2025高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：妙用極化恒等式解決平面向量數(shù)量積問題（含答案）

2025高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)妙用極化恒等式解決平面向量

數(shù)量積問題含答案

畛用微牝慢等W解決不面向量熬羹積問題

【題型歸納目錄】

題型一：定值問題

題型二：范圍與最值問題

題型三：求參問題以及其它問題

【方法技巧與總結(jié)】

（D平行四邊形平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和:

舟訐+而引2=2（同2+|稈）

證明：不妨設(shè)羽二4而=3，貝U羽=3+1,屆=3-1

|砌2=苻=①或2=忖2+23小網(wǎng)2①

2（）2

\DB^=DB=^-b=\a[-2a-b+\tf②

①②兩式相加得：

I砌2+1麗F=2（慟+硝=2（府陽而「）

⑵極化恒等式：

上面兩式相減，得：;[（3+/?）2一（卞一6）[------極化恒等式

①平行四邊形模式：a-b^^-[\AC\2-\DB\2]

幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平

方差的-T-.

4

②三角形模式：3?石二|4/卜：阿『（t為劭的中點）

???

【典型例題】

題型一:定值問題

題目工（2024?全國.高三專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，。是BC的中點，E、尸是40上的兩個三等分點,

巨?.耳=4,前.行=—1,則麗.赤的值是（）

題目團(tuán)（2024.貴州畢節(jié).統(tǒng)考三模）如圖，在△ABC中，。是BC邊的中點，是線段AD的兩個三等分

點，若巨5?次=7,麗?礪=2,則豆萍赤=（）

A.—2B.—1C.1D.2

題目回（2024?湖南長沙?長郡中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，AB=1,AD=2,點區(qū)F,G,H分

別是邊上的中點，則笳?岳+曲?近=

AEB

題型二:范圍與量值問題

題目口（2024?山東濰坊?高三統(tǒng)考期末）已知正方形ABCD的邊長為2,是它的內(nèi)切圓的一條弦，點P為

正方形四條邊上的動點，當(dāng)弦MN的長度最大時，可1?麗的取值范圍是（）

A.[0,1]B.[0,V2]C.[1,2]D.[-1,1]

題亙團(tuán)（2024.陜西榆林.統(tǒng)考三模）四邊形ABCD為菱形，ABAC=30°,4B=6,P是菱形ABCD所在平

面的任意一點，則兩?用的最小值為（）

A.-30B.-27C.-15D.-9

題目§（2024.重慶沙坪壩.重慶八中?？寄M預(yù)測）△ABC中，4B=3,BC=4,AC=5,PQ為△ABC內(nèi)切

圓的一條直徑，河為△ABC邊上的動點，則赤?誠的取值范圍為（）

A.[0,4]B.[1,4]C.[0,9]D.[1,9]

題型三:求參問題以及其它問題

頷目F（2024?浙江杭州?高一校聯(lián)考期中）設(shè)△ABC,Po是邊AB上一定點,滿足冗B=%B,且對于邊AB

上任一點P,恒有方聒?高方?則（）

C.AB^ACD.AC=BC

題目習(xí)（2024.遼寧?高一東港市第二中學(xué)校聯(lián)考期中）在△ABC中，AC=2BC=6,乙4cB為鈍角,M,N

是邊AB上的兩個動點,且MN=2,若而?市的最小值為3,則cosZACB=.

豆目§（2024.江蘇南京.南京師大附中?？寄M預(yù)測）在△ABC中，AC=2BC=4,乙4cB為鈍角，跖N是

邊AB上的兩個動點,且MN=1,若至曲?國的最小值為,，則cos/ACB=.

【過關(guān)測試】

一、單選題

題目E（2024河北衡水?高三河北衡水中學(xué)校考階段練習(xí)）在△48。中，A=90°,AB=4,47=46,P,

Q是平面上的動點，4?=42=/3。=2,刊是邊及7上的一點,則蘇?詼的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

題目可（2024.湖北武漢.高三武鋼三中?？茧A段練習(xí)）己知點P在棱長為2的正方體表面上運動，是該

正方體外接球的一條直徑，則巨△麗的最小值為（）

A.—2B.—8C.—1D.0

題目可（2024?湖北武漢?高三華中師大一附中?？计谥校┮阎cP在棱長為4的正方體表面上運動，是

該正方體外接球的一條直徑,^\PA-PB的最小值為（）.

A.-8B.-4C.—1D.0

題目⑷（2024?貴州貴陽?統(tǒng)考一模）如圖，在4ABC中，AB=6,47=3,/歷1。=多瓦=2反，則AB-

前=（）

痼目可（2024.貴州貴陽.統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，AB=6,AC=3,ABAC=冬，就=2配，則

O

AB-AD=（）

題目回（2024?新疆烏魯木齊?高三兵團(tuán)二中?？茧A段練習(xí)）八角星紋是大汶口文化中期彩陶紋樣中具有鮮明

特色的花紋.八角星紋常繪于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈紅色底襯，然后在上面繪并列的

八角星形的單獨紋樣.八角星紋以白彩的成，黑線勾邊，中為方形或圓形，且有向四面八方擴張的感覺.八

角星紋延續(xù)的時間較長,傳播范圍亦廣，在長江以南的時間稍晚的松澤文化的陶豆座上也屢見刻有八角大

汶口文化八角星紋.圖2是圖1抽象出來的圖形，在圖2中，圓中各個三角形（如△ACD）為等腰直角三角

形，點。為圓心，中間部分是正方形且邊長為2,定點所在位置如圖所示，則馥?前的值為（）

題目可（2024.遼寧葫蘆島.高三葫蘆島第一高級中學(xué)?？计谀┤鐖D，在四邊形ABCD中，|冠|=4,巨？?

后方=12,E為AC中點.麗=2詬，求方N?比的值（）

員

E

AC

D

A.0B.12C.2D.6

題目⑥（2023?貴州?校聯(lián)考二模）如圖，在平面四邊形ABCD中，|冠|=4,離?豆方=12,E為力。的中點,

A.2B.3C.D.

o/

題目司（2024.浙江?永嘉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）己知△ABC是邊長為1的正三角形，尻=2配，AB+AC

=2福則謖力=（）

A.4B.4C.4D.1

428

航目丸（2024.四川綿陽.統(tǒng)考二模）如圖，在邊長為2的等邊△ABC中，點E為中線BD的三等分點（靠近

點B）,點F為BC的中點，則屈?或=（）

整旦兀（2024?江西南昌?高一南昌二中?？奸_學(xué)考試）已知是單位圓上的兩點，。為圓心，且乙4QB

=120°,是圓。的一條直徑，點。在線段上（不包含兩個端點），則E必?國的取值范圍是（）

A.[-■^-,1）B.[—1,1）C.[―|-,0）D.[—1,0）

二、填空題

題目電（2024.黑龍江大慶.高一大慶一中?？计谀┤鐖D，在△48。中，。是BC的中點，是AD上的

兩個三等分點弱?玄=5,市?赤=一2,則麗?麗的值是

A

題目逗（2024.上海長寧?高二上海市延安中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在△45。中，。是BC的中點,E、F是40上

兩個三等分點，亙？?次=15,麗?無=5,則麗1?和=.

說立=2,BC=2,則亙工無=

【題目E（2024.山東.山東師范大學(xué)附中?？寄M預(yù)測）邊長為1的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓，上W是內(nèi)切圓的一

條弦,點P為正方形四條邊上的動點,當(dāng)弦的長度最大時，可/?麗的取值范圍是.

蜃目電（2024.湖北省直轄縣級單位.湖北省仙桃中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖直角梯形ABCD中，EF是CD邊

上長為6的可移動的線段，AD=4,AB=8v^,BC=12，則麗?麗的取值范圍為.

題目兀（2024.全國.高三專題練習(xí)）如圖直角梯形ABCD中，EF是CD邊上長為6的可移動的線段，AD

=4,AB=8g,BC=12，則麗?麗的最小值為，最大值為

題目運（2024?浙江杭州?高二校聯(lián)考期中）在448。中，人8=41。=5,71。=6,點朋_為448。三邊上的

動點，PQ是△ABC外接圓的直徑，則面5?詼的取值范圍是

題目包（2024.重慶沙坪壩.高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）己知正△ABC的邊長為2,PQ為△ABC內(nèi)切圓

O的一條直徑，M為ZVIB。邊上的動點,^\MP-MQ的取值范圍為.

題目M（2024.全國?高一假期作業(yè)）設(shè)三角形ABC,凡是邊4B上的一定點，滿足RB=^AB，且對于邊

4B上任一點P,恒有聞?歷〉的?瓦高,則三角形ABC形狀為.

逾葭口（2024?江蘇常州?常州高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)直角4ABC,冗是斜邊上一定點.滿足兄8

=4人3=1,則對于邊4B上任一點P,恒有赤?配＞的?索,則斜邊上的高是

K----------

題目國（2024?河北保定?高一校聯(lián)考期中）已知點P在棱長為1的正方體表面上運動，是該正方體外接

球的一條直徑，則PA-PB的最小值為.

題目包（2024?天津和平?統(tǒng)考二模）在平行四邊形ABCD中，/歷1。=專，邊AB,AD的長分別為2與1,

則赤+荏在荏上的投影向量為（用AB表示）；若點M,N分別是邊BGCD上的點，且滿足

則贏?福的取值范圍是

M\CD\------

題目叵（2024?天津南開?高三?？茧A段練習(xí)）如圖在4ABC中，90°,BC=8,AB=12，9為AB

中點，石為CF上一點.若CE=3,則瓦A?麗=；若赤=久存（04441）,則直?麗的最小值為

陟用級相修專式解決手面匍量微量余冏發(fā)

【題型歸納目錄】

題型一：定值問題

題型二：范圍與最值問題

題型三：求參問題以及其它問題

【方法技巧與總結(jié)】

（1）平行四邊形平行四邊形對角線的平方和普于四邊的平方和：

|3+針+|3-訐=2（同2+|訐）

證明：不妨設(shè)羽=i,羽=石，貝u羽=3+1,而=3-1

印件苻=0+歹=忖2+23小時①

|麗仁麗2=R-/中卜231+阿2②

①②兩式相加得：

研+|研=2（慟+硝=2（|研+|研）

⑵極化愎等式：

上面兩式相減，得：;［（3+。）2一（；-6）［----極化恒等式

①平行四邊形模式：a-b=^-［\AC\2-\DB\2］

幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平

方差的:.

4

②三角形模式：3?［二］河上十忸例2（〃為劭的中點）

1

【典型例題】

題型一:定值問題

題目工(2024?全國.高三專題練習(xí))如圖，在△ABC中，。是BC的中點，E、尸是40上的兩個三等分點,

巨?.耳=4,前.行=—1,則麗.赤的值是()

【答案】。

【解析】因為。是BC的中點，是AD上的兩個三等分點，

所以而=舒+無，CF^CD+DF^-BD+DF,

BA^BD+DA^BD+3DF,CA^CD+DA^-BD+3DF,

所以示.醞=(BD+DF)-{-BD+DF)=DF2-BD2=-1,

BA-CA=(BD+3DF)?(-BD+3DF)=9nF2-BD2=4,

可得方律=_1_,而2=與，

OO

又因為麗=45+方商=詬+2萬聲，通=初+反=一反5+2方百

所以麗.礪=回+2哂-(-麗+2研=45^2—麗2=4x_1_q=[

故選：C.

題目團(tuán)(2024?貴州畢節(jié).統(tǒng)考三模)如圖，在△AB。中，。是BC邊的中點，E,F是線段入。的兩個三等分

點，若瓦？?次=7,靛?演=2,則前?赤=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】5

【解析】依題意，。是BC邊的中點，E,F是線段AD的兩個三等分點，

則羽'《癡一血卜(―眄-#)=49:36%配2=7,

麗.礪=([/-等屈卜(-[/通2_}&2=兇勇=適=2,

'23'1237944

因此而2=1炭J8,BF-CF=（yBC-FD\（-yBC-FD）=4F.BC?=4x：-8=_].

故選：B.

題目]0（2024.湖南長沙.長郡中學(xué)校考一模）如圖,在平行四邊形ABCD中，4B=1,40=2,點區(qū)F,G,H分

別是AB,BC,CD,AD邊上的中點，則/?汨+曲?癥=

AEB

【答案】人

2

[解析】取HF中點則麗.反5=麗.麗=防一兩2=1_1）2=今，GH-HE=GH-GF^GO

-OH2=1-（y）2="I?，因此濟(jì)怒+曲.近=選A

題型二:范圍與最值問題

蜃目工（2024.山東濰坊.高三統(tǒng)考期末）已知正方形ABCD的邊長為2,MN是它的內(nèi)切圓的一條弦，點P為

正方形四條邊上的動點，當(dāng)弦MN的長度最大時，司法?前的取值范圍是（）

A.[0,1]B.[0,V2]C.[1,2]D.[-1,1]

【答案】A

【解析】如下圖所示：

考慮P是線段AB上的任意一點，聲蕩=反5+為辦兩=用+麗=歷一面,

圓。的半徑長為1,由于P是線段AB上的任意一點，則\PO\G[1,V2],

所以，由.兩=（PO+OM）?（PO-OM）^PO2-OM2e[0,1].

故選：A.

（2024?陜西榆林?統(tǒng)考三模）四邊形ABCD為菱形，/BAC=30°,AB=6,P是菱形ABCD所在平

面的任意一點，則兩?宓的最小值為（）

A.-30B.-27C.-15D.-9

【答案】5

【解析】由題意，四邊形ABCD為菱形，乙氏4。=30°,可得/DAC=60°,

在4ABC中，由余弦定理得到AC=6代，

連接AC和BD交于點O,則點。為AC的中點，

連接。人，oc,OP,則兩

所以聲N?m=（PO+04）?（PO-OA）=PO2-OA2=P32-27>-27.

故選：B.

題目⑤（2024.重慶沙坪壩.重慶八中?？寄M預(yù)測）ZVIB。中，AB=3,BC=4,人。=5,PQ為ZVlB。內(nèi)切

圓的一條直徑，河為△ABC邊上的動點，則而5?碗的取值范圍為（）

A.[0,4]B.[1,4]C.[0,9]D.[1,9]

【答案】。

【解析】由題可知，AB2+BC2^AC2，所以△ABC是直角三角形，/B=90°,

設(shè)內(nèi)切圓半徑為r,則S4ABe=}x3x4=gx（3+4+5）r,解得r=1,

設(shè)內(nèi)切圓圓心為O,因為PQ是△ABC內(nèi)切圓的一條直徑，

所以|行|=1,國=—歷，

則赤=流+硝礪=流+的=麗5-加，

所以礪.誠=（麗5+3）（荻一和）=該2_導(dǎo)=該2_],

因為為△4BC邊上的動點，所以|夠|.=r=l;當(dāng)初與。重合時，|荻|=710,

所以礪?礪的取值范圍是[0,9],

故選：C

題型三:求金問題以及其它問題

「題目口（2024?浙江杭州?高一校聯(lián)考期中）設(shè)△AB。,冗是邊AB上一定點，滿足R）B=且對于邊AB

上任一點P,恒有瓦?歷〉踮?蔗.則（)

C.AB=ACD.AC=BC

【答案】。

【解析】如圖，取3C的中點D,

c

D

由極化恒等式可得：屈?同=超一百浮，

同理，曜?/=而一初，由于屈的?乘,

則I亙5|>|母|，所以冗。_L4B,

因為RB=^AB,D是6。的中點，于是AC=BC.

故選：D.

題目可（2024.遼寧?高一東港市第二中學(xué)校聯(lián)考期中）在△ABC中，AC=2BC=6,乙4cB為鈍角,M,N

是邊AB上的兩個動點,且MN=2,若已必?國的最小值為3,則cosZACB=____.

【答案】2一”

【解析】取線段的中點P,連接C尸，過。作8，48于。,如圖，PM=-^MN=1,

B

依題意，威?麗=(CP+PM)-(CP-PM)=CP2-FM2=CP2-1,

因而?國的最小值為3,貝N樂|的最小值為2,因此。0=2,

在Rt/\AOC中，cosZOCA=弟=],sinZOCA=,在Rt^BOC中，cosZOCB=唐=

CA33GB3

sinZOCB=^

O

所以cosZACB=cos(ZOCA+ZOCB)=cosZOCAcosZOCB—sinZOCAsinZOCB=2-

9

故答案為：2一個面

9

題目區(qū)（2024?江蘇南京?南京師大附中校考模擬預(yù)測）在A4B。中，AC=2BC=4,乙4cB為鈍角,M,N是

邊，上的兩個動點,且MN=1,若加?國的最小值為,則c°s"CB=-.

［答案］止當(dāng)⑤

O

【解析】取7W的中點P,取兩=一百法，|兩|=|兩=J,

CM-CN^(CP+PM)?(CP+PN)=(CP+PM)■(CP-PM)^CP2-^,

因為已必?布的最小值總，

所以BnM=L

則CH=1,又BC=2,所以/B=30°,

因為47=4,

所以由正弦定理得：sinA=:,cosA=,

所以cosZ.ACB—cos(150°—A)=—^^cosA+-1-sinA

_V3vV15,lyl_l-3V5

24248

故答案為：上空⑤.

【過關(guān)測試】

一、單選題

W1工(2024.河北衡水.高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí))在△48。中，A=90°,AB=4,4。=4P,

Q是平面上的動點，AP=AQ=PQ=2,M是邊8。上的一點,^\MP-MQ的最小值為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】取PQ的中點N,則赤=麗+而,礪=麗+而=就一和，

可得赤.痂=(加+而)-(MN-NP')^MN2-NP2^MN2-1,

|而『=|宓+福|川|宓||五訓(xùn)，當(dāng)且僅當(dāng)N在線段AM上時，等號成立,

故|函〉||AM|-|A/V||=||M4|-V3|,

顯然當(dāng)時，|宓|取到最小值26，

故赤.破=加2T>3—1=2.

故選：B.

題目劃（2024?湖北武漢?高三武鋼三中校考階段練習(xí)）已知點P在棱長為2的正方體表面上運動，是該

正方體外接球的一條直徑，則對?方的最小值為（）

A.-2B.—8C.—1D.0

【答案】A

【解析】如圖AB為棱長為2的正方體外接球的一條直徑，。為球心，P為正方體表面上的任一點,

則球心O也就是正方體的中心，

所以正方體的中心。到正方體表面任一點P的距離的最小值為正方體的內(nèi)切球的半徑,

它等于棱長的一半，即長度為1,的長為正方體的對角線長，為2遍，

我們將三角形PAB單獨抽取出來如下圖所示：

PA-PB^（PO+OA）-（PO+OB）=（PO+OA）-（PO—OA）=\PO\2-\OA\2

2-3,所以對?通的最小值為12-3=-2.

故選：A.

題目可（2024?湖北武漢?高三華中師大一附中校考期中）已知點P在棱長為4的正方體表面上運動，AB是

該正方體外接球的一條直徑，則PA-PB的最小值為（）.

A.-8B.—4C.—1D.0

【答案】A

【解析】由題意知：正方體的外接球的球心為O,

正方體的外接球的直徑AB=V42+42+42=4V3,

則。為AB的中點，所以O(shè)N=-OB,

且畫|=|函=23，

故兩?屈=（OA-OP）-（OB-OP）=OA-OB-（OA+OB）-OP+OF2=-OA2+OF2=OP2-12,

當(dāng)0P與正方體的棱長平行時，此時10Pl最小，故同＞2,

所以兩?麗的最小值4—12=-8.

故選：A

7

題目回（2024.貴州貴陽.統(tǒng)考一模）如圖，在AABC中，=6,47=3,/氏4。=多瓦=2配，則AB-

前=（）

【答案】。

【解析】由阮=2反可得：配=[?萬方,

O

AB-AD^AB-(^-AB+^-AC)^^AB2+^AB-AC,

OOOO

因為人8=6,人。=3,/34。=5，

所以荏?石5=45^+系正士5=_1，x36=12.

OOO

故選：D.

題目回（2024.貴州貴陽.統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，AB=6,AC=3,ABAC=萼，就=2配，則

O

AB-AD=（）

A.18B.9C.12D.6

【答案】。

【解析】?.?反5=2配=2（反”反5）,即麗=暮宓，

O

：.AI5^AB+BD^AB+^BC^AB+^（AC-AB）^^AB+^AC,

：.AB-AD=AB-（^-AB+^-AC）=^AB2+^AB-AC^^X62+^-X6X3XCOS^=6.

ooooooo

故選：D

題目回（2024.新疆烏魯木齊.高三兵團(tuán)二中?？茧A段練習(xí)）八角星紋是大汶口文化中期彩陶紋樣中具有鮮明

特色的花紋.八角星紋常繪于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈紅色底襯，然后在上面繪并列的

八角星形的單獨紋樣.八角星紋以白彩的成，黑線勾邊，中為方形或圓形，且有向四面八方擴張的感覺.八

角星紋延續(xù)的時間較長,傳播范圍亦廣，在長江以南的時間稍晚的松澤文化的陶豆座上也屢見刻有八角大

汶口文化八角星紋.圖2是圖1抽象出來的圖形，在圖2中，圓中各個三角形（如△ACD）為等腰直角三角

形，點。為圓心，中間部分是正方形且邊長為2,定點所在位置如圖所示，則荏?加的值為（）

c

圖1圖2

A.14B.12C.10D.8

【答案】A

【解析】如圖：連接OD

因為中間是邊長為2的正方形，且圖中的各個三角形均為等腰直角三角形，

所以/ADO=/OOB=45°,|比|=囂，|#|=4,ZADB=90°.

所以ABAO=(AD+DB)-(AD+DO)=AD2+ADDO+DB-AD+DBDO

—4-+4XXcos3f+0+2x-\/2^cos--=14.

44

故選：A

題目「1(2024.遼寧葫蘆島.高三葫蘆島第一高級中學(xué)?？计谀?如圖，在四邊形ABCD中，|怒|=4,巨乙

【答案】A

【解析】：|前|=4,E為AC中點，|屜|=\CE\=2,

■：BA-BC=(BE+EA)-(BE+EC)=(BE+EA)-(BE-EA)=|BE|2-|sl|2=|BE|2-4=12,

.?.函=4,/.\DE\=^-\BE\=2,

：.DA-DC^(DE+EA)-(DE+EC)=(DE+EA)■(DE-EA~)=|nS|2-|SA|2=4-4=0.

9

故選：A.

題目⑥（2023?貴州?校聯(lián)考二模）如圖,在平面四邊形ABCD中，|起|=4,互4?或=12,E為的中點,

【答案】B

【解析】???|而|=4,E為47的中點，

：.\AE\^\CE\^2,

-.-BA-BC^（BE+EA）-（BE+EC）（BE+EA）-（BE-EA）=函2T92=函2_4=12,

\BE\=4,

,：BE-AED,

：.\DE\=^-\BE\=^,

AA

???9?反=（反+直）?（痂+/）=（瓦+直）?（笳一直）=|屁|2—|"|2="一4=一空，解得）

A9

=3.

故選：B.

題目9（2024?浙江詠嘉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知△ABC是邊長為1的正三角形，BD=2DC,AB+AC

=2福則超#=（）

A.4B.4C.-|-D.1

428

【答案】A

【解析】由加+芯=2須，可知E為3。中點，所以AE_LBC,如圖所示：

因為阮=2DC,根據(jù)上圖可知AD^AE+ED^AE+^BC

+

故選：A

題目工7（2024?四川綿陽?統(tǒng)考二模）如圖,在邊長為2的等邊△ABC中，點E為中線BD的三等分點（靠近

點B）,點F為BC的中點，則旗?云H=（）

【答案】B

【解析】由已知，|百司=2,|反?|=2,ZABC=60°,

所以辿=\RA\-\BC\COSAABC=2X2Xy=2.

由已知。是AC的中點，所以麗=/同+砌，

BE=^-BD=!（BA+BC）,BF=~BC.

OOZi

所以麗=麗—麗=看同+砌—斜方=赳1_]研

EC^W-BE^W-^（BA+BC）=-^BA+^BC,

6'76o

所以，礪.資=（卷亙5_直+Qd）=—/亙揖/巨5.&_磊交2=_親*4+小

\63，'6673636183636

X2--x4=--.

186

故選：B.

題目兀（2024.江西南昌.高一南昌二中?？奸_學(xué)考試）已知4B是單位圓上的兩點，。為圓心，且/AOB

=120°,AW是圓。的一條直徑，點。在線段上（不包含兩個端點），則而?國的取值范圍是（）

A.[-*1）B.[—1,1）C.[—1-,0）D.[—1,0）

【答案】。

【解析】：乙4。8=120。，.?.點。在線段人8上,且|國e

：.CM-CN^(OM-OC)■(ON-OC)^OM-ON-(OM+ON)-OC+OC2

11

=-l+OC2=-l+|OC|2,

???|西6七1),

.-.CM-CZVe[--1-,0).

故選：C.

二、填空題

I題百叵(2024?黑龍江大慶?高一大慶一中?？计谀?如圖，在△AB。中，。是的中點，是AD上的

兩個三等分點巨A?瓦=5,而?赤=—2,則麗?屈的值是.

【解析】因為BA-CA=(^-BC-ADy(~^-W-AD}=由產(chǎn)"=36嗎”=

'2)、2)44

動.樂=侍小L(—]或一宗5)=里產(chǎn)=—2,

因此FD2=^,BC2=^-,BE-CE=(~BC-ED)-(~^BC-ED)=45P=口°~=知即1口。=

82'2/'2'448

故答案為：導(dǎo).

o

題目內(nèi)(2024.上海長寧?高二上海市延安中學(xué)?？计谥?如圖，在△ABC中，。是8。的中點,E、F是4D上

兩個三等分點，亙？=15,麗?屈=5,則麗1?國=.

【解析】D是BC的中點，E,F是AD上的兩個三等分點,

：.BE=BD+DE=BD+2DFjCE=-BD+2DF,

BA=W+3DF,CA=-BD+3DF,

：.BE-CE=4DF2-BD2=5,

BA-CA^9DF2-BD2^15,

.?.方產(chǎn)=2屈2=3,

又?.?訪=必+方,赤=-BD+DF,

：.BF-CF=DF2-BD2=-1,

故答案為：一L

［題目五(2024?江蘇鹽城?統(tǒng)考一模)如圖，在/\ABC中，。是反7的中點，E,F是AD上的兩個三等分點.

麗?理=2,BC=2,則而?行=.

［解析］因為屈.赤=(BD+DE)■(CD+DE)=(BD+DE)-(-BD+DE)

=帚_麗2=2,

又。是BC的中點，且BC=2,所以BD=1,

代入上式得反2=3,所以|瓦|=四，

因為E,F是AD上的兩個三等分點，所以|方利=§,

則前.屈=(反5+誠.(況+屈)=(BIJ+DF')■(-BD+DF)

=DF2-BD2^4-1=一二，

44

故答案為：一】.

4

題目四(2024.山東.山東師范大學(xué)附中?？寄M預(yù)測)邊長為1的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓，上W是內(nèi)切圓的一

條弦，點P為正方形四條邊上的動點，當(dāng)弦AW的長度最大時,PM-PN的取值范圍是.

【答案】［。,十］

【解析】如下圖所示:

設(shè)正方形ABCD的內(nèi)切圓為圓O,當(dāng)弦AW的長度最大時，1CV為圓。的一條直徑,

PM-PN=(PO+OM)■(PO-OM］=|FO|2-|OM|2-|FO|2-J,

當(dāng)P為正方形ABCD的某邊的中點時,|OF|min=y,

當(dāng)P與正方形ABCD的頂點重合時，|辦Lx=亨，即:<|赤|《三，

因此,PM-F2V=|PO|2-Je［o,j］.

故答案為：［o,1］.

蜃目回（2024.湖北省直轄縣級單位.湖北省仙桃中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖直角梯形ABCD中，EF是CD邊

上長為6的可移動的線段，AO=4,48=812，則而?麗的取值范圍為.

【答案】［99,148］

【解析】在BC上取一點G,使得BG=4,取EF的中點P,連接DG,BP,

如圖所示：

則。G=8V5;GC=8,CD=V82+（8A/3）2=16,

tanZBCD=孝^=遍,即々BCD=60°.

8

BE-BF=~［（BE+BE）2-（BE-BF）2］=J［（2BP）2-FE2］=BP2-9,

當(dāng)BP_LCD時，|扉|取得最小值，此時|疑|=12xsin60°=6V3,

2

所以（麗?BF）min=（6A/3）-9=99.

當(dāng)F與。重合時，CP=13,BC=12,

貝||母『=122+132-2xl2xl3x-1-=157,

當(dāng)E與。重合時，CP=3,BC=12,

則\BP\2=122+32-2x12x3xy=117,

所以（巨商?豆F）max=157—9=148,即麗?前的取值范圍為［99,148］.

故答案為：［99,148］

題目Q7］（2024?全國?高三專題練習(xí)）如圖直角梯形ABCD中，EF是CD邊上長為6的可移動的線段，AD

=4,AB=8V3,BC=12，則麗?麗的最小值為,最大值為.

【解析】在BC上取一點G,使得BG=4,取EF的中點P,連接DG,BP,如圖所示:

則DG=8V3,GC=8,CD=西+（8遍＞=,tanZBCD=-=四，即ZBCD=60°,

16O

BE-BF^^[（BE+BF）2-（BE-BF）2]=J[（2BP）2-FE2]=BP2-9,

2

當(dāng)BP_LCD時，|壽|取得最小值，此時|壽|=12xsin60°=6遍,所以（麗?BF）mii=（6V3）-9=99.

當(dāng)F與。重合時，CP=13,BC=12,則|BF|2=122+132-2x12x13xy=157,

當(dāng)E與。重合時，CP=3,BC=12,則|即『=122+32-2xl2x3Xy=117,

所以（麗?BF）max=157-9=148,

故答案為：99;148.

：題目包（2024.浙江杭州?高二校聯(lián)考期中）在4ABC中，AB=4,BC=5,人。=6,點河為△48。三邊上的

動點，PQ是△ABC外接圓的直徑，則礪5?礪的取值范圍是

【答案】[—9,0]

【解析】根據(jù)向量關(guān)系可得正?礪=詬2—&，即判斷M&-R1的取值范圍即可，由圖可知\MO\的最大

值為R,最小值為9.設(shè)外接圓的圓心為。，半徑為兄

可得癥.詼=（該+秘）?（MO+OQ）

^MO2+MO-（OP+OQ）+OP-OQ

=堿2T2,

?/M為△ABC三邊上的動點，可知\MO\的最大值為O到三角形頂點的距離，即為半徑R,

且|麗5|的最小值為。到AC邊的距離，過。作。WQ_LA。,垂足為“,

則|。％|=VB2-32=西一9,

.?.市?誠的最大值為金?一尺2=0,最小值為|OMO|2—R2==R2_9_金2=_9,

故赤?碉的取值范圍是[-9,0].

故答案為：[一9,0].

題目包（2024.重慶沙坪壩.高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知正△ABC的邊長為2,PQ為△?4BCM內(nèi)切圓

O的一條直徑，M為ZVIB。邊上的動點，則而5?城的取值范圍為.

【答案】［0,1］

【解析】先由正△ABC的性質(zhì)，求出其內(nèi)切圓半徑，再利用向量的三角形法則，得到用=麗5+己產(chǎn)，碉

=MO+OQ,再結(jié)合的=—無，可得到MP-MQ=|W|2-|OF|2=|7WO|2--^-,再根據(jù)圖像利用臨界值

O

法，求出赤?礪的取值范圍.

A

BD

如圖所示，。為正△ABC內(nèi)切圓圓心，OD為內(nèi)切圓半徑，在ABDO中，BD=1,/OBD=30°,可求得內(nèi)

切圓半徑OD=卒.

又PQ為圓。的直徑，：.OQ=-OP,

利用向量的線性表示可得，放=麗+和，礪=礪+國=堿一秘，

：.MP-MQ^(MO+OF)(MO-OP)=|A^)|2-|OP|2=函