《第十三章 軸對稱》單元核心考點歸納與單元檢測試卷

《第十三章軸對稱》單元核心考點歸納1．如圖，△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A(1,1)，B(4,2)，C(3,4)．(1)請畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1.(2)請在x軸上找一點P，使得PA＋PB最小，并直接寫出點P的坐標(biāo)．1軸對稱變換解：(1)如圖所示，△A1B1C1即為所求．(2)如圖，作點A關(guān)于x軸的對稱點A′，連接A′B交x軸于點P，點P即為所求，其坐標(biāo)為(2,0)．性質(zhì)1軸對稱的性質(zhì)2．如圖，△AOD和△BOC關(guān)于直線l軸對稱，下列說法中錯誤的是(

)A．∠DAO＝∠CBO，∠ADO＝∠BCOB．直線l垂直平分AB，CDC．△AOD和△BOC均是等腰三角形D．AD＝BC，OD＝OC

2五個性質(zhì)C性質(zhì)2線段的垂直平分線的性質(zhì)3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝15°，邊AB的垂直平分線與AC交于點D，與AB交于點E，連接BD.若AD＝10cm，則BC＝______cm.5性質(zhì)3等腰三角形的性質(zhì)4．如圖，在△ABC中，點D，E為邊BC上的點，且AD＝AE，BD＝EC.求證：AB＝AC.證明：過點A作AF⊥DE于點F.∵AD＝AE，AF⊥DE，∴DF＝EF.又∵BD＝EC，∴BF＝CF.∵AF⊥BC，∴∠AFB＝∠AFC＝90°.又∵AF＝AF，∴△AFB≌△AFC(SAS)，∴AB＝AC.性質(zhì)4等邊三角形的性質(zhì)5．如圖，△ABC是等邊三角形，△ACE是等腰三角形，∠AEC＝120°，點F為邊BC的中點，連接AF.(1)直接寫出∠BAE的度數(shù)為__________.(2)判斷AF與CE的位置關(guān)系，并說明理由．90°解：(2)AF∥CE.理由如下：∵AB＝AC，BF＝CF，∴AF⊥BC.∵∠ACB＝60°，∠ACE＝30°，∴∠BCE＝90°，∴EC⊥BC，∴AF∥CE.性質(zhì)5含30°角的直角三角形的性質(zhì)6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，邊AC的垂直平分線DE交AB于點D，交AC于點E.(1)求∠BCD的度數(shù)．(2)若DE＝3，求AB的長．解：(1)∵DE為邊AC的垂直平分線，∴CD＝AD，DE⊥AC，∴∠DCA＝∠A＝30°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACB－∠DCA＝90°－30°＝60°.(2)∵∠B＝90°－30°＝60°，∴∠BCD＝∠B，∵DE⊥AC，∠A＝30°，DE＝3，∴AD＝2DE＝6，∴AB＝2AD＝12.判定1線段的垂直平分線的判定7．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于點E，連接AE.求證：CD垂直平分AE.3三個判定證明：證△DAC≌△DEC(AAS)，DA＝DE，CA＝CE，∴CD垂直平分AE.判定2等腰三角形的判定8．如圖，點D為△ABC的邊AB的延長線上一點，DF⊥AC于點F，交BC于點E，且BE＝BD.求證：AB＝BC.證明：證∠CEF＝∠BED＝∠D，∴∠C＋∠D＝90°.又∵∠A＋∠D＝90°.∴∠A＝∠C，∴AB＝BC.判定3等邊三角形的判定9．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，點E在BA的延長線上，連接CE.(1)求證：∠E＝∠ECD.(2)若∠E＝60°，CE平分∠BCD，直接寫出△BCE的形狀．解：(1)證明：∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B.∵∠B＝∠D，∴∠EAD＝∠D，∴BE∥CD，∴∠E＝∠ECD.(2)∵∠E＝60°，∠E＝∠ECD，∴∠ECD＝∠E＝60°.∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠ECD＝60°，∴∠BCE＝∠E＝60°，∴∠B＝180°－∠BCE－∠E＝60°，∴∠BCE＝∠E＝∠B，∴△BCE是等邊三角形．應(yīng)用1軸對稱與坐標(biāo)的應(yīng)用10．已知點M(2a－1，a＋2)，N(2－b，b－1)．(1)若點M，N關(guān)于x軸對稱，則a＝__________，b＝________.(2)若點M關(guān)于y軸對稱的點在第一象限，則a的取值范圍是________________.4兩個應(yīng)用4－5應(yīng)用2軸對稱在最短路徑問題中的應(yīng)用11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10.若點D，E分別為BC，AB上的動點，則AD＋DE的最小值是(

)A．8.4 B．9.6C．10 D．10.8B《第十三章軸對稱》階段小測(一)(測試范圍：13.1～13.2時間：45分鐘滿分：100分)一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，滿分30分)1．在一些美術(shù)字中，有的漢字是軸對稱圖形．下面4個漢字中，可以看作是軸對稱圖形的是(

)2．若點A(x＋y,1)與B(－3，y)關(guān)于x軸對稱，則(

)A．x＝－2，y＝1 B．x＝－2，y＝－1C．x＝2，y＝－1 D．x＝2，y＝1BB3．下面是四位同學(xué)作△ABC關(guān)于直線MN對稱的圖形，其中正確的是(

)B4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，點D是邊AB上一點，將△BCD沿CD折疊，使點B落在邊AC上的點E處，則∠ADE的度數(shù)是(

)A．25° B．30°C．35° D．40°D5．如圖，在△ABC中，E為邊AB的中點，過點E作ED⊥AB交BC于點D，若AE＝3，△ADC的周長為20，則△ABC的周長為(

)A．20 B．23C．26 D．29C6．如圖，△ABC關(guān)于邊AB，BC所在直線對稱的圖形分別是△ABE，△BDC.若∠1∶∠2∶∠3＝9∶2∶1，則∠4的度數(shù)是(

)A．70° B．80°C．90° D．95°C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)7．如圖，△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線l對稱，且∠A＝105°，∠C′＝30°，則∠B的度數(shù)是__________.45°8．如圖，△ABC與△AED關(guān)于直線l對稱，連接CD交直線l于點O，若AB＝AC＝2，OC＝BC＝1，則四邊形ABCD的周長為______.9．已知P(m－4,3m－7)關(guān)于y軸的對稱點在第一象限，則m的整數(shù)解為______.7310．如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線OM與邊AC的垂直平分線ON交于點O，這兩條垂直平分線分別交BC于點D，E.已知△ADE的周長為13cm.(1)線段BC＝________cm.(2)分別連接OA，OB，OC，若∠DOE＝80°，則∠BAC＝____________.13100°三、解答題(本大題共4小題，滿分50分)11．(本題12分)如圖，在△ABC中，∠A＝90°，ED垂直平分BC交BC于點D，交AB于點E，連接CE.若AB＝10，CE∶AE＝3∶2，求AE的長．解：AE＝4.12．(本題12分)如圖，已知線段AB.(1)用尺規(guī)作圖的方法作出線段AB的垂直平分線l(保留作圖痕跡，不要求寫出作法)．(2)在(1)中所作的直線l上任意取兩點M，N(線段AB的上方)．連接AM，AN，BM，BN.求證：∠MAN＝∠MBN.解：(1)如圖所示，直線l即為所求．(2)證明：根據(jù)題意作出的圖形如圖所示．∵點M，N在線段AB的垂直平分線l上，∴AM＝BM，AN＝BN.∴△AMN≌△BMN(SSS)，∴∠MAN＝∠MBN.13．(本題12分)如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系．已知△ABC的頂點A的坐標(biāo)為

A(－1,4)，頂點B的坐標(biāo)為(－4,3)，頂點C的坐標(biāo)為(－3,1)．(1)把△ABC向下平移4個單位長度，再以y軸為對稱軸，得到△A′B′C′.請你畫出△A′B′C′，并直接寫出點A′，B′，C′的坐標(biāo)．(2)求△ABC的面積．解：(1)如圖所示，△A′B′C′即為所求，點A′，B′，C′的坐標(biāo)分別為A′(1,0)，B′(4，－1)，C′(3，－3)．14．核心素養(yǎng)·幾何直觀(本題14分)折紙是我國一項古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)，這項具有中國特色的傳統(tǒng)文化在幾何中可以得到新的解讀．已知在△ABC中，請根據(jù)題意，探索不同情境中∠1＋∠2(或∠1－∠2)與∠A的數(shù)量關(guān)系．(1)如圖①，若∠A＝60°，沿圖中虛線DE截去∠A，則∠1＋∠2＝____________.(2)如圖②，翻折后，點A落在點A′處，若∠1＋∠2＝110°，求∠B＋∠C的度數(shù)．(3)如圖③，△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A′處，若∠1＝80°，∠2＝28°，則∠A的度數(shù)為__________.240°26°解：(1)∵∠A＝60°，∴∠ADE＋∠AED＝180°－60°＝120°，∴∠1＋∠2＝360°－∠ADE－∠AED＝240°.故答案為240°.(2)如圖②，連接AA′.∵∠1＝∠DAA′＋∠DA′A，∠2＝∠EAA′＋∠EA′A，∴∠1＋∠2＝∠DAA′＋∠DA′A＋∠EAA′＋∠EA′A＝∠EAD＋∠EA′D.∵∠EAD＝∠EA′D，∴∠1＋∠2＝2∠EAD＝110°，∴∠EAD＝55°，∴∠B＋∠C＝180°－55°＝125°.(3)如圖③，設(shè)AB與DA′交于點F.∵∠1＝∠DFA＋∠A，∠DFA＝∠2＋∠A′.由折疊可得，∠A＝∠A′，∴∠1＝∠A＋∠A′＋∠2＝2∠A＋∠2.又∵∠1＝80°，∠2＝28°，∴80°＝2∠A＋28°，∴∠A＝26°，故答案為26°.《第十三章軸對稱》階段小測(二)(測試范圍：13.3～13.4時間：45分鐘滿分：100分)一、選擇題(本大題共6小題，每小題4分，滿分24分)1．已知等腰三角形的兩邊長分別是4cm和8cm，則周長為(

)A．16cm

B．20cmC．16cm或20cm D．24cm2．下列推理中，不能判斷△ABC是等邊三角形的是(

)A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60°C．∠A＝60°，∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠CBD3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是斜邊AB上的高，BD＝2，則AD的長為(

)A．2 B．4C．6 D．8C4．如圖，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點F，G.若FG＝2，ED＝6，則DB＋EC的值為(

)A．3 B．4C．5 D．9B5．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12cm，點D在邊AC上，DC＝4cm，將線段DC沿CB方向平移7cm得到線段EF，點E，F(xiàn)分別落在邊AB，BC上，則△EBF的周長為(

)A．7cm B．11cmC．13cm D．16cmC6．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，過點B作BE⊥AD于點E，過點E作EF∥AC交AB于點F，則(

)A．AF＝2BF

B．AF＝BFC．AF＞BF

D．AF＜BFB二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)7．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝54°，則∠C的度數(shù)為__________.8．如圖，△ABC是等邊三角形，點B，C，D，E在同一條直線上，且CG＝CD，DF＝DE，則∠E的度數(shù)是__________.54°15°9．如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，點D是邊BC上一點，BD＝2，DE⊥BC交AB于點E，則AE＝______.210．如圖，等腰△ABC的底邊BC的長為4，面積是16，AC的垂直平分線EF分別交AC，AB于點E，F(xiàn).若點D為邊BC的中點，點M為線段EF上一動點，則△CDM周長的最小值為________.10三、解答題(本大題共5小題，滿分56分)11．(本題10分)如圖，在△PON中，∠PON＝60°，OP＝12，點M在ON上，且PM＝PN.若OM＝3，求MN的長．∴ME＝3＝EN，∴MN＝6.12．(本題10分)如圖，在△ABC中，AC＝BC，點D，E分別為AB，AC上的點．若AD＝AE，DF＝BD，求∠BDF的度數(shù)．解：∵BC＝AC，∴設(shè)∠A＝∠B＝x.∵DF＝DB，∴∠B＝∠F＝x.∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝∠B＋∠F＝2x.在△AED中，x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，即∠B＝∠F＝36°，∴∠BDF＝180°－36°×2＝108°.13．(本題10分)如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，網(wǎng)格中有一個格點△ABC(即三角形的頂點都在格點上)．(1)△ABC的面積為__________.(2)在圖中作出△ABC關(guān)于直線MN的對稱圖形△A′B′C′.(3)在MN上找一點P，使得PB＋PC的距離最短，在圖中作出P點的位置．5.5故答案為5.5.(2)如圖所示，△A′B′C′即為所求．(3)如圖所示，點P即為所求．14．(本題12分)如圖，在△ABC中，AD是角平分線，點E為邊AC上一點，∠EDC＝∠BAC.(1)畫出△ABD關(guān)于直線AD對稱的三角形．(2)求證：BD＝ED.解：(1)如圖，在CE上取點F，使AB＝AF，連接DF，則△ADF與△ADB關(guān)于直線AD對稱．(2)證明：易證△ABD≌△AFD(SAS)，得BD＝DF，∠B＝∠AFD.由∠B＋∠BAC＋∠C＝∠DEC＋∠EDC＋∠C＝180°，∴∠B＝∠DEC，∴∠DEC＝∠AFD，∴DE＝DF，∴BD＝ED.15．(本題14分)如圖，已知△ABC≌△CDA，將△ABC沿AC所在的直線折疊至△AB′C的位置，點B的對應(yīng)點為B′，連接BB′.(1)B′B與AC的位置關(guān)系是________.(2)點P，Q分別是線段AC，BC上的兩個動點(不與點A，B，C重合)，已知△BB′C的面積為36，BC＝8，求PB＋PQ的最小值．垂直解：(2)連接B′P.由題意，易得AC是BB′的垂直平分線，∴PB＝PB′，∴PB＋PQ＝PB′＋PQ，∴當(dāng)B′，P，Q三點在一條線段上時，PB＋PQ的值最?。帧叽咕€段最短，∴B′Q⊥BC時，PB＋PQ的值最?。鄅＝9，∴PB＋PQ的最小值為9.《第十三章軸對稱》單元檢測一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，滿分40分)每小題都給出A、B、C、D四個選項，其中只有一個是正確的．1．下列圖形中一定是軸對稱圖形的是(

)A2．如圖，直線m是多邊形ABCDE的對稱軸，其中∠A＝115°，∠B＝105°，則∠BCD的度數(shù)是(

)A．80° B．90°C．100° D．110°3．下列條件中能確定△ABC

為等腰三角形的是(

)A．∠A＝50°，∠B＝80° B．∠A＝42°，∠B＝48°C．∠A＝2∠B＝70° D．AB＝4，BC＝5，周長為15CA4．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點D，交BC于點E.若∠BAE＝10°，則∠C的度數(shù)是(

)A．30° B．40°C．50° D．60°B5．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，點P是邊BC上的動點，則AP的長不可能是(

)A．3.5 B．4.2C．5.8 D．7D6．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分線MN分別交AC，AB于點D，E.若∠CBD∶∠DBA＝2∶1，則∠A的度數(shù)是(

)A．20° B．25°C．22.5°

D．30°CA．等邊三角形

B．直角三角形C．鈍角三角形

D．等腰但非等邊三角形A8．如圖，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°.若EF＝2，則DF的長為(

)A．3 B．4C．5 D．6D9．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，點D是AC上一點，且BD＝BC，過點D分別作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別是點E，F(xiàn)，下列結(jié)論中錯誤的是(

)A．DE＝DF

B．點D是AC的中點C．點E是AB的中點

D．AB＝BC＋CDB10．如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，EF垂直平分線段BC，P是直線EF上的任意一點，則△ABP周長的最小值是(

)A．9 B．15C．24 D．27B二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)11．已知點P(3，－4)，則點P關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)是__________________.12．如果一個等腰三角形周長是20cm，底邊長為6cm，那么腰長為______cm.13．如圖，AB＝AC＝8cm，DB＝DC.若∠ABC＝60°，則BE＝______cm.(－3，－4)7414．如圖，在△ABC中，∠A＝40°，點D，E分別在邊AB，AC上，BD＝BC＝CE，連接CD，BE.(1)若∠ABC＝80°，則∠ABE的度數(shù)為__________.(2)∠BDC＋∠BEC的度數(shù)為____________.20°110°三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)15．如圖，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，求∠C的度數(shù)．解：∵AB＝AD＝DC，∴∠B＝∠ADB，∠CAD＝∠C.∵∠BAD＝20°，∴∠B＝∠BDA＝80°，∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝100°，∴∠C＝40°.16．如圖，在Rt△ABC中，過直角邊AC上的一點P作直線MN交AB于點M，交BC的延長線于點N，且∠APM＝∠A.求證：點M在BN的垂直平分線上．證明：∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.∵∠PCN＝90°，∴∠N＋∠NPC＝90°.又∵∠APM＝∠A，∴∠NPC＝∠A，∴∠B＝∠N，∴MB＝MN，∴點M在BN的垂直平分線上．四、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)17．如圖，在等邊三角形ABC的邊AC上取中點D，在BC的延長線上取一點E，使CE＝CD.求證：BD＝DE.∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠E.∵∠ACB＝60°，且∠ACB為△CDE的外角，∴∠CDE＋∠E＝60°，∴∠CDE＝∠E＝30°，∴∠DBE＝∠E＝30°，∴BD＝DE.證明：∵△ABC為等邊三角形，BD是邊AC的中線，∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，18.如圖，∠BAC＝∠ABD,AC＝BD,點O是AD與BC的交點，點E是AB的中點．試判斷OE和AB的位置關(guān)系，并說明理由．解：OE⊥AB.理由如下：∴△BAC≌△ABD(SAS)，∴∠OBA＝∠OAB，∴OA＝OB.又∵點E是AB的中點，∴AE＝BE，∴OE⊥AB.五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)19．在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC各頂點的位置如圖所示．(1)將△ABC向下平移5個單位長度，得到△A1B1C1，請畫出圖形．(2)畫出△A1B1C1

關(guān)于y軸對稱的圖形△A2B2C2，并直接寫出點C2

的坐標(biāo)．解：(1)如圖所示，△A1B1C1

即為所求．(2)如圖所示，△A2B2C2

即為所求．點C2

的坐標(biāo)為(1，－3)．20．如圖，上午8時，一艘輪船從A處測得燈塔C在北偏西30°處，以15nmile/h的速度向正北方向航行，9時30分到達(dá)B處，測得燈塔C在北偏西60°處．若輪船繼續(xù)向正北方向航行，求輪船何時到達(dá)燈塔C的正東方向D處．解：∵∠CBD為△ABC的外角,∠CBD＝60°,∠CAB＝30°,∴∠ACB＝∠CBD－∠CAB＝30°，∴∠CAB＝∠ACB，∴AB＝BC.∵AB＝15×(9.5－8)＝22.5(nmile)，∴AB＝BC＝22.5nmile.在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，則當(dāng)輪船繼續(xù)航行，10時15分到達(dá)燈塔C的正東方向D處．六、(本題滿分12分)21．如圖，在等邊三角形ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O，且OD∥AB，OE∥AC.(1)試判斷△ODE的形狀，并說明理由．(2)判斷線段BD，DE，EC三者之間的關(guān)系，并說明理由．解：(1)△ODE是等邊三角形．理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，∴△ODE是等邊三角形．(2)BD＝DE＝EC.理由如下：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°，∴∠ABO＝∠OBD＝30°.∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠ABO＝30°，∴∠DBO＝∠DOB，∴BD＝OD.同理，EC＝OE.∵DE＝OD＝OE，∴BD＝DE＝EC.七、(本題滿分12分)22．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于點N，交AC于點M，連接MB.(1)若∠ABC＝70°，則∠NMA的度數(shù)是__________.(2)若AB＝8cm，△MBC的周長是14cm.①求BC