2024年中考數(shù)學(xué)提高復(fù)習(xí)講義：圖形的相似與解直角三角形

中考專(zhuān)題復(fù)習(xí)之圖形的相似與解直角三角形

知識(shí)梳理

1.圖形的相似

⑴比例線(xiàn)段.

ab

cd

(比例基本定理)合比性質(zhì)：誓=岑

ba

?=5=...=翌。+(^+-一+幾片0)今等比性質(zhì)：鬻y=?

bdnb+d+--'+nb

(2)相似三角形.

①相似三角形定義和表示：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形，叫作相似三角形.用符號(hào)“S”表示，讀作

“相似于”.

②相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比叫作相似比.

③相似三角形的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn))相交，所截成的三角形與

原三角形相似.

④相似三角形的判定：

三角形相似的判定方法與全等的判定方法的聯(lián)系列表如下：

類(lèi)型斜三角形直角三角形

全等三角形的

SASSSSAAS(ASA)HL

判定

相似三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成三邊對(duì)應(yīng)成比一條直角邊與斜

兩角對(duì)應(yīng)相等

判定比例，夾角相等例邊對(duì)應(yīng)成比例

2.解直角三角形

(1)銳角三角函數(shù)的定義.

在直角三角形ABC中,NC=90。,設(shè)BC=a,CA=b,AB=c,NA的四個(gè)三角函數(shù)如下：

(a)正弦定義：在直角三角形ABC中，銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫作角A的正弦，記作sinA，即sinX=

c

(b)余弦的定義：在直角三角形ABC,銳角A的鄰邊與斜邊的比叫作角A的余弦，記作cosA，即cosA=%

(c)正切的定義：在直角三角形ABC中，銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫作角A的正切，記作tanA,即tan4=*

這種對(duì)銳角三角函數(shù)的定義方法，有兩個(gè)前提條件：

①銳角NA必須在直角三角形中，目.NC=90。.

②在直角三角形ABC中，每條邊均用所對(duì)角的相應(yīng)的小寫(xiě)字母表示.否則，上述關(guān)系不成立.

(2)坡角和坡度.坡面與水平面的夾角稱(chēng)為坡角，坡面的鉛直高度與水平寬度的比為坡度(或坡比),即坡度等于

坡角的正切.

2

⑶銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系為平方關(guān)系：s譏2人+COs/l=1.

(4)互為余角的兩個(gè)三角函數(shù)之間的關(guān)系.

若/A+/B=90°,則sinA=cosB,cosA=sinB.

(5)特殊角的三角函數(shù)如下表所示.

0°30°45°60°

sina

cosa

tana

(6)勾股定理.

①勾股定理的概念：直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方和.

②勾股定理的數(shù)學(xué)表達(dá)：若△ABC為直角三角形，乙4,AB,NC的對(duì)邊分別為a,b,c,且々=90。,則a2+b2c2

；反之，已知a,b,c為A4BC的邊，若a?+/=?2,則AABC為直角三角形.

典型例題

例1

已知線(xiàn)段AB,其中C點(diǎn)為AB黃金分割點(diǎn)，設(shè)以AC為邊的正方形的面積是Si,以CB,AB的長(zhǎng)為邊的矩形的

面積是S2,則Si與S2的大小關(guān)系為.

2

解析由題意得：Si=CA,S2=CB-AB

因?yàn)镃點(diǎn)為AB黃金分割點(diǎn)，

所以存在以下兩種情況：

2

(1)CA>CB時(shí)，即有.=符則CA=CB.4B,因此=S2;

22

(2)CA<CB時(shí)，即有(CA<CB<CB■力B,因此<S2;

綜上所述，Sx<S2.

例2

如圖所示，在RtAABC中,NC=90。,BC=8cm,5AC-3AB=0.若點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)

Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA方向以Icm/s的速度移動(dòng).若P,Q同時(shí)分別從B,C出發(fā)，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間4CPQ與ACAB相似？

解析設(shè)經(jīng)過(guò)ts時(shí)公CPQ與小CAB相似.A

因?yàn)镹C=90。，

所以AC2+BC2=AB2.；

又因?yàn)锽C=8cm,5AC-3AB=0,X-_J,

所以AC=6cm,AB=10cm.?,_

例2圖

因?yàn)辄c(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向以2cm/s的速度移動(dòng).所以0<t<4.

因?yàn)辄c(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA方向以lcm/s的速度移動(dòng)，所以0<t<6,

所以0<t<4.

設(shè)經(jīng)過(guò)ts(0<t<4)時(shí),△CPQ-^ACAB相似，此時(shí)BP=2t,CQ=t,CP=8-2t,存在如下兩種情況:

(1)當(dāng)小CPQ-ACAB時(shí)，即有=等，則？=*解得

LACDoo11

(2)當(dāng)4CPQ-ACBA時(shí)，即有篇=號(hào)則合券=士解得t=芳.所以經(jīng)過(guò)興或普s時(shí),△CPQ與公CAB相似.

CDCAo65115

例3

2

已知(VltanA-3)+|2cosB-V3|=0,試判斷△ABC的形狀.

解析因?yàn)?(V5tanA—3)+12cos8—V3|=0,

因?yàn)?EtanA-3)20,且12cosB-皆|20,

所以(V^tanA-3)=0,|2cosB-V3|=0,

所以tanX=y,cosB=y,

所以ZX=30。,NB=60°,

所以NC=90。.

所以△ABC為直角三角形.

例4

如圖⑴所示，在△ABC中,AB=AC,D,E是△ABC內(nèi)兩點(diǎn),AD平分NB4C,NEBC=/E=60。,若BE=6cm,DE=

2cm，則BC—cm.

例4圖

解析如圖⑵所示，過(guò)E作EMLBC,分別延長(zhǎng)AD,ED交BC于點(diǎn)F,H.由題意得DF〃EM,AEBH為等邊三角形,

因此BE=BH=EH=6cm,HM=3cm,且—=妲廁有HF=2cm,MF=lcm,所以BF=4cm,所以BC=8cm.

雙基訓(xùn)練

1.若四三=工廁竺=

n2n

2.若2=g=(,a+b+c=24,貝!]3a+4b+6c=().

A.90B.100C.110D.120

3.已知a,b,c,d是比例線(xiàn)段，其中a=3cm,b=4cm,c=12cm,則線(xiàn)段d的長(zhǎng)度為().

A.2cmB.16cmC.9cmD.32cm

4.如圖所示，已知△ABCs/^BDA,且NABC=NADB=90o,AC=10,BC=8,AD=().

2418

A.—B.—C.6D.8

55

第4題圖第5題圖

5.如圖所示，在等邊三角形ABC中，且BD=\BC,CE=：AC,則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)有（）.

Z4

（1）AABD^ADCE;（2）ADCEs/\ADE;⑶NADE=60°;（4）NDEC=90°.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

6.如圖所示,P為線(xiàn)段AB上一點(diǎn),AD與BC交于E,ZCPD=ZA=ZB,BC交PD于F,AD交PC于G,則圖中相似

三角形有（）.

A.1對(duì)B.2對(duì)C.3對(duì)D.4對(duì)

第6題圖第7題圖

7.如圖所示，小正方形的邊長(zhǎng)均為1,則下列選項(xiàng)中的三角形（陰影部分）與小ABC相似的是（）.

8.如圖所示,M為RtAABC的斜邊BC上異于B,C的一個(gè)定點(diǎn)，過(guò)M點(diǎn)作直線(xiàn)截△ABC，使截得的三角形與△

ABC相似，這樣的直線(xiàn)共有（）.

A.1條B.2條

C.3條D.4條

9.若已知兩個(gè)三角形為相似三角形，兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比為4：3,則其面積比為（）.

A.16:9B.9:16

C.3:4D.4:3

10.如果兩個(gè)相似三角形的面積之比為1：9,那么它們對(duì)應(yīng)的高的比是（）.

第8題圖

A.l:9B.1:3C.2:lD.l:2

C

第11題圖

12.現(xiàn)有一張紙，如果對(duì)折后的半張紙與整張紙相似，則整張報(bào)紙的長(zhǎng)和寬的比是（）.

A.4:lB.1.5:1C.2:lO.V2:1

13.如圖所示，某地修建高速公路，要從B地向C地修一座隧道（B,C在同一水平線(xiàn)上），為了測(cè)量B,C兩地

之間的距離，某工程師乘熱氣球從C地出發(fā)，垂直上升100m到達(dá)A處，在A處觀(guān)察B地的俯角為30。，則B,C

兩地之間的距離為（）.

A.100-\/3mB.SQyJZm

100V3

C.50V3mDn.-------m

14在RtAABC中.各邊的長(zhǎng)都擴(kuò)大了4倍.那么銳角A的余弦值（）.

A.擴(kuò)大了4倍B.縮小了4倍

C.沒(méi)有變化D.不能確定

15.在RtAABC中,NC=90o,AB=2BC,則sinB的值為().

1V2V3ci

AA.-nB.—nC.—D.l

222

16.在RtAABC中,/B=30o,NC=9(r,AD平分/BAC交BC于點(diǎn)D,則DB:CD等于().

A.l:25.1：V3

C.2:l￡>.V3：V2

17.已知在等邊三角形ABC中，如圖所示,DE〃BC,且BC=4cm,AE:AC=1:3,那么△ADE的周長(zhǎng)等于.

18.已知△ABCs^EBD,且相似比為5:2,△ABC與^EBD的面積和為（812c/,則^ABC的面積為cm2.

19以點(diǎn)O為位似中心，將五邊形ABCDE放大后得到五邊形已知OA=10cm,OA，=20cm,則五邊形

ABCDE的周長(zhǎng)與五邊形4BO9的周長(zhǎng)的比值是.

...........C

第19題圖

20.計(jì)算:sin30°cos45°+cos60°tan60°.

能力提升

21.將三角形紙片UABC）按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上,記為點(diǎn)B1,折線(xiàn)為EF.已知AB=AC

=6,BC=8,若以點(diǎn)B1,F,C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，那么BF的長(zhǎng)度是—.

22如圖所示，在△ABC的外接圓。O中,D是弧BC的中點(diǎn)AD交BC于點(diǎn)E,連接BD.則圖中相似的三角形有一

第21題圖第22題圖第23題圖

23.如圖所示,在矩形ABCD中,對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)為0,P為AD的中點(diǎn),PELAC于點(diǎn)E,PF±BD于點(diǎn)F,AB=3,BC=4,則

PE+PF=____.

24.如圖所示,在等腰三角形ABC中,/C=9(T,D為AC上任意一點(diǎn),若已知AC=3,tanzDBX=g則AD=

第24題圖第25題圖

25.如圖所示.在四邊形ABCD,CDEF,EFGH都是正方形，則/1+/2=.

26.已知a=3,且(4tan450-b)2+j+/—c=0,以a,b,c為邊組成的三角形是__.

27.如圖所示，在RSABC中，作第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為12,第二個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為9,求第三個(gè)正方形的周

長(zhǎng).

第27題圖

28.如圖所示，在△ABC中,/BAC=9(T,AD_LBC于點(diǎn)D,點(diǎn)E為AC的中點(diǎn),ED的延長(zhǎng)線(xiàn)交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F.

第28題圖

29.為了測(cè)量某個(gè)小教堂的高度，測(cè)量人員選擇了離這個(gè)小教堂近的一個(gè)建筑物并在兩者之間立了一個(gè)旗桿，

高為88米,如圖所示(右邊為小教堂)，從建筑物的頂點(diǎn)A正好可以看到小教堂的底部C點(diǎn)，且俯角a為(60。,，

又從A點(diǎn)測(cè)得D點(diǎn)的俯角p為：30。,，若旗桿的底點(diǎn)為G,且CG=|BC,問(wèn)小教堂的高為多少米?

第29題圖

30.如圖所示，某個(gè)器件的截面為梯形ABCD,且有=4m,,器件的高為6m,AD的坡度為1:3,BC

的坡度為1：L求該器件的截面積.

DC

第30題圖

拓展資源

31.如圖所示，矩形DEGF內(nèi)接于銳角.△ABC,,其中D,E兩點(diǎn)分別在邊AB,AC±,F,G兩點(diǎn)在BC邊上,AN為△

4BC的高,AN交DE于M,交BC于N.其中BC=12cm,高AN=8cm.矩形DEGF是否存在面積最大的情況？最大面積

為多少？

32.如圖所示，在。O中直徑AB1CD,,垂足為E,點(diǎn)M在OC上,AM的延長(zhǎng)線(xiàn)交0O于點(diǎn)G,交過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)

于點(diǎn)F,zl=N2,,連接CB與DG交于點(diǎn)N.

(1)求證:CF是。。的切線(xiàn).

(2)求證:△ACMO△DCN.

(3)若點(diǎn)M是CO的中點(diǎn),OO的半徑為4,cosNBOC=1，求BN的長(zhǎng).

33.新星小學(xué)門(mén)口有一直線(xiàn)馬路，為方便學(xué)生過(guò)馬路，交警在門(mén)口設(shè)有一定寬度的斑馬線(xiàn)，斑馬線(xiàn)的寬度為4

米，為安全起見(jiàn)，規(guī)定車(chē)頭距斑馬線(xiàn)后端的水平距離不得小于2米，現(xiàn)有一旅游車(chē)在路口遇紅燈剎車(chē)停下，汽車(chē)

里司機(jī)與斑馬線(xiàn)前后兩端的視角分別為/-FAE=15。和乙FAD=30。.司機(jī)距車(chē)頭的水平距離為0.8米，試問(wèn)該旅游

車(chē)停車(chē)是否符合上述安全標(biāo)準(zhǔn)?（E,D,C,B四點(diǎn)在平行于斑馬線(xiàn)的同一條直線(xiàn)上）

（參考數(shù)據(jù)：tan150=2-V3,sinl5°=正返，cosl5°=恒a，8=1.732,〃=1.414）

44

L4米---勺0.8米廣

第33題圖

1-5ACBAD6-10CACAB11-16BDACCC

17.4cm18.70019.-20.

24

21.4或爭(zhēng)2ABDE^AACE,ADBE^ADAB,AABD^AAEC

23.苫24.V2/225.45。26直角三角形

27.27

28.因?yàn)?BAC=9(F,AD_LBC,/B=NB

所以△ABD^ACBA

所二UI以'IA就B=而B(niǎo)D

因?yàn)辄c(diǎn)E為AC的中點(diǎn),ADJ_BC

所以DE=)C=EC

所以/EDC=/C

因?yàn)镹FDA=/FDB+/BDA,/FBD=/BAC+/C

又因?yàn)?BDF=NC

所以/C=/BDF

所以/FDA=/FBD

在4BDF和4DAF中,/FDA=/FBD,/B=NB

所以△BDF^ADAF

所r-r-p以IB詬D=而DF

又因?yàn)殂?/p>

所以冷竿

29.8百米30.96爪2

31.因?yàn)樗倪呅蜠EGF為矩形

所以DE〃BC

所以△ADE^AABC

二

所UI以”Z嬴M=而DE

設(shè)AM=x(0<x<8)

“AM-BC12x3x

DE=---------=——=——

AN8