2025版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)

第二章函數(shù)

2.1函數(shù)的概念及其表示

課程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢

1.在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語言和對(duì)應(yīng)關(guān)系

刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，體會(huì)集合語言和對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中

的作用.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域.

2.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、

解析法）表示函數(shù)，理解函數(shù)圖象的作用.

3.通過具體實(shí)例，了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.

必備知識(shí)溫故知新

【教材梳理】

1.函數(shù)的概念

（1）函數(shù)的概念：一般地，設(shè)a,B是非空的實(shí)數(shù)集,如果對(duì)于集合a中的

任意一個(gè)數(shù)%,按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系/,在集合B中都有唯一確定的數(shù)V和它

對(duì)應(yīng)，那么就稱/：aTB為從集合4到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=/（%）,%E

4其中，久叫做自變量,K的取值范圍a叫做函數(shù)的定義域;與光的值相對(duì)應(yīng)的y

值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合｛/（%）|%G小叫做函數(shù)的值域.值域是集合B的子

集.

（2）函數(shù)的三要素：定義域,對(duì)應(yīng)關(guān)系,值域.

（3）兩個(gè)函數(shù)相等：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同,并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一

致，則稱這兩個(gè)函數(shù)相等（或稱它們是同一個(gè)函數(shù)）.

2.函數(shù)的表示法

（1）函數(shù)的常用表示方法：解析法、列表法和圖象法.

（2）分段函數(shù)：如果一個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)于自變量的不同取值區(qū)

間，有不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系,則稱其為分段函數(shù).

3.幾個(gè)常用概念

（1）常數(shù)函數(shù)：也稱常值函數(shù)，即值域是只含一個(gè)元素的集合的函數(shù).

（2）有界函數(shù)、無界函數(shù)：值域是有界集的函數(shù)稱為有界函數(shù)，否則稱為

無界函數(shù).

（3）抽象函數(shù)：沒有給出具體解析式的一類函數(shù).

（4）基本初等函數(shù)與初等函數(shù)：一般地，常數(shù)函數(shù)、基函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、

對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)這五類函數(shù)叫做基本初等函數(shù).以上五類函數(shù)以及由它們通

過有限次四則運(yùn)算（加、減、乘、除）及有限次復(fù)合得到的函數(shù)叫初等函數(shù).

（5）函數(shù)方程：未知量是函數(shù)的方程稱為函數(shù)方程.使函數(shù)方程中的等號(hào)能

里畫里的函數(shù),叫做這一函數(shù)方程的解.

常用結(jié)論

教材中的幾個(gè)重要函數(shù)

函數(shù)定義圖象

絕對(duì)..>0,

y=1"二%<o

值函

數(shù)

“雙y—ax+(ab>0)

勾”函

數(shù)

最值M(x)=max{/(%),g(%)},以/(%)=x,g(x)=4為

函數(shù)m(%)=min{/(%),g(%)},

其中M(%),m(x)分則表示/(%),g(%)中的最大

者、最小者

取整y=[%],其中[久]表示不超過％的最大整數(shù)

函數(shù)

符號(hào)(l,x>0,y

1--------

函數(shù)y=sgnx={0,汽=0,

{—l,x<0~Ox

-T

自主評(píng)價(jià)牛刀小試

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“，錯(cuò)誤的畫“X

(1)若4=R，B-{x\x>0],/：xy-\x\,其對(duì)應(yīng)是從2到B的函數(shù).

(X)

(2)若兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個(gè)函數(shù)相等.(X)

(3)已知/(%)=3(xGR),則/(久2)=9.(X)

(4)函數(shù)/(%)的圖象與直線%=0最多有一個(gè)交點(diǎn).(J)

(5)分段函數(shù)是兩個(gè)或兩個(gè)以上函數(shù).(X)

2.已知函數(shù)/(%+1)=2%—l,x>1,則(D)

A./(%)—2x+l,x>1B.f(x)—2x+l,x>2C./(%)—lx—

3,x>1D./(%)—lx—3,x>2

解：令％+1=3則％=t—1.因?yàn)椋?gt;1,所以t〉2.所以/(。=2(亡一1)—

1=2t-3,即/(%)=2%-3(%>2).故選D.

3.[2021年浙江卷]已知aGR,函數(shù)/(%)=『之二?：j2,若小，?(傷))=

Xo|ICLfX乙,\/

3,則a=(D)

A.-3B.0C.1D.2

解:/(/(V6))=/(6—4)=/(2)=|2-3|+a=3,故。=2.故選D.

4.[2022年北京卷]函數(shù)/(久)=：+VT=的定義域是(—8,0)u(0,1].

解：由｛；瑟2°,解得久W1，且％H0.故函數(shù)/(%)的定義域?yàn)?一8,0)u(0,1].

故填(-8,0)U(0,1].

核心考點(diǎn)精準(zhǔn)突破

考點(diǎn)一函數(shù)的概念

例1下列函數(shù)為同一函數(shù)的是(C)

A.f(%)=g與g(%)={]：B./(%)=??7x+1與g(%)—

XIA-fU

+1)

C./(%)=x2—2x—1與g(t)=t2—2t—1D./(%)=1與g(x)=%0(%W0)

解：對(duì)于A,/(%)=巴=定義域是(一組0)u(0,+8),g(x)=

久lA.fX<U,

尸定義域?yàn)镽,兩函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù).

1—1,x<0,

對(duì)于B,/(%)-y[x-V%+1=+1),定義域是[0,+8),g(%)=

Jx(x+1),定義域?yàn)?一8,—1]U[0,+oo),兩函數(shù)的定義域不同，不是同一■函

數(shù).

對(duì)于C,/(%)=/_2%—1,定義域是R,g(t)-t2—2t—1,定義域?yàn)镽,兩

函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，是同一■函數(shù).

對(duì)于D,/(久)=1,定義域是R,g(x)-x°-1,定義域?yàn)?—8,0)u(0,+8),

兩函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù).故選C.

【點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)的定義，直線％=a(a是常數(shù))與函數(shù)y=/O)的圖象

至多有1個(gè)交點(diǎn).同一函數(shù)要求定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同.

變式1【多選題】下列各圖中，可能是函數(shù)圖象的是(ACD)

解：B中，當(dāng)％>0時(shí)，有兩個(gè)y值與之對(duì)應(yīng)，不是函數(shù).其他均符合函數(shù)的定義.

故選ACD.

考點(diǎn)二求函數(shù)的定義域

命題角度1已知解析式求函數(shù)定義域

例2函數(shù)/(%)=與^-log2%的定義域?yàn)?A)

A.(0,2]B.(-8,2)C.(-00,0)U(0,2]D.[2,+03)

2—%>0,

解：由題意，得久A0,解得0<久工2,所以/(%)的定義域?yàn)?0,2].故選A.

(%>0,

【點(diǎn)撥】求函數(shù)定義域的原則：用列表法表示的函數(shù)的定義域，是指表格

中實(shí)數(shù)久的集合；用圖象法表示的函數(shù)的定義域，是指圖象在%軸上的投影所對(duì)

應(yīng)的實(shí)數(shù)的集合；當(dāng)函數(shù)y=/(%)用解析法表示時(shí)，函數(shù)的定義域是指使解析

式有意義的實(shí)數(shù)》的集合，一般通過列不等式(組)求其解集.常見的限制條件

有：分式的分母不等于0,對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0,偶次根式下的被開方數(shù)大于或等

于0等.

變式2

(1)函數(shù)/(%)=的定義域是(A)

A.(0,1)U(1,4]B.(0,4]C.(0,1)D.(0,1)U[4,+8)

-%2+3%+4>0,[-1<x<4,

解：由%>0,解得力>0,

.InxH0,1%H1,

即0<%W4且%豐1.所以函數(shù)/(%)的定義域是(0,1)U(1,4].故選A.

(2)已知函數(shù)/(為)=”久2一2久—a—1的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(A)

A.(—oo,—2]B.(—oo,—2)C.[—2,+oo)D.(—2,+oo)

解：由題意及二次函數(shù)性質(zhì)，知4—4—4(—CL—1)W0,解得a<—2,即ae

(一8,-2].故選A.

命題角度2求抽象函數(shù)的定義域

例3若函數(shù)/(久)的定義域是[2,4],則函數(shù)/(SE)的定義域是國均_.

解：因?yàn)楹瘮?shù)/(久)的定義域是[2,4],

所以2<VxTT<4,解得3<%<15.

所以函數(shù)/(V7TT)的定義域是[3,15].

故填[3,15].

【點(diǎn)撥】求抽象函數(shù)的定義域常用轉(zhuǎn)移法.若y=/(%)的定義域?yàn)?a,b),則

解不等式a<gO)<b即可求出y=/(g(%))的定義域；若y=的定義域

為(a,5),則求出g(%)在(a,匕)上的值域即得/(久)的定義域.

變式3已知函數(shù)/(%)=2%+1的定義域?yàn)閇—2,2],則y=/(%-1)+f(x+1)的

定義域?yàn)?/p>

解：由題意，得m3'解得T《%工1?故所求定義域?yàn)閇TJ]?故填

[—1,4

考點(diǎn)三求函數(shù)的解析式

例4

(1)已知f(%)是一次函數(shù)，且3/(%+1)-2/(%-1)=2%+17,則/(%)=

2%+7.

解：因?yàn)?(%)是一次函數(shù)，

可設(shè)/(%)=ax+b(a。0),

所以3[a(%+1)+b]—2[d(x-1)+b]=2x+17,

即a%+(5a+b)=2x+17.

所以｛需,=17,解得｛1

所以/(%)的解析式是/(%)=2%+7.故填2工+7.

(2)已知/(?+1)=3、+?,則f(%)的解析式為f(%)=34—5%+2.k之

1.

解：令①+1=七總21,則%=(七一1)2,所以/(。=3(1—1)2+七一1=

3t2—5t+2.所以f(x)=3x2—5%+2,%>1.

故填f(%)=3x2—5x+2/>1.

(3)設(shè)函數(shù)/(%)=2/(3+L則/(10)=(B)

1

A.1B.-1C.10D.—

/(%)=2屋)+1,

解：由已知，得=2/(%)+1,聯(lián)立消去/?,得

/3=2/(%)+1,

/(%)=-1.所以f(10)=-1.

故選B.

【點(diǎn)撥】函數(shù)解析式的求法如下.①待定系數(shù)法.已知函數(shù)的類型(如一次函

數(shù)、二次函數(shù)等)，可用待定系數(shù)法.②換元法.已知復(fù)合函數(shù)/(g(%))的解析

式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍.③配湊法.由已知條件/(g(%))=

F(x),可將F(%)改寫成關(guān)于g(%)的表達(dá)式，然后以％替代g(%),便得/(%)的解

析式.④消去法(即函數(shù)方程法).已知/(%)與/(；)或/(-久)之間的關(guān)系式，可根

據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式，兩等式組最方程組，通過解方程組求出

/(%).

變式4

(1)已知一次函數(shù)/(%)滿足/(/(%))=4%-1,則f(尤)=2%-=或-2%+1.

7c2=4,

解：設(shè)/(久)=kx+b(/cA0),則/(/(%))=爐％+比+b.所以所

kb+b=—1,

k=2

(b__工或｛人Z]2做/(%)=2x—1或/(%)=—2%+1.故填2%—1或—2%+1.

(2)已知/(%—=/+*，則/*(%)=/+2.

2

解：/(%_1=%2+妥=(%—：)+2,所以/(%)=%2+2.故填%2+2.

(3)已知f(%)+2/(—%)=3%+1,則/(%)=(A)

11

A.-3xH—B.-3xC.-3%+1D.-xH—

33

解：因?yàn)?(%)+2/(-%)=3%+1①，

所以/(—%)+2/(%)=-3%+1②，

聯(lián)立①②，解得/(%)=-3%+點(diǎn)故選A.

(4)若函數(shù)/(%)滿足/(%-y)-/(%)+/(y)-2xy,則/(%)的解析式為

f(%)=K2.

解：由題意，令％=y=0,得/(0)=0.令)7=%,得/(%—K)=/(%)+/(無)一

2x2—0,則/(%)=/.故填/(%)=X2.

考點(diǎn)四分段函數(shù)

例5

(1)已知函數(shù)/(%)=［富：：:1,若/(。)=2,則a=4.

解：依題意，當(dāng)》<1時(shí)，函數(shù)/(%)=2》單調(diào)遞增，/(%)<2；當(dāng)為21時(shí)，

/(%)=log2%單調(diào)遞增，/(%)之。.因此由/(a)=2,得log2a=2,解得a=4.

故填4.

n(x)X<L

it'則當(dāng)g(%)=e^T時(shí)，使得/(%)<2成立的％的

(X3,x>1,

取值范圍是(一8,8］：當(dāng)9(%)=1時(shí)，使得/(%+1)>/(2%)成立的久的取值范圍

是91).

解：若g(%)=e*T,則當(dāng)％<1時(shí)，ex-1<2,解得％Wl+ln2,所以％<1.

1

當(dāng)久21時(shí)，<2,解得%￡8,所以1￡%W8.

綜上，支的取值范圍是(一8,8］.

若g(￡)=1,則％+1與2%均小于等于1不可能.當(dāng)％+1>1且2%>1時(shí)，由

111

/(%+1)>/(2x),得(％+1)3>(2%)3,%+1>2%=>-4％<1;當(dāng)％+121且

1-1

2%<1時(shí)，由+1)>/(2x),得(％+1)3>1=>%>0=>0<%<3.綜上，

0<%<1.

故填(—8,8］;(0,1).

(3)已知函數(shù)/(久)=］>。'的值域?yàn)椋?,+8),則a的最小值為

(A)'一

A.1B.2C.3D.4

解：當(dāng)％>0時(shí)，/(%)=%2-2%+2=(%—1)2+1,值域?yàn)椋?,+8)；當(dāng)%￡0

時(shí)，/(%)——X+a,值域?yàn)椋踑,+8).因?yàn)楹瘮?shù)/(%)的值域?yàn)椋?,+8),所以a2

1,貝Ua的最小值為1.故選A.

【點(diǎn)撥】①此類分段函數(shù)與方程交匯問題，關(guān)鍵點(diǎn)是抓住“分段問題、分

段解決”的核心思想，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及參數(shù)的特點(diǎn)分區(qū)間討論，最后將結(jié)果

合并起來.②解決分段函數(shù)的單調(diào)性問題,要注意“通觀全局”，即對(duì)于分段函數(shù)

在R上單調(diào)，需滿足每一段具有相同的單調(diào)性，還需要分段點(diǎn)兩側(cè)的值也符合該

單調(diào)性.③已知分段函數(shù)的值域或最值求參數(shù)范圍，可先求函數(shù)在各區(qū)間段的值

域或最值，再結(jié)合已知條件建立不等式(組)求解.必要時(shí)可先分析函數(shù)性質(zhì)，

再畫圖實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合.

變式5

⑴已知函數(shù)/⑺羨I：。若/(2-。2)>/(*則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是(C)

A.(—oo,—l)U(2,4-00)B.(-1,2)

C.(-2,1)D.(—00,—2)U(1,4-00)

解：因?yàn)閥=/+2%在［0,+8)上單調(diào)遞增，y=—/+2%在(-8,0)上單調(diào)遞

增，且/(%)在久=0處連續(xù)，所以函數(shù)/(%)在R上單調(diào)遞增.

所以/(2—a2)>/(a)等價(jià)于2—a?>°,解得—2<a<1.所以實(shí)數(shù)a的取值范

圍是(—2,1).故選C.

(2)已知/(%)=*1—2；)“+:［久<1，的值域?yàn)??,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是

Iin%,x

(C)

A.(-8,—1］B.(-l,|)C.［-1,j)D.(0,》

解：當(dāng)％21時(shí)，In%Z0.栗使函數(shù)/(%)的值域?yàn)镽,如圖所示，需使

￡1+3a解得一1-a<?即實(shí)數(shù)。的取值范圍是［一1，)故選C.

(3)函數(shù)y=|尤+1|+1%-2|的值域?yàn)椋?,+8).

—2%+1,x工一1,

解：函數(shù)y=3,—1<%V2,作出函數(shù)的圖象如圖所示.

2x—1,%>2,

根據(jù)圖象，知函數(shù)y=|x+l|+|x—2|的值域?yàn)閇3,+8).故填[3,+8).

課時(shí)作業(yè)知能提升

【鞏固強(qiáng)化】

1.下列圖形中可以表示以M={%|0<%<1}為定義域，N={y|0<y<1}為值

解：A中的值域不滿足題意，B中的定義域不滿足題意，D項(xiàng)不是函數(shù)的圖象，

由函數(shù)的定義可知C正確.故選C.

2.函數(shù)/(%)=/言+(%-1)。的定義域?yàn)?C)

A.(|,+8)B.[|,1)U(1,+8)C.(|,1)U(1,+8)D.向+8)

解：要使函數(shù)/(%)有意義，則仔，言“解得%>1，且%A1.所以函數(shù)/(%)的

定義域?yàn)镚，l)U(1,+8).故選c.

3.下列各點(diǎn)函數(shù)中表示同一函數(shù)的是(B)

A./(%)=elnx,g(t)=tB./(%)=ln(ex),g(t)=t

C./(%)=%+!，g(%)=%+：D./(%)=%+4，。(%)=苦手

Dax—q

解：A中，/(%)的定義域是{%阿>0},g(%)的定義域是R,不是同一函數(shù).

B中，兩個(gè)函數(shù)的定義域都是R,且/(%)=%,是同一函數(shù).

C中，/(%)的定義域是{K|%W0},g(%)的定義域是R,不是同一函數(shù).

D中，/(%)的定義域是R,g(%)的定義域是{%|%H4},不是同一函數(shù).

故選B.

+

4.【多選題】已知函數(shù)/(%)=P22；—?則下列結(jié)論正確的是(BD)

A./(%)的定義域?yàn)镽B./(%)的值域?yàn)?-8,4)

C./(/(-I))=3D.若/(久)=3,則%=百

解：對(duì)于A,易知/(%)的定義域?yàn)?一8,-1]u(―1,2)=(―8,2),A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,當(dāng)久工一1時(shí)，%+2<1；當(dāng)一1<%<2時(shí)，0W/v4.所以/(%)的值

域?yàn)?-8,1]u[0,4)=(―8,4),B正確.

對(duì)于C,/(/(-I))=/(I)=1,C錯(cuò)誤.

對(duì)于D,當(dāng)無￡—1時(shí)，由/(%)=3,得X+2=3,解得％=1(舍去)；當(dāng)一1<

%<2時(shí)，由/(%)=3,得％2=3,解得％=g或%=—g(舍去).綜上，x-

V3,D正確.故選BD.

5.【多選題】已知函數(shù)/(%)的定義域和值域均為［-3,3］,則(ABC)

A.函數(shù)/(%-2)的定義域?yàn)椋?1,5］B.函數(shù)答的定義域?yàn)椋?1,1)

C.函數(shù)/(%-2)的值域?yàn)椋邸?,3］D,函數(shù);(2%)的值域?yàn)椋邸?,6］

解：函數(shù)/(%—2)中，一3￡%—2￡3,解得一1W%W5,故函數(shù)/(久一2)的定

義域?yàn)椋邸?,5］,A正確.

函數(shù)3中，廠解得一1《％<］,故函數(shù)儂的定義域?yàn)椋垡?,1),B

x-11%—1WU,x-lL/

正確.

函數(shù)/(%-2)和/(2%)的值域都為［—3,3］,C正確，D錯(cuò)誤.故選ABC.

6.已知/⑺=￡")［20,則啕+?)=(B)

A.-2B.4C.2D.-4

解：因?yàn)??=”(一3=/(一9=/(1)=￡所以/(9+/(—?jiǎng)?4.故

選B.

7.已知函數(shù)/(%)=j2,若/(a)=I，則實(shí)數(shù)a=-1.

解：當(dāng)a>2時(shí)，/(a)=log2a=%所以<2=魚(舍去).當(dāng)aW2時(shí)，/(a)=

2。=%所以a=—1,符合題意.故填一1.

8.求函數(shù)/(%)的解析式：

(1)/(%)是二次函數(shù),且滿足/(0)=I/O+1)-/(%)=2%;

解：設(shè)所求的二次函數(shù)為/(%)=ax2+bx+c(a豐0).

因?yàn)閒(0)=c-1,所以/(%)=ax2+bx+1.

又/(X+1)-/(%)=2x,

所以a(x+l)2+b(x+1)+1—(ax2+bx+1)=2x,

即2a%+a+b=2x.

由恒等式性質(zhì)，得匕2I/，所以胃=1，

所以f(%)=x2-x+1.

(2)/(%)滿足2/(%)+/G)=3X.

［答案］

因?yàn)?/(%)+/。=3x①，

所以2/(￡)+/(%)=：②.

①x2—②，得3/(%)=6久_：

故/(%)=2%—：(%大0).

【綜合運(yùn)用『2

9.若/(I-2%)=--(%H0),則/0=(A)

A.8B.3C.1D.30

解：(方法一)令1—2%=3得%=—(tHl),則/(t)

2

則窿)=1371=8.

7T

V

(方法二)令1-2%="導(dǎo)x=]，故/?=H=8.

\3/

故選A.

x

G),X<1,

10.若函數(shù)/(%)=的值域?yàn)?a,+8),則a的取值范圍為(B)

a+G)Z>1

1

A七，+8)B?k

解：當(dāng)％<1時(shí)，/(%)=3屋6+8).

當(dāng)％>1時(shí),/(%)=a+(J￡(a,a+j.

因?yàn)楹瘮?shù)f(%)的值域?yàn)?a,+8),

,1.1

a+二之一，-1-1

所以；即aC[[卓.故選B.

11.已知函數(shù)/(%)=黃”不仇則關(guān)于％的不等式/⑺>團(tuán)的解集為

3%+6,x<0,

T1..

解：由題意，可得22242%或{斤+°62T,解得。。，或-評(píng)"6

故不等式的解集為［―|,1］.故填［―|,1］.

12.已知函數(shù)/(%)——X+1,g(%)=(%—1)2,xER.

(1)在同一直內(nèi)坐標(biāo)系中，分別畫出函數(shù)/(久)，g(x)的圖象;

解：函數(shù)/(%)和g(%)的圖象如圖1所示.

(2)X/xeR,用m(X)表示/(%),g(￡)中的最小者，記為7no)=

min{/(x),g(%)},請(qǐng)分別用血象法和解析法表示函數(shù)機(jī)(工).

［答案］

；二(71；；整理得/r=°，解得久=?；蚓?1

聯(lián)立

結(jié)合圖1,得當(dāng)?shù)赩0時(shí)，7H(%)=min{/(%),g(%)}=—%+1.

當(dāng)0<x<1時(shí)，m(x)=min{f(%)應(yīng)(%)}=(%—I)2.

當(dāng)%>1時(shí),m(x)=min[/(%),g(%)}=—x+1.

—X+1,%V0,

所以函數(shù)m(x)的解析式為?■n(x)=(%—1)2,0<X<1,

—X+1,%>1.

函數(shù)小(%)的圖象如圖2所示.

【拓廣探索】

13.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱

號(hào).設(shè)％eR,用因表示不超過％的最大整數(shù)，則)/=因稱為高斯函數(shù).例如：

[一5.1]=-6,[n]=3.已知函數(shù)/(%)=￡、,則函數(shù)y=[/(%)]的值域?yàn)?B)

A.{-1}B.[-1,0}“C.{1}D.[0,1}

解：因?yàn)椋R,/(-%)=-/(%),

所以/(%)是R上的奇函數(shù).

當(dāng)”>。時(shí)，o</(x)=^<￡=|)

所以當(dāng)％GR時(shí)，/(%)G

從而y=[/(%)]的值域?yàn)閧-1,0}.故選B.

專題突破2函數(shù)的值域

核心考點(diǎn)精準(zhǔn)突破

例1求下列函數(shù)的值域：

/、、3%+1

⑴y=-

解：、=會(huì)=里土芋=3+工.因?yàn)楣ぁ?,所以33.所以函數(shù)的值

Jx-2x-2x-2x-2x-2

域?yàn)閧yeR\y。3}.

(2)y=2x+V1—%；

［答案］

令t=V1-x(t>0),貝!J%=1—t2.

2

所以y=2(1—y)+t=-2t2+t+2=—2——+?.因?yàn)閠>0,所以y<J

OO

故函數(shù)的值域?yàn)?一8,^］.

/C、2X2-X+2

(3)"哀百

［答案］因?yàn)椋?+%+1>0恒成立，所以函數(shù)的定義域?yàn)镽.由y=笠詈，得

(y—2)x2+(y+l)x+y-2=0.當(dāng)y—2=0,即y=2時(shí)，上式化為3%+0=

0,所以久=0CR.當(dāng)y-2H0,即yH2時(shí)，因?yàn)楫?dāng)％eR時(shí)，方程(y-2)/+

(y+1)%+y-2=0恒有實(shí)根，所以A=(y+1)2-4x(y-2)2之0,所以1W

y<5且y豐2.故函數(shù)的值域?yàn)椋?,5］.

/彳、1-sinx

(4)y-------------.

2-cosx

［答案］

(方法一)由)/=得y(2—cos%)=1—sin%,即sin%—ycosx=1—2y.

由輔助角公式，得Jl+y2sin(%-<p)=1-2y,所以sin(x-(p)-(其中

V1+y

tamp=y),則|暴卜L解得。<7<:故函數(shù)的值域?yàn)?］.

(方法二)y=-_n表示單位圓上的點(diǎn)p(cos%,sin%)與點(diǎn)M(2,l)連線的斜率的

2—cosx

范圍.

如圖，設(shè)過點(diǎn)M的直線方程為y—1=々(％—2),即丫=Zx—2/c+1,則圓心

0(0,0)到直線的距離d=等或WL解得0Wk故函數(shù)的值域?yàn)椋?,f］.

V1+KZ33

【點(diǎn)撥】求函數(shù)值域常用方法：①分離常數(shù)法；②反解法；③配方法；④

不等式法；⑤單調(diào)性法；⑥換元法；⑦數(shù)形結(jié)合法；⑧導(dǎo)數(shù)法.

變式1求下列函數(shù)的值域：

(1)y—yj—x2—6%—5；

解：令t=—x2—6x—5,貝Ut>0,即一5<%<—1.而t=—x2—6x—5—

-(x+3)2+4,所以0<t<4.故y=V-%2-6x-5=VtG［0,2］,故函數(shù)的值

域?yàn)椋?,2］.

(2)y—2x+V1—%2；

［答案］

令％=cost(0<t<ii),所以y=2cost+sint=V5sin(t+<p)(其中cos?=

*麗二為

因?yàn)?<t<TT，所以3<t+(p<Tl+(p.

所以sin(n+(p~)<sin(t+<p)<1.

故函數(shù)的值域?yàn)椋?2,遮］.

(3)y—|x—1|+|x+4|；

-2%—3,%V—4,

［答案］y=|%—1I+|%+4|=5,-4<%<1,當(dāng)久<—4時(shí)，y>5；當(dāng)％>1

2x+3,x>1.

時(shí)，y>5；當(dāng)一4<久41時(shí),y=5.薪函數(shù)的值域?yàn)椋?,+8).

/彳、2、

(4)y--2-%----%-+-1,%>-.

/2X-1\2/

［答案］

1

2X2-X+1_x(2x-l)+l

y=------="+七=”—/金+鴻為”＞；,所以“一"0.

72%-12x-l

111

故久一工(%--)-—V2,當(dāng)且僅當(dāng)X一乙=，T，即久=匕史時(shí),

2x--\2/x--2x--2

2、22

等號(hào)成立.

故y=2：;廣+:即函數(shù)的值域?yàn)椋?+a+8).

課時(shí)作業(yè)知能提升

1.當(dāng)XE［0,2)U(2,+8)時(shí)，函數(shù)y=￡的值域?yàn)?C)

A.(—8,0)B.［1,+oo)C.(—8,0)U［1,+oo)D.［0,2)

解：令2—%=3則/(t)=：.因?yàn)椋[0,2)U(2,+8),所以tC(―8,0)U(0,2].

當(dāng)tG(—8,0)時(shí)，/(t)<0.當(dāng)tC(0,2]時(shí),函數(shù)/(t)單調(diào)遞減，則f(t)>/(2)=

1.所以原函數(shù)的值域?yàn)?—8,0)U[1,+8).故選C.

2.min{a,b}表示a,b中的最小者,設(shè)f(%)=min{x+3,9-則/(%)的最大值

為(C)

A.4B.5C.6D.7

解：令％+3>9—%,解得%>3；令％+3W9—%，解得無W3.

所以"%)={=片晨:

故當(dāng)久￡3時(shí)，/(%)單調(diào)遞增；當(dāng)％>3時(shí)，/(久)單調(diào)遞減.則/(%)的最大值為

/(3)=6.故選C.

3.下列各函數(shù)中，值域?yàn)?0,+8)的是(C)

2X

A.y=log2(%+2%—3)B.y=V1—2

C.y-2-2%+1D.y=3x+1

222

解：x+2x—3-(x+l)—4>—4,所以y=log2(%+2x—3)的值域是R,

不滿足題意.

因?yàn)?￡1-2X<1,所以y=—2久的值域?yàn)閇0,1),不滿足題意.

y=2-2X+I>0,即函數(shù)的值域?yàn)?0,+8),滿足題意.

1

y—3x+iE(0,1)U(1,+oo),不滿足題意.

故選C.

4.已知函數(shù)/(%)=2七則函數(shù)/(/(%))的值域是(B)

A.(0,+oo)B.(1,+oo)C.[1,4-00)D.R

解：函數(shù)f(%)=2*的值域?yàn)?0,+8).

令t=2久，貝亞>0,所以/(/(%))=/(。=2[〉2。=1.故所求函數(shù)的值域?yàn)?/p>

(1,+8).故選B.

5.【多選題】下列函數(shù)中，最小值為2的函數(shù)是(BD)

A1°X2+2

A.y=x——B.y=——

JXJV%2+1

C.y=2*+2D.y=%2—2%+3

解：對(duì)于A,當(dāng)％=1時(shí)，y=0,所以2不是y=%—：的最小值.或由y=%—：

在(-8,0),(0,+8)上單調(diào)遞增，得其值域?yàn)镽.故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,y=M三的定義域?yàn)榱睿?+1=?(「之1),則％2=t2—1,所以

y=^=t+^t>l\

又「+工22口=2,當(dāng)且僅當(dāng)t=l時(shí)取等號(hào)，故)/=棄乙的最小值為2,故

2

t7tJVx+i

B正確.

對(duì)于C,因?yàn)?乂>0,所以乃+2>2,所以y=2*+2無最小值，故C錯(cuò)誤.

對(duì)于D,因?yàn)閥=/—2%+3圖象的對(duì)稱軸為％=1,所以在(一8,1)上單調(diào)遞

減,在(1,+8)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)久=1時(shí)，ymin=2,故D正確.故選BD.

6.函數(shù)y=與上三的最小值為4—2

/x2+2x+4

4%2-4x4-4_4(%2+2%+4)-12(%+1)

解：(方法一)當(dāng)久大-1時(shí)，y==4—

X2+2X+4X2+2X+4

12>4——,12=4-2V3,當(dāng)且僅當(dāng)％+1=旦>0,即％=舊一1

(x+l)+系2，+1)言A】

時(shí)，等號(hào)成立.當(dāng)％=—1時(shí)，y=4.故所求最小值為4—2遮.

(方法二)因?yàn)椋?+2%+4>0恒成立，所以函數(shù)定義域?yàn)镽.由y=竽竺把，

得(y—4)x2+(2y+4)x+4y—4=0.當(dāng)y=4時(shí)，％=—1.當(dāng)yW4時(shí)，由4=

(2y+4)2—4(y-4)(4y—4)之0,得4—2V3<y<4+2V3>且y。4.故所求

最小值為4一2次.故填4一2V3.

2.2函數(shù)的基本性質(zhì)

第1課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值

課程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢

借助函數(shù)圖象，會(huì)用符號(hào)語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值，理解

它們的作用和實(shí)際意義.

必備知識(shí)溫故知新

【教材梳理】

L函數(shù)的單調(diào)性

(1)增函數(shù)與減函數(shù).

名增函數(shù)減函數(shù)

稱

定一般地，設(shè)函數(shù)/(%)的定義域?yàn)椤?，區(qū)間/CD:如果V/,x2EI,

義當(dāng)久1<&時(shí)，都有f(久。<f(久2)，當(dāng)久1<&時(shí)，都有f(久。>f(久2)，

那么就稱函數(shù)/(%)在區(qū)間/上單調(diào)遞那么就稱函數(shù)/(%)在區(qū)間/上單調(diào)遞

增.特別地，當(dāng)函數(shù)/(%)在它的定義域減.特別地，當(dāng)函數(shù)/(%)在它的定義域

上單調(diào)遞增時(shí)，我們就稱它是增函數(shù)上單調(diào)遞減時(shí)，我們就稱它是減函數(shù)

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

(2)函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間:如果函數(shù)y=/(%)在區(qū)間/上單調(diào)遞增或單

調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y=/(%)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間/叫做

y=外幻的單調(diào)區(qū)間.

2.函數(shù)的最大(小)值

名稱最大值最小值

條件一般地，設(shè)函數(shù)y=/(%)的定義域?yàn)?。，如果存在?shí)數(shù)M滿足：X/xeD,

都有

/(%)<M/(%)>M

Bx0ED,使得f(&)=M

結(jié)論稱M是函數(shù)y=的最大值稱M是函數(shù)y=f(%)的最小值

幾何y=/(久)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)y=/(%)圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)

意義

常用結(jié)論

判斷函數(shù)單調(diào)性的主要方法(結(jié)論)

(1)定義法.

設(shè)%i，%2e(a,5),且為i豐&，記-XI~%2，Ay=一/(女)，那么

e>0(△K?Ay>0)Q/(%)在(a,b)上單調(diào)遞增；名<()(△%?Ay<0)Q/(%)在

乞b)上單調(diào)遞減.其幾何意義：?jiǎn)握{(diào)遞增(減)函鬟圖象上任意兩點(diǎn)

(久1，/(%1)),(%2，/(久2))連線的斜率恒大于(或小于)零.

(2)性質(zhì)法.

①當(dāng)常數(shù)c>0時(shí)，y=c,/(%)與y=/(%)的單調(diào)性相同；當(dāng)常數(shù)c<0時(shí)，

y=c?/(%)與y=/(%)而單調(diào)性相反，特別地，函數(shù)y=-/(%)與y=/(%)的單

調(diào)性相反.

②當(dāng)y=/(%)恒為正或恒為負(fù)時(shí)，y=總與y=/(%)的單調(diào)性相反.

③若c為常數(shù)，則函數(shù)y=/(%)與函數(shù)y:/(%)+c的單調(diào)性相同.

④一/'(%)與g(與都是增(減)函數(shù),則f(%)+g(%)仍是增(減)函數(shù).

⑤若/(%)>0且g(x)>0,/(%)與g(%)酎是增(減)函數(shù)，則也

是增(減)函數(shù)；若/(%)<0且g(%)<0,/(%)與g(%)都是增(減)函數(shù)，則

/(%)-。(%)是減(增)函數(shù).

⑥奇(偶)函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同(相反).

(3)同增異減法.

對(duì)于復(fù)合函數(shù)/(g(%)),如果y=/Q)和a=g(O的單調(diào)性相同，那么y=

/(g(%))是增函數(shù)；加果y=/Q)和虱=g(%)的單調(diào)性相反，那么y=/(g(%))

是減函數(shù).在應(yīng)用這一結(jié)論時(shí)，必須注意：函數(shù)虱=g(%)的值域必須是y=/Q)

的單調(diào)區(qū)間的子集.

(4)導(dǎo)數(shù)法.

(5)圖象法.

自主評(píng)價(jià)牛刀小試

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“，錯(cuò)誤的畫“x”.

(1)若定義在R上的函數(shù)/(%),有/(一1)</(3),則函數(shù)/(%)在R上單調(diào)遞增.

(x)

(2)函數(shù)y=:的單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,0)U(0,+8).(X)

(3)所有的單腦函數(shù)都有最值.(X)

(4)如果一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)的某幾個(gè)子區(qū)間上都單調(diào)遞增，則這個(gè)函數(shù)在

定義域上單調(diào)遞增.(X)

(5)閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，其最值一定在區(qū)間端點(diǎn)取得.(V)

2.[2021年全國甲卷]下列函數(shù)中是增函數(shù)的為(D)

A./(%)——XB./(%)=仔)C./(%)—x2D./(%)=\[x

解：由一次函數(shù)性質(zhì)，可知/(%)=-%在R上單調(diào)遞減，不符合題意.

由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，可知/(%)=仁)”在R上單調(diào)遞減，不符合題意.

由二次函數(shù)的性質(zhì)，可知/(%)=久2在R上不單調(diào)，不符合題意.

根據(jù)露函數(shù)性質(zhì)，可知/(%)=正在R上單調(diào)遞增，符合題意.

故選D.

3.若函數(shù)y=/(%)在R上單調(diào)遞增，且/(2m-3)>/(-m),則實(shí)數(shù)m的取值范

圍是(C)

A.(—oo,—l)B.(—1,4-00)C.(1,4-00)D.(-8,1)

解：因?yàn)?(%)在R上單調(diào)遞增，/(2m—3)>/(—m),所以2m—3>—m.解得

m>1.所以實(shí)數(shù)TH的取值范圍為(1,+8).故選C.

4.已知％G[1,8],則函數(shù)/(%)=%：的最大值與最小值的和為也.

解：由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，知/(%)=%+:在[1,3]上單調(diào)遞減，在(3,8]上單調(diào)遞

增，所以/(%)min=/(3)=6.又因?yàn)?(I)=10,/(8)=8+-<10,所以

8

/(%)max=I。.所以/(%)max+/(%)min=10+6=16.故填16.

核心考點(diǎn)精準(zhǔn)突破

考點(diǎn)一確定函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

例1

(1)已知函數(shù)/(%)=log。(一%2-2%+3)(a>0且a彳1),若/(0)<0,則此

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(C)

A.(-03,-1]B.[—1,+8)C.[-1,1)D.(-3,-1]

解：令g(x)=———2%+3,由題意知g(%)>0,可得—故函數(shù)

/(%)的定義域?yàn)閧K|一3<久<1}.根據(jù)/(0)=loga3<0,可得0<a<l,則即

求函數(shù)g(x)在(一3,1)內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間.又。(久)在定義域(—3,1)內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)

間是[一1,1),所以/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為[一1,1).故選C.

(2)函數(shù)/(%)=72x2一％一3的單調(diào)遞增區(qū)間為(C)

1r/1

A.(—8,—]B.(—8,—1]C.,+8)D.[―,+8)

解：由題意，得2/—%—320,即(2%—3)(%+1)20,解得％W—1或％2*

根據(jù)二次函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，可知/(%)=”2久2—%-3的單調(diào)遞增區(qū)間為

[|,+8).故選C.

(3)求函數(shù)f(的=|/—4%+3]的單調(diào)區(qū)間.

解：先作出函數(shù)y=/一4%+3的圖象，由于絕對(duì)值的作用，把圖象在％軸下方

的部分翻折到上方，可得函數(shù)y=1/-4%+3]的圖象，如圖所示.由圖可知

/(%)在(—8,1]和[2,3]上單調(diào)遞減，在[1,2]和[3,+8)上單調(diào)遞增，故/(%)的單

調(diào)遞增區(qū)間為[1,2],[3,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(—8,1],[2,3].

【點(diǎn)撥】①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域.②函數(shù)單調(diào)性的判斷方法及相關(guān)

結(jié)論見本節(jié)常用結(jié)論.

變式1

(1)[2023年北京卷]下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增的是(C)

A./(%)=—In%B./(%)=/C./(%)=~~D./(%)=3比一”

解：在(0,+8)上，顯然A,B單調(diào)遞減，C單調(diào)遞增.”

對(duì)于D,因?yàn)?Q)=3。臼=噎=瓜/⑴=311Tl=3。=1/(2)=312Tl=

3,顯然/(%)=31久一”在(0,+8)上不單調(diào)，D錯(cuò)誤.故選C.

(2)求函數(shù)/(%)=—X2+2\x\+3的單調(diào)區(qū)間.

解：/(%)=尸?其圖象如圖所示，所以函數(shù)y=/(%)的單調(diào)

I-xz—2x+3,x<0,

遞增區(qū)間為(一8,-1］和［0,1］,單調(diào)遞減區(qū)間為［—1,0］和［1,+8).

例2設(shè)函數(shù)/(%)=7x2+1-2%,證明：函數(shù)/(%)在區(qū)間[0,+8)上單調(diào)遞減.

e00

證明：設(shè)％1，X2[0>+)，且為1<%2，

則/(%1)-/(%2)=VX1+1-yJx2+1-2%1+2%2

-2(%!—%2)

-01-%2)Xi+%2

因?yàn)?<%!<%2，所以

所以(無1一%2)

所以f(%l)—/(%2)>O即/(%1)>/(%2).

所以函數(shù)/(%)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞減.

【點(diǎn)撥】證明函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性有兩種方法.①定義法.基本步驟為取

值、作差或作商、變形、判斷.②導(dǎo)數(shù)法.函數(shù)單調(diào)性定義的等價(jià)形式見本節(jié)常用

結(jié)論.

變式2【多選題】下列函數(shù)中，滿足“V%I，%2C(2,+8),且為1彳％2都有

fg匕f(生)<0"的是(AB)

X-L-X2

A./(%)=-B./(%)=-3%+1

C./(%)=%2+4%+3D./(%)=x+-

解：由題意，知/(%)在(2,+8)上單調(diào)遞減,八國顯然滿/C在(-2,+8)上單調(diào)

遞增，不滿足，D在(1,+8)上單調(diào)遞增，不滿足.故選AB.

考點(diǎn)二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

命題角度1比較函數(shù)值的大小

例3已知函數(shù)/(久)的定義域?yàn)镽,其圖象關(guān)于直線X=2對(duì)稱，且對(duì)任意打，%2G

(2,+oo),都有［/(右)―/(%2)］(%1—％2)<0，設(shè)a=/(—1),b=c-

/(