2024年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：四邊形（解答題一）

2024年中考數(shù)學(xué)真題知識點分類匯編之四邊形(解答題一)

—.解答題(共20小題)

1.如圖，在四邊形A8CD中，ZA=ZB=90°,。是邊AB的中點，ZAOD=ZBOC.求證：四邊形A3CZ)

2.如圖，在△ABC中，AB=AC=5,8C=6.點。是邊BC上的一點(點。不與點8、C重合)，作射線

AD,在射線上取點P,使AP=BD,以AP為邊作正方形APMN,使點M和點C在直線AD同側(cè).

(1)當(dāng)點。是邊BC的中點時，求的長；

(2)當(dāng)BD=4時，點。到直線AC的距離為；

(3)連結(jié)PN,當(dāng)PALLAC時，求正方形ARWN的邊長；

(4)若點N到直線AC的距離是點M到直線AC距離的3倍，則CD的長為.

3.如圖，在DABC。中，對角線AC,80相交于點O,ZABC=9Q°.

(1)求證：AC=BD；

(2)點E在BC邊上，滿足NCEO=/COE.若AB=6,BC=8,求CE的長及tan/CEO的值.

4.【問題呈現(xiàn)】小明在數(shù)學(xué)興趣小組活動時遇到一個幾何問題：如圖①，在等邊△ABC中，A8=3,點〃、

N分別在邊AC、8C上，且AM=CN,試探究線段MN長度的最小值.

【問題分析】小明通過構(gòu)造平行四邊形，將雙動點問題轉(zhuǎn)化為單動點問題，再通過定角發(fā)現(xiàn)這個動點的

運動路徑，進而解決上述幾何問題.

【問題解決】如圖②，過點C、M分別作MN、8c的平行線，并交于點P,作射線AP.

在【問題呈現(xiàn)】的條件下，完成下列問題:

(1)證明：AM^MP；

(2)/CAP的大小為度，線段MN長度的最小值為.

【方法應(yīng)用】某種簡易房屋在整體運輸前需用鋼絲繩進行加固處理，如圖③.小明收集了該房屋的相關(guān)

數(shù)據(jù)，并畫出了示意圖，如圖④，△ABC是等腰三角形，四邊形是矩形，4B=AC=Cr>=2米,

ZACB=30°.MN是一條兩端點位置和長度均可調(diào)節(jié)的鋼絲繩，點M在AC上，點N在。E上.在調(diào)

整鋼絲繩端點位置時，其長度也隨之改變，但需始終保持AM=DN.鋼絲繩MN長度的最小值為

米.

5.如圖，在四邊形中，NA=90°,連接BZ),過點C作CELAB,垂足為E,CE交BD于點F,

Z1=ZABC.

(1)求證：/2=/3；

(2)若N4=45°.

①請判斷線段8C,3。的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

②若BC=13,AD=5,求EE的長.

順次連接任意一個四邊形的中點得到一個新四邊形，我們稱這個新四邊形為原四邊形的中點四邊形.數(shù)

學(xué)興趣小組通過作圖、測量，猜想：原四邊形的對角線對中點四邊形的形狀有著決定性作用.

以下從對角線的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系兩個方面展開探究.

【探究一】

原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀

不相等、不垂直平行四邊形

如圖1,在四邊形ABC。中，E、F、G、”分別是各邊的中點.

求證：中點四邊形EFGH是平行四邊形.

證明：?:E、F、G、H分別是A3、BC、CD、D4的中點，

EF、GH分別是△ABC和△AC￡＞的中位線，

：.EF=^AC,GH=|AC(①).

：.EF=GH.

同理可得：EH=FG.

/.中點四邊形EFGH是平行四邊形.

結(jié)論：任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形.

(1)請你補全上述過程中的證明依據(jù)①.

【探究二】

原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀

不相等、不垂直平行四邊形r--r

II/

?y1

AC=BD菱形「訪

B屹

內(nèi)

C

從作圖、測量結(jié)果得出猜想I：原四邊形的對角線相等時，中點四邊形是菱形.

(2)下面我們結(jié)合圖2來證明猜想I,請你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后續(xù)的證明過程.

【探究三】

原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀

不相等、不垂直平行四邊形

ACLBD

(3)從作圖、測量結(jié)果得出猜想H：原四邊形對角線垂直時，中點四邊形是②.

(4)下面我們結(jié)合圖3來證明猜想II,請你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后續(xù)的證明過程.

【歸納總結(jié)】

(5)請你根據(jù)上述探究過程，補全下面的結(jié)論，并在圖4中畫出對應(yīng)的圖形.

原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀

結(jié)論：原四邊形對角線③時，中點四邊形是④.

7.綜合與實踐

為了研究折紙過程蘊含的數(shù)學(xué)知識，某校九年級數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進行了數(shù)學(xué)折紙?zhí)骄炕顒?

【探究發(fā)現(xiàn)】

(1)同學(xué)們對一張矩形紙片進行折疊，如圖1,把矩形紙片翻折，使矩形頂點B的對應(yīng)點G恰

好落在矩形的一邊C。上，折痕為將紙片展平，連結(jié)8G.EF與8G相交于點H.同學(xué)們發(fā)現(xiàn)圖

EFAB

形中四條線段成比例，即二7=二7?請你判斷同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明理由.

BGBC

【拓展延伸】

(2)同學(xué)們對老師給出的一張平行四邊形紙片進行研究，如圖2,3。是平行四邊形紙片ABC。的一條

對角線，同學(xué)們將該平行四邊形紙片翻折，使點A的對應(yīng)點G,點C的對應(yīng)點X都落在對角線BD上，

折痕分別是BE和。R將紙片展平，連結(jié)EG,FH,FG.同學(xué)們探究后發(fā)現(xiàn)，若FG〃CD,那么點G

恰好是對角線的一個“黃金分割點”，即請你判斷同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明

理由.

8.如圖，點。是口ABC。對角線的交點，過點。的直線分別交AD,BC于點E,F.

(1)求證：△(?￡)￡絲△03F；

(2)當(dāng)斯_LB。時，DE=15cm,分別連接BE,DF.求此時四邊形3即尸的周長.

9.小明在學(xué)習(xí)時發(fā)現(xiàn)四邊形面積與對角線存在關(guān)聯(lián)，下面是他的研究過程：

【探究論證】

(1)如圖①，在△ABC中，AB=BC,BD±AC,垂足為點。.若CZ)=2,BD=1,貝US^ABC=

(2)如圖②，在菱形A'B'CD'中，A'C=4,B'D'=2,貝US菱形A，B，GD=.

(3)如圖③，在四邊形E/GH中，EGLFH,垂足為點。.

EG—5,FH=3,則S四邊形EFGH=；

右EG=a,FH=b,猜想S四邊形EFGH與Cl,匕的關(guān)系，并證明你的猜想.

【理解運用】

如圖④，在△MNK中，MN=3,KN=4,MK=5,點尸為邊MN上一點.小明利用直尺和圓規(guī)分四步

作圖；

(i)以點K為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交邊KN,KM于點R,I；

(ii)以點尸為圓心，KR長為半徑畫弧，交線段PM于點/'；

(iii)以點/'為圓心，/R長為半徑畫弧，交前一條弧于點R',點R',K在同側(cè)；

(iv)過點P畫射線PR',在射線PR'上截取尸。=KN,連接KP,KQ,MQ.

請你直接寫出S四邊形MPKQ的值.

10.如圖，在口ABC。中，NA2C為銳角，點E在邊4。上，連接BE,CE,且SAABE=SADCE.

(1)如圖1,若尸是邊BC的中點，連接斯，對角線AC分別與3E,所相交于點G,H.

①求證：H是AC的中點；

②求AG：GH-.HC；

(2)如圖2,BE的延長線與8的延長線相交于點連接AM,CE的延長線與AM相交于點N.試

圖1圖2

11.垂中平行四邊形的定義如下：在平行四邊形中，過一個頂點作關(guān)于不相鄰的兩個頂點的對角線的垂線

交平行四邊形的一條邊，若交點是這條邊的中點，則該平行四邊形是“垂中平行四邊形”.

(1)如圖所示，四邊形ABCD為“垂中平行四邊形"，AF=V5,CE=2,則AE=；AB

(2)如圖2,若四邊形ABC。為“垂中平行四邊形"，且AB=8。，猜想AE與C。的關(guān)系，并說明理

由；

(3)①如圖3所示，在△ABC中，BE=5,CE=2AE=12,8EJ_AC交AC于點E,請畫出以8c為邊

的垂中平行四邊形，要求：點A在垂中平行四邊形的一條邊上(溫馨提示：不限作圖工具)；

②若△ABC關(guān)于直線AC對稱得到△A8C,連接C8,作射線C2'交①中所畫平行四邊形的邊于點P,

連接PE,請直接寫出PE的值.

圖1圖2

圖3圖3備用圖

12.尺規(guī)作圖問題：

如圖1,點E是口A8CD邊A。上一點(不包含A,D),連接CE.用尺規(guī)作A尸〃CE,尸是邊BC上一

點.

小明：如圖2.以。為圓心，AE長為半徑作弧，交8C于點F,連接AF,貝UA/〃CE.

小麗：以點A為圓心，CE長為半徑作弧，交BC于點F,連接AF,則A尸〃CE.

小明：小麗，你的作法有問題.

小麗：哦…我明白了！

(1)證明AF//CE；

(2)指出小麗作法中存在的問

題.圖1圖2

13.情境圖1是由正方形紙片去掉一個以中心。為頂點的等腰直角三角形后得到的.該紙片通過裁剪，

可拼接為圖2所示的鉆石型五邊形，數(shù)據(jù)如圖所示.

（說明：紙片不折疊，拼接不重疊無縫隙無剩余）

操作嘉嘉將圖1所示的紙片通過裁剪，拼成了鉆石型五邊形.

如圖3,嘉嘉沿虛線ERG8裁剪，將該紙片剪成①，②，③三塊，再按照圖4所示進行拼接.根據(jù)嘉

嘉的剪拼過程，解答問題：

（1）直接寫出線段EF的長；

（2）直接寫出圖3中所有與線段BE相等的線段，并計算BE的長.

探究淇淇說：將圖1所示紙片沿直線裁剪，剪成兩塊，就可以拼成鉆石型五邊形.

請你按照淇淇的說法設(shè)計一種方案：在圖5所示紙片的邊上找一點P（可以借助刻度尺或圓規(guī)），

畫出裁剪線（線段尸。）的位置，并直接寫出的長.

14.如圖，在平行四邊形ABC。中，E、尸是對角線AC上的兩點，且AE=CF,求證：BE=DF.

AD

E

〃尸、/

BC

15.如圖，某校勞動實踐基地用總長為80機的柵欄，圍成一塊一邊靠墻的矩形實驗田，墻長為42m柵欄

在安裝過程中不重疊、無損耗，設(shè)矩形實驗田與墻垂直的一邊長為x(單位：機)，與墻平行的一邊長為

y(單位：加)，面積為S(單位：毋).

(1)直接寫出y與尤，S與x之間的函數(shù)解析式(不要求寫x的取值范圍)；

(2)矩形實驗田的面積S能達到750〃，嗎？如果能，求尤的值；如果不能，請說明理由；

(3)當(dāng)x的值是多少時，矩形實驗田的面積S最大？最大面積是多少？

一42m一

工實驗田力

y

16.綜合與實踐

在學(xué)習(xí)特殊四邊形的過程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗.請運用已有經(jīng)驗，對“鄰等對補四邊形”進

行研究.

定義：至少有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做鄰等對補四邊形.

(1)操作判斷

用分別含有30。和45°角的直角三角形紙板拼出如圖1所示的4個四邊形，其中是鄰等對補四邊形的

有(填序號).

(2)性質(zhì)探究

根據(jù)定義可得出鄰等對補四邊形的邊、角的性質(zhì).下面研究與對角線相關(guān)的性質(zhì).

如圖2,四邊形是鄰等對補四邊形，AB=AD,AC是它的一條對角線.

①寫出圖中相等的角，并說明理由；

②若BC=%,DC=n,ZBCD=2Q,求AC的長(用含加，"，。的式子表示).

(3)拓展應(yīng)用

如圖3,在Rt^ABC中，ZB=90°,AB=3,BC=4,分別在邊8C,AC上取點M,N,使四邊形A8MW

是鄰等對補四邊形.當(dāng)該鄰等對補四邊形僅有一組鄰邊相等時，請直接寫出8N的長.

圖2圖3

17.如圖，在四邊形ABC。中，E是A2的中點，DB,CE交于點、F,DF=FB,AF//DC.

(1)求證：四邊形為平行四邊形；

(2)若/EFB=9Q°,tanZFEB=3,EF=1,求BC的長.

18.將一個平行四邊形紙片0ABe放置在平面直角坐標(biāo)系中，點O(0,0),點A(3,0),點B,C在第

一象限，且。C=2,ZA0C=6Q°.

(I)填空：如圖①，點C的坐標(biāo)為,點B的坐標(biāo)為；

(II)若P為無軸的正半軸上一動點，過點P作直線軸，沿直線/折疊該紙片，折疊后點。的對

應(yīng)點。'落在x軸的正半軸上，點C的對應(yīng)點為C'.設(shè)。尸=/.

①如圖②，若直線/與邊相交于點。，當(dāng)折疊后四邊形尸。'C。與口O42C重疊部分為五邊形時，

O'C與A8相交于點E.試用含有/的式子表示線段BE的長，并直接寫出f的取值范圍；

圖①圖②

19.如圖，四邊形ABCD是矩形，點E和點尸在邊BC上，且BE=CR求證：AF=DE.

20.如圖，四邊形ABC。的對角線AC與2。相交于點O,AD//BC,ZABC=90°,有下列條件:

@AB//CD,?AD^BC.

(1)請從以上①②中任選1個作為條件，求證：四邊形ABC。是矩形；

(2)在(1)的條件下，若AB=3,AC=5,求四邊形ABC。的面積.

2024年中考數(shù)學(xué)真題知識點分類匯編之四邊形（解答題一）

參考答案與試題解析

一.解答題（共20小題）

1.如圖，在四邊形ABC。中，ZA=ZB=90°,。是邊48的中點，NAOD=NBOC.求證：四邊形ABC。

【專題】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】見解答.

【分析】先根據(jù)條件證明g△8OC,再證明四邊形ABCD是平行四邊形，最后根據(jù)平行四邊形

與矩形的關(guān)系進行證明即可.

【解答】解：由題可知，

是邊AB的中點，

.*.OA=OB,

在△AO。和△50。中，

Z-AOD=AB0C

OA=OB,

、乙4=乙B

：.AAOD^ABOC（ASA）,

：.DA=CB,

VZA=ZB=90°,

J.DA//CB,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

又???NA=90°,

???四邊形ABC。是矩形.

【點評】本題考查矩形的判斷，掌握矩形的判斷方法是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，在△A8C中，AB=AC=5,8C=6.點。是邊8c上的一點（點。不與點8、C重合），作射線

AD,在射線上取點P,使以AP為邊作正方形使點M和點C在直線AD同側(cè).

(1)當(dāng)點。是邊8c的中點時，求的長；

g

(2)當(dāng)8。=4時，點。到直線AC的距離為一；

—5—

(3)連結(jié)尸N,當(dāng)尸ALLAC時，求正方形APMN的邊長；

(4)若點N到直線AC的距離是點M到直線AC距離的3倍，則C。的長為空或空.(寫出一個

—9—6—

即可)

二__________

BD\C

【考點】四邊形綜合題.

【專題】幾何綜合題；方程思想；幾何直觀.

……81725-25

【答案】(1)4；(2)-；(3)—：(4)$或7■.

【分析】(1)通過等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得到80=3,再利用勾股定理即可；

(2)利用等面積即可求解；

(3)根據(jù)前述條件可得出/C的三角函數(shù)關(guān)系，從而得出△￡＞口?的三邊關(guān)系，再利用45。特殊角，設(shè)

參數(shù)，建立方程求解即可；

(4)分類討論，利用利用銳角三角函數(shù)得到的邊角關(guān)系，設(shè)參數(shù)建立方程即可.

【解答】解：(1)-：AB=AC,。是8C中點，

:.BD=CD,

,:BC=6,

1

：.BD=”。=3,

在中，AB=5,

：.AD=7AB2—BD2=4.

BDC

(2)如圖①，過。作。E_LAC于點E,作AF_L8C于點R

；BC=6,BD=4,

：.CD=2,

由⑴知4尸=4,

VSMCD-|AC?￡)￡=^CD-AF,

即5DE=8,

???DnzE?=引8

8

...點。到AC的距圖是g.

(3)當(dāng)PN_LAC時，如圖②，

VZDAC=45°,設(shè)AP=x,則8=6-尤.

43

DE=AE=耳(6—%),CE=耳(6一%),

43

(6—%)+―(6—%)=5,

解得：X=芋，

17

即正方形邊長為亍.

(4)①M、N在AC同側(cè)時如圖③，

,/點N到直線AC的距離是點M到AC距離的3倍,

2

tanZ-DAC—

42

設(shè)CD=x,DE=5％,CE=可久,

?\AE=/％，

?63

-%+—x=5,

圖③

②M、N在AC兩側(cè)時如圖④，

?.?點N到直線AC的距離是點M到AC距離的3倍,

4

/.tanZ.DAC=可,

43

設(shè)CD=x,DE=5%,CE=百％,

.333

/.AE=q%,-％+—％=5,

，55

解得：工得

圖④

綜上，CD的值為：;■或

96

故答案為：言或烏.

96

【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形、正方形的性質(zhì)等內(nèi)容，熟練掌

握相關(guān)知識和建立方程思想是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，在口ABC。中，對角線AC,8。相交于點O,ZABC=90°.

(1)求證：AC=BD；

(2)點E在BC邊上，滿足NCEO=/COE.若AB=6,BC=8,求CE的長及tan/CE。的值.

【考點】平行四邊形的性質(zhì)；解直角三角形.

【專題】多邊形與平行四邊形；運算能力；推理能力.

【答案】(1)證明見解答；

(2)CE的長為5,tan/CE。的值為3.

【分析】(1)由四邊形ABC。是平行四邊形，ZABC=90°,證明四邊形ABC。是矩形，則AC=BZ)；

(2)作OH_LBC于點”，由AB=6,BC=8,求得AC=10,貝!JCE=OC=OA=5,再證明OC=OB,

則8C=/ffi=4,求得EH=1,由器=黃=tan/AC8,求得OH=需?HC=3,tan/CEO=需=3.

【解答】(1)證明：：四邊形ABCD是平行四邊形，ZABC=9Q°,

四邊形ABCD是矩形，

C.AC^BD.

(2)作O8_LBC于點則/O/ffi=NOWC=90°,

VZABC=90°,AB=6,BC=8,

：.AC=>JAB2+BC2=V62+82=10,

1

???OC=OA=^AC=5f

■:/CEO=/COE,

；?CE=OC=5,

vOC=OA=|AC,OB=OD=：BD,且AC=8。,

???OC=OB,

1

：.HC=HB=沏7=4,

：.EH=CE-HC=5-4=1,

OHAB

=—=tanZACB,

HCBC

.?.OH=^?HC=|x4=3,

CH2

tanNCEO==1=3，

???CE的長為5,tanNCEO的值為3.

【點評】此題重點考查平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形等知識，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

4.【問題呈現(xiàn)】小明在數(shù)學(xué)興趣小組活動時遇到一個幾何問題：如圖①，在等邊△ABC中，AB=3,點M、

N分別在邊AC、BC上,且AM=CN,試探究線段MN長度的最小值.

【問題分析】小明通過構(gòu)造平行四邊形，將雙動點問題轉(zhuǎn)化為單動點問題，再通過定角發(fā)現(xiàn)這個動點的

運動路徑，進而解決上述幾何問題.

【問題解決】如圖②，過點C、M分別作跖V、BC的平行線，并交于點P,作射線AP.

在【問題呈現(xiàn)】的條件下，完成下列問題：

(1)證明：AM=MP；

3

(2)/CAP的大小為30度，線段長度的最小值為-.

----------2一

【方法應(yīng)用】某種簡易房屋在整體運輸前需用鋼絲繩進行加固處理，如圖③.小明收集了該房屋的相關(guān)

數(shù)據(jù)，并畫出了示意圖，如圖④，△ABC是等腰三角形，四邊形BCDE是矩形，AB=AC=Cr>=2米，

ZACB=30°.MN是一條兩端點位置和長度均可調(diào)節(jié)的鋼絲繩，點M在AC上，點N在DE上.在調(diào)

整鋼絲繩端點位置時，其長度也隨之改變，但需始終保持鋼絲繩MN長度的最小值為

米.

【考點】四邊形綜合題.

【專題】幾何綜合題；幾何直觀.

3

【答案】(1)證明過程見解析；(2)30,-；(3)V6.

2

【分析】(1)先證四邊形CPMN是平行四邊形得到MP=NC=AM.

(2)利用等腰三角形可得NCAP=NAffl4=30°,再將MN轉(zhuǎn)化成PC,PCLAP時有最小值，即可求

解；

(3)參考上述思路構(gòu)造平行四邊形，將MN轉(zhuǎn)化成。尸，再求得/B4￡>=45°,AD=2百即可求解.

【解答】(1)證明：：C尸〃MN,MP//NC,

：.四邊形CPMN是平行四邊形，

：.MP=NC,

又,：AM=CN,

：.AM=MP.

(2)解：SAM^MP,

：.ZCAP^ZMPA,

,：ZPMC=ZACB=60°,

：.ZCAP=ZMPA=30°.

,/四邊形CPMN是平行四邊形，

:.MN=PC,

當(dāng)尸C_LAP最小時，MN也有最小值，

此時PC=1AC=|.

3

???MN最小值是

故答案為：30,|.

(3)解：如圖過M、。作瓦)、MN的平行線，則四邊形MND尸是平行四邊形，

:.MN=DP,ZPMC=ZACB=30°,

：.ZPAM=ZAPM=15°,

當(dāng)OP_LAP時，OP最小，

VZACZ)=120°,

：.ZCAD=30°,

ZPAD=ZCAZ)+ZB4M=45°,

在△AC。中，AD=V3AC=2V3,

：.DP=AD-sin45°=V6.

故答案為：V6.

【點評】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、矩形的性

質(zhì)、解直角三角形等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識和理解題干給的方法是解題關(guān)鍵.

5.如圖，在四邊形ABC。中，NA=90°,連接B。，過點C作CE_LAB,垂足為E,CE交BD于點F,

Z1=ZABC.

(1)求證：Z2=Z3；

(2)若N4=45°.

①請判斷線段8C,BD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

②若8C=13,AD=5,求所的長.

【考點】四邊形綜合題.

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；圖形的相似；推理能力.

【答案】(1)見解析過程；

(2)①BC=BD,理由見解析過程；

@EF=裳

【分析】⑴由余角的性質(zhì)可得Nl+N3=90°,N2+N4BC=90°,根據(jù)N1=NA2C,可得N2=N3；

(2)①設(shè)/2=/3=無，可求/8/芭=90°-x=NZ)FC,可求/BCD=NBOC=45°+無，可得8C=B。；

②由勾股定理可求AB=12,由“A4S”可證之△EBC,可得BE=AD=5,通過證明

,EFBE…

ADB,可得—=—，即可求解.

ADAB

【解答】(1)證明：???CE_L43,

：.ZCEB=90°=NA,

???N1+N3=9O°,Z2+ZABC=90°,

VZ1=ZABC,

.*.Z2=Z3；

(2)解：①BC=BD,理由如下：設(shè)N2=N3=x,

：.ZBFE=90°-x=/DFC,

VZ4=45°,

：.ZCDB=\80°-45°-(90°-x)=45°+x,

VZBC￡)=Z4+Z2=45°+%,

：.ZBCD=ZBDC,

：.BC=BD；

②???BC=8Q=13,AD=5,

：.AB=<BD2-AD2=469-25=12,

?；BC=BD,NA=/CEB,N2=N3,

AAADB^AEBC(A4S),

；?BE=AD=5,

VZA=ZCEB,Z3=Z3,

???△EFBsLADB,

.EF_BE

??—,

ADAB

EF5

【點評】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理,

直角三角形的性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.

6.綜合與實踐

順次連接任意一個四邊形的中點得到一個新四邊形，我們稱這個新四邊形為原四邊形的中點四邊形.數(shù)

學(xué)興趣小組通過作圖、測量，猜想：原四邊形的對角線對中點四邊形的形狀有著決定性作用.

以下從對角線的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系兩個方面展開探究.

【探究一】

原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀

不相等、不垂直平行四邊形

圖1

如圖1,在四邊形ABC。中，E、F、G、H分別是各邊的中點.

求證：中點四邊形斯G8是平行四邊形.

證明：:E、F、G、H分別是A8、BC、CD、D4的中點,

:.EF、G8分別是△ABC和△ACD的中位線,

：.EF^^AC,GH=|AC(?).

：.EF=GH.

同理可得：EH=FG.

/.中點四邊形EFGH是平行四邊形.

結(jié)論：任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形.

(1)請你補全上述過程中的證明依據(jù)①三角形中位線定理

【探究二】

原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀

不相等、不垂直平行四邊形?-----r

'7

AC=BD菱形

1C

從作圖、測量結(jié)果得出猜想I:原四邊形的對角線相等時，中點四邊形是菱形.

(2)下面我們結(jié)合圖2來證明猜想I,請你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后續(xù)的證明過程.

【探究三】

原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀

不相等、不垂直平行四邊形

ACLBD

I___L

(3)從作圖、測量結(jié)果得出猜想H：原四邊形對角線垂直時，中點四邊形是②矩形.

(4)下面我們結(jié)合圖3來證明猜想II,請你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后續(xù)的證明過程.

【歸納總結(jié)】

(5)請你根據(jù)上述探究過程，補全下面的結(jié)論，并在圖4中畫出對應(yīng)的圖形.

原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀

③④

T1

L--1

圖4

結(jié)論：原四邊形對角線③且AC=8￡＞時,中點四邊形是④正方形.

【考點】四邊形綜合題.

【專題】幾何綜合題；推理能力.

【答案】(1)三角形中位線定理;

(2)見解析;

(3)矩形;

(4)見解析;

(5)AC_LBD且AC=2￡＞；正方形.

【分析】(1)根據(jù)三角形中位線定理即可得到結(jié)論;

(2)根據(jù)三角形中位線定理得到EE=G”.同理可得：EH=FG.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到中點四邊

形EFG”是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論;

(3)根據(jù)菱形的判定定理得到結(jié)論;

(4)根據(jù)三角形中位線定理得到EH//BD,EF//AC,根據(jù)平行四邊形的判定定理得到四邊形EMON

是平行四邊形，求得,根據(jù)矩形的判定定理得到中點四邊形EFGH是矩形;

(5)根據(jù)正方形的判定定理即可得到結(jié)論.

【解答】(1)解：①三角形中位線定理,

故答案為：三角形中位線定理;

(2)證明：:AC=BD,

：.EF=FG,

中點四邊形EFGH是菱形;

(3)解：②矩形;

故答案為：矩形;

(4)證明：???￡”，跖分別是△A3。和△ABC的中位線,

圖3

：.EH//BD,EF//AC,

四邊形EMON是平行四邊形，

:.NMON=90°,

:.NMEN=NMON=90°,

/.中點四邊形EFGH是矩形；

(5)解：?AC±BDS.AC=BD；

圖4

④正方形；

理由：由(2)知中點四邊形EFG8是菱形.由(4)知中點四邊形EFG8是矩形，

中點四邊形EFGH是正方形.

故答案為：ACL89且AC=8。；正方形.

【點評】本題是四邊形的綜合題，考查了中點四邊形，平行四邊形的判定，矩形的判定菱形的判定正方

形的判定，三角形中位線定理，熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵.

7.綜合與實踐

為了研究折紙過程蘊含的數(shù)學(xué)知識，某校九年級數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進行了數(shù)學(xué)折紙?zhí)骄炕顒?

【探究發(fā)現(xiàn)】

（1）同學(xué)們對一張矩形紙片進行折疊，如圖1，把矩形紙片ABCD翻折，使矩形頂點8的對應(yīng)點G恰

好落在矩形的一邊。上，折痕為ER將紙片展平，連結(jié)8G.所與BG相交于點同學(xué)們發(fā)現(xiàn)圖

EFzD

形中四條線段成比例，即=7請你判斷同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明理由.

BGBC

【拓展延伸】

（2）同學(xué)們對老師給出的一張平行四邊形紙片進行研究，如圖2,8。是平行四邊形紙片A8Q）的一條

對角線，同學(xué)們將該平行四邊形紙片翻折，使點A的對應(yīng)點G,點C的對應(yīng)點”都落在對角線BD上，

折痕分別是BE和。F.將紙片展平，連結(jié)EG,FH,FG.同學(xué)們探究后發(fā)現(xiàn)，若FG〃CD,那么點G

恰好是對角線8。的一個“黃金分割點”，即8G2=2Z）?GD請你判斷同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明

理由.

AE

【考點】四邊形綜合題.

【專題】幾何綜合題；幾何直觀.

【答案】（1）過程詳見解析；（2）過程詳見解析.

【分析】（1）作EM_LBC于點證即可得證;

（2）利用平行線分線段比例，然后進行等線段轉(zhuǎn)化即可得證.

EFAB

【解答】解：（1）—=「正確，理由如下，

DGBC

作于點

AED

9：EFA.BG,

：?/BHF=90°,

：?NFBH+/BFH=90°.

u：ZEMF=90°,

???NMEF+/BFH=90°

：./FBH=ZMEF,

又〈NEM尸=NC=90°,

:.XEMFsXBCG.

EFEM

BG~BC，

?.,A8C。是矩形，EMLBC,

???四邊形是矩形.

：.AB=EM.

.EFAB

??BG~BC'

(2)同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)說法正確，理由如下，

'CCD//FG,

CDBD

：.—=—,ZCDF=ZDFG

FGBGf

由折疊知NCDF=NBDF,

：.ZDFG=ZBDF.

:?GD=GF.

.CDBD

??二,

GDBG

由平行四邊形及折疊知A8=5G,AB=CD,

.BGBD

??—,

GDBG

:.Ba=BD*GD

即點G為BD的一個黃金分割點.

【點評】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、折疊的性質(zhì)等知

識，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，點。是口ABC。對角線的交點，過點。的直線分別交AD,BC于點、E,F.

(1)求證：LODE冬AOBF；

(2)當(dāng)時，DE=15cm,分別連接BE,DF.求此時四邊形3即尸的周長.

AED

//

BpC~C

【考點】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】圖形的全等；多邊形與平行四邊形；運算能力；推理能力.

【答案】(1)證明見解答；

(2)四邊形BEDP的周長為60。加

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)得AO〃C8,則/。即=/。必，而/DOE=NBOF,OD=OB,即

可根據(jù)“A4S”證明△。。^^△。臺尸；

(2)由△OZJE經(jīng)△O8R得DE=BF,MDE//BF,所以四邊形8EZW是平行四邊形，因為EF_LB。,

所以四邊形BEZ乃是菱形，則。P+3P+2E+r>E=4OE=60cTO,于是得到問題的答案.

【解答】(1),?,四邊形ABCD是平行四邊形，

,JAD//CB,

；./OED=NOFB,

:點。是口ABCD對角線的交點，

：.OD=OB,

在△ODE和△OB尸中，

N0ED=乙OFB

Z-DOE=乙BOF,

0D=0B

???△ODE名AOBF(A4S).

(2)解:連接BE,DF,

由(1)得AODE2AOBF,

：.DE=BF,

'：DE//BF,

/.四邊形BED尸是平行四邊形，

'JEFLBD,

...四邊形8即尸是菱形，

:.DF=BF=BE=DE=15cm,

：.DF+BF+BE+DE=4DE=4X15=60(cm),

/.四邊形BEDF的周長為60cm.

【點評】此題重點考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)等知識，推導(dǎo)

出/OED=/OFB,OD=OB,進而證明△OOEg/XOBF是解題的關(guān)鍵.

9.小明在學(xué)習(xí)時發(fā)現(xiàn)四邊形面積與對角線存在關(guān)聯(lián)，下面是他的研究過程:

【探究論證】

(1)如圖①，在△ABC中，AB=BC,BD±AC,垂足為點。.若C￡)=2,BD=1,則SMBC=2

(2)如圖②，在菱形A'B'CD'中，A'C=4,B'D'=2,則S差彩A，B，cD，=4.

(3)如圖③，在四邊形所GH中，EGLFH,垂足為點。.

,15

右EG=5,FH=3,貝ljS四邊形￡7十汨=_萬_;

右EG—diFH=b,猜想S四邊形EFGH與a,6的關(guān)系，并證明你的猜想.

如圖④，在△MNK中，MN=3,KN=4,MK=5,點尸為邊MN上一點.小明利用直尺和圓規(guī)分四步

作圖；

(i)以點K為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交邊KN,KM于點R,I；

(ii)以點P為圓心，KR長為半徑畫弧，交線段于點;

(iii)以點/'為圓心，/R長為半徑畫弧，交前一條弧于點R',點R',K在MN同側(cè)；

(iv)過點P畫射線PR,在射線PR'上截取PQ=KN,連接KP,KQ,MQ.

請你直接寫出S四邊形A7PKQ的值.

【考點】四邊形綜合題.

【專題】矩形菱形正方形；幾何直觀.

【答案】(1)2；(2)4；(3)—.猜想：S四邊形EFGH=殍，證明詳見解析；(4)10.

【分析】(1)根據(jù)三角形的面積公式計算即可；

(2)根據(jù)菱形的面積公式計算即可；

(3)結(jié)合圖形有S四邊形EFGH=SAEFG+SAEHG=/EG*FO*EG*HO=矩G,FH,代入即可得解；

(4)先證明△MNK是直角三角形，由作圖可知：/QPM=/MKN,即可證明KM_LPQ,再利用(3)

中結(jié)論即可計算.

【解答】解：(1)???在△A3C中，AB=ACfBDLAC,CD=2,

：.AD=CD=2,

???AC=4,

SAABC=^AC9BD=2.

故答案為：2.

(2),??在菱形S菱形ABCD'AB'C。中，AC=4,B'D'=2,

1

???S菱形A8CD'=/C?8D'=4,

故答案為：4.

(3)VEG±FH,

11

：?SAEFG=*G?FO,S^EHG=^EG*HO,

11115

：?S四邊形EFGH=SAEFG+SAEHG=《EG。FO+《EG。HO=2EG?FH=二，

?，15

故答案為：—.

猜想：S四邊形所6"=竽，

11

證明：：.SAEFG^^EG'FO,SAEHG=泊電0,

:.S四邊形EFGH=S/\EFG+SAEHG=^EG-FO+^EG-HO=寺EG，F(xiàn)H=粵.

(4)根據(jù)尺規(guī)作圖可知：ZQPM=ZMKN,

:在△MNK中，MN=3,KN=4,MK=5,

.,.MK^^MISP+KN2,

...△MNK是直角三角形，且NMNK=90°,

:.NNMK+NMKN=90°,

,：ZQPM=ZMKN,

：.ZNMK+ZQPM^90°,

：.MK.LPQ,

'：PQ=KN=4,MK=5,

根據(jù)(3)中結(jié)論得S四邊形MPKQ=/WK?PQ=10.

【點評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、尺規(guī)作圖一作一個角等于已知角、勾股定理

逆定理等知識，整體難度不大，掌握以上知識是解題關(guān)鍵.

10.如圖，在口ABC。中，NA2C為銳角，點E在邊4。上，連接BE,CE,且&\ABE=SADCE.