則新鋼架減少用鋼（）

A.(24-12⑹mB.(24-8⑹mC.(24-6⑹mD.(24-4@m

5.（2024.四川德陽?中考真題）某校學(xué)生開展綜合實踐活動，測量一建筑物。。的高度，在建筑物旁邊有一

高度為10米的小樓房A3,小李同學(xué)在小樓房樓底B處測得C處的仰角為60。，在小樓房樓頂A處測得C處

的仰角為30。.（AB、CD在同一平面內(nèi)，B、O在同一水平面上），則建筑物8的高為（）米

C.12D.10+5g

6.（2024?廣東深圳?中考真題）如圖，為了測量某電子廠的高度，小明用高1.8m的測量儀屏測得的仰角為45。,

小軍在小明的前面5m處用高L5m的測量儀8測得的仰角為53。，則電子廠A8的高度為（）（參考數(shù)據(jù):

434

sin53°?！?，cos53°。—，tan530?-）

553

A.22.7mB.22.4mC.21.2mD.23.0m

7.（2024?內(nèi)蒙古包頭?中考真題）如圖，在矩形ABC。中，E?是邊上兩點，且BE=EF=FC,連接

￡>44戶,。石與.相交于點6,連接3G.若AB=4,BC=6,則sin/GBP的值為（）

8.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，菱形ABCD中，點。是的中點，AM±BC,垂足為

AM交BD于點、N,OM=2,BD=8,則MN的長為（）

BMC

A.y/5B.逑C.述D.巫

555

9.（2024?四川樂山?中考真題）如圖，在菱形ABCD中，ZABC=60°,AB=1,點尸是BC邊上一個動點，

在BC延長線上找一點Q,使得點尸和點。關(guān)于點C對稱，連接。尸、A。交于點M.當(dāng)點尸從8點運(yùn)動到C

點時，點〃的運(yùn)動路徑長為（）

A.3B.3C.BD.73

632

10.（2024.山東泰安?中考真題）如圖，菱形ABC。中，/8=60。，點E是邊上的點，AE=4,BE=8,

點尸是BC上的一點，4EG尸是以點G為直角頂點，NEFG為30。角的直角三角形，連結(jié)AG.當(dāng)點廠在直

線2C上運(yùn)動時，線段AG的最小值是（）

A.2B.473-2C.2出D.4

H.（2024?四川瀘州?中考真題）寬與長的比是由工的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的

2

美感.如圖，把黃金矩形A8CO沿對角線AC翻折，點B落在點9處，AB，交CD于點E,貝的值

為（）

A.@B.1C.-D.拽

5255

12.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，在正方形ABC。中，點X在4。邊上（不與點4、。重合），

NBHF=90°,"/交正方形外角的平分線。尸于點兒連接AC交于點連接班'交AC于點G,交CD

于點N,連接2D.則下列結(jié)論：①ZHBF=45。；②點G是即的中點；③若點X是AD的中點，則

sin/NBC=叵;④BN=?BM;⑤若AH=；HD,則“鴕》=?5△皿，其中正確的結(jié)論是（）

1022

HD

C.①②④⑤D.①②③④⑤

二、填空題

13.（2024?黑龍江綏化?中考真題）如圖，用熱氣球的探測器測一棟樓的高度，從熱氣球上的點A測得該樓

頂部點C的仰角為60。，測得底部點8的俯角為45。，點A與樓2c的水平距離AD=50m,則這棟樓的高度

為m（結(jié)果保留根號）.

C

B

14.（2024.內(nèi)蒙古赤峰.中考真題）綜合實踐課上，航模小組用無人機(jī)測量古樹A3的高度.如圖，點C處與

古樹底部A處在同一水平面上，且AC=1O米，無人機(jī)從C處豎直上升到達(dá)。處，測得古樹頂部8的俯角

為45。，古樹底部A的俯角為65。，則古樹A8的高度約為米（結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：

sin65°?0.906,cos65°?0.423,tan65°?2.145）.

I\

C'----------U

15.（2024.湖北武漢.中考真題）黃鶴樓是武漢市著名的旅游景點，享有“天下江山第一樓”的美譽(yù).在一次綜

合實踐活動中，某數(shù)學(xué)小組用無人機(jī)測量黃鶴樓A3的高度，具體過程如下：如圖，將無人機(jī)垂直上升至距

水平地面102m的C處，測得黃鶴樓頂端A的俯角為45。，底端2的俯角為63。，則測得黃鶴樓的高度是一

m.（參考數(shù)據(jù)：tanGS。22）

16.（2024?四川內(nèi)江?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AO=5,點E在DC上，將矩形ABCD沿

AE折疊，點。恰好落在2C邊上的點尸處，那么tan/EFC=

17.（2024?江蘇鹽城?中考真題）如圖，小明用無人機(jī)測量教學(xué)樓的高度，將無人機(jī)垂直上升距地面30m的

點P處,測得教學(xué)樓底端點A的俯角為37。，再將無人機(jī)沿教學(xué)樓方向水平飛行26.6m至點。處，測得教學(xué)

樓頂端點8的俯角為45。，則教學(xué)樓的高度約為m.（精確至Ulm,參考數(shù)據(jù)：sin37。。0.60,

cos37°?0.80,tan37°?0.75）

18.（2024.北京?中考真題）如圖，在正方形A3C。中，點E在AB上，AFLDE于點尸，CG工DE于點G.若

AD=5,CG=4,則的面積為.

19.（2024?甘肅臨夏.中考真題）如圖，對折邊長為2的正方形紙片ABC。，為折痕，以點。為圓心，OM

為半徑作弧，分別交AD,BC于E,尸兩點，則廝的長度為（結(jié)果保留兀）.

AED

20.（2024.黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如圖，數(shù)學(xué)活動小組在用幾何畫板繪制幾何圖形時，發(fā)現(xiàn)了如“花朵”

形的美麗圖案，他們將等腰三角形O8C置于平面直角坐標(biāo)系中，點。的坐標(biāo)為（0,0）,點B的坐標(biāo)為（1,0）,

點C在第一象限，ZOBC=120°.將△03C沿尤軸正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與無軸重合，第

一次滾動后，點。的對應(yīng)點為。'，點C的對應(yīng)點為C',OC與O'C'的交點為A，稱點A為第一個“花朵”

的花心，點4為第二個“花朵”的花心；……；按此規(guī)律，△03C滾動2024次后停止?jié)L動，則最后一個“花

21.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）矩形ABCD中，AB=3,BC=4,將AB沿過點A的一條直線折疊，

折痕交直線于點尸（點尸不與點B重合），點8的對稱點落在矩形對角線所在的直線上，則PC長為

22.（2024?山東泰安?中考真題）在綜合實踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組用所學(xué)數(shù)學(xué)知識測量大汶河某河段的寬度，

他們在河岸一側(cè)的瞭望臺上放飛一只無人機(jī)，如圖，無人機(jī)在河上方距水面高60米的點尸處測得瞭望臺正

對岸A處的俯角為50°,測得瞭望臺頂端C處的俯角為63.6。，已知瞭望臺高12米（圖中點A,B,C,

39

P在同一平面內(nèi)），那么大汶河此河段的寬為米.（參考數(shù)據(jù)：sin40。?！叮瑂in63.6°?—,

tan50°?j,tan63.6°u2）

23.（2024?四川達(dá)州?中考真題）如圖，在RCABC中，NC=90。.點D在線段上，44D=45。.若AC=4,

CDB

24.（2024.貴州?中考真題）如圖，在菱形A3CD中，點E,尸分別是3C,8的中點，連接AE,AF.若

4

sinZ￡4F=-,AE=5,則48的長為.

5RD8

25.（2024?廣東深圳?中考真題）如圖，在ABC中，AB=BC,tan/3=—,。為3C上一點，且滿足一=-

12CD5

CF

過。作。石交AC延長線于點5則±=

26.（2024.黑龍江綏化?中考真題）在矩形ABCD中，AB=4cm,3C=8cm,點E在直線AD上，且DE=2cm,

則點E到矩形對角線所在直線的距離是cm.

三、解答題

27.（2024?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）計算：|G-2|+2sin60O-（Ti）°.

28.（2024?四川甘孜?中考真題）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東37。方向，距離燈塔100海里的A處,

它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45。方向上的B處.這時，3處距離A處有多遠(yuǎn)？

（參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.60,cos370?0.80,tan37°*0.75）

29.（2024?北京?中考真題）計算：（萬-5）°+逸一2sin30°+卜夜|

1

30.（2024?湖南長沙?中考真題）計算:（―）+卜閩一2cos30。-（無-6.8）°

31.（2024?廣東深圳?中考真題）計算：-2.cos45°+（;r-3.14）°+卜-拒|+］；］.

32.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）先化簡，再求值：-Y--1,其中7〃=COS60。.

m—1ym+mJ

33.（2024?吉林?中考真題）圖①中的吉林省廣播電視塔，又稱“吉塔”.某直升飛機(jī)于空中A處探測到吉塔，

此時飛行高度AB=873m,如圖②,從直升飛機(jī)上看塔尖C的俯角ZEAC=37°,看塔底。的俯角ZEAD=45°,

求吉塔的高度8（結(jié)果精確到0.1m）.（參考數(shù)據(jù)：sin37°=0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75）

DB

圖①圖②

34.（2024?青海?中考真題）計算：V18-tan45o+^0-|-5/2|.

35.（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題）計算：-+tan60°+|A/3-2|+（TI-2024）°.

36.（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題）綜合實踐活動中，數(shù)學(xué)興趣小組利用無人機(jī)測量大樓的高度.如圖，

無人機(jī)在離地面40米的。處，測得操控者A的俯角為30。，測得樓8c樓頂C處的俯角為45。，又經(jīng)過人工

測量得到操控者A和大樓BC之間的水平距離是80米，則樓BC的高度是多少米？（點AB,C,O都在同

一平面內(nèi)，參考數(shù)據(jù)：6=1.7）

D

—3OOT^5°---

AX___B0

37.（2024?內(nèi)蒙古通遼.中考真題）在“綜合與實踐”活動課上，活動小組測量一棵楊樹的高度.如圖，從C

點測得楊樹底端B點的仰角是30。，2C長6米，在距離C點4米處的。點測得楊樹頂端A點的仰角為45。，

求楊樹AB的高度（精確到0.1米，AB,BC,CO在同一平面內(nèi)，點C,。在同一水平線上.參考數(shù)據(jù)：有R.73）.

38.（2024?湖南?中考真題）某數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組在老師的指導(dǎo)下，利用課余時間進(jìn)行測量活動.

活動主題測算某水池中雕塑底座的底面積

測量工具皮尺、測角儀、計算器等

某休閑廣場的水池中有一雕塑，其底座的底面為矩形ABCD,其示意圖如下：

模型抽象

_________

活動GEFH

過程

①在水池外取一點E,使得點C,B,E在同一條直線上；

②過點E作G//LCE,并沿方向前進(jìn)到點R用皮尺測得族的長為4米；

測繪過程與

③在點尸處用測角儀測得/CFG=60.3°,ZBFG=45°,NAFG=21.8。；

數(shù)據(jù)信息

④用計算器計算得：sin60.3°?0.87,cos60.3°?0.50,

tan60.3°?1.75.sin21.8°?0,37,cos21.8°?0.93,tan21.8°?0.40.

請根據(jù)表格中提供的信息，解決下列問題（結(jié)果保留整數(shù)）：

（1）求線段CE和的長度：

（2）求底座的底面ABCD的面積.

39.（2024?貴州?中考真題）綜合與實踐：小星學(xué)習(xí)解直角三角形知識后，結(jié)合光的折射規(guī)律進(jìn)行了如下綜

合性學(xué)習(xí).

【實驗操作】

第一步：將長方體空水槽放置在水平桌面上，一束光線從水槽邊沿A處投射到底部8處，入射光線與水槽

內(nèi)壁AC的夾角為ZA；

第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中點E處時，停止注水.（直線MV'為法線，AO為入射光線，OD

為折射光線.）

【測量數(shù)據(jù)】

如圖，點A,B,C,D,E,F,O,N,N'在同一平面內(nèi)，測得AC=20cm,ZA=45°,折射角NOON=32。.

【問題解決】

根據(jù)以上實驗操作和測量的數(shù)據(jù)，解答下列問題：

⑴求的長；

⑵求2,。之間的距離（結(jié)果精確到0.1cm）.

（參考數(shù)據(jù)：sin32°?0.52,cos32°?0.84,tan32°?0.62）

40.（2024?河南?中考真題）如圖1,塑像A5在底座8C上，點。是人眼所在的位置.當(dāng)點B高于人的水平

視線DE時，由遠(yuǎn)及近看塑像，會在某處感覺看到的塑像最大，此時視角最大.數(shù)學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)經(jīng)過A,

8兩點的圓與水平視線DE相切時（如圖2）,在切點P處感覺看到的塑像最大，此時NAP3為最大視角.

（1）請僅就圖2的情形證明ZAPB>ZADB.

⑵經(jīng)測量，最大視角NAPB為30。，在點P處看塑像頂部點A的仰角N4PE為60。，點尸到塑像的水平距離

PH為6m.求塑像A5的高（結(jié)果精確到0.1m.參考數(shù)據(jù)：A/3?1.73）.

41.（2024?天津?中考真題）綜合與實踐活動中，要用測角儀測量天津海河上一座橋的橋塔A8的高度（如圖

①）.某學(xué)習(xí)小組設(shè)計了一個方案：如圖②，點C2E依次在同一條水平直線上，DE=36m,ECrAB,垂

足為C.在。處測得橋塔頂部B的仰角（NCDB）為45。，測得橋塔底部A的俯角（ZCZM）為6。，又在E

處測得橋塔頂部3的仰角QCEB）為31。.

圖①

（1）求線段CD的長（結(jié)果取整數(shù)）;

（2）求橋塔AB的高度（結(jié)果取整數(shù)）.參考數(shù)據(jù):tan31°?0.6,tan6°?0.1.

42.（2024?四川樂山?中考真題）我國明朝數(shù)學(xué)家程大位寫過一本數(shù)學(xué)著作《直指算法統(tǒng)宗》，其中有一道與

蕩秋千有關(guān)的數(shù)學(xué)問題是使用《西江月》詞牌寫的:

平地秋千未起，踏板一尺離地.

送行二步與人齊，五尺人高曾記.

仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉.

良工高士素好奇，算出索長有幾?

詞寫得很優(yōu)美,翻譯成現(xiàn)代漢語的大意是：有一架秋千，當(dāng)它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推進(jìn)10尺

（5尺為一步）,秋千的踏板就和某人一樣高，這個人的身高為5尺.（假設(shè)秋千的繩索拉的很直）

地面地面

圖1

（1）如圖1,請你根據(jù)詞意計算秋千繩索0A的長度;

（2）如圖2,將秋千從與豎直方向夾角為a的位置釋放,秋千擺動到另一側(cè)與豎直方向夾角為￡的地方OA"，

兩次位置的高度差尸。=仙根據(jù)上述條件能否求出秋千繩索。4的長度？如果能，請用含a、。和//的式子

表示；如果不能，請說明理由.

43.（2024.山東?中考真題）【實踐課題】測量湖邊觀測點A和湖心島上鳥類棲息點尸之間的距離

【實踐工具】皮尺、測角儀等測量工具

【實踐活動】某班甲小組根據(jù)湖岸地形狀況，在岸邊選取合適的點測量A,B兩點間的距離以及

和NPBA,測量三次取平均值，得到數(shù)據(jù)：AB=60米，NPAB=79°,ZPBA=M°.畫出示意圖，如圖

【問題解決】（1）計算A,P兩點間的距離.

（參考數(shù)據(jù)：sin64°?0.90,sin79°?0.98,cos79°?0.19,sin37°?0.60,tan37°?0.75）

【交流研討】甲小組回班匯報后，乙小組提出了另一種方案：

如圖2,選擇合適的點E,F,使得A,D,E在同一條直線上，S.AD=DE,NDEF=NDAP,當(dāng)產(chǎn),

D,P在同一條直線上時，只需測量所即可.

（2）乙小組的方案用到了.（填寫正確答案的序號）

①解直角三角形②三角形全等

【教師評價】甲、乙兩小組的方案都很好，對于實際測量，要根據(jù)現(xiàn)場地形狀況選擇可實施的方案.

44.（2024?北京?中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，E是48的中點，DB,CE交于點F,DF=FB,

AFDC.

D,

I.B

⑴求證：四邊形AbCD為平行四邊形；

⑵若NEFB=90。，tm/FEB=3,EF=\,求3c的長.

45.（2024.甘肅臨夏.中考真題）乾元塔（圖1）位于臨夏州臨夏市的北山公園內(nèi)，共九級，為硅框架式結(jié)構(gòu)，

造型獨(dú)特別致，遠(yuǎn)可眺太子山露骨風(fēng)月，近可收臨夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立蒼穹.某校數(shù)學(xué)興趣小

組在學(xué)習(xí)了“解直角三角形”之后，開展了測量乾元塔高度AB的實踐活動.A為乾元塔的頂端，ABJ.BC,

點C,。在點8的正東方向，在C點用高度為1.6米的測角儀（即CE=1.6米）測得A點仰角為37。，向西

平移14.5米至點。，測得A點仰角為45。，請根據(jù)測量數(shù)據(jù)，求乾元塔的高度.（結(jié)果保留整數(shù)，參考

數(shù)據(jù)：sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75）

圖1圖2

46.（2024.安徽.中考真題）科技社團(tuán)選擇學(xué)校游泳池進(jìn)行一次光的折射實驗，如圖，光線自點B處發(fā)出,

經(jīng)水面點E折射到池底點A處.已知8E與水平線的夾角c=36.9。，點B到水面的距離3c=1.20m,點A處

水深為L20m,到池壁的水平距離AD=2.50m,點BC,。在同一條豎直線上，所有點都在同一豎直平面

內(nèi).記入射角為夕，折射角為九求理幺的值（精確到0.1,參考數(shù)據(jù)：sin36.9。*0.60,cos36.9°?0.80,

sin/

tan36.9°?0.75）.

池底

47.（2024.浙江?中考真題）如圖，在二MC中，AD1BC,AE是BC邊上的中線，AB^10,AD=6,tanZACB^l.

⑴求2C的長；

⑵求sin/DAE的值.

48.（2024?甘肅?中考真題）習(xí)近平總書記于2021年指出，中國將力爭2030年前實現(xiàn)碳達(dá)峰、2060年前實

現(xiàn)碳中和.甘肅省風(fēng)能資源豐富，風(fēng)力發(fā)電發(fā)展迅速.某學(xué)習(xí)小組成員查閱資料得知，在風(fēng)力發(fā)電機(jī)組中，

“風(fēng)電塔筒，，非常重要，它的高度是一個重要的設(shè)計參數(shù).于是小組成員開展了“測量風(fēng)電塔筒高度”的實踐活

動.如圖，已知一風(fēng)電塔筒A"垂直于地面，測角儀8,所在兩側(cè)，CD=EF=L6m,點C與點E

相距182m（點C,H,E在同一條直線上），在。處測得簡尖頂點4的仰角為45。，在尸處測得筒尖頂點A

434

的仰角為53。.求風(fēng)電塔筒的高度.（參考數(shù)據(jù)：sin53°?-,cos53°?-,tan53°?-.）

49.（2024?河北?中考真題）中國的探月工程激發(fā)了同學(xué)們對太空的興趣.某晚，淇淇在家透過窗戶的最高

點尸恰好看到一顆星星，此時淇淇距窗戶的水平距離8。=4m,仰角為a；淇淇向前走了3m后到達(dá)點，

透過點尸恰好看到月亮，仰角為夕，如圖是示意圖.已知，淇淇的眼睛與水平地面BQ的距離AB=CD=1.6m,

點P到8。的距離PQ=2.6m,AC的延長線交尸。于點E.（注：圖中所有點均在同一平面）

（1）求夕的大小及tane的值；

（2）求CP的長及sinZAPC的值.

50.（2024?四川廣元?中考真題）計算:(2024-7r)°+|V3-2|+tan60°

51.（2024?四川廣元?中考真題）小明從科普讀物中了解到，光從真空射入介質(zhì)發(fā)生折射時，入射角。的正

弦值與折射角P的正弦值的比值*叫做介質(zhì)的“絕對折射率”,簡稱“折射率”.它表示光在介質(zhì)中傳播時，

sinp

介質(zhì)對光作用的一種特征.

折射角為尸，且cosa=E,

（1）若光從真空射入某介質(zhì)，入射角為。，尸=30。，求該介質(zhì)的折射率;

4

（2）現(xiàn)有一塊與（1）中折射率相同的長方體介質(zhì)，如圖①所示，點A,B,C,。分別是長方體棱的中點，若

光線經(jīng)真空從矩形AA24對角線交點。處射入，其折射光線恰好從點C處射出.如圖②，已知夕=60。,

CD=10cm,求截面ABC。的面積.

52.（2024內(nèi)蒙古包頭?中考真題）如圖，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組開展“實地測量教學(xué)樓A3的高度”的實踐活動.教

學(xué)樓周圍是開闊平整的地面，可供使用的測量工具有皮尺、測角儀（皮尺的功能是直接測量任意可到達(dá)的

兩點間的距離；測角儀的功能是測量角的大?。?

（1）請你設(shè)計測量教學(xué)樓43的高度的方案，方案包括畫出測量平面圖，把應(yīng)測數(shù)據(jù)標(biāo)記在所畫的圖形上（測

出的距離用八〃等表示，測出的角用d6等表示），并對設(shè)計進(jìn)行說明；

（2）根據(jù)你測量的數(shù)據(jù)，計算教學(xué)樓A3的高度（用字母表示）.

53.（2024?甘肅?中考真題）馬家窯文化以發(fā)達(dá)的彩陶著稱于世，其陶質(zhì)堅固，器表細(xì)膩，紅、黑、白彩共

用，彩繪線條流暢細(xì)致，圖案繁緡多變，形成了絢麗典雅的藝術(shù)風(fēng)格，創(chuàng)造了一大批令人驚嘆的彩陶藝術(shù)

精品，體現(xiàn)了古代勞動人民的智慧.如圖1的彩陶紋樣呈現(xiàn)的是三等分圓周，古人用等邊三角形三點定位

的方法確定圓周的三等分點，這種方法和下面三等分圓周的方法相通.如圖2,已知。和圓上一點M.作

法如下：

①以點M為圓心，長為半徑，作弧交,。于A,B兩點；

②延長MO交。。于點C；

即點A,B,C將。的圓周三等分.

?o'M

彩陶紋樣三點定位法三等分圓周

圖1

（1）請你依據(jù)以上步驟，用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在圖2中將。的圓周三等分（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）根據(jù)（1）畫出的圖形，連接A3,AC,BC,若。的半徑為2cm,則ASC的周長為cm.

54.（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，某數(shù)學(xué)活動小組用高度為1.5米的測角儀8C,對垂直于地面CD

的建筑物AD的高度進(jìn)行測量，于點C.在8處測得A的仰角/ABE=45。，然后將測角儀向建筑

物方向水平移動6米至FG處，/于點G,測得A的仰角NAFE=58。，3尸的延長線交AD于點E,

求建筑物AD的高度（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）.（參考數(shù)據(jù)：sin58°y0.85,cos58°”0.53,tan58°a1.60）

N45\

E\-58叭戊\8

DGC

55.（2024?廣東?中考真題）中國新能源汽車為全球應(yīng)對氣候變化和綠色低碳轉(zhuǎn)型作出了巨大貢獻(xiàn).為滿足

新能源汽車的充電需求，某小區(qū)增設(shè)了充電站，如圖是矩形PQWN充電站的平面示意圖，矩形ABC。是其

中一個停車位.經(jīng)測量，ZABQ=60。，AB=5.4m,CE=1.6m,GHLCD,GH是另一個車位的寬，所

有車位的長寬相同，按圖示并列劃定.

根據(jù)以上信息回答下列問題：（結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)石。1.73）

⑴求PQ的長；

⑵該充電站有20個停車位，求PN的長.

56.（2024?廣東廣州.中考真題）2024年6月2日，嫦娥六號著陸器和上升器組合體（簡稱為“著上組合體”）

成功著陸在月球背面.某校綜合實踐小組制作了一個“著上組合體”的模擬裝置，在一次試驗中，如圖，該模

擬裝置在緩速下降階段從A點垂直下降到3點，再垂直下降到著陸點C,從8點測得地面D點的俯角為

36.87°,AD=17米，即=10米.

⑴求8的長；

⑵若模擬裝置從A點以每秒2米的速度勻速下降到B點,求模擬裝置從A點下降到8點的時間.（參考數(shù)據(jù)：

sin36.87。=0.60,cos36.87°?0.80,tan36.87°?0.75）

57.（2024?青海?中考真題）如圖，某種攝像頭識別到最遠(yuǎn)點A的俯角。是:17。，識別到最近點8的俯角夕是

45°,該攝像頭安裝在距地面5m的點C處，求最遠(yuǎn)點與最近點之間的距離A8（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：

sinl7°?0.29,cosl7°?0.96,tanl7°?0.31）.

c

58.（2024?陜西?中考真題）問題提出

（1）如圖1,在4ABe中，AB=15,ZC=30°,作ASC的外接圓O.則ACB的長為;（結(jié)果

保留兀）

問題解決

圖1

（2）如圖2所示，道路AB的一側(cè)是濕地.某生態(tài)研究所在濕地上建有觀測點D,E,C,線段AD,AC和BC

為觀測步道,其中點A和點3為觀測步道出入口，已知點E在AC上，且AE=EC,小R=60。，ZABC=120。,

=1200m,/1D=3C=900m,現(xiàn)要在濕地上修建一個新觀測點P,使/DPC=60。.再在線段AB上選一

個新的步道出入口點尸，并修通三條新步道尸產(chǎn)，PD,PC,使新步道尸尸經(jīng)過觀測點E,并將五邊形A3cPD

的面積平分.

請問：是否存在滿足要求的點P和點F?若存在，求此時尸產(chǎn)的長；若不存在，請說明理由?（點A,B,C,

P,。在同一平面內(nèi)，道路與觀測步道的寬、觀測點及出入口的大小均忽略不計，結(jié)果保留根號）

專題28解直角三角形（58題）

一、單選題

1.（2024?吉林長春?中考真題）2024年5月29日16時12分，“長春凈月一號”衛(wèi)星搭乘谷神星一號火箭在

黃海海域成功發(fā)射.當(dāng)火箭上升到點A時，位于海平面R處的雷達(dá)測得點R到點A的距離為。千米，仰角為

e,則此時火箭距海平面的高度從為（）

D

C.acos。千米-扁千米

【答案】A

【分析】本題考查解直角三角形，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵，根據(jù)銳角的正弦函數(shù)的定義即可

求解

ATAL

【詳解】解：由題意得…n*

1ra

AL=asine千米

故選：A

2.（2024?天津?中考真題）J5cos45-1的值等于（）

C.昱一1

A.0B.1D.72-1

2

【答案】A

熟記特殊的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵；根據(jù)cos450=變代入即可

【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值,

2

求解.

【詳解】V2cos45-l=0x叵一1=0,

2

故選：A.

4

3.（2024.甘肅臨夏.中考真題）如圖，在ABC中，AB=AC=5,sinB=-,則的長是（）

A

A.3B.6C.8D.9

【答案】B

【分析】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理.正確作出輔助線是解題關(guān)鍵.過點A作

于點D由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出3。=8=1比.根據(jù)sinB=4f=±,可求出4）=4,

2AB5

最后根據(jù)勾股定理可求出3。=3,即得出3c=23D=6.

【詳解】解：如圖，過點A作AD13C于點D

：AB=AC=5,

BD=CD=-BC.

2

在RtAABD中，sinB=,

44

AD=-AB=-x5=4,

55

BD=y/AB2-AD2=斤，=3，

：.BC=2BD=6.

故選B.

4.（2024.四川自貢.中考真題）如圖，等邊、ABC鋼架的立柱CDLAB于點。，A3長12m.現(xiàn)將鋼架立柱

縮短成DE,NBED=60°.則新鋼架減少用鋼（）

A.（24-12V3）mB.（24-86）mC.（24-64）mD.（24-4班）m

【答案】D

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用.利用三角函數(shù)的定義分別求得。E=2石,

BE=4s/3=AE,CD=66,利用新鋼架減少用鋼=AC+3C+CD—AE-BE—DE,代入數(shù)據(jù)計算即可求

解.

【詳解】解：：等邊.ASC,CDLAB于點。，長12m,

AD=BD=—AB=6m,

2

ZB￡D=60°,

Atan60°=—=^,

DE

DE=26,

BE=ylDE2+BD2=4A/3=AE>

/CBD=60°,

CD=BD-tanZCBD=0BD=66m,5C=AC=AB=12m,

...新鋼架減少用鋼=AC+BC+CD—AE—BE—DE

=24+673-8^-2A/3=（24-4^）m,

故選：D.

5.（2024.四川德陽?中考真題）某校學(xué)生開展綜合實踐活動，測量一建筑物8的高度，在建筑物旁邊有一

高度為10米的小樓房A8,小李同學(xué)在小樓房樓底B處測得C處的仰角為60。，在小樓房樓頂A處測得C處

的仰角為30。.CAB,CD在同一平面內(nèi)，在同一水平面上），則建筑物CD的高為（）米

A.20B.15C.12D.10+56

【答案】B

【分析】本題考查的是解直角三角形的實際應(yīng)用，如圖，過A作AE_LCD于E,則四邊形ABZ定為矩形，

設(shè)CE=x,而NC4￡=30。，可得AE=—=6x=BD,CD=x+10,結(jié)合tan60。=^^=—『—=0,

tan30°BD

再解方程即可.

【詳解】解：如圖，過A作AE_LCD于E,

依題意，AB1BD,CDLBD

，四邊形ABDE為矩形，

/.AB=DE=\G,AE=BD,

設(shè)CE=x,而/G4E=30°,

AE=。七=6X=BD,

tan30°

CD=x+W,

CDx+10/r

tan60=-----=—T=-=,

BD后

解得：x=5,

經(jīng)檢驗x=5是原方程的解，且符合題意;

CD=x+10=15（m）,

故選B

6.（2024?廣東深圳?中考真題）如圖，為了測量某電子廠的高度，小明用高1.8m的測量儀所測得的仰角為45。,

小軍在小明的前面5m處用高1.5m的測量儀8測得的仰角為53。，則電子廠A8的高度為（）（參考數(shù)據(jù)：

434

sin53°?—,cos53°?—,tan53°?—）

553

FDB

A.22.7mB.22.4mC.21.2mD.23.0m

【答案】A

【分析】本題考查了與仰角有關(guān)的解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，先證明四邊形E/Z>G、EFBM、

CDBN是矩形，再設(shè)GM=;on,表示EM=（x+5）m,然后在RbAEM,tan/AEAf=3■，以及

EM

Rt.47乂1211446汽=券,運(yùn)用線段和差關(guān)系，^MN=AN-AM=^x-（x+5）=0.3,再求出x=15.9m,

即可作答.

【詳解】解：如圖：延長。。交于一點G,

A

?*

■???

*■■?

Et^-........rM

FDB

'：ZMEF=ZEFB=ZCDF=90°

工四邊形瓦DG是矩形

ZMEF=ZEFB=ZB=90°

???四邊形由N是矩形

同理得四邊形CDBN是矩形

依題意，得EF=MB=L8m,CD=1.5m,NAEM=45。,ZACN=53°

JCG=(1.8-L5)m=0.3m,FD=EG=5m

CG=MN=0.3m

GM=ATQ,貝lJEM=(x+5)m

在RtAEM.tanZAEM=——，

EM

EMxl=AM

即AM=(x+5)m

AN

在Rt_ACN,tan/ACN=——，

CN

4

???CNtan53°=-x=AN

3

4

即AN=—xm

4

：.MN=AN-AM=-x-(x+5)=0.3

x=15.9m

/.AM=15.9+5=20.9(m)

/.ABAM+EF^AM+MB^20.9+1.8=22.1(m)

故選：A

7.（2024.內(nèi)蒙古包頭.中考真題）如圖，在矩形ABCD中，E,尸是邊BC上兩點，且BE=EF=FC,連接

與.相交于點G,連接3G.若AB=4,BC=6,則sin/GBP的值為（）

【答案】A

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，求角的正弦值：過點G作GHL8C,證明

AGDsFGE,得到多=竿==，再證明GHFsABF,分別求出以6尸”的長，進(jìn)而求出出/的長,

AGAD3

勾股定理求出BG的長，再利用正弦的定義，求解即可.

【詳解】解：???矩形ABCD,BE=EF=FC,AB=4,BC=6,

；.AD=BC=6,AD//BC,BE=EF=FC=2,

：.AGD^FGE,BF=4,

.FGEF_1

?FG_1

**AF-4

過點G作GH_L4C,貝（J：GH//AB,

：?.GHFs.ABF,

,FHGHFG_1

-AB-AF-4?

FH=-BF=1,GH=-AB=1,

44

：.BH=BF-FH=3,

??BG=Jl2+3?=，

1

sinZGBF=-

BGVio~io~

故選A.

8.（2024.黑龍江大興安嶺地.中考真題）如圖，菱形ABCD中，點。是5。的中點，AM±BC,垂足為M,

AM交BD于點、N,OM=2,BD=8,則MN的長為（）

【答案】C

【分析】本題主要考查了解三角形，菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半.

先由菱形性質(zhì)可得對角線AC與交于點0,由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得。4=OC=Q0=2,

進(jìn)而由菱形對角線求出邊長，由5由/加4。=5皿/。5。=好解三角形即可求出/。=4。5由/肱4。=述，

55

MN=BMtanZOBC=.

5

???菱形A3CD中，AC與互相垂直平分，

又???點。是50的中點，

???A、0、C三點在同一直線上，

：.OA=OC,

VOM=2,AM.LBC,

：.OA=OC=OM=2,

■:BD=8,

OB=OD=-BD=4,

2

_____________OC21

BC=yjOB1+OC1=A/42+22=2石，tanZOBC=方=j=萬，

VZACM+ZMAC=90°,ZACM+ZOBC=90°,

ZMAC=ZOBC

：.sinZMAC=sinZOBC=—=-^==—,

BC2y/55

MC=ACsinZMAC=—,

5

BM=BC-MC=2A/5--=—,

55

/.MN=BMtanZOBC=處上=垣,

525

故選：C.

9.（2024.四川樂山.中考真題）如圖，在菱形ABCD中，ZABC=60°,AB=1,點尸是3c邊上一個動點，

在3C延長線上找一點。，使得點尸和點。關(guān)于點C對稱，連接。P、A。交于點當(dāng)點P從B點運(yùn)動到C

點時，點M的運(yùn)動路徑長為（）

【分析】該題主要考查了菱形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點，解

題的關(guān)鍵是掌握以上點M的運(yùn)動路徑.

過點C作CHLAZ）交AD于點”，根據(jù)NABC=60。，四邊形ABCD是菱形，AB=1,算出DH=1,得出

AH=DH,CH垂直平分AD,再證明