用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)-高考數(shù)學備考復習重點資料歸納

第10講用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)

真題展示

2022新高考一卷第10題

已知函數(shù)/⑶=V-x+l,則()

A./“)有兩個極值點B.『㈤有三

個零點

C.點(0,1)是曲線)，=/(工)的對稱中心D.直線

y=2x是曲線)，=/“)的切線

【思路分析】對函數(shù)“V)求導，判斷其單調(diào)性和極值情況，即可判斷

選項AB；由/(4)+/(-x)=2,可判斷選項C；假設k2x是曲線y=/(x)的

切線，設切點為(。力)，求出a/匕的值，驗證點(aS)是否在曲線.v=f(x)

上即可.

【解析】

【解法一】(驗證切點)：ra)=3ff,令/，(的＞0，解得、＜_曰或文〉g,

令ra)〈o,解得-日＜x＜

“㈤在(f-亭,(筆內(nèi))上單調(diào)遞增，在(當今上單調(diào)遞減,且

吟;0,呼=厘＞0,

.方⑶有兩個極值點，有且僅有一個零點，故選項A正確，選項5錯誤；

54f(x)+f(-x)=X3-X+\-X3+X+\=2,則關于點(0,1)對稱,故選項C正

確；

假設尸21是曲線y=/(x)的切線，設切點為"，則尸［2,解得］：=；

2a=b［b=2

或忙，

顯然(1,2)和(-1,-2)均不在曲線y=/(x)上，故選項。錯誤.

故選：AC.

【解法二】(二級結論)：對于A、B的判斷，同法一；

對于C,應用結論：三次函數(shù)的對稱中心為其拐點，而拐點的橫坐標

滿足廣(x)=0。

1(%)=3式一1J〃a)=6x,由/"(x)=6x=0得x=0,X0)=1z故點(0,1)是曲

線y=7U)的對稱中心，C正確；

對于D,設過原點的直線與函數(shù)人1)切于點(m,n),則切線斜率

k=3〉-1=心智，解得再，D錯誤。

m-0i/2

【解法三】(平移)：對于A、B的判斷，同法一；

對于C力1)是由g(x)=%3-x向上平移一個單位而得到，顯然g(x)

是奇函數(shù)，其對稱中心為(0,0),將其向上平移一個單位得到人幻的對

稱中心。1)。下同法二。

【試題評價】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值以及曲線在

某點的切線方程，考查運算求解能力，屬于中檔題.

試題亮點

試題通過設計適當?shù)暮瘮?shù)，將函數(shù)的單調(diào)性、極值、零點、切線、

函數(shù)圖像等概念和性質(zhì)有機地整合到所創(chuàng)設的問題情境中，設問簡

潔，考查點全面.試題既注重基礎，又能使考生主動探究的能力得到

展示.試題著重考查考生的理性思維素養(yǎng)和數(shù)學探究素養(yǎng)，為高校選

拔人才提供有效依據(jù).

知識要點整理

一、函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負之間的關系

定義在區(qū)間(〃，b)內(nèi)的函數(shù)y=/(x)：

/(X)的正負人犬)的單調(diào)性

fW>0單調(diào)遞增

fW<0單調(diào)遞遍

利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟

(1)確定函數(shù)y=?x)的定義域;

⑵求出導數(shù)/（x）的零點；

（3）用，（x）的零點將?r）的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出，（%）

在各區(qū)間上的正負，由此得出函數(shù)y=/（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性.

三、函數(shù)圖象的變化趨勢與導數(shù)的絕對值的大小的關系

一般地，設函數(shù)在區(qū)間3，份上：

導數(shù)的絕對函數(shù)值變

函數(shù)的圖象

值化

比較“陡峭”（向上或向

越大快

下）

比較“壬緩”（向上或向

越小慢

下）

四、函數(shù)極值的定義

1.極小值點與極小值

若函數(shù)y=7（x）在點x=a的函數(shù)值大。）比它在點x=a附近其他點的函

數(shù)值都小，f（?）=0,而且在點x=a附近的左側f（尤）＜0,右側

f'（x）＞0,就把心叫做函數(shù)y=/U）的極小值點，儂叫做函數(shù)y=j[x）

的極小值.

2.極大值點與極大值

若函數(shù)y=式幻在點x=人的函數(shù)值fib）比它在點％=/?附近其他點的函

數(shù)值都大，f0）=0,而且在點x=b附近的左側f。）＞0,右側

/。）＜0,就把上叫做函數(shù)y=/U）的極大值點，您叫做函數(shù)y=j[x）

的極大值.

3.極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值息；極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.

五、函數(shù)極值的求法與步驟

1.求函數(shù)y=/U）的極值的方法

解方程/(x)=0,當/(xo)=O時，

(1)如果在xo附近的左側/(%)>0,右側，(x)<0,那么/U))是極大值;

(2)如果在xo附近的左側/(x)<0,右側/(工)>0,那么/Uo)是極小值.

2.求可導函數(shù)7U)的極值的步驟

⑴確定函數(shù)的定義域，求導數(shù)/(x);

(2)求方程(0=0的根；

⑶列表；

(4)利用/(%)與7U)隨x的變化情況表，根據(jù)極值點左右兩側單調(diào)性

的變化情況求極值.

六、函數(shù)最值的定義

1.一般地，如果在區(qū)間口，切上函數(shù)y=/U)的圖象是一條連續(xù)不斷

的曲線，那么它必有最大值和最小值.

2.對于函數(shù)兀)給定區(qū)間/,若對任意x^h存在沏仁/,使得

於)卻>0)，則稱zu。)為函數(shù)/U)在區(qū)間/上的最小值；若對任意工金/,

存在沏W/,使得犬尢)三/5))，則稱X沏)為函數(shù)式X)在區(qū)間/上的最大值.

思考如圖所示，觀察區(qū)間3,加上函數(shù))，=/(%)的圖象，找出函數(shù)ZU)

在區(qū)間出，切上的最大值、最小值.若將區(qū)間改為(公。)，?￥)在3,

/?)上還有最值嗎？

答案函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［。，切上的最大值是火。)，最小值是於3).

若區(qū)間改為3,與，則凡X)有最小值“T3)，無最大值.

七、求函數(shù)的最大值與最小值的步驟

函數(shù)“X)在區(qū)間,，切上連續(xù)，在區(qū)間(m與內(nèi)可導，求7U)在［mb］

上的最大值與最小值的步驟如下：

(1)求函數(shù)/U)在區(qū)間3,。上的極值;

(2)將函數(shù)yu)的各極值與端點處的函數(shù)值加￡^久比較，其中最大的

一個是最大值，最小的一個是最小值.

三年真題

一、單選題

I.〃力是定義在(0，心)上的非負可導函數(shù)，且滿足寸(x)+/(x)40.對任意正數(shù)a,b,

若a〈b,則必有()

A.af(b)<bf(a)B.bf(a)<.af(b)

C.af(a)<f(b)D.bf(b)<f(a)

【答案】A

【詳解】解：令ga)=〃a),g'a)=ix)+短(%)MO,

所以gW在(o,*o)上為常函數(shù)或遞減，

1若g(x)在(0,e)上為單調(diào)遞減，所以g(a)>gS),

即")>"伍)"①，3>,>0②

兩式相乘得：

所以號>華="(。)>5(6)，

2若g(%)在(。,+8)上為常函數(shù)，且，(幻=0,則g(a)=為力=0,

即4(〃)="㈤=0③，4->p->0@,

③?兩式相乘得：

所以￥=^nlrf(a)=af(b),

綜上所述，bf(a)>af(b)

故選：A

2.設/(幻、g。)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當“<()時,

r(x)g(x)+f(x)g，(x)>0.且g(-3)=0,則不等式/&)g(x)<0的解集是()

A.(-3,0)53,+00)B.(-3,0)50,3)

C.(-oo,-3)u(3,4<o)D.(―℃>,—3)kJ(0,3)

【答案】D

【詳解】令九(x)=/(x)g(x),則力(—X)=/(—x)g(—x)=-『(x)g(x)=-力(%)，因此函數(shù)令X)在

R上是奇函數(shù).

①當xv0時，h\x)=/'(x)g(x)+/(x)g'(x)>0,力(幻在xvO時單調(diào)遞增，

故函數(shù)"X)在R上單調(diào)遞增.

〃(—3)=/(—3)g(—3)=0,

.?/(X)=f(x)g(x)<0=A(-3),

.\X<-3.

②當x>0時，函數(shù)人。)在R上是奇函數(shù)，可知：人(/)在(0,—)上單調(diào)遞增，且力(3)

=_?3)=0,

：,h(x)<Qt的解集為(0,3).

③當x=0時，力(0)=0,不符合要求

..?不等式f(x)g(x)<0的解集是Ho,450,3).

故選：D

3.用計算器驗算函數(shù),=竽2)的若干個值，可以猜想下列命題中的真命題只能是(

)

A.y=處在(L+oo)上是單調(diào)減函數(shù)處,X€(l,+8)的值域為

B.

xX

C.y=9,xe(l,+8)有最小值D.lim—=O,/i€N

xn->8n

【答案】D

【詳解】由〃6二竽得二焉：Tgx」ge?gx,

當x>e時，/'(x)<0,當l<x<e時，/^x)>0,

則〃x)=竽在(l,e)上單調(diào)遞增，在(e,+o>)上單調(diào)遞減，A錯誤

*㈤"何=配工孥,B錯誤；

e3

f(x)=處在(l,e)上單調(diào)遞增，在(e,+o>)上單調(diào)遞減，其在。,內(nèi))上無最小值，C錯誤;

X

綜上，可排除A8C,

故選：D.

4.己知c>0,在下列不等式中成立的一個是()

c

A.C>2B.C.D.

【答案】D

【詳解】A.令f(x)=2-Mx>0),則r(x)=2'ln2-l>ln2-l>0,函數(shù)〃力在(0,+功上

單調(diào)遞增，所以f(c)=2C-c>〃0)=l,即c<2J故選項A不正確.

B.當c=g時，(g)>c,當c=l時，(g)<c.故選項B不正確.

C.c>0時，2。.故選項C不正確.

D.由C選項知選項D正確.

故選：D.

5.沒一(力是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，y-7(切的圖像如圖所示,則y-f(x)的圖像最有可能

的是()

【答案】C

【詳解】由導函數(shù)的圖象可得當XV。時，/＜x）＞0,函數(shù)/（X）單調(diào)遞增；

當0vxv2時，，'（力＜0,函數(shù)〃力單調(diào)遞減;

當4＞2時，制勾＞0,函數(shù)/（X）單調(diào)遞增.

只有C選項的圖象符合.

故選:C.

6.函數(shù)/（x）的定義域為開區(qū)間（49，導函數(shù)廣（另在（。⑼內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)/（力

在開區(qū)間（。2）內(nèi)有極小值點（）

【詳解】解:由導函數(shù)r（力在區(qū)間（。山）內(nèi)的圖象可知,函數(shù)廣（可在（。㈤內(nèi)的圖象與x軸

有四個公共點，

在從左到右第一個交點處導數(shù)左正右負，它是極大值點；在從左到右第二個交點處導數(shù)左負

右正，它是極小值點；在從左到右第三個交點處導數(shù)左正右正，它不是極值點；在從左到右

第四個交點處導數(shù)左正右負，它是極大值點.所以函數(shù)在開區(qū)間（〃/）內(nèi)的極小值點有1

個.

故選：A.

7.當x=l時，函數(shù)f（x）=alnx+2取得最大值_2,則八2）=（）

x

A.-1B.一；C.\D.1

【答案】B

【詳解】因為函數(shù)/（x）定義域為（0,+8）,所以依題可知，/（1）=-2,/（1）=0,而

廣（'=@—與，所以力=一2,々一〃=0,即〃=-2/=一2,所以廣（力=一；+馬，因此函數(shù)〃力

XXXX

在（0,1）上遞增，在（1收）上遞減，工=1時取最大值，滿足題意，即有八2）=T+；=-g.

故選：B.

8.函數(shù)/(x)=cosx+(x+l)sinx+l在區(qū)間［0,2司的最小值、最大值分別為()

nit7i一加兀c3nn

A.—，-B3T.T>—C.—?—+2D.----，-H

22222222

【答案】D

［詳解］(x)=-sinx+sinx+(x+l)cosx=(x+l)cosx,

所以/(x)在區(qū)間歸，和停,2冗|上網(wǎng)x)>0,即/(X)單調(diào)遞增；

在區(qū)間(碧)上,㈤<0,即因力單調(diào)遞減,

/=+1+1=，

又/(0)=/(2兀)=2,/電=5+2,{T}~^3)~T

所以〃力在區(qū)間［0,2可上的最小值為號，最大值為畀2.

故選：D

311］

9.已知。=—,Z?=cos—,c=4sin-,則()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

【分析】由：=4tanJ結合三角函數(shù)的性質(zhì)可得c>優(yōu)構造函數(shù)

b4

/(X)=COSX+92_I,X?O,+8),利用導數(shù)可得入,即可得解

【詳解】［方法一］:構造函數(shù)

因為當xe(0，'|')，xvtanx

clc

ife-=4tan->l,故7>1,所以c>b；

b4b

設/(x)=cosx+gx2-i,xw(。，”)，

f(x)=-sinx+x>0,所以f(x)在(0,y)單調(diào)遞增，

故/(小/⑼力，所以cos；4>0,

所以b>“，所以C>Z?>4,故選4

［方法二］:不等式放縮

因為當xe(0,5j,sinxvx,

取x=!得：cos—=l-2sin2->=—,故人”

84818J32

4sin-+cos—=Vf7sinf-+^?|,其中e］,且sin/=-^l=,cos0=-^=

44)I2JV17VI7

當4sin；+cos；=JT7時，:+(p=；,及9=］一;

…?141I

此時sin—=COSQ=—?=,cos—=sm^?=—T=

4VI74VI7

u114.1..I

故c°,二而,而”/<4加"故b<c

所以6>a,所以C>%>。，故選A

［方法三］:泰勒展開

1Ancmu31,0.252L1,0.2520.254

設x=0.25,則a=—=1---------,b=cos-?1----------+--------,

322424!

Sin24

..14i0.250.25工的,曰L....A

c=4sin-=-：-?1----—+——,計算得c>b>a,故選A.

4，3!5!

4

［方法四］:構造函數(shù)

因為￡=4tanL因為當外sinx<x<tanx,所以taJ>,，即苫>1,所以。>力；設

b42J44〃

/(x)=cosx+^x2-i,xe(0,-Hx>),f,(x)=-sinx+x>0,所以/(x)在(0,+<?)單調(diào)遞增，貝ij

/(￡|>/(0)=0,所以cos；-號>0,所以〃…所以

故選：A.

［方法五］:【最優(yōu)解】不等式放縮

因為￡=4tan，，因為當X￡(0,；1,sinx<xvtanx,所以tan，>」,即!>1,所以c>b；因

為當工€(0，11,3111<］，取X=［得8$，=1-25畝2，>1-2|<1］=—,故所以c>b>a.

I2；848⑻32

故選：A.

【整體點評】方法4：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是常見思路，難點在于構造合適的函數(shù),

屬于通性通法；

方法5：利用二倍角公式以及不等式xe(0,］)sinx<x<tanx放縮，即可得出大小關系，屬

于最優(yōu)解.

10.已知正四棱錐的側棱長為/,其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36萬，且

3</<3>/3,則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

,81]「2781]「27641

A.18,—B.—C.—-D.M[1O8,271

L4JL44JL43J

【答案】C

【詳解】???球的體積為的燈,所以球的半徑R=3,

[方法一]:導數(shù)法

設正四棱錐的底面邊長為2%高為人

則尸=卻+力2,32=2。2+（3-〃）2,

所以6人=/，2a2=l2-h2

11o/4I2]（/6A

所以正四棱錐的體積丫=94=94/、〃='（『一三口?二廠一三

333Jo69^Joy

所以

當時，Vf>0,當2"</?3G時，F(xiàn)<0,

所以當1=2指l時，正四棱錐的體積丫取最大值6，4最大值為半，

27e1

又/=3時，V=—,/=36時，V=—,

44

所以正四棱錐的體積丫的最小值為2一7，

4

2764

所以該正四棱錐體積的取值范圍是—.―.

43

故選：C.

[方法二]:基本不等式法

由方法一故所以=人的/?」02-2〃）/?XA-X。2-2'）+〃+"=處（當且

333333

僅當人=4取到），

時,得。嚼，則JU（翁）葭|寧

當，=36時，球心在正四棱錐高線上，此時力=尹3=，

《〃=羊=〃=莘，正四棱錐體積*=92人、（輩）2x==U＜],故該正四棱錐體積的取

22，233，2243

值范圍是

43

二、多選題

11.已知函數(shù)/（?=■?-x+1,貝?。ǎ?/p>

A./（%）有兩個極值點B.f（x）有三個零點

C.點（0,1）是曲線y=/（X）的對稱中心D.直線y=2X是曲線）=f（x）的切線

【答案】AC

【詳解】由題,?。?3k-1,令/"）＞0得x邛或一冬

令八幻＜。得

所以f（x）在（-8,-普），（4,+8）上單調(diào)遞增，（-#,#）上單調(diào)遞減，所以x=±立是極

值點，故A正確；

因/（-季=1+竽＞0,/（亭=1一竽＞0，/（-2）=-5＜0,

所以，函數(shù)/（“在-%-亭）上有一個零點，

當x/時，“X）之/圖＞0,即函數(shù)?。┰诩?8上無零點，

綜上所述，函數(shù)/（幻有一個零點，故B錯誤；

令/?"）=1?一X,該函數(shù)的定義域為R,A（-x）=（-X）3-（-X）=-X3+x=-A（x）,

則〃（X）是奇函數(shù)，（0,0）是力。）的對稱中心，

將〃（x）的圖象向上移動一個單位得到一。）的圖象,

所以點9D是曲線y=八幻的對稱中心，故c正確；

令/(力=3/-1=2,可得H,X/(D=/(-l)=l,

當切點為(1,1)時，切線方程為y=2x-l,當切點為時，切線方程為y=2x+3,故D錯

誤.

故選：AC.

12.已知函數(shù)，(幻及其導函數(shù)八x)的定義域均為R,記g(x)=r。)，若據(jù)一2x),g(2+x)

均為偶函數(shù)，則()

A./(O)=OB.g(T)=。C./(-D=/(4)D.g(-l)=g(2)

【答案】BC

【詳解】［方法一］:對稱性和周期性的關系研究

對于/⑼因為小一2,為偶函數(shù)，所以y(Q+Wq即*-+慮+,①,

a

所以/(3—x)=/(x),所以/*)關于x對稱，則/(-1)=/(4),故C正確；

對于g(x)，因為g(2+x)為偶函數(shù)，g(2+x)=g(2-x),g(4-x)=g(x),所以g(x)關于x=2

對稱，由①求導,和g(x)=/'(%),得

咋+=-嗚r卜《泊”畀卜(泊，所以

g(3T)+g(x)=O,所以g(x)關于g,0)對稱，因為其定義域為R,所以g(|)=O,結合g(“)

關于x=2對稱，從而周期7=4x(2_|)=2,所以且卜升同他且㈠心8⑴/⑵,

故B正確，D錯誤；

若函數(shù)滿足題設條件，則函數(shù)/(x)+C(C為常數(shù))也滿足題設條件，所以無法確定/(幻

的函數(shù)值，故A錯誤.

故選：BC.

［方法二］:【最優(yōu)解】特殊值，構造函數(shù)法.

由方法一知g(x)周期為2,關于X=2對稱，故可設g(x)=C0S(7U),則/(x)=Ling)+c,

71

顯然A,D錯誤，選BC.

故選：BC.

［方法三］:

因為g(2+x)均為偶函數(shù)，

所以/(|一24)=/(1+24)即/(1一%)=/1|+工)g(2+x)=g(2一%),

所以"3T)"(X),g(4-r)=g(x),則故C正確；

函數(shù)/⑴，8。)的圖象分別關于直線x=；,x=2對稱，

又g(x)=f'(x),且函數(shù)〃嘮可導,

所以g圖=0以(3-力=旬力，

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),

所以g1一￡|=g(T)=O，g(T)=g(l)=—g(2)，故B正確，D錯誤；

若函數(shù)f(”)滿足題設條件，則函數(shù)/0)+C(C為常數(shù))也滿足題設條件，所以無法確定/(”)

的函數(shù)值，故A錯誤.

故選：BC.

三年模擬

一、單選題

1.設定義R在上的函數(shù)產(chǎn)“力，滿足任意xwR,都有/(x+4)=/(x),且xe(0,4］時,

才(x)>f(x),則“2021),"22),42°23)的大小關系是()

3

A.“2021)〈符〈華B.Z?</(2021)<ZM

C.ZM<ZM</(2021)D,竿</(2021)〈警

【答案】A

【詳解】依題意，任意KER,都有/(x+4)=/(力，所以/(%)是周期為4的周期函數(shù).

所以〃2。2?⑴，牛=學竿=零.

構造函數(shù)尸(x)=§(O<x44),F'(x)="‘°［；」?>O,

所以產(chǎn)(力在區(qū)間(0,4］上單調(diào)遞增，所以F(1)<F(2)<F(3),

即犯〈組〈組，也即小⑼)〈絲㈣〈?、?

12323

故選：A

2.設門力是函數(shù)/(力的導函數(shù)，且門力>3/(x)(xeR),/(1j=e(e為自然對數(shù)的底

數(shù))，則不等式/(lnx)<V的解集為()

A.?B.(；,+8)C.(0,^/e)D.(%,+<jo)

【答案】C

【詳解】令g(x)=華，則g，3

ee

因為f'(X)>3/(x)(%wR),

所以g，(j)J(x)；3/(x)>0,

e

所以函數(shù)g(x)在R上為增函數(shù)，

Z(M<i

不等式〃lnx)<d即不等式《f,

x>0

又四力等"竽,g臥

所以不等式*nx)<d即為g(ln.r)<g1；j,

即lnx<；,解得0<x<加，

所以不等式川nx)vV的解集為(0,泥).

故選：C.

3.已知函數(shù)/(x)=sin2x-28sx,下列說法中，正確的是()

A.函數(shù)/(力不是周期函數(shù)

B.點(兀0)是函數(shù)/(x)圖象的一個對稱中心

C.函數(shù)/(力的增區(qū)間為卜E—g2E+2](此Z)

D.函數(shù)/(可的最大值為2

【答案】C

【詳解】對于A,/(x+27r)=sin[2(x+2n)]-2cos(x+27i)=sin2x-2cosx=/(x),

故函數(shù)/（力是周期函數(shù)，A錯；

對于B.f（2n-x）=sin[2（2TC-2cos（2n—x）=sin（4TC-2x）-2cosx=—sin2x—2cosx

一(力，

所以，點(九,0)不是函數(shù)/(X)圖象的一個對稱中心，B錯；

對于C,由//(X)=2cos2x+2sin.v=2(1-2sin2x+sinx)=-2(2sin2x-sinx-Q>0,

可得一,WsinxWl,解得2E—二4x?2E+乂(攵eZ),

266

所以，函數(shù)的增區(qū)間為2E-1，2E+等(AwZ),C對;

oo

對于D,由r（x）＜0可得sinx＜」，解得2E+X＜xv2E+監(jiān)AeZ）,

266

所以，函數(shù)八力的單調(diào)遞減區(qū)間為(2E+?In,2E+

6

由A知，函數(shù)/(x)為周期函數(shù)，且2兀為函數(shù)/(x)的一個周期,

不妨考慮函數(shù)/(x)在區(qū)間等上的最大值,

o6

由題意知，函數(shù)/(可在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間乎上單調(diào)遞減，

所以，/(X)=/f—LsinZ^-2cos—=—+^=—,D錯.

一皿」I6J3622

故選：C.

4.已知函數(shù)=版2+cx+d有兩個極值點//，若/(%)二%＜12，則關于“的

方程［『a)T+"(x)+c=0的不同實根個數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

22

【詳解】解：f'(x)=^-3x+^-2bx+c=x+bx+ct

由題意知是函數(shù)的兩個極值點，即毛,々是方程W+bx+c=0的兩根，

從而關于/(“)的方程［/(力了+"⑴+”0有兩個根，/⑴=百或/(x)=x?,

若/(再)二百＜七，所以根據(jù)題意畫圖，

由圖可看出/")=%有兩個不等實根，/(X)=%2只有一個不等實根,

綜上方程卜⑴了+"(x)+c=O的不同實根個數(shù)為3個.

故選：B.

1117

5.已知a=3sin[,b=cos-c=—,則()

33tIo

A.a>b>cB.c>b>a

C.h>a>cD.a>c>b

【答案】A

【詳解】設/(x)=cosx+g/-l,0<x<l.

則r(x)=x-sinx,設g(x)=x-sinx,0<x<l.

/(x)=l-cosx>0,所以g(x)在(0,1)單調(diào)遞增，g(x)>g(O)=O.

所以制x)>0,即f(力在(0,1)單調(diào)遞增,

所以BP/(^)=cos1+-^-l>0,BPcos|>^,b>c.

31o31o

設/z(x)=tanx-x,0<x<l,hf(x)=-—-1=*?>0

cosxcos'x

所以〃(*)在(0,1)單調(diào)遞增.h(x)>h(O)=O,即tancn

.1

sin-.[]

所以---y>-,即3sin->8s-,即白>人，

…1333

cos-

3

所以a>b>c.

故選：A

6./(?=的最小值是t,則實數(shù)。的取值范圍是()

ax'-x+1—a,x>1

【答案】A

【詳解】當工,1時，r(x)=xe\令/(力=0,得戶0,則“X)在(Y,o)上單調(diào)遞減，(0,1)

上單調(diào)遞增，即函數(shù)/(x)在x=0處取得最小值-1,

所以問題轉化為a?_X+1一a.1在(L+00)上恒成立，

令g(x)=ar2-x+2一〃，則g(x”0在上恒成立

當4,0時，不符合.

當a>0時，對稱軸工=丁，則｛為或《2a

2a[g⑴=a-1+2-〃之0[△=l-4t?(2-6r)<0

解得或三叵領h

222

故選:A.

7.已知函數(shù)/(x)在R上存在導函數(shù)r(x),對于任意的實數(shù)x都有〃T)=/(X),當x<0

時，2f(x)+xff(x)>0,若。=0.25/(-0.5),=/(-1),c=4f(2),則”，。，c的大小關

系是()

A.b>c>aB.a>b>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】C

【詳解】令g(x)=x2/(x),,?,當xvO時，2/(刈+才(力>0,貝ljg，(x)=.r[2f(x)+4'(x)]<。,

所以當xvO時，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.

因為對于任意的實數(shù)x都有=所以g(—x)=(—x)2/(—x)=f?/(x)=g(H，即

g(x)為偶函數(shù)，

所以當x>0時，函數(shù)g(“)單調(diào)遞增.

又a=：/(一￡)=(一￡)力=/(T)=(T)2/(T)=g(T)=g0)，

C=4/(2)=22/(2)=^(2),

i(1A

又2>1>不所以g(2)>g⑴,g-L即

2

故選:c.

8.給出定義：若函數(shù)在區(qū)間。上可導，即/'（X）存在，且導函數(shù)/'（X）在。上也可導,

則稱“X）在D上存在二階導函數(shù).記尸（耳=（7（X））'，若廣（*）<0在Q上恒成立，則稱/（*）

2

在。上為凸函數(shù).若g（x）=^+lnx在（0,1）上是凸函數(shù),則實數(shù)?？扇〉淖畲笳麛?shù)值為（）

A.0B.IC.2D.3

【答案】C

【詳解】因為g'（x）=,x+frW=y-4

由凸函數(shù)的定義可得，g"（x）<0在x?0,l）恒成立，

即停一!<0="3■在工4°”）恒成立，

且當z時,白）「1，

所以a?|,則實數(shù)a可取的最大整數(shù)值為2

故選:C.

9.已知/（工）二一￡一cosx,若〃=/e4,0=/（ln1）c=則小b,c的大小

關系為（）

A.c<b<aB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

【答案】D

【詳解】因為-cosx,xwR,定義域關于原點對稱，

f（一4）=-（-x）2-cos（-x）=-x2-cosx=f（x）,

所以f（x）為R上的偶函數(shù)，

當xNO時,/'（x）=-2x+sinx,,設g（x）=-2x+sinx,

則g'（x）=-2+cosx,-1WcosxS1,?.g'（x）v0,

所以g。）即f（X）在［o,?。┥蠁握{(diào)遞減，所以r（X）</（0）=o,

所以在ro,-K?）上單調(diào)遞減,又因為f（x）為偶函數(shù)，

所以f（x）在（-00,0］上單調(diào)遞增，

-111

又因為e4>e“

e4

因為』=Ine支「=e,f-l?2.4<e,所以e7>3,

4111M4

1515

所以Ine4>ln2,即一>ln-,

444

_2i5

所以e，〉一>ln-,

44

所以/同<唱<?。?/p>

RPa<c<b.

故選：D.

10.已知a>b,且ef=ej=I.01,則下列說法正確的有()

①人<一1；?0<?<—；③Z?+a<0；?a-b<\.

2

A.①②③B.@?@C.②④D.③④

【答案】B

【詳解】令〃x)=e=x,則/'(x)=e*T,

當xvO時，r(x)<0；當x>0時，/^x)>0：

故〃x)<0在(0,2)上為增函數(shù)，在(~,0)上為減函數(shù)，

而“。)=/(。)，a>b,故

而/(一〈1=:+；>〈+上=答>1()2>1.3=/0),故一:<b<0,故①錯誤.

又嗎卜G；>"^_g=L6_05>101=〃a),故0<々<；，

故②正確，it匕時a-bvl,故④正確.

^A(x)=/(x)-/(-x)=e'-ev-2x,x^0,

則”（力=e”+e7-222&xx尸一2=0（不恒為零），

故〃（力在［0,+8）上為增函數(shù)，

故心＞0,必有h（x）＞/i（O）=OEP/（x）＞/（-x）（x＞0）,

所以/（々）＞/（一。），即/。）＞/（一々），

由“X）的單調(diào)性可得人〈-。即。+6＜0,故③成立.

故選：B.

二、多選題

II.已知函數(shù)f(x)=半，則下列說法正確的是()

X+1

A.當。=2時，函數(shù)/J)在定義域內(nèi)是減函數(shù)

B.存在一個實數(shù)%使得函數(shù)Ax)滿足/(x-2)=/(-%)

C.對于任意的實數(shù)。，函數(shù)/(X)無極值點

D.當^<1時;若曲線y=/(x)在點(1,/(D)處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為:，

O

則"=q

【答案】BC

【詳解】A選項：當。=2時，/(上)===1+—二，定義域為卜,工-“，顯然函數(shù)/(外在

X+lX+II11

定義域內(nèi)不具有單調(diào)性，故A不正確：

B選項：當。=1時,f(x)=l(x^-l),此時滿足/。-2)=〃-勸,故B正確;

C選項：當。=1時，f(x)=l(x^-l),此時函數(shù)/(%)是常函數(shù)，無極值點；當。工1時，函

數(shù)/(外=g;=1+二，在(力，-1)和(T,KO)上都是單調(diào)的，因此不存在極值點，故C正

x+lx+\

確；

D選項：當avl時，由/'(")=言亍，八1)=寧，/⑴二等，因此曲線y=/(x)在

點(1J(D)處的切線方程為y-"=F(xT)，即)'=Fx+孚，則切線與坐標軸交點

2444

.(八3。+1、『3〃+1八3a+l3a+11Kg_7,,__

坐標為：。，——?---?所以彳--------:--------=-，解得。=0或。=一套，故D不

\4)\a)24a-\89

正確.

故選：BC.

12.已知函數(shù)/(x)=(sinx+coa￥)sin2x,則()

A.八幻在[0,2兀]上有7個零點B.f。)的圖象關于直線對稱

C./⑶的最小正周期為幾D./a)的值域為[-夜,歷

【答案】AD

【詳解】A選項：令,。)=0,得sinx+cosx=0或sin2x=0.由sinx+cosx=0,得tanx=—l,

31T77Tk

因為xe[0,27c],所以x=尊或％=?；由sin2x=0,得x=；7t,&cZ,因為XW[0,2TT],所

442

以％=0或*=5或］=?；騲=/或x=2兀.故/(X)在［0,2淚上有7個零點，故A正確.

B選項:因為.嗚卜血,/用=0,所以/(升/用，則Ax)的圖象不關于直線T

對稱，故B錯誤.

C選項：/(x+^)=［sin(x4-^)+cos(x+^)］sin(2x+2^-)=-(sinx+cosx)sin2x^/(x),故

C錯誤.

D選項：

/(x)=(sinx+cosx)^(sinx+coso:)2-1j=(sinx+cosx)3-(sinx+cosx)=2x/2sin3(x+^-5/2sin^x

,令癡in卜+()=，，則，w亞1，令展。=/一，則g()=3產(chǎn)一1,所以當/€-&,一等］

時，g'Q)>0,g?)單調(diào)遞增；當代—￥，￥時，/⑺<°，8⑺單調(diào)遞減；當，及

時，g'Q)>0,g")單調(diào)遞增.而g(夜)=應，

g圖=-平>gN)=S所以/(4-(-&)=-0，〃“2=8(&)=&,

即/(-v)的值域為［-夜，夜］,故D正確.

故選：AD

【點睛】關鍵點睛：利用換無法，結合導數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵.

13.已知函數(shù)/(x)=d+o?+加+。(。，b,ceR),則下列說法正確的是()

A.若實數(shù)%,再是f(x)的兩個不同的極值點，且滿足％+9=中2,則。>0或av>6

B.函數(shù)/(x)的圖象過坐標原點的充要條件足c=0

C.若函數(shù)/(x)在R上單調(diào)，則3bK/

D.若函數(shù)/(力的圖象關于點0J⑴)中心對稱，則。=-3

【答案】ABD

【分析】對于A：由題意知實數(shù)5,占是/'(力=0的兩個不等實根，得到百+々，X也，再由

%+毛=%占得6=-勿，最后由A〉o可求得。的取值范圍；對于B：從充分性和必要性兩方

面分別進行證明即可；對于C：由函數(shù)/(“在R上單調(diào)，則一定有，(X)20恒成立，顯然

C不正確；對于D：由題意知/(1+力+〃1一力=2/⑴恒成立，可求得〃=-3,D正確.

【詳解】A選項：f\x)=3x2+2ax+b,由題意知實數(shù)玉,當是方程3f+2or+0=0的兩個不

等實根，(注意：極值點與導函數(shù)的零點之間的關系)

所以△=4/_]3>0,且不+9=-''b，由％+占=入/，得人=一2。，所以/+64>0,

解得〃>0或a<-6,所以A正確；

B選項：若函數(shù)/(4)的圖象過坐標原點，則/(0)=c=0,故必要性成立；反之，若c=0,

則〃0)=c=0,故函數(shù)/(力的圖象過坐標原點，充分性成立，所以B正確；

C選項：若函數(shù)/(同在R上單調(diào)，則/'(力=3/+*+620恒成立，所以依2T助40，

即初2",所以C不正確；

D選項：因為函數(shù)“力的圖象關于點(1J⑴)中心對稱，所以f(l+K)+〃l—力=2/(1),

即(l+x)3+a(l+x)2+b(l+x)+c+(l-x)3+a(l-x)2+O(l-x)+c=2(l+a+b+c),整理得

(?+3)<=0,所以〃=一3,所以D正確.

故選：ABD.

14.對于三次函數(shù)/(耳=混+加^+以+/々/。)，給出定義：設尸(x)是函數(shù))，=/(x)的導

數(shù)，尸(力是函數(shù)f'(x)的導數(shù)，若方程/〃(力=0有實數(shù)解》,則稱■，/(%))為函數(shù)

y=/(x)的“拐點”.某同學經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)

o49

都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.若函數(shù)〃力=(丁72-121+高，則下列說法正確

的是()

A.，(力的極大值點為12,[Z)

B./(力有且僅有3個零點

C.點1,2)是f(x)的對稱中心

1232021

D.f+/=4042

2022202