2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：二次函數(shù)的應(yīng)用 (二)

二次函數(shù)的應(yīng)用

核心知識(shí)點(diǎn)1生活實(shí)際背景問題

知識(shí)賦能

1.在實(shí)際生活中，有類似二次函數(shù)圖象的生活情境，可找到關(guān)鍵點(diǎn)，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式;

2.在實(shí)際應(yīng)用中，有些變量隨著另一個(gè)變量變化，符合二次函數(shù)的特點(diǎn)，可根據(jù)題設(shè)已知條件求解析式.

例1小林家的洗手盤臺(tái)面上有一瓶洗手液(圖1),當(dāng)手按住頂部A下壓時(shí)，洗手液瞬間從噴口B流出(如圖2

所示)，瓶子上部分是由弧麗和弧的組成，其圓心分別為D,C,下半部分形是矩形CGHD,GH=10cm,點(diǎn)E到臺(tái)面

GH的距離為14cm,點(diǎn)B距臺(tái)面的距離為16cm,且B,D,H三點(diǎn)共線,若手心Q距DH的水平距離為2cm去接洗手

液時(shí)，路線呈拋物線經(jīng)過C與E兩點(diǎn)，則手心距水平臺(tái)面的高度為—cm.

例1題圖1例1題圖2

例2據(jù)某氣象中心觀察和預(yù)測(cè)：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動(dòng)，其移動(dòng)速度v(km/h)關(guān)于時(shí)間t(h)

的函數(shù)圖象如圖所示，過線段OC上一點(diǎn)T(t,O)作橫軸的垂線1,梯形OABC在直線1左側(cè)部分的面積即為t(h)內(nèi)

沙塵暴所經(jīng)過的路程s(km).

⑴當(dāng)t=4時(shí)，求s的值;

(2)將s隨t(tW35)變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來；

(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km,試判斷這場(chǎng)沙塵暴是否會(huì)侵襲到N城.如果會(huì)，在沙塵暴發(fā)

生后多長(zhǎng)時(shí)間它將侵襲到N城?如果不會(huì)，請(qǐng)說明理由.

核心知識(shí)點(diǎn)2方案策略問題

知識(shí)賦能

1.解決方案策略問題，要根據(jù)實(shí)際情境找出變量之間的關(guān)系，求出解析式；

2.二次函數(shù)解析式可用配方法或頂點(diǎn)公式，說明取最值的情況，注意取值需符合實(shí)際情況.

例3某商店門前和店內(nèi)柜臺(tái)前分別橫排著6塊燈箱廣告牌，現(xiàn)決定在這兩排廣告牌中共拆除8塊，以增加顧

客流通量.已知進(jìn)入店內(nèi)顧客流通增加量與前排廣告牌拆除塊數(shù)成正比，柜臺(tái)顧客流通增加量和店內(nèi)顧客流通增加

量與柜臺(tái)前廣告牌拆除塊數(shù)之積成正比，要使柜臺(tái)顧客流通增加量最大，則前后兩排各拆除廣告牌塊.

例4某公司銷售一種新型節(jié)能產(chǎn)品，現(xiàn)準(zhǔn)備從國(guó)內(nèi)和國(guó)外兩種銷售方案中選擇一種進(jìn)行銷售.

若只在國(guó)內(nèi)銷售，銷售價(jià)格y（元/件）與月銷量x（件）的函數(shù)關(guān)系式為y=一磊％+150,成本為20元/件，無論

銷售多少，每月還需支出廣告費(fèi)62500元，設(shè)月利潤(rùn)為w內(nèi)（元）（利潤(rùn)=銷售額-成本-廣告費(fèi)）.

若只在國(guó)外銷售，銷售價(jià)格為150元/件，受各種不確定因素影響，成本為a元/件（a為常數(shù),lOWagO）,當(dāng)月銷

量為x（件）時(shí),每月還需繳納擊/元的附加費(fèi)，設(shè)月利潤(rùn)為w外（元）（利潤(rùn)=銷售額-成本-附加費(fèi)）.

（1）當(dāng)x=1000時(shí),y=元/件,w_｛肉｝='underline｛\quad\quad\quad｝元;

（2）分別求出w內(nèi)，w外與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫x的取值范圍）；

⑶當(dāng)x為何值時(shí)，在國(guó)內(nèi)銷售的月利潤(rùn)最大喏在國(guó)外銷售月利潤(rùn)的最大值與在國(guó)內(nèi)銷售月利潤(rùn)的最大值相

同，求a的值；

⑷如果某月要將5000件產(chǎn)品全部銷售完，請(qǐng)你通過分析幫該公司決策，選擇在國(guó)內(nèi)還是在國(guó)外銷售才能使所

獲月利潤(rùn)較大？

核心知識(shí)點(diǎn)3幾何背景問題

知識(shí)賦能

1.實(shí)際生活直接類比二次函數(shù)的幾何問題，找解析式與相應(yīng)坐標(biāo)是關(guān)鍵；

2.幾何圖形的動(dòng)點(diǎn)問題延伸的二次函數(shù)，注意尋找?guī)缀巫兞恐g的關(guān)系，求解析式；

3.結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解最值問題.

例5甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，甲發(fā)出一顆十分關(guān)鍵的球，出手點(diǎn)為點(diǎn)P,羽毛球

飛行的水平距離s（米）與其距地面高度h（米）之間的關(guān)系式為％=s2+|s+*如圖，已P

知球網(wǎng)AB距原點(diǎn)5米，乙（用線段CD表示）扣球的最大高度為2.25米，設(shè)乙的起跳點(diǎn)C

~0

的橫坐標(biāo)為m,若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而導(dǎo)致接球失敗，則rt|er

例5題圖

m的取值范圍是____.

例6如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,截去一角成五邊形ABFED，其中EC=3,CF=*動(dòng)點(diǎn)P在線段EF(包

含端點(diǎn)E,F)上移動(dòng).以AP為對(duì)角線的矩形是矩形AHPG.

(1)設(shè)PG=x,矩形AHPG的面積為y,求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

⑵當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P移動(dòng)至何處時(shí)，矩形AHPG的面積最大?并求出最大面積.

例6題圖

滿分學(xué)力訓(xùn)練

1.將一條長(zhǎng)為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長(zhǎng)度為周長(zhǎng)各做成一個(gè)正方形，則這兩個(gè)正方形面

積之和的最小值是cm?.

2.向上發(fā)射一枚炮彈，經(jīng)x秒后炮彈的高度為y米，且時(shí)間與高度關(guān)系為y=ax2+bx.若此炮彈在第7秒與

第14秒時(shí)的高度相等，則在下列哪一個(gè)時(shí)間的高度是最高的()

A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒

3.有一座拋物線形拱橋，正常水位時(shí)橋下水面寬度為20m,拱頂距離水面4m.設(shè)正常水位時(shí)橋下的水深為2

m,為保證過往船只順利航行，橋下水面的寬度不得小于18m,則水深超過____m時(shí)就會(huì)影響過往船只在橋下的

順利航行.

4.某農(nóng)業(yè)生態(tài)園引進(jìn)種植一種新品種水果，這種水果成本為10元/千克，現(xiàn)將這種水果投放超市進(jìn)行銷售.經(jīng)過

調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：

銷售單價(jià)x/(元/千克)10203040

每天銷售量y/千克500400300200

(1)把上表中x,丫的各組對(duì)應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在下面的平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn)，猜想y與x的函數(shù)

關(guān)系，并求出函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)?shù)匚飪r(jià)部門規(guī)定，該水果銷售單價(jià)最高不能超過40元/千克，那么銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，銷售該水果

每天獲得的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?(利潤(rùn)=銷售總價(jià)-成本總價(jià))

(3)若要銷售該水果每天獲得的利潤(rùn)不低于6000元，求該水果銷售單價(jià)的范圍.

"千克”

0204060切(元/千克)

第4題圖

5.如圖，將一條長(zhǎng)度為6的線段AD折成AB,BC,CD三段，一邊靠墻圍成四邊形ABCD,設(shè).AB=%.

(1)若四邊形ABCD是一個(gè)底角為(60。的等腰梯形，梯形ABCD的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并

寫出自變量x的取值范圍；

⑵若四邊形ABCD是一個(gè)矩形，矩形ABCD的面積為S,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取

值范圍；

(3)試比較在一邊靠墻圍成矩形與一邊靠墻圍成底角為(60。的等腰梯形兩種不同折法的四邊形ABCD面積中,

如何折成三段能使四邊形ABCD的面積最大?并求出最大面積,寫出AB,BC,CD的長(zhǎng)度及四邊形ABCD的形狀.

第5題圖

自主招生能力挑戰(zhàn)

6.如圖，曲線AB是頂點(diǎn)為B,與y軸交于點(diǎn)A的拋物線y=-好+4%+2的一部分，曲線BC是雙曲線y=

§的一部分，由點(diǎn)C開始不斷重復(fù)“A-B-C”的過程，形成一組波浪線，點(diǎn)P（2018,m）與Q（2025,n）均在該波浪線上,

則,mn

7.銳角△4BC中,BC=6,SABC=12,兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M,N分別在邊AB,AC上滑動(dòng),且MN||BC以MN為邊向下作正

方形MPQN,設(shè)其邊長(zhǎng)為x,正方形MPQN與△4BC公共部分的面積為y（y>0）,當(dāng)x=公共部分面積y最大，y

最大值=

8.某公司生產(chǎn)的一種健身產(chǎn)品在市場(chǎng)上很受歡迎，該公司每年的年產(chǎn)量為6萬件，每年可在國(guó)內(nèi)和國(guó)外兩個(gè)市

場(chǎng)銷售，若在國(guó)內(nèi)銷售，平均每件產(chǎn)品的利潤(rùn)力（元）與外國(guó)內(nèi)銷售量x（萬件）的函數(shù)關(guān)系式為%=

［『丫*（若在國(guó)外銷售，平均每件產(chǎn)品的利潤(rùn)為71元.（1）求該公司每年的國(guó)內(nèi)和國(guó)外銷售的總利潤(rùn)w

{—X十olQl<XSO）,

（萬元）與國(guó)內(nèi)銷售量x（萬件）的函數(shù)關(guān)系式，并指出X的取值范圍.

（2）該公司每年的國(guó)內(nèi)和國(guó)外銷售量各為多少時(shí)，可使公司每年的總利潤(rùn)最大?最大值是多少？

⑶該公司計(jì)劃在國(guó)外銷售不低于5萬件，并從國(guó)內(nèi)銷售的每件產(chǎn)品中捐出2m（5WmW0）元給希望工程，從國(guó)外

銷售的每件產(chǎn)品中捐出m元給希望工程，若這時(shí)國(guó)內(nèi)和國(guó)外銷售的最大總利潤(rùn)為393萬