2025年陜西中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題型專練：二次函數(shù)小壓軸題（含答案）

專題一二次函數(shù)小壓軸題

題型1二次函數(shù)的系數(shù)與函數(shù)圖象的性質(zhì)

(2024,2021)

1.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a/))的圖象如圖所示，其對稱軸為直線x=l,則下列結(jié)論正

確的是()

A.abc<0B.2a-b=0

C.5a+3b+2c<0D.4ac-b2>0

2.下列關(guān)于二次函數(shù)y--(x-m)2+m2+l(m為常數(shù))的結(jié)論錯誤的是()

A.當(dāng)x>0時,y隨x的增大而減小

B.該函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點(0,1)

C.該函數(shù)圖象的頂點在函數(shù)y=x2+l的圖象上

D.該函數(shù)圖象與函數(shù)y=-x2的圖象形狀相同

1

3.(2024?交大附中模擬)已知拋物線y=^ax2+(l-a)x-l(a<0),則它的頂點M一定在

()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.已知二次函數(shù)y=x2+bx+c,當(dāng)x>0時，函數(shù)的最小值為-3;當(dāng)x<0時,函數(shù)的最小值

為-2.則b的值為()

A.6B.2C.-2D.-3

5.(2024?西工大附中模擬)已知二次函數(shù)y=ax2+bx-2(a<0),函數(shù)值y和自變量x的

幾組對應(yīng)取值如下表：

X01234

y-2mnP-2

若mn<0,則a的取值范圍是)

,2

A.a<-"

1

B.a<-

c21

2、i

D.a<-§或《<a<0

6.（2024?陜師大附中模擬）已知拋物線y=-x2+2mx+n（m,n為常數(shù)），則下列結(jié)論正確

的是（）

A.開口向上

B.對稱軸在y軸的左側(cè)

C.若m+n=l,該函數(shù)圖象與x軸沒有交點

D.當(dāng)m-l<x<m+2時，該函數(shù)的最大值與最小值的差為4

題型2對二次函數(shù)圖象的分析判斷

(2020,2019.710)

7.【原創(chuàng)好題】在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象和一次函數(shù)

y=ax+b（a,b為常數(shù)，且ab/））的圖象可能是（）

CD

8.【原創(chuàng)好題】在平面直角坐標系中，若二次函數(shù)y=ax2+(2a-l)x+a-3的圖象與坐

標軸最多有兩個交點，則函數(shù)圖象不可能經(jīng)過()

A.第三象限

B.第四象限

C.第三象限和第四象限

D.第一象限和第二象限

9.【原創(chuàng)好題】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a/)),若滿足ac<0且ab>0,則下列選項

中,符合條件的拋物線為()

10.已知拋物線L:y=ax2+bx+c的頂點坐標在第四象限，與x軸沒有交點，則下列結(jié)論

正確的是)

A.a>0

B.b2-4ac>0

C.若點在拋物線L上，則m<c

D.若點A(xi,yi),點B(x2,yi)在拋物線L上，且xFx2,則yi<y2

題型3二次函數(shù)圖象中對稱軸的運用

(2013,2022)

11.已知二次函數(shù)丫=a*2-32乂+?#))的圖象與x軸交于點P(Xi,0),點Q(X2,O),若

-3<Xi<-2,則x2的取值范圍是()

A.5<X2<6B.4<X2<5

C.4<X2<6D.3<X2<5

12.若拋物線y=-x2+bx+c與x軸的兩個交點A(XI,0),B(X2,0)之間的距離為6,且

XI+X2=8,則這個拋物線的頂點坐標是()

A.(3,9)B.(-3,-9)

C.(-4,-9)D.(4,9)

13.在拋物線L:y=ax2-(l-a)x+2a(aW0)上存在一點M(a,m).當(dāng)x<a時,y隨x的增大而

減小;當(dāng)x>a時,y隨x的增大而增大，則m的值為()

A.-lB.-3

17

c.Z-Do-

14.已知二次函數(shù)y=x?+bx+c的圖象與x軸的兩個交點分別是(n,0)和(-n+4,0),且該

拋物線還經(jīng)過點(-4,%)和(4,y2),則下列關(guān)于yby2的大小關(guān)系判斷正確的是

()

A.y2=yi

B.y2<yi

C.yi<y2

D.yi<y2

題型4運用二次函數(shù)增減性比較函數(shù)值的大小

15.【原創(chuàng)好題】已知拋物線y=ax2+4ax-3與x軸的交點位于原點兩

側(cè),A(xi,yi),B(X2,y2),C(X3,y3)三點在拋物線上,且滿足XI<0<X2<X3,XI+X2>-4,則

yi,y2,y3的大小關(guān)系是()

A.y1>y2>y3

>>

B.y2yiy3

C.y3>y2>yi

D.y3>yi>y2

16.【原創(chuàng)好題】已知M(x(),yo)是拋物線y=ax2-4ax+c的頂點，且yo為y=ax2-4ax+c

的最大值.若點(-5,y),(1,丫2),(0,丫3)在拋物線上,則下列說法中正確的是()

>>

A.yi>y2>y3B.y2y3yi

C.y3>yi>y2D.yi>y3>y2

題型5二次函數(shù)與幾何圖形關(guān)系

(2016.T10)

17.已知拋物線y=a(x+l)(x-5)與x軸交于A,B兩點，點A在點B的左側(cè)，若在x軸

下方的拋物線上存在一點C,使得AABC的最大面積為6,則a的值為()

2222

N飛B-5D-9

18.M是拋物線y=x2+x-2在第三象限部分的一點，過點M向x軸和y軸作垂線，垂

足分別為P,Q,則四邊形OPMQ周長的最大值為()

A.lB.2C.4D.6

題型6拋物線的交點與方程的關(guān)系

(2015.T10)

19.將拋物線y=-2x2+(m-3)x-l向上平移m(m>0)個單位長度,與直線y=-x+3有且只

有一個交點，則m的值為()

A.4B.8

C.452D.4A/2+2

20.在平面直角坐標系中，拋物線C:y=ax2+(3-2a)x+a-2與坐標軸有兩個交點，則a的

值為()

A.4B.g或-2

9

或

C.-2D.742

題型7二次函數(shù)圖象的變換

21.在平面直角坐標系中，如果拋物線y=ax2(a/))不動,x軸向上平移3個單位長

度,y軸向右平移3個單位長度，那么關(guān)于新坐標系下的拋物線，下列說法正確的是

()

A.新坐標系下的拋物線的對稱軸為直線x=|

B.新坐標系下的拋物線與y軸的交點的縱坐標為3a+3

C.新坐標系下的拋物線的頂點在第三象限

D.新坐標系下的拋物線與x軸一定有兩個交點

22.已知拋物線y=ax2-2x+l與x軸沒有交點,將該拋物線向左平移3個單位長度，再

向下平移5個單位長度后，得到的拋物線的頂點一定在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

23.將拋物線L:y=-(x-b+l)2+b先向左平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度,

得到拋物線L；若拋物線U的頂點到原點的距離為5,則拋物線U的頂點坐標為

()

A.(0,5)

B.(5,0)

C(0,-5)或(5,0)

D.(0,5)或(-5,0)

題型8二次函數(shù)圖象的實際應(yīng)用

24.某同學(xué)用相機拍攝記錄小球投擲實驗，并繪制了示意圖如圖所示，其中x軸表示

小球滯空時間,y軸表示小球高度，小球的運動軌跡為拋物線，在第0.8s與第1.2s

時，小球高度一致,已知點A(0,2),小球在最高點的縱坐標為4,則小球落地時，點B的

坐標為)

A.(2.2,0)B.(A/2+2,0)

C.(2,0)D.(V2+l,0)

25.如圖，某涵洞的截面是拋物線形，現(xiàn)測得水面寬AB=1.6m,涵洞頂點O與水面的

距離CO是2m,則當(dāng)水位上升1.5m時，水面的寬為()

A.0.4mB.0.6m

C.0.8mD.lm

參考答案

1.C解析:??拋物線開口向上"a>0.

:拋物線的對稱軸在X軸正半軸上"V>0,

?'■a,b異號，.乃<0.

:拋物線與y軸交于負半軸

,：abc>0,故選項A錯誤.

:拋物線的對稱軸為直線x=l,

即b=-2a,

???2a+b=0,故選項B錯誤.

由題圖可知，當(dāng)x=l時,y=a+A+c<0.

:拋物線的對稱軸為直線x=l,

.:點(2,4a+2b+c)與(0,c)關(guān)于對稱軸對稱,

-'-4a+2b+c=c.

"c<0,

-'-4a+2b+c<0,

.：(a+b+c)+(4a+2b+c)<0,即5a+3b+2c<0.故選項C正確.

:拋物線^="2+及+。與x軸有兩個交點，

.乃2-4ac>0,.：4ac-62<0,故選項D錯誤.

故選C.

2.A解析:??拋物線開口向下，對稱軸為直線尸外

.:當(dāng)x>m時/隨x的增大而減小，故選項A錯誤；

:?當(dāng)x=0時》=1,

該函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點(0,1),故選項B正確;

'■y=-(x-m)2+m2+l,

拋物線的頂點坐標為(加,加+1),

?:拋物線的頂點在拋物線y=/+l上,故選項C正確；

,.-y=-(x-m)2+m2+\與的二次項系數(shù)都為-1,.：兩函數(shù)圖象的形狀相同,故選項

D正確.

故選A.

3.A解析:依題意，拋物線開口向下,對稱軸為直線

:.對稱軸在v軸的右側(cè).

:力=(l-a)2-4x^a-(-l)=l+a2>0,

?:拋物線與x軸有兩個交點，

.：頂點/一定在第一象限，故選A.

4.C解析::二次函數(shù)y=x2+bx+c,當(dāng)x>0時，函數(shù)的最小值為-3,

.:該函數(shù)圖象的對稱軸在軸右側(cè),一孰

j4x11=-3,-Z0,

?'-b<0.

丁當(dāng)x<0時，函數(shù)的最小值為2

,:當(dāng)x=0時y=c=_2,

將c=-2代入41：：了=_3，可得"=2(舍去)也=2

故選C.

5.C解析:依題意，當(dāng)x=0和x=4時/的值都是-2,

.:拋物線的對稱軸為直線》=歲=2,

?:頂點為(2,〃)總=2,即b=-4a.

-.-a<0,.-.n是函數(shù)的最大值.

?77tn<0,-m<0?72>0,

?:當(dāng)x=l時/=a-4a-2<0;當(dāng)x=2時沙=4。-8。-2>0,

解得故選C.

6.D解析::a=-l<0".拋物線開口向下，故A選項錯誤；

:拋物線的對稱軸為直線

.:當(dāng)m>0時，對稱軸在y軸右側(cè);當(dāng)m<0時，對稱軸在y軸左側(cè);當(dāng)m=Q時,對稱軸

為y軸，故B選項錯誤；

^w+?=l,-J=(2m)2-4x(-l)-?=4m2+4?=4m2+4(l-m)=4m2-4m+4=4^m-p2+3>0,

?:拋物線與x軸有兩個交點，故C選項錯誤；

??拋物線的開口向下,對稱軸為直線x=m,

?:二次函數(shù)的最大值為-加2+2加2+〃=加2+〃.

-w+2-m=2>m-(m-l)=l,

?:當(dāng)x=m+2時，二次函數(shù)有最小值，最小值為-(加+2尸+2加(加+2)+〃=加2+〃_4,

■:加2+〃_(加2+/4)=4,故D選項正確.

故選D.

7.A解析:A,B選項中，由二次函數(shù)y="2十區(qū)的圖象可以判斷心O/〈O.C,D選項

中,由二次函數(shù)尸狽2+及的圖象可以判斷

對于尸aN+既當(dāng)y=Q時，得0=4%2+既解得%]=0用=].

對于y=ax+仇當(dāng)y=0時，解得x=?故二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于x軸

上一點.

故選A.

8.D解析:根據(jù)題意,/=4。2-4。+1-4。(。-3)=4。2-4。+1-4。2+12。=8a+130,解得a<O-\.

.：二次函數(shù)的圖象開口向下，且與J軸交于負半軸，與X軸最多有一個交點，

故二次函數(shù)圖象不可能經(jīng)過第一象限和第二象限

9.B解析:分情況討論：

當(dāng)。＞0時,c＜0,6＞0拋物線開口向上，與y軸交于負半軸，對稱軸在y軸左側(cè)；

當(dāng)”0時,c＞0力＜0拋物線開口向下，與y軸交于正半軸，且對稱軸在y軸左側(cè).綜上

所述，只有B選項符合題意.

10.C解析：

根據(jù)題意，拋物線工的大致圖象如圖所示.

可知”0,由于與X軸沒有交點，故b2-4ac＜0.

:對稱軸在了軸右側(cè)，?:當(dāng)時/隨x的增大而增大.

當(dāng)點Z與點B在對稱軸的右側(cè)時，乃＞及,故C選項正確.

11.A解析::二次函數(shù)片"2_3"+。(存0),

.：圖象的對稱軸為直線x=-^=|.

:二次函數(shù)產(chǎn)aN-3ax+c(a#0)的圖象與x軸交于點尸(修,0),點0(必,0),且-3＜修＜-2,

.：5＜》2＜6.

故選A.

12.D解析:：修+必=8".拋物線的對稱軸為直線-書音=4,解得b=8.

以乃之間的距離是6,

必石的坐標為(1,0),(7,0).

將(1,0)代入y=-x2+8x+G得0=-l+8+c,解得c=-7,.vv=-x2+8x-7.

將x=4代入尸-/+8/7,得尸9,

???頂點坐標為(4,9).

故選D.

13.D解析:根據(jù)題意,拋物線L的對稱軸是直線x=a,

.:蜉=a,整理得2a2+口-1=0,解得ai=^a2=-1

■■■x<a時隨x的增大而減小;當(dāng)x>a時沙隨x的增大而增大，

■-a>0,"=；,；.M為拋物線的頂點，且y=jx2-jx+1=Q-p2+L?"〃=(.

2.2.2.2.2.o

14.B解析::二次函數(shù)y=N+bx+c的圖象與x軸的兩個交點分別是(〃,0)和

(-〃+4,0),

.:對稱軸為直線產(chǎn)吐產(chǎn)=2.

:拋物線經(jīng)過點(-4辦)和(4,竺),

?:點(-4,乃)到對稱軸的距離大于點(4,及)到對稱軸的距離.

:拋物線開口向上，號1>絲.

故選B.

15.C解析:當(dāng)x=0時尸-3,.：拋物線與y軸的交點為(0,-3).

:拋物線與x軸的交點位于原點兩側(cè)，

.2>0,即拋物線開口向上.

:%1<0<%2/1+%2>-4,

得％2-(~2)>-2-修,?少2>為.

,73>二2,

?：乃>>2>川.故選C.

16.B解析:：M(xo,yo)是拋物線產(chǎn)加_4ax+c的頂點，且為為y=aN-4ax+c的最大值,

.：拋物線開口向下.

由y=ax2-4ax+c可得拋物線的對稱軸為直線x=2,

?:拋物線上的點到對稱軸距離越大，該點的縱坐標越小，點(-5/1)到拋物線的對稱軸

的距離%=2-(-5)=7,點5，乃)到拋物線的對稱軸的距禺12=2-1=1,點(0,乃)到拋物線

的對稱軸的距離6?3=2-0=2,汨2＜“3＜"1,故乃＞為＞為.

17.D解析:由拋物線片a(x+l)(x-5)可知，點Z的坐標為(-1,0),點B的坐標為(5,0),

.：AB=6.

:,在x軸下方的拋物線上存在一點C,使得△45C的最大面積為6,

?:解得h=2,

根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì),拋物線的頂點坐標為(2,-2),

將其代入拋物線的表達式中,-2=a(2+l)x(2-5)解得a喙故選D.

18.D解析:設(shè)點M的坐標為(m*2+畛2),根據(jù)題意,四邊形OPMQ為矩形，

■'-C矩形0PM0=2(。P+0。)=2(-機-7/-根+2)=-2(機+1)2+6,

當(dāng)加=-1時,C矩形0PMQM=6.故選D.

19.C解析:平移后的拋物線表達式為歹=-212+(加-3)x-l+加.：,與直線y=-x+3有且

只有一個交點，，關(guān)于％的方程-2爐+(加-3)x-l+加=-x+3有兩個相等的實數(shù)根，

整理上述方程得-2N+(加-2)x-4+加=0/=(加-2)2-4x(-2)(加-4)=0,

解得加產(chǎn)4也-2,加2=-4啦-2.

:匹＞0,,：加=4啦-2,故選C.

20.D解析:當(dāng)