安徽省鼎尖教育2024-2025學年高一上學期11月期中考試數(shù)學試題（A卷）

高一數(shù)學（A卷）滿分：150分考試時間：120分鐘注意事項：1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū),2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡簽字筆書寫，字體工整、筆跡清晰,3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效,4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑,5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀,一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分,在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的,1.設全集，集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合補集與交集的概念，可得答案.【詳解】由題意可得，則.故選：A.2.命題，的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定形式即可得出結論.【詳解】易知命題，的否定是：，.故選：C3.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)奇偶性的定義逐項證明并判斷.【詳解】A：為指數(shù)函數(shù)，屬于非奇非偶函數(shù)，不符合；B：定義域為關于原點對稱，，為奇函數(shù)，符合；C：定義域為關于原點對稱，，，所以，不符合；D：定義域為關于原點對稱，，為偶函數(shù)，不符合；故選：B.4.若函數(shù)的定義域為，則的定義域為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知得的定義域為，結合解析式及根式性質(zhì)求其定義域.【詳解】因為的定義域為，則，故，所以的定義域為，要使函數(shù)有意義，則，解得.所以函數(shù)的定義域為.故選：D.5.已知，，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知條件得出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式求出的最小值，根據(jù)題意可得出關于的不等式，解之即可.【詳解】因為，，且，則，所以，當且僅當時，即當，時，所以的最小值為，因為恒成立，所以，解得，所以實數(shù)取值范圍是.故選：B.6.已知關于的不等式在上有解，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用分離變量法整理不等式，構造函數(shù)解析式，求得新函數(shù)在給定區(qū)間上的最值，可得答案.【詳解】由題，，，即，即在上有解，設，則，，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，則，所以.故選：B.7.已知函數(shù)的定義域為，是偶函數(shù)，當時，恒成立，設，，，則，，的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】已知條件得出單調(diào)性與對稱性，由對稱性轉(zhuǎn)化自變量值到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，再由單調(diào)性比較大小．【詳解】當時，恒成立，函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，即，函數(shù)的圖象關于直線對稱，，，，即，.故選：D.8.已知定義域為的增函數(shù)滿足，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由通過關系式求出，再用化簡，得到新的不等關系，借助函數(shù)單調(diào)性得到關于自變量的不等式，求出范圍.【詳解】由題知，，，則，因為在上單調(diào)遞增，所以解得或.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分,在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求,全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分,9.設集合，.若是的充分不必要條件，則實數(shù)的值可以為（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】由題意寫出集合的元素，根據(jù)充分不必要條件可得集合的包含關系，利用分情況討論，可得答案.【詳解】由題，，若是的充分不必要條件，則是的真子集，因為，所以，即或.當時，滿足，所以，當，滿足，所以，所以的值可以是，.故選：AD.10.由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學危機一直延續(xù)到19世紀，直到1872年，德國數(shù)學家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)（史稱戴德金分割），并把實數(shù)理論建立在嚴格的科學基礎上，才結束了無理數(shù)被認為“無理”的時代，也結束了持續(xù)2000多年的數(shù)學史上的第一次大危機.將有理數(shù)集劃分為兩個非空的子集與，且滿足，，中的每一個元素都小于中的每一個元素，則稱為戴德金分割.則下列結論正確的是（）A.若，，則是一個戴德金分割B.若，，則是一個戴德金分割C.若中有最大元素，中沒有最小元素，則可能是一個戴德金分割D.若中沒有最大元素，中沒有最小元素，則可能是一個戴德金分割【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)戴德金分割的定義，結合選項，分別舉例，判斷正誤.【詳解】對于A，因為，故A錯誤；對于B，，，中的每一個元素都小于中的每一個元素，故B正確；對于C，設，，此時有最大元素1，沒有最小元素，滿足是一個戴德金分割，故C正確；對于D，如B選項，此時沒有最大元素，沒有最小元素，滿足是一個戴德金分割，故D正確.故選：BCD.11.已知表示不超過的最大整數(shù)，例如，，則下列說法正確的是（）A.B.若，則或或C.，，D.不等式的解集為【答案】ACD【解析】【分析】由分式函數(shù)的值域即可判斷A，由條件列出不等式即可得到的范圍，再結合取整函數(shù)的定義，即可判斷B，由條件可得，，然后分類討論代入計算，即可判斷C，先求解一元二次不等式，然后分別由以及求解，即可判斷D.【詳解】對于A，，所以，故A正確；對于B，由，得且.因為為整數(shù)，所以或或或，故B錯誤；對于C，由于，則，設，則，若，則，若，則，所以，，，故C正確；對于D，得，解得，由，得；由，得，所以不等式的解集為，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分,12.若關于的不等式的解集是，則_________.【答案】##【解析】【分析】由題可知和4是方程的根，利用韋達定理可得答案.【詳解】由題可知和4是方程的根，由根與系數(shù)關系得，即，，所以.故答案為：.13.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】考慮各段函數(shù)的單調(diào)性以及分段點處的函數(shù)值大小關系，由此可求結果.【詳解】因為是上的減函數(shù)，所以，解得，所以的取值范圍是，故答案為：.14.已知實數(shù)，命題，為真命題，則的最小值為__________.【答案】6【解析】【分析】首先根據(jù)函數(shù)圖象與不等式關系，確定一次函數(shù)的零點也是二次函數(shù)的零點，從而得到，代入后，利用基本不等式求最小值.【詳解】當x∈0,+∞時，單調(diào)遞增，且當時，，此時，當時，，，所以，即，則，當且僅當，時，等號成立.故答案為：6四、解答題：本題共5小題，共77分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟,15.（1）求值：；（2）已知，求的值.【答案】（1）32；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)的運算即可求出答案；（2）通過，及即可求結果.【詳解】（1）原式；（2）由，因為，所以，，所以.故.16.為提高人們的身體素質(zhì)，某工廠更新技術開發(fā)研制了一款新型智能按摩椅，通過調(diào)研知，往年每年每生產(chǎn)千臺智能按摩椅，獲利千元，且更新技術后需要另外投入費用千元，且每千臺按摩椅比之前多盈利2千元，生產(chǎn)的按摩椅供不應求，均能售完.（1）求更新技術后的利潤（千元）關于年產(chǎn)量（千臺）的函數(shù)解析式；（2）更新技術后，當年產(chǎn)量為多少千臺時，工廠所獲利潤最大？并求出最大利潤.【答案】（1）（2）產(chǎn)量為3千臺時，該工廠利潤最大，最大利潤是390千元.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由條件可得，即可得到函數(shù)關系式；（2）分別求得與的利潤最大值，結合基本不等式代入計算，即可得到結果.【小問1詳解】由已知，，又所以；【小問2詳解】當時，，則當時，；當時，，當且僅當，即時，.因為，所以的最大值為390，故當產(chǎn)量為3千臺時，該工廠利潤最大，最大利潤是390千元.17.已知冪函數(shù)是非奇非偶函數(shù).（1）求函數(shù)的解析式；（2）已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，.（?。┣蠛瘮?shù)的解析式；（ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）【解析】【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義，建立方程求得參數(shù)，結合奇偶函數(shù)的定義，分情況驗根，可得答案；（2）（i）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)解析式；（ii）根據(jù)函數(shù)解析式作圖，結合圖象建立不等式，可得答案.【小問1詳解】由題知，，即，即，解得或，當時，，是非奇非偶函數(shù)，當時，，是偶函數(shù)，所以的解析式是.【小問2詳解】當時，，（ⅰ）設，則，所以，又為奇函數(shù)，所以，所以當時，.即.（ⅱ）作函數(shù)的圖像如圖所示，要使在上單調(diào)遞增，結合的圖象知，所以，所以的取值范圍是.18.已知定義在上的函數(shù)，且有，.（1）求函數(shù)的解析式并判斷其奇偶性；（2）解不等式；（3）設函數(shù)，若，，使得，求實數(shù)m取值范圍.【答案】（1），為奇函數(shù)，證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）代入求得的值，則解析式可知，根據(jù)的關系結合定義域證明出奇偶性；（2）根據(jù)奇偶性對不等式變形，再根據(jù)的單調(diào)性解不等式，由此可求結果；（3）先將問題轉(zhuǎn)化為“”，然后根據(jù)單調(diào)性分析的最值，采用換元法分析的最值，由此可得結果.【小問1詳解】因為，所以，解得，所以；為奇函數(shù)，證明如下：定義域為且關于原點對稱，因為，所以為上的奇函數(shù).【小問2詳解】，因為在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減；因為，所以，所以，所以，所以或，解得或，所以不等式解集為.【小問3詳解】因為，，使得，所以；因為，，所以，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，無最大值，但可以無限接近；又因為，令，所以，對稱軸為且開口向上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以當時有，所以，若，則，綜上所述，的取值范圍是.19.已知函數(shù)和的定義域分別為和，若對任意的，都存在n個不同的實數(shù)，使得（其中，），則稱為的“n重覆蓋函數(shù)”.（1）（ⅰ）判斷是否為的“2重覆蓋函數(shù)”？請說明理由；（ⅱ）設是的“n重覆蓋函數(shù)”，求n的值；（2）若為的“2重覆蓋函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（ⅰ）不是，理由見解析；（ⅱ）（2）【解析】【分析】（1）（?。┤。治鼋獾那闆r即可判斷；（ⅱ）將問題轉(zhuǎn)化為方程根的分布問題，采用換元法結合韋達定理求解出結果；（2）將問題轉(zhuǎn)化為，總有兩個不同的實根，先分析時的情況，再對進行分類討論分析出結果.【小問1詳解】（ⅰ）不是的“2重覆蓋函數(shù)”，理由如下：不妨取，則，令，解得，僅解，不符合定義，所以不是的“2重覆蓋函數(shù)”；（ⅱ），則，令，所以，令，則，，且，所以總有兩個不相等的正根，又因為，所以，四個根互不相等且非零，所以是的“重覆蓋函數(shù)”，故.【小問2詳解】當x∈0,+∞時，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知單調(diào)遞增，所以，因為為的“重覆蓋函數(shù)”，即，總有兩個不同的實根；當時，在1,+∞上單調(diào)遞增，所以，如下圖，此時的圖象恒有一個交點，