2024年中考數(shù)學(xué)提高復(fù)習(xí)講義：三角形的內(nèi)切圓

三角形的內(nèi)切圓

知識(shí)梳理

和三角形各邊相切的圓叫作三角形的內(nèi)切圓，三角形內(nèi)切圓的圓心叫作三角形的內(nèi)心.

典型例題

例1

如圖所示，點(diǎn)I是仆ABC的內(nèi)心，點(diǎn)O是小ABC的外心，若NBIC=120。,則/BOC=

解析三角形的內(nèi)心是三角形角平分線的交點(diǎn).

因?yàn)镮是△ABC的內(nèi)心，

所以7.BIC=180°-/.IBC-/.ICB

=1800--ZX5C--ZXCB

22

1

=90°+j(180°-^ABC-AACB)

1

=90°+L.

2

例1圖

因?yàn)锳BIC=120°,

所以乙4=60°.

又因?yàn)辄c(diǎn)O是仆ABC的外心，

所以z/1=|zBOC,

所以乙BOC=120°.

例2

已知△ABC的面積為8cM2,周長(zhǎng)為24cm,則△ABC的內(nèi)切圓的半徑為」

解析設(shè)△ABC的乙4/B/C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,三角形內(nèi)切圓的半徑為r.

假設(shè)。。為△28C的內(nèi)切圓，且與AB、BC、AC的切點(diǎn)為D、E、F.

連接OD,OE,OF,OA,OB,OC,

則有OD±AB.

在仆ABO中,SABO=^AB,OD=|cr,

例2圖

同理SAC0=-br,SBC0=-ar.

^ABC=SABO+SACO+^BCO=5r(a+6+c).

又因?yàn)椤鰽BC的面積為8cm2,周長(zhǎng)為24cm,

所以r=|.

例3

如圖所示,。O內(nèi)切于△ABC,切點(diǎn)分別為D,E,F,已知Z5=55。/。=60。,,連接DE,DF,那么/EDF=

解析因?yàn)樵凇鰽BC中,/B=55o,/C=60。,

所以/A=65。.

又因?yàn)?。O內(nèi)切于△ABC,E,F為切點(diǎn)，

所以NAEO=ZAFO=90°,

所以NEOF=115。.

例3圖

根據(jù)圓的圓心角與圓周角的關(guān)系，

則有NEOF=2NEDF,

所以/EDF=57.5。.

雙基訓(xùn)練

1.如果一個(gè)三角形的內(nèi)切圓心與外接圓的圓心重合，那么這個(gè)三角形是（）.

A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.任意三角形

2.正三角形的內(nèi)切圓的半徑為r,外接圓的半徑為R,則內(nèi)切圓的面積立與外接圓的面積S2之間的關(guān)系式為

A.16R2=25產(chǎn)B.9R2=16產(chǎn)c.4R2=9r2D.R2=4r2

3.如圖所示,。0內(nèi)切于△ABC,切點(diǎn)為D,E,F,已知NB=40。,NC=70。,連接DE,DF,那么NEDF=().

A.25°B.35°

C.45°D.55°

4.在RtAABC中,/C=90。,AB=25,AC=20,則它的內(nèi)切圓直徑等于().

A.5B.10第3題圖

C.15D.20

5.如圖所示,。O內(nèi)切于△ABC若ABOC=120。,則ZA=.

6.如圖所示,。。是△ABC的內(nèi)切圓切點(diǎn)分別為D,E,F,NBOF=35o,/FOE=14（Tji!!!/C=

第6題圖第7題圖

7.如圖所示，已知。。是4ABC的內(nèi)切圓，且/ACB=80o,NBOC=115。,則/ABC=L

8.如圖所示，在△ABC中，內(nèi)切圓。O與邊BC,CA,AB分別相切于點(diǎn)D,F,E苕/A=60%（］NFDE=.

9.如圖所示,RSABC的內(nèi)切圓。O與兩直角邊AB,BC分別相切于點(diǎn)D,E,過(guò)劣弧DE（不包括端點(diǎn)D,E）上任意

一點(diǎn)P作。O的切線MN與AB.BC分別交于點(diǎn)M,N,若。O的半徑為2,則RtAMBN的周長(zhǎng)為.

10.如圖所示,△ABC中,AB=12,AC=9,BC=7,OO為公ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D,E,F,則BF=

11.如圖所示，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6,內(nèi)切圓0O切BC邊于點(diǎn)D,則圖中陰影部分面積為

12.如圖所示，。0是邊長(zhǎng)為a的正三角形ABC的內(nèi)切圓，則圖中陰影部分的面積為

能力提升

13.如圖所示，在.AABC中,NC=90°,AC=8,AB=10,點(diǎn)P在邊AC上,.AP=2.若。O的圓心在線段BP上,且

OO與AB,AC相切，則。O的半徑為（）.

A.lB.2C.3D.4

第13題圖

14.如圖所示，矩形ABCD中,AB=3,BC=4,OO與（O。'分別為△ABC與△ADC的內(nèi)△ABC△4DC切圓,E,F為

切點(diǎn)，則EF=.

15.如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，有一正方形ABCD,反比例函數(shù)y=例圖像經(jīng)過(guò)正方形AOBC對(duì)角線的交

點(diǎn)，半徑為4-2夜的圓內(nèi)切于△ABC,則k的值為.

16.如圖所示,在梯形ABCD中,AB〃CD,。。為內(nèi)切圓,E為切點(diǎn)者.4。=4,OE=昔，則DO=

第16題圖第17題圖

17.如圖所示，△ABC的三邊滿(mǎn)足關(guān)系式BC書(shū)（AB+4C）,O,I分別為△ABC的外心和內(nèi)心,/BAC的外角平

分線交。。于E,AI的延長(zhǎng)線交。O于D,DE交BC于H,若AI=2,則BD=.

拓展資源

18.如圖所示,0是△4BC的內(nèi)心，過(guò)0作與AC,BC分別交于點(diǎn)旦兄則().

A.EF>AE+BFB.EF<AE+BF

C.EF=AE+BFD.EF<AE+BF

19.如圖所示，已知邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC內(nèi)有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的內(nèi)接正三角形DEF,則△4EF的內(nèi)切圓的

半徑為一.

20.如圖所示,00的半徑為1,點(diǎn)P是。O上一點(diǎn)，弦AB垂直平分線段OP,點(diǎn)D是弧APB上任意一點(diǎn)(與端點(diǎn)A,

B不重合),DELAB于點(diǎn)E,以點(diǎn)D為圓心,DE長(zhǎng)為半徑作。D,分別過(guò)點(diǎn)A,B作。D的切線，兩條切線相交于點(diǎn)

C.

(1)求弦AB的長(zhǎng).

⑵判斷.乙4cB是否為定值，若是，求/ACB的大小，否則說(shuō)明理由.

(3)記4ABC的面積為S,若上=4百,求^ABC的周長(zhǎng).

第20題圖

1-4BDDA

5.60°6.30°7.50°8.60°9.410.511.---7rl2.f--二)a2

22\412/

13.A14.115.416.317.2

18.連接OA,OB.

因?yàn)?。?ABC的內(nèi)心，

所以O(shè)A,OB分別是NCAB及/ABC的平分線,

所以NEAO=/OAB,/ABO=NFBO.

因?yàn)镋F//AB,

所以NAOE=/OAB,/BOF=NABO,

所以NEAO=NAOE,NFBO=/BDF,A

所以AE=OE,OF=BF.

所以EF=AE+BF.

19.

(1)

第19題答圖

如圖⑴所示,。1是4ABC的內(nèi)切圓，由切線定理可得:AD=AE,BD=BF,CE=CF,AD=AE[(AB+AC)-{BD

+CF)]=|[(AB+AC)-(BF+CF)]

=^AB+AC-BC)

如圖⑵所示,△ABC,ADEF為正三角形，

所以AB=BC=CA,EF=FD=DE,/BAC=NB=NC=NFED=/EFD=NEDF=60。，

所以/1+/2=/2+/3=120。,/1=/3,

所以△AEF^ACFD.

同理證明:△AEF^ACFD^ABDE,

所以BE=AF,即AE+AF=AE+BE=a.

設(shè)M為小AEF的內(nèi)心,MH_LAE于H,

貝[]4”=號(hào)(4E+Tlf-EF)=|X(2-1)=j.

因?yàn)镸A平分/BAC.

所以/HAM=30。，

所以HM=AH?tan30°=|xlXy=^.

20.(1)連接OA,取OP與AB的交點(diǎn)為F,則有OA=1.

因?yàn)橄褹B垂直平分線段OP,

所以O(shè)F=：OP=^,AF=BF.

在RtAOAF中,AF=y/OA2-OF2=J/—=9

所以AB=2AF=V3.

(2)ZACB是定值.

第20題答圖

由⑴易知,NAOB=120。.

因?yàn)辄c(diǎn)D為AABC的內(nèi)心，

所以連接AD,BD,貝!]NCA