2024年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題：矩形的存在性問(wèn)題（學(xué)生版+解析）

專題11矩形的存在性問(wèn)題

一、知識(shí)導(dǎo)航

矩形的判定：(1)有一個(gè)角是直角的平行四邊形；

(2)對(duì)角線相等的平行四邊形；

(3)有三個(gè)角為直角的四邊形.

【題型分析】

矩形除了具有平行四邊形的性質(zhì)之外，還有“對(duì)角線相等”或“內(nèi)角為直角“，因此相比起平行四邊形，坐標(biāo)系

中的矩形滿足以下3個(gè)等式：

XA+XC=XB+XD

<%+〃:=%+%(AC為對(duì)角線時(shí))

J(尤A-2)2+(%-%)2=Q(XBf)2+(力一力)

因此在矩形存在性問(wèn)題最多可以有3個(gè)未知量，代人可以得到三元一次方程組，可解.

確定了有3個(gè)未知量，則可判斷常見(jiàn)矩形存在性問(wèn)題至少有2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，多則可以有3個(gè).

題型如下：

(1)2個(gè)定點(diǎn)+1個(gè)半動(dòng)點(diǎn)+1個(gè)全動(dòng)點(diǎn)；

(2)1個(gè)定點(diǎn)+3個(gè)半動(dòng)點(diǎn).

【解析思路】

思路1:先直角，再矩形

在構(gòu)成矩形的4個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，必構(gòu)成直角三角形，以此為出發(fā)點(diǎn)，可先確定其中3個(gè)點(diǎn)構(gòu)造直角三

角形，再確定第4個(gè)點(diǎn).對(duì)“2定+1半動(dòng)+1全動(dòng)”尤其適用.

二、典例精析

引例：已知A(1,1)、B(4,2),點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)。在平面中，且以A、B、C、。為頂點(diǎn)的四邊形是

矩形，求。點(diǎn)坐標(biāo).

【分析】

點(diǎn)C滿足以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，構(gòu)造“兩線一圓''可得滿足條件的點(diǎn)C有614

y,OkC3（2,0）,C4（3,0）

在點(diǎn)C的基礎(chǔ)上，借助點(diǎn)的平移思路,可迅速得到點(diǎn)。的坐標(biāo).

八y

【小結(jié)】這種解決矩形存在性問(wèn)題的方法相當(dāng)于在直角三角形存在性問(wèn)題上再加一步求。點(diǎn)坐標(biāo)，也是因

為這兩個(gè)圖形之間的密切關(guān)系方能如此.

思路2:先平行，再矩形

當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，A、B、C、。滿足以下3個(gè)等式，則為矩形:

xA+xc=xB+xD

%+Yc=%+yD

其中第1、2個(gè)式子是平行四邊形的要求，再加上式3可為矩形.表示出點(diǎn)坐標(biāo)后，代入點(diǎn)坐標(biāo)解方程即可.

無(wú)論是“2定1半1全”還是“1定3半”，對(duì)于我們列方程來(lái)解都沒(méi)什么區(qū)別，能得到的都是三元一次方程組.

已知A(1,1)、B(4,2),點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)。在坐標(biāo)系中，且以A、B、C、。為頂點(diǎn)的四邊形是矩形,

求。點(diǎn)坐標(biāo).

【分析】

設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(a,0),。點(diǎn)坐標(biāo)為(6,c),又A(1,1)、B(4,2).

先考慮平行四邊形存在性：

(1)AB為對(duì)角線時(shí)，[+4="+',滿足此條件的C、。使得以A、B、C、。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊

[l+2=c+0

形，另外AB=C。，得：^/(4-1)2+(2-1)2=^(0-*)2+(0-^2,

a=3a=2

綜合以上可解：=2或1b=3.故。(3,0)、D(2,3)或C(2,0)、D(3,3).

c=3c=3

(2)AC為對(duì)角線時(shí)，另夕卜AC=B￡>,<y/(a-l)2+(O-l)2=^(Z?-4)2+(c-2)2,綜合以上可

14

Q=---

3

14

解得：b=-.故。,。、。加.

3

c=-1

(3)AZ)為對(duì)角線時(shí)，另外AQ=8C,得耳—1)2+"_1)2=而_4)2+(0—2)2,

4

ci———

3

13

綜合以上可解得:b=T.故c][,o

3

c=1

【小結(jié)】這個(gè)方法是在平行四邊形基礎(chǔ)上多加一個(gè)等式而已，剩下的都是計(jì)算的故事.

三、中考真題演練

1.(2023?遼寧丹東?中考真題)拋物線>=江+法-4與X軸交于點(diǎn)A(TO),B(2,0),與y軸交于點(diǎn)C.

備用圖

⑴求拋物線的表達(dá)式；

(3)若點(diǎn)尸是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與頂點(diǎn)重合)，點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)N在坐標(biāo)平

面內(nèi)，當(dāng)四邊形CMPN是矩形鄰邊之比為1:2時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

2.（2023海南?中考真題）如圖1,拋物線y=d+6x+c交x軸于A,以3,0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0,-3）?點(diǎn)

（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸在直線8C上方時(shí)，在平面直角坐標(biāo)系是否存在點(diǎn)Q,使得以8,C,P,。為頂點(diǎn)的四邊形是

矩形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

3.（2023?內(nèi)蒙古?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線＞=-/+次+。與x軸的交點(diǎn)分別為A和

8（1,0）（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)c（o,3）,點(diǎn)p是直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式;

⑶如圖2,設(shè)點(diǎn)/為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P,點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，在坐標(biāo)軸上確定點(diǎn)N,使四邊形PMCN

為矩形，求出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo).

6.（2022?黑龍江綏化?中考真題）如圖，拋物線產(chǎn)加+bx+c交y軸于點(diǎn)A（0,T）,并經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（6,0）,過(guò)點(diǎn)

A作48,y軸交拋物線于點(diǎn)8,拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,。點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,0）,連接A。，BC,BD.

點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒0個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著射線AZ）運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)￡的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為加秒，過(guò)點(diǎn)E作

EF_LAB于E以EF為對(duì)角線作正方形EGFH.

（1）求拋物線的解析式；

（3）在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在以B,G,C和平面內(nèi)的另一點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，如果存在，直接寫(xiě)出

點(diǎn)G的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

7.（2022?貴州黔東南?中考真題）如圖,拋物線、=?2+2芯+。的對(duì)稱軸是直線*=1,與方軸交于點(diǎn)人，3（3,0），

與V軸交于點(diǎn)C,連接AC.

⑴求此拋物線的解析式；

（3）已知點(diǎn)E是拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)使以點(diǎn)8、C、E、廠為頂點(diǎn)的四邊形

為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

8.(2022?湖北隨州?中考真題)如圖1,平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=G?+6x+c+(a<0)與無(wú)軸分貝!J

(1)直接寫(xiě)出拋物線的解析式；

(3)設(shè)M為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P,M運(yùn)動(dòng)時(shí)，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)N,使四邊形PMCN為矩形?

若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

專題11矩形的存在性問(wèn)題

一、知識(shí)導(dǎo)航

矩形的判定：(1)有一個(gè)角是直角的平行四邊形；

(2)對(duì)角線相等的平行四邊形；

(3)有三個(gè)角為直角的四邊形.

【題型分析】

矩形除了具有平行四邊形的性質(zhì)之外，還有“對(duì)角線相等”或“內(nèi)甭為直角”，因此相比起平行四邊形，坐標(biāo)系

中的矩形滿足以下3個(gè)等式：

%+%=XB+XD

+無(wú)=%+%(AC為對(duì)角線時(shí))

RE-％)2+(%-汽)2=&f)2+(力一力J

因此在矩形存在性問(wèn)題最多可以有3個(gè)未知量，代人可以得到三元一次方程組，可解.

確定了有3個(gè)未知量，則可判斷常見(jiàn)矩形存在性問(wèn)題至少有2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，多則可以有3個(gè).

題型如下：

(1)2個(gè)定點(diǎn)+1個(gè)半動(dòng)點(diǎn)+1個(gè)全動(dòng)點(diǎn)；

(2)1個(gè)定點(diǎn)+3個(gè)半動(dòng)點(diǎn).

【解析思路】

思路1：先直角，再矩形

在構(gòu)成矩形的4個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，必構(gòu)成直角三角形，以此為出發(fā)點(diǎn)，可先確定其中3個(gè)點(diǎn)構(gòu)造直角三

角形，再確定第4個(gè)點(diǎn).對(duì)“2定+1半動(dòng)+1全動(dòng)''尤其適用.

二、典例精析

引例：已知A（1,1）、B（4,2）,點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)。在平面中，且以A、B、C、。為頂點(diǎn)的四邊形是

矩形，求。點(diǎn)坐標(biāo).

【分析】

點(diǎn)C滿足以A、B,C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，

G件0）、C3（2,0）,C4（3,0）

在點(diǎn)C的基礎(chǔ)上，借助點(diǎn)的平移思路,可迅速得到點(diǎn)。的坐標(biāo).

【小結(jié)】這種解決矩形存在性問(wèn)題的方法相當(dāng)于在直角三甭形存在性問(wèn)題上再加一步求D點(diǎn)坐標(biāo)，也是因

為這兩個(gè)圖形之間的密切關(guān)系方能如此.

思路2:先平行，再矩形

當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，A、B、C、。滿足以下3個(gè)等式，則為矩形:

xA+xc=xB+xD

%+Yc=%+yD

其中第1、2個(gè)式子是平行四邊形的要求，再加上式3可為矩形.表示出點(diǎn)坐標(biāo)后，代入點(diǎn)坐標(biāo)解方程即可.

無(wú)論是“2定1半1全”還是“1定3半”，對(duì)于我們列方程來(lái)解都沒(méi)什么區(qū)別，能得到的都是三元一次方程組.

已知A(1,1)、B(4,2),點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)。在坐標(biāo)系中，且以A、B、C、。為頂點(diǎn)的四邊形是矩形,

求。點(diǎn)坐標(biāo).

【分析】

設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(a,0),。點(diǎn)坐標(biāo)為(6,c),又A(1,1)、B(4,2).

先考慮平行四邊形存在性：

(1)AB為對(duì)角線時(shí)，[+4="+',滿足此條件的C、。使得以A、B、C、。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊

[l+2=c+0

形，另外AB=C。，得：^/(4-1)2+(2-1)2=^(0-*)2+(0-^2,

a=3a=2

綜合以上可解：=2或1b=3.故。(3,0)、D(2,3)或C(2,0)、D(3,3).

c=3c=3

(2)AC為對(duì)角線時(shí)，另夕卜AC=B￡>,<y/(a-l)2+(O-l)2=^(Z?-4)2+(c-2)2,綜合以上可

14

Q=-

3

14

解得：b=-.故。,。、。加.

3

c=-1

（3）AZ）為對(duì)角線時(shí)，另外AQ=8C,得耳—1）2+"_1）2=而_4）2+（0—2）2,

4

ci———

3

13

綜合以上可解得:b=T.故c][,o

3

c=1

【小結(jié)】這個(gè)方法是在平行四邊形基礎(chǔ)上多加一個(gè)等式而已，剩下的都是計(jì)算的故事.

三、中考真題演練

1.（2023?遼寧丹東?中考真題）拋物線>=江+法-4與X軸交于點(diǎn)A（TO）,B（2,0）,與y軸交于點(diǎn)C.

⑴求拋物線的表達(dá)式；

（3）若點(diǎn)尸是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與頂點(diǎn)重合），點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)N在坐標(biāo)平

面內(nèi)，當(dāng)四邊形CMPN是矩形鄰邊之比為1:2時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

【分析】（1）將點(diǎn)A（-4,0）,8（2,0）代入解析式即可求解；

（3）①當(dāng)尸在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，得到CMPN是矩形，鄰邊之比為1:2,即CM:PM=2:1或1:2,即可求解;

②當(dāng)P在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，同理可求.

【詳解】（1）解：由題意得

16a-4b-4=0

4〃+2〃-4=0

1

解得

b=\

故拋物線的表達(dá)式y(tǒng)=；M+x-4；

（3）解：設(shè)點(diǎn)尸［.；/+》一“，M（-l,m）,

當(dāng)四邊形CMPN是矩形時(shí)，則/PMC為直角，

①當(dāng)P在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，

如圖，過(guò)M作MG〃x軸交，軸于G,交過(guò)尸作，軸的平行線于H,

,//PMC為直角，

則NHMP+ZGMC=90°,

,?AHPM+ZHMP=9Q°,

：.ZGMC=ZHPM,

：.ACGM^AMHP,

：CMPN是矩形鄰邊之比為1:2,即C":PM=2:1或1:2,

即△CGM和A4HP的相似比為2:1或1:2,

即巨=四=2或L

MHPH2

由題意得：MG=1jCG=m+4f

：.MH=-I-xf

貝Ij尸“=m_+X-4

m+4]

二2c或T一1

即-1-x2

m—+x-4

解得：x=-5,x=-l（不符合題意，舍去）;

②當(dāng)尸在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，

m+412

解得：x=]土述或]土,

2

綜上，x=—5或尤=1±6或T土回.

2

2.（2023海南?中考真題）如圖1,拋物線y=/+6x+c交x軸于A,3（3，°）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)?點(diǎn)

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

⑶當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸在直線BC上方時(shí)，在平面直角坐標(biāo)系是否存在點(diǎn)Q,使得以8,C,P,。為頂點(diǎn)的四邊形是

矩形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；

（3）當(dāng)BC為矩形的邊時(shí)，畫(huà)出符合題意的矩形，依交》軸于點(diǎn)E,CQ交x軸于點(diǎn)E連接跖，過(guò)點(diǎn)尸

作尸軸于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)。作QNL尤軸于點(diǎn)N,利用等腰直角三角形的判定與性質(zhì)及矩形的判定與性質(zhì)

得到NV=QN=RW=ME,利用待定系數(shù)法求得直線尸5的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立方程組求得點(diǎn)P

的坐標(biāo)，則PM=2,進(jìn)而得到QN、QN的長(zhǎng)度，即可得出結(jié)果；當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，求

出結(jié)果即可；

c=—3

【詳解】(1)解:由題意可得,

0=9+3b+c

b=-2

解得

c=-3.

拋物線的解析式為y=v--3；

(3)解：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)存在點(diǎn)。，使得以反C、P、。為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，理由如下：

如圖，當(dāng)2C為邊時(shí)，四邊形3CQP為符合條件的矩形，尸8交y軸于點(diǎn)E,02交x軸于點(diǎn)F連接所,

過(guò)點(diǎn)尸作PMLy軸于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)。作軸于點(diǎn)N,

ZOBC=ZOCB=45°,

:四邊形BCQP為矩形，

NPBC=NQCB=90°,

：.ZOBE=ZOCF=45°,

AOBE和AOCF為等腰直角三角形，

OB=OC=OE=OF=3,

:四邊形3CFE為正方形，

CF=BE,NEFC=NBEF=90°,

四邊形*QP為矩形，

QF=PE,

,：ZMEP=NBEO=45°,^QFN=NOFC=45°,

/.和△QNF為全等的等腰直角三角形,

???NF=QN=PM=ME,

9：OE=3,

???￡（0,3）,

設(shè)直線BE的解析式為y=kx"kw0）,

.J3左+〃=0

In=3

?,?直線BE的解析式為y=T+3,

y=-x+3

聯(lián)立方程組得

y=x2-2x-3

???尸（-2,5）,

：.PM=2,

：.Q^=NF=2,

：.ON=OF+NF=3+2=5,

.-.e（-5,2）；

如圖，當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，四邊形BPCQ為矩形，過(guò)點(diǎn)。作。軸于點(diǎn)。，PELx軸于點(diǎn)E,

則ZPEB=ZBDQ=90°,ZPBQ=90°,

?.?ZPBE+ZEPB=ZPBE+ZDBQ=90°,

:.ZEPB=ZDBQ,

；?_BEPs_QDB,

?_P_E____B_E

"DB~DQ'

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：,,產(chǎn)_2/_3）9（0或°3）,Q（XQ,yQ）,

VC（0,-3）,8（3,0）,

:?XQ=3_t,YQ——產(chǎn)+2t,

Q（3——產(chǎn)+2/），

**?DQ=t?-2t,BD=—t,EP=—i1+2/+3,BE=3—，，

.——方之+2t+33——t

??—,

—tt—2t

整理得：/_4產(chǎn)+2%+3=0,

分解因式得：（-3乂產(chǎn)-"1）=0,

解得：4=3（舍去），馬=足5<3（舍去），4=三5<。，

2232

（5+75-1-75^1

???此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)為：.

\7

綜上所述，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)存在點(diǎn)。，使得以2、C、尸、。為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)

為（巧,2）或［譽(yù),￥1；

3.（2023?內(nèi)蒙古?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-d+6x+c與無(wú)軸的交點(diǎn)分別為A和

8（1,0）（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)），與丁軸交于點(diǎn)C（0,3）,點(diǎn)p是直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式;

⑶如圖2,設(shè)點(diǎn)〃為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P,點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，在坐標(biāo)軸上確定點(diǎn)N,使四邊形PMOV

為矩形，求出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo).

【詳解】(1)解：：拋物線>=-尤2+云+。與x軸交于點(diǎn)8(1,0),與V軸交于點(diǎn)C(0,3)

-l+b+c=0

c=3

解得Q

[c=3

拋物線的解析式為：y=-x2-2x+3；

(3)解：y=-x2-2x+3=-(x+l)2+4,

則拋物線的頂點(diǎn)尸(-1，4),對(duì)稱軸為x=-l,

情況一：當(dāng)點(diǎn)N在，軸上時(shí)，P為拋物線的頂點(diǎn),

:四邊形尸MOV為矩形,

，N與P縱坐標(biāo)相同，

；.N(0,4)；

情況二：當(dāng)點(diǎn)N在x軸負(fù)半軸上時(shí)，四邊形PMCN為矩形,

過(guò)M作y軸的垂線，垂足為G,過(guò)尸作X軸的垂線，垂足為H,

設(shè)N&0),則QN=V,

AZMCN=ZCNP=90°,CM=NP,

：.ZMCG+ZOCN=90°,

,/NQVC+NO&V=90。，

ZMCG=ZONCf

又ZCGM=ZCON=90°,

,?ACMG^ANCO,

.CGMG

?而一記’

?,拋物線對(duì)稱軸為尸-1,點(diǎn)M在對(duì)稱軸上，C（0,3）,

??MG=1,OC=3,

gpCG=--Z,

—t33

.*ZMCG+ZCMG=90°,ZONC+ZPNH=90°,

,?ZCMG=ZPNH,

*.ACMG^APNH,

\NH=MG=1,HP=CG=--t,

3

OH=ON+NH=—t八,

??點(diǎn)尸的坐標(biāo)為［"L-,

?,點(diǎn)尸在拋物線上，

1

,?--2?9-1)+3,

解得匕運(yùn)，匕叵(舍去)，

1626

-阿,o],

I6)

綜上所述：符合條件的N點(diǎn)坐標(biāo)為：N(0,4)或N——,0.

16)

4.(2022?遼寧丹東?中考真題)如圖1,拋物線y=or2+x+c(。加)與x軸交于A(-2,0),B(6,0)兩點(diǎn),

與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作尤軸，垂足為。，交直線BC

于點(diǎn)與設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為根.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(4)如圖3,連接。尸，當(dāng)四邊形0。尸。是矩形時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q,使原點(diǎn)。關(guān)于直線CQ的

對(duì)稱點(diǎn)0,恰好落在該矩形對(duì)角線所在的直線上，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的點(diǎn)。的坐標(biāo).

【詳解】(1)解：???拋物線y=a/+x+c(存0)與1軸交于A(-2,0),B(6,0)兩點(diǎn)，

.14〃-2+。=0

*[36〃+6+。=0'

解得：,4,

c=3

???拋物線的表達(dá)式為y=-；/+%+3.

(4)解：:?拋物線y=—；/+%+3,

]

拋物線對(duì)稱軸為直線X=-7x(」=2,

:點(diǎn)。在拋物線的對(duì)稱軸上，

，設(shè)。(2,力，設(shè)拋物線對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)H,交CP邊于點(diǎn)G,

則GQ=3-t,CG=2,NCGQ=90°,

①當(dāng)點(diǎn)?！『寐湓谠摼匦螌?duì)角線。。所在的直線上時(shí)，如圖，

則CQ垂直平分00',即CQL0D,

：.ZCOP+ZOCQ=90°,

又???四邊形。。尸。是矩形，

??.C尸=0。=4,OC=3,Z0CP=90°,

：.ZPCQ^-ZOCQ=90°,

：.ZPCQ=ZC0Pf

CP4

tanZPCQ=tanZC0P=,

—=tanZPCQ=-,

CG3

.3T4

??---——―,

23

解得：

.1.2（2,1）；

②當(dāng)點(diǎn)。'恰好落在該矩形對(duì)角線CO上時(shí)，如圖，連接C。交GH于點(diǎn)K,

:點(diǎn)。與點(diǎn)。'關(guān)于直線CQ對(duì)稱,

，CQ垂直平分。0，，

；./OCQ=/DCQ,

?/GH//OC,

：.ZCQG=ZOCQ,

：.ZDCQ=ZCQGf

：.CK=KQ,

VC>尸關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，即點(diǎn)G是。尸的中點(diǎn)，GH//OC//PD,

???點(diǎn)K是CQ的中點(diǎn)，

3

?'?K（2,一）,

2

3

CK=KQ=--tf

在Rt>CKG中，CG2+GK2=CK2,

A22+（士3）』（32一）2,

22

解得：t]=l（舍去），t2=~L

：.Q（2,-1）；

③當(dāng)點(diǎn)?！ㄇ『寐湓谠摼匦螌?duì)角線OC延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)。彳乍軸于點(diǎn)K,連接交C。于點(diǎn)

M,

???點(diǎn)。與點(diǎn)。'關(guān)于直線CQ對(duì)稱，

???CQ垂直平分00',

r,

：.ZOCM=ZOCMfZOMC=ZOMC=90°,O'C=OC=3,

fr

VZOKC=ZZ)OC=90°,ZOCK=ZDCO9

???△OCKSADCO,

.OKCKCO日口OKCK_3

ODCOCD435

129

??O'K=,CK——,

924

???0K=0C+CK=3+—=—,

55

.?.。,（一?爭(zhēng)，

:點(diǎn)M是O。'的中點(diǎn)，

：.M（-|,y）,

設(shè)直線CQ的解析式為y=k'x+b',

_^k'+b'=—

則55,

b'=3

k—_1

解得：d-2,

b'=3

直線CQ的解析式為y=《X+3,

當(dāng)x=2時(shí)，＞=；*2+3=4,

：.Q（2,4）；

綜上所述，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2,；）或（2,-1）或（2,4）.

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式，矩形的性質(zhì)，相似三

角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，軸對(duì)稱性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程

解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題.

5.（2022?貴州黔西?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4,0）的直線AB與y軸交于點(diǎn)B（0,4）.經(jīng)

過(guò)原點(diǎn)。的拋物線y=-尤2+灰+。交直線A8于點(diǎn)A,C,拋物線的頂點(diǎn)為。.

備用圖

⑴求拋物線y=--+法+c的表達(dá)式;

（3*是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn).是否存在以點(diǎn)A,C,P,。為頂點(diǎn)的四邊形是矩形?

若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（l）y=-d+4x

⑶存在，（5,1）或（＜-2）或，^,產(chǎn)［或］^^^、

k227k22J

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

（3）畫(huà)出圖形，分AC是四邊形的邊和AC是四邊形的對(duì)角線，進(jìn)行討論，利用勾股定理、相似三角形的

判定與性質(zhì)、函數(shù)圖像的交點(diǎn)、平移等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解答即可得出答案.

【詳解】（1）解:???拋物線＞=-/+次+。過(guò)點(diǎn)A（4,0）,0（0,0）

—16+40+c=0b=4

,解得

c=0.c=0

???拋物線的表達(dá)式為y=-x2+4x.

（3）存在.滿足條件的點(diǎn)。的坐標(biāo)有4個(gè).（5,1）,（-1,-2）,

\7\7

理由如下：

①如圖，若AC是四邊形的邊.

當(dāng)x=2時(shí)，y=—2+4=2

???拋物線的對(duì)稱軸與直線AB相交于點(diǎn)R（2,2）.

過(guò)點(diǎn)C,A分別作直線AB的垂線交拋物線于點(diǎn)片，鳥(niǎo)，

VC（l,3）,0（2,4）,

CD=V2>CR=y/2,RD=2.

?；（Mf+（0）2=22,

CD2+CR。=DR?.

：.ZRCD=90°.

，點(diǎn)片與點(diǎn)。重合.

當(dāng)Cq〃AQ,Ca=A儲(chǔ)時(shí)，四邊形A"。是矩形.

C（L3）向右平移1個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位得到4（2,4）.

???A（4,0）向右平移1個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位得到Q（5,l）.

此時(shí)直線P.C的解析式為y=x+2.

直線2A與AC平行且過(guò)點(diǎn)A（4,0）,

，直線己4的解析式為y=x-4.

???點(diǎn)舄是直線y=X-4與拋物線y=-丁+4x的交點(diǎn)，

-x2+4x-x-4■

解得再=-1,%=4（舍去）.

??.^（-1,-5）.當(dāng)AC〃6。2,AC=2&時(shí)，四邊形ACQE是矩形.

VA（4,0）向左平移3個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位得到C（l,3）,

/.6（-1,-5）向左平移3個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位得到2（T-2）.

②如圖，若AC是四邊形的對(duì)角線,

當(dāng)NA￡C=90。時(shí).過(guò)點(diǎn)鳥(niǎo)作鳥(niǎo)九軸，垂足為過(guò)點(diǎn)。作垂足為K.

可得AP3KC=/AH0=90°,NgCK=ZAP5H.

/CKSAAP3H.

.P3KAH

9

CK~P3H'

.-t2+4r-3_4-t

t-1-t2+4t>

?,點(diǎn)尸不與點(diǎn)A,。重合，

,?rw1和，w4.

??產(chǎn)—3，+1=0.

.,_3±75

?G,4-2?

..如圖，滿足條件的點(diǎn)尸有兩個(gè).即鳥(niǎo)［與后,汨5］,巴］之］后，汨后

\7\)

當(dāng)心C〃AQ，4C=A03時(shí)，四邊形AQCQ是矩形.

...42好，”且向左平移巨避個(gè)單位，向下平移士好個(gè)單位得到C（l,3）.

I22J22

,A（4,0）向左平移1±^個(gè)單位，向下平移上叵個(gè)單位得到.

當(dāng)與C〃AQ，&C二AQ時(shí)，四邊形A〃CQ是矩形.

：巴］三6，左臺(tái)］向右平移士史個(gè)單位，向上平移叱5個(gè)單位得到C（L3）.

I22J22

,A（4,0）向右平移士史個(gè)單位，向上平移叱5個(gè)單位得到。/當(dāng)工上手.

綜上，滿足條件的點(diǎn)。的坐標(biāo)為（5,1）或（T-2）或［'普，二或［乃普，上手.

222

I7I2）

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，本題主要涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、勾股定理,

矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，點(diǎn)的平移等知識(shí)，根據(jù)題意畫(huà)出符合條件的圖形、進(jìn)行分類討論

是解題的關(guān)鍵.

6.（2022?黑龍江綏化?中考真題）如圖，拋物線>=加+6尤+c交y軸于點(diǎn)A（OT）,并經(jīng)過(guò)點(diǎn)。（6,0）,過(guò)點(diǎn)

A作ABLy軸交拋物線于點(diǎn)8,拋物線的對(duì)稱軸為直線工=2,。點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,0）,連接AD,BC,BD.

點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒0個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著射線AO運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為加秒，過(guò)點(diǎn)E作

于R以￡F為對(duì)角線作正方形EGEH.

⑴求拋物線的解析式；

（3）在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在以8,G,C和平面內(nèi)的另一點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，如果存在，直接寫(xiě)出

點(diǎn)G的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

14

[答案】⑴,=丁_§%一4

同或存高

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解析式即可;

(3)將矩形轉(zhuǎn)化為直角三角形，當(dāng)△3GC是直角三角形時(shí)，當(dāng)ABCG為直角三角形時(shí)，當(dāng)ACBG為直角

三角形時(shí)，分情況討論分別列出等式求得機(jī)的值，即可求得G點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】(1)將點(diǎn)A(0,-4)、C(6,0)代入解析式y(tǒng)=以2+力x+c中，以及直線對(duì)稱軸％=2,可得

-4=c

0=36a+6b+c,

-A=2

2a

4

解得b=_§,

c=-4

:?拋物線的解析式為y=；/-gx-4；

(3)B(4,-4),C(6,0),Gfm+-1m,-4+^m

BC2=(6-4)2+(0+4)2=20,BG2=j4-1m

CG2=[6—1根[+[o+4-；m[=[6—[加[+〔4-g機(jī)),

要使以2,G,C和平面內(nèi)的另一點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形,

需滿足：

當(dāng)△3GC是直角三角形時(shí)，BG2+CG2=BC2,

解得，皿=手，0=2,

…（368\一,、

此時(shí)二）或（3,-3）；

當(dāng)ABCG為直角三角形時(shí)，BC2+CG2=BG\

20+16-T機(jī)］+14一；機(jī)）+［（機(jī)），

解得，機(jī)=?，

當(dāng)△C2G為直角三角形時(shí)，BC2+BG2=CG2,

…⑴⑹

此時(shí)

綜上所述：點(diǎn)G坐標(biāo)為（g,-1］或（3,-3）［g-g］或

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)

動(dòng)問(wèn)題，存在矩形問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合，注意分情況討論是解題的關(guān)鍵.

7.（2022?貴州黔東南?中考真題）如圖,拋物線y=/+2x+。的對(duì)稱軸是直線x=1,與x軸交于點(diǎn)A,3（3,0）,

與，軸交于點(diǎn)C,連接AC.

（1）求此拋物線的解析式；

（3）已知點(diǎn)E是拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)歹，使以點(diǎn)3、C、E、尸為頂點(diǎn)的四邊形

為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）丁=-%2+2尤+3

(3)存在點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(4,1)或(-2,1)或

【分析】(1)根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸是直線x=l,可得。=-1,再把點(diǎn)3(3,0)代入，即可求解;

(3)設(shè)點(diǎn)E(1,”)，點(diǎn)B(s,f),然后分兩種情況討論：當(dāng)2C為邊時(shí)，當(dāng)2C為對(duì)角線時(shí)，即可求解.

【詳解】(1)解：：拋物線y="2+2x+c的對(duì)稱軸是直線x=l,

2

，一二=1,解得：。=-1,

2a

???拋物線過(guò)點(diǎn)8(3,0),

/.-9+6+c=0,解得：c=3,

拋物線解析式為y=-x2+2x+3；

(3)解：存在，理由如下：

?.?點(diǎn)B(3,0),C(0,3),

OB=OC,

:.BC=3艙,

設(shè)點(diǎn)E(1,n),點(diǎn)F(s,t),

當(dāng)8C為邊時(shí)，點(diǎn)C向右平移3個(gè)單位向下平移3個(gè)單位得到點(diǎn)2,同樣￡(尸)向右平移3個(gè)單位向下平

移3個(gè)單位得到點(diǎn)F(E),且BE=CF(CE=BF),如圖，

"=4n=-2

解得：<s=4或,s=-2,

t=\t=\

此時(shí)點(diǎn)下的坐標(biāo)為(4,1)或(-2,1)；

當(dāng)8C為對(duì)角線時(shí)，BC=EF,且與8C的中點(diǎn)重合，如圖,

>

1+S_33+717f3-V17

~r~2n=---------n=---------

22

~=|,解得：<5=2或