2024年中考數(shù)學(xué)提高復(fù)習(xí)講義：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

知識梳理

1.二次函數(shù)的性質(zhì)

(l)a>0時拋物線開口向上，對稱軸是%=-卷頂點坐標(biāo)是(-白崎)；在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<-寮寸，

y隨x的增大而減??；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)乂>-方時,y隨x的增大而增大；拋物線有最低點，當(dāng)％/時，

y有最小值，4然=噤,

(2)a<0時拋物線開口向下，對稱軸是%=-白頂點坐標(biāo)是(-；在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)乂<-5時，

y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x>一總時,y隨x的增大而減小；拋物線有最高點，當(dāng)x=-/時,

y有最大值，2次=喑?

2.二次函數(shù)的解析式有三種形式

(1)一般式:y=。產(chǎn)+力％+c(a,b,c均為常數(shù),a#0);

⑵頂點式:y=a(x-h)2+k(a,h,k均為常數(shù),a?0);

(3)兩根式:y=。(％-%i)(x-&).

3.拋物線y=收+力％+c中a,b,c的作用

a表示開口方向：a>0時，拋物線開口向上，a<0時，拋物線開口向下；

b與對稱軸有關(guān)：對稱軸為x=-白a與b左同右異；

2a

C表示拋物線與y軸的交點坐標(biāo)：(0,C).

4.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標(biāo).

因此一元二次方程中的4=/-4ac,在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點.

當(dāng)△>0時，圖像與x軸有兩個交點；

當(dāng)△=0時，圖像與x軸有一個交點；

當(dāng)A<0時，圖像與x軸沒有交點.

5.求拋物線的頂點、對稱軸的方法

⑴公式法：頂點是對稱軸是直線久=-《；

\2a4a72a

(2)配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為y=a(x-獷+k的形式，得到頂點為(h,k),對稱軸是直

線x=h.

6.平移

y=a(x-K)2+k可以由y=ax?平移得到.上加下減，左加右減.

典型例題

例1

2

已知二次函數(shù)y^ax+bx+c(0<X<3)的圖像如圖所示，關(guān)于該函數(shù)所給自變量取值范圍,下列說法正確

的是().

A.有最小值0,有最大值3

B.有最小值-1,有最大值0

C.有最小值-1,有最大值3

D.有最小值-1,無最大值

例1圖

解析在二次函數(shù)中，a決定開口方向，c決定與y軸的交點.在本題中，開口方向向上，所以二次函數(shù)在頂點

處取到最小值，且函數(shù)的對稱軸為.久=1,,在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增

大而增大.因為(0<%<3,所以由圖像可以得到該函數(shù)有最小值-1,有最大值3.故選C.

的取值范圍是：-1<x<0或x>1.

例3

二次函數(shù)y=收+法+c中，當(dāng)x>l時，y隨x的增大而增大，則a與b之間的關(guān)系是—.

解析當(dāng)x>l時，y隨x的增大而增大，則可以判斷開口向上，即a>0,所以對稱軸％?在x=l的左側(cè)，所以

有1，則有2aN-b.

2a

例4

已知二次函數(shù)，當(dāng)x=l時，函數(shù)取得最小值16,且圖像在x軸上截得線段的長度為8,求二次函數(shù)的解析式.

解析二次函數(shù)的解析式有以下三種形式.

(1)一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c均為常數(shù),a?0);

(2)頂點式:.:y=a(x-h)2+k(a,h,k均為常數(shù),a^O);

(3)兩根式:y=a(x-%i)(x-x2).

求二次函數(shù)的解析式，要根據(jù)題意設(shè)適當(dāng)?shù)慕馕鍪?

因為當(dāng)x=l時，函數(shù)取得最小值16,

所以設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a(久-I)?+16.

又因為圖像在x軸上截得線段的長度為8,對稱軸為x=l,

所以根據(jù)二次函數(shù)圖像與x軸的交點為：(5,0)和(-3,0).

將(5,0)代入y=a(%—l)2+16中得:a=-l,貝(].y=-(x-I)2+16.

雙基訓(xùn)練

1.已知函數(shù)y=(爪一1)/經(jīng)過點(一1,一2),則m的值為().

A.lB.-1C.2D.-2

.拋物線222的共同特點是().

2y=4x,y=-4x,y=4~x+3

A.開口向上B.對稱軸為y軸

C.頂點坐標(biāo)為(0,0)D.開口向下

3.拋物線y=3久2一6的頂點坐標(biāo)是().

A.(1,-3)B.(0,-3)C.(l,-3)D.(0,-6)

4.已知二次函數(shù)y=ax?+1的圖像開口向上，則直線y=ax+l經(jīng)過象限為().

A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限

C.第一、三、四象限D(zhuǎn).第一、二、四象限

5.函數(shù)y=ax2+a與y=|(a0)在同一直角坐標(biāo)系的圖像可能為().

6.下列關(guān)于y=4/和y=-4r的圖像的說法：①它們都為拋物線；②它們都為軸對稱圖像；③它們的頂點相

同，對稱軸也相同；④它們關(guān)于x軸對稱.其中正確的個數(shù)為().

A.4B.3C.2D.1

7.y=-12x2+6的對稱軸為().

A.直線%=[B.直線y=

C.y軸D.直線x=2

8.拋物線直線y=2x2-12x+19的頂點坐標(biāo)為().

A.(3,l)B.(3,-l)C.(-3,1)D.(-3,-l)

9.下列二次函數(shù)中，圖像以直線x=2為對稱軸，且過點(0,1)的是().

X.y=(%—2)2+1B.y=(久+2)2+1

C.y=(x—2)2—3D.y=(x+2)2-3

10.把拋物線y=-3/向左平移1個單位，再向上平移3個單位，則平移后拋物線為().

A.y=-3(x-l)2+3B.y=-3(%-I)2-3

C.y=-3(x+l)2-3D.y=-3(x+l)2+3

11.拋物線y=-3/可以看成是由拋物線y=-3X2+5才安下列何種變換得到的().

A.向上平移5個單位B.向下平移5個單位

C.向左平移5個單位D.向右平移5個單位

12.在平面直角坐標(biāo)系中，若將拋物線y=%2-4%+3先向左平移2個單位，再向下平移2個單位，則所得拋

物線的頂點坐標(biāo)是().

A.(2,-1)B.(-l,2)C.(0,-3)D.(-3,0)

13.已知二次函數(shù)y=尤2_8x+c的圖像的頂點在x軸上，則c=().

A.4B.8C.12D.16

14.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a豐0)上的兩點(-1,2)和(5,2),那么它的對稱軸直線為().

A.x=-3B.x=lC.x=2D.x=3

15.若二次函數(shù)y=(久-k)2-1,當(dāng)x<2時，y隨X的增大而減小，則k的取值范圍是().

A.k=2B.k>2C.k>2D.k<2

2

16.設(shè)A(-3,yi),B(0,y2),3°/(2,bx)o在拋物線丫=-(%+l)+a上的三點，則yi,y2,y3的大小關(guān)系是().

A.yr>y2>y3B.y1>y3>y2

C-y-i>72>yiD.y2>y3>yi

17.拋物線y=+3,當(dāng)l<x<4時,y的最大值是().

A.3B.|C.-5D.O

18.若二次函數(shù)y=ax2+bx+c中,〃=四且x=0時,y=-4,則().

A.y最大值=4B.y最/」'值=4yt

UY放電=一3D.y最小值==3\：/

19.二次函數(shù)3/=,2+3%+抑懼最小值為().\；/

A.-1B.-2--r\o:ijx

c.-3D.-4本J

20.已知二次函數(shù)yax2+bx+c(a豐0)的圖像如圖所示，下列說法錯誤的是().|；

A.圖像關(guān)于直線x=l對稱第2。題圖

B.函數(shù)y-ax2+bx+c(a0)的最小值是-4

C.-l和3是方程ax2+bx+c(a豐0)的兩個根

D.當(dāng)x<l時,y隨x的增大而增大

能力提升

21.滿足a<O,b>O,c=O的函數(shù)圖像是下列圖像中的().

A.D.

22.已知二次函數(shù)y=-%2+2x+m2+zn,則其圖像頂點在第()象限.

A.-B.二C.三D.四

23如圖所示，拋物線.y=%2-4上有兩點M,N,且線段MN±y軸若MN=2(遍+1)則直線MN的解析式為

A.y=3

B.y=4

C.y=-2V3

D.y=2A/3

24.已知y=3/,若拋物線不動，把坐標(biāo)原點向右、向上各平移3個單位，那么新坐標(biāo)系下拋物線的圖像的解

析式為().

4y=3(久一3￥+3

B.y=3(久+3)2-3

C.y=3(久-3￥—3

D.y=3(x+3)2+3

25.設(shè)拋物線y=%2-2014%+2015與x軸的兩個交點坐標(biāo)為(a,0),(b,0)廁④-2015a+2015)(〃—2015b

+2015)的值為().

A.-2014B.-2015

C.2014D.2015

26.如圖所示，矩形紙片ABCD中,BC=4,AB=3,點P是BC邊上的動點(點P不與點B,C重合)，現(xiàn)將△PCD沿PD

翻折得到4PCD作/BPC的角平分線，交AB于點E,設(shè)BP=x,BE=y則下歹幅像中,能表示y與x函數(shù)關(guān)系的大致

圖像是().

第26題圖

27.已知二次函數(shù)y=-6.8(%+2產(chǎn)，則函數(shù)開口方向?qū)ΨQ軸，頂點坐標(biāo)

x2(x<2)

.若直線為常數(shù))與函數(shù)y的圖像恒有三個不同的交點，則常數(shù)的取值范圍是.

28y=m(m.濃2)m

29.如圖所示拋物線的頂點為P(-2,2),與y軸交于點A(0,3).若平移該拋物線使其頂點P沿直線移動到

點P(2,-2),點A的對應(yīng)點為A；則拋物線上PA段掃過的區(qū)域(陰影部分)的面積為

30.已知拋物線y=ax2{a豐0)與直線y=2x-3交于點(l,b).

⑴求a,b.

(2)求拋物線丫=ax\a豐0)的解析式、頂點坐標(biāo)和對稱軸.

(3)當(dāng)x取何值時，二次函數(shù).y=ax2(a豐0)中y隨x增大而增大？

(4)求拋物線y=ax2(a豐0)與y=-2兩個交點及頂點構(gòu)成的三角形面積.

第29題圖

拓展資源

31.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aW0)的圖像如圖所示，下列結(jié)論中正確的是().

A.ac>0

8.a+2bW0

C.b<a+c

D.4a+2b+c>0

第31題圖

32如圖所示，拋物線y=ax2+c(a<0)交x軸于點G,F,交y軸于點D,在x軸上方的拋物線上有兩點B,

E,它們關(guān)于y軸對稱，點G,B在y軸左側(cè),BALOG于點A,.BC10。于點C,四邊形OABC與四邊形ODEF的面

積分別為6和10,則△A8G與△BCD的面積之和為

33.拋物線y=+2(m+l)x+m+3與x軸交于M,N兩點，且(?！?ON=5:1，求m的值.

34.如圖所示，對稱軸為直線.x=-1的拋物線y=ax2+bx+c(a*0)與x軸相交于A,B兩點，其中點A

坐標(biāo)為((-3,0).

⑴求點B的坐標(biāo)

(2)已知a=1,C為拋物線與y軸的交點.

①若點P在拋物線上，且Sp℃=4SB",求點P的坐標(biāo).

②設(shè)點Q是線段AC上的動點，作QD，久軸交拋物線于點D,求線段QD長度的最

大值.

第34題圖

35.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-K2+2%+3與y軸交于點C,點D是該拋物線的頂點.

(1)求直線AC的解析式及B,D兩點的坐標(biāo).

⑵點P是x軸上一個動點，過P作直線4MC交拋物線于點Q,試探究：隨著P點運動，在拋物線上是否存在

點Q，使以點A、P、Q、C為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在，請直接寫出符合條件的點Q的坐標(biāo)；若不存

在，請說明理由.

(3)請在直線AC上找一點M,使△BDM的周長最小，求出M點的坐標(biāo).

1-5BBDAD6-10ACACD11-15BCDCC16-20DBCDD

21-26CADBDD27開口向下,x=-2,(-2,0)28,0<m<229.12

30.(l)a=-l,b=-l;⑵y=-x2,(0,0),y=0為對稱軸;(3)x<0;(4)2V2

31.D32.4

2

33.設(shè)N(xi,0),M(X2,。)則則有Xi=—5%i,且x1和x2為y=-x+2(m+l)x+m+3的兩個根.所以Xi+x2=

2

-4xi=2(m+l)①,Xix2=-5xi=-(m+3)@.

由①得:久】=—等,代入②中得：5(—等丫=-(m+3)

解得：加=金|旦.

因為由圖像知：\x2\>>0>

所以X1+%2>0,Xi%2<0,

cr-|\I-3+2VT1

所以m=---.

34.(1)因為對稱軸為直線x=-l的拋物線y=a/+汝+c(a豐0)與x軸相交于A,B兩點,所以點A,B關(guān)于x=-l

對稱.

因為A(-3,0),

所以B(l,0).

(2)①因為當(dāng)a=l時，且x=-l,

所以b=2,

所以二次函數(shù)解析式為y=/+2%+a

又因為B(1,0)在二次函數(shù)y=x2+2x+c的圖像上，

所以c=-3,即OC=3,y=Y+2x-3.

所以SBX=：X08X0C=|.

設(shè)P(x,y)

因為Sp(K=4SRX，

所以|x3X|x|=4XI，解得:x=±4.

將x=±4分別代入y=f+2久—3中得：

點P的坐標(biāo)為(4,21)或(-4,5).

②設(shè)直線AC的解析式為y=kx+t,將A(-3,0),C(0,-3)代入.

得｛-3竺解得：憶二;

直線AC的解析式為y=-x-3.

設(shè)Q(x,-x-3)(-3WxW0),則D(x>x2+2%-3)

QD=-x2-3久=(x+|)+*

由二次函數(shù)性質(zhì)知：當(dāng)x=-1時，QD有最大值(

35.(1)當(dāng)y=0|時,-X2+2X+3=0

解得:x=-l或3.

因為點A在點B的左側(cè)

所以A.B的坐標(biāo)分別為(-1,0),(3,0).

當(dāng)x=0時,y=3,所以C點的坐標(biāo)為(0,3).

設(shè)直線AC的解析式為.y=k1x+bi(fci豐0)

則.瓦U0,解得：需二

直線AC的解析式為y=3x+3.

由二次函數(shù)解析式得：D(1,4).

(2)存在三個這樣的Q坐標(biāo)分別為(2,3),(1+?,-3),(1-V7,-3)

(3)過B作BB'XAC于點F使B'F=BF,,則B為點B關(guān)于直線AC的對稱點，連埼早,交直線AC于點M廁

點M為所求.