高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)階段性測(cè)試題十二 算法初步推理與證明復(fù)數(shù)

階段性測(cè)試題十二(算法初步、推理與證明、復(fù)數(shù))本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題共50分)一、選擇題(本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．(文)(2011·遼寧文)i為虛數(shù)單位，eq\f(1,i)＋eq\f(1,i3)＋eq\f(1,i5)＋eq\f(1,i7)＝()A．0 B．2iC．－2i D．4i[答案]A[解析]本題考查了復(fù)數(shù)的定義及其運(yùn)算，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，并考查了多種方法靈活處理問(wèn)題的能力．法1：∵i2＝1，∴i3＝－i，i5＝i，i7＝－i，∴原式＝eq\f(1,i)＋eq\f(1,－i)＋eq\f(1,i)＋eq\f(1,－i)＝0.法2：把原式看成是以eq\f(1,i)為首項(xiàng)，以eq\f(1,i2)為公比的等比數(shù)列的前4項(xiàng)和即原式＝eq\f(\f(1,i)1－\f(1,i8),1－\f(1,i2))＝0.(理)(2011·遼寧理)a為正實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，|eq\f(a＋i,i)|＝2，則a＝()A．2 B.eq\r(3)C.eq\r(2) D．1[答案]B[解析]本小題考查內(nèi)容為復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)的模的求法．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋i,i)))＝|1－ai|＝eq\r(1＋－a2)＝2，∴a＝eq\r(3).2．(2011·大綱全國(guó)卷理)復(fù)數(shù)z＝1＋i，eq\o(z,\s\up6(－))為z的共軛復(fù)數(shù)，則zeq\o(z,\s\up6(－))－z－1＝()A．－2i B．－iC．i D．2i[答案]B[解析]本小題考查的內(nèi)容是復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算．eq\o(z,\s\up6(－))＝1－i，∴z·eq\o(z,\s\up6(－))－z－1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i.3．(2011·新課標(biāo)理)執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的N是6，那么輸出的p是()A．120 B．720C．1440 D．5040[答案]B[解析]當(dāng)輸入的N是6時(shí)，由于k＝1，p＝1，因此p＝p·k＝1.此時(shí)k＝1，滿足k<6，故k＝k＋1＝2；當(dāng)k＝2時(shí)，p＝1×2，此時(shí)滿足k<6，故k＝k＋1＝3；當(dāng)k＝3時(shí)，p＝1×2×3，此時(shí)滿足k<6，故k＝k＋1＝4；當(dāng)k＝4時(shí)，p＝1×2×3×4，此時(shí)滿足k<6，故k＝k＋1＝5；當(dāng)k＝5時(shí)，p＝1×2×3×4×5，此時(shí)滿足k<6，故k＝k＋1＝6.當(dāng)k＝6時(shí)，p＝1×2×3×4×5×6＝720，此時(shí)k<6不再成立，因此輸出p＝720.4．(2012·九江一模)下面的程序框圖給出了計(jì)算數(shù)列{an}的前8項(xiàng)和S的算法，算法執(zhí)行完畢后，輸出的S為()A．8 B．63C．92 D．129[答案]C[解析]程序框圖是計(jì)算S＝1＋2＋4＋7＋11＋16＋22＋29＝92，∴輸出的S為92，故選C.5．(2012·三亞調(diào)研)為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密規(guī)則為：明文a，b，c，d對(duì)應(yīng)密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4dA．4,6,1,7 B．7,6,1,4C．6,4,1,7 D．1,6,4,7[答案]C[解析]因加密規(guī)則可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2b＝14,2b＋c＝9,2c＋3d＝23,4d＝28))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6,b＝4,c＝1,d＝7)).故明文為6,4,1,7.6．(2012·西寧調(diào)研)觀察下圖中圖形的規(guī)律，在其右下角的空格內(nèi)畫(huà)上合適的圖形為()[答案]A[解析]表格中的圖形都是矩形、圓、正三角形的不同排列，規(guī)律是每一行中只有一個(gè)圖形是空心的，其他兩個(gè)都是填充顏色的，第三行中已經(jīng)有正三角形是空心的了，因此另外一個(gè)應(yīng)該是陰影矩形．7．(文)要表示直線與圓的位置關(guān)系最好用下列哪種框圖來(lái)表示()A．流程圖 B．程序框圖C．結(jié)構(gòu)圖 D．統(tǒng)籌圖[答案]C[解析]直線與圓有三種位置關(guān)系：直線與圓相交，直線與圓相切，直線與圓相離，它們?nèi)呤遣⒘嘘P(guān)系，都從屬與直線與圓的位置關(guān)系，故宜用結(jié)構(gòu)圖表示．(理)(2012·臨沂一模)如圖所示的程序框圖輸出的結(jié)果是()A.eq\f(3,4) B.eq\f(4,5)C.eq\f(5,6) D.eq\f(6,7)[答案]C[解析]i＝1≤4滿足，執(zhí)行第一次循環(huán)后，A＝eq\f(2,3)，i＝2；i＝2≤4滿足，執(zhí)行第二次循環(huán)后，A＝eq\f(3,4)，i＝3；i＝3≤4滿足，執(zhí)行第三次循環(huán)后，A＝eq\f(4,5)，i＝4；i＝4≤4滿足，執(zhí)行第四次循環(huán)后，A＝eq\f(5,6)，i＝5；i＝5≤4不滿足，跳出循環(huán)，輸出A＝eq\f(5,6).8．(2011·山東理)復(fù)數(shù)z＝eq\f(2－i,2＋i)(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[答案]D[解析]本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的幾何意義．∵z＝eq\f(2－i,2＋i)＝eq\f(2－i2,5)＝eq\f(4－4i－1,5)＝eq\f(3,5)－eq\f(4,5)i.∴z在復(fù)平面由對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(eq\f(3,5)，－eq\f(4,5))，故選D.9．(2011·福建理)對(duì)于函數(shù)f(x)＝asinx＋bx＋c(其中a，b∈R，c∈Z)，選取a，b，c的一組值計(jì)算f(1)和f(－1)，所得出的正確結(jié)果一定不可能是()A．4和6 B．3和1C．2和4 D．1和2[答案]D[解析]∵f(1)＝asin1＋b＋c，f(－1)＝－asin1－b＋c，且c是整數(shù)，∴f(1)＋f(－1)＝2c在選項(xiàng)中只有D中兩數(shù)和為奇數(shù)，不可能是D.[點(diǎn)評(píng)]本題考查求函數(shù)值和邏輯推理，題目是在以往高考題的基礎(chǔ)上改編的，較新穎，題目難度較大．10．(文)(2012·鷹潭一模)已知x＞0，y＞0，lg2x＋lg8y＝lg2，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,3y)的最小值是()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．2eq\r(3)[答案]C[解析]因?yàn)閤＞0，y＞0，且lg2x＋lg8y＝lg2，所以x＋3y＝1.于是，有eq\f(1,x)＋eq\f(1,3y)＝(x＋3y)(eq\f(1,x)＋eq\f(1,3y))＝2＋(eq\f(3y,x)＋eq\f(x,3y))≥4，故選C.(理)(2012·江西上饒一模)用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3，(n∈N*)能被9整除”，要利用歸納假設(shè)證n＝k＋1時(shí)的情況，只需展開(kāi)()A．(k＋3)3 B．(k＋2)3C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3[答案]A[解析]假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．當(dāng)n＝k＋1時(shí)，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3為了能用上面的歸納假設(shè)，只需將(k＋3)3展開(kāi)，讓其出現(xiàn)k3即可．第Ⅱ卷(非選擇題共100分)二、填空題(本大題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分，把正確答案填在題中橫線上)11．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)eq\f(2i,1－i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．[答案](－1,1)[解析]eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i1＋i,1－i1＋i)＝i(1＋i)＝－1＋i.故對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,1)．12．(文)(2011·福建理)運(yùn)行如圖所示的程序，輸出的結(jié)果是________．eq\x(\a\al(a＝1,b＝2,a＝a＋b,PRINTa,END))[答案]3[解析]本題主要考查算法知識(shí)，由于a＝1，b＝2，a＝a＋b＝1＋2＝3.(理)(2011·江西理)下圖是某算法的程序框圖，則程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果是________．[答案]10[解析]本題主要考查程序框圖知識(shí)．n＝1，s＝0＋(－1)1＋1＝0，n＝2時(shí)，s＝0＋(－1)2＋2＝3，n＝3時(shí)，s＝3＋(－1)3＋3＝5，n＝4時(shí)，s＝5＋(－1)4＋4＝10>9，故運(yùn)行輸出結(jié)果為10.13．(2011·安徽理)如下圖所示，程序框圖(算法流程圖)的輸出結(jié)果是________．[答案]15[解析]由T＝T＋k可知T是一個(gè)累加變量，原題實(shí)質(zhì)為求1＋2＋3＋…＋k的和，其和為eq\f(kk＋1,2)，令eq\f(kk＋1,2)≤105，得k≤14，故當(dāng)k＝15時(shí)，T＝1＋2＋3＋…＋15＝120>105.此時(shí)輸出k＝15.14．(2012·咸陽(yáng)調(diào)研)已知點(diǎn)An(n，an)為函數(shù)y＝eq\r(x2＋1)的圖像上的點(diǎn)，Bn(n，bn)為函數(shù)y＝x圖像上的點(diǎn)，其中n∈N*，設(shè)cn＝an－bn，則cn與cn＋1的大小關(guān)系為_(kāi)_______．[答案]cn>cn＋1[解析]解法1：∵an＝eq\r(n2＋1)，bn＝n，cn＝eq\r(n2＋1)－n＝eq\f(1,\r(n2＋1)＋n)，隨n的增大而減小，為減函數(shù)，∴cn＋1<cn，解法2：cn＋1＝eq\r(n＋12＋1)－(n＋1)，cn＝eq\r(n2＋1)－n，∴eq\f(cn,cn＋1)＝eq\f(\r(n2＋1)－n,\r(n＋12＋1)－n＋1)＝eq\f(\r(n＋12＋1)＋n＋1,\r(n2＋1)＋n)>1，∴cn>cn＋1.15．(文)(2012·唐山模擬)方程f(x)＝x的根稱為f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，若函數(shù)f(x)＝eq\f(x,ax＋2)有唯一不動(dòng)點(diǎn)，且x1＝1007，xn＋1＝eq\f(1,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn))))(n∈N＋)，則x2013＝________.[答案]2013[解析]由eq\f(x,ax＋2)＝x，得ax2＋(2a－1)x＝0，∵f(x)有唯一不動(dòng)點(diǎn)，∴2a－1＝0，即a＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝eq\f(2x,x＋2)，∴xn＋1＝eq\f(1,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn))))＝eq\f(2xn＋1,2)＝xn＋eq\f(1,2).∴x2013＝x1＋eq\f(1,2)×2012＝1007＋1006＝2013.(理)自然數(shù)按下表的規(guī)律排列則上起第15行，左起第16列的數(shù)為_(kāi)_______．[答案]240[解析]經(jīng)觀察可得這個(gè)自然數(shù)表的排列特點(diǎn)：①第一列的每個(gè)數(shù)都是完全平方數(shù)，并且恰好等于它所在行數(shù)的平方，即第n行的第1個(gè)數(shù)為n2；②第一行第n個(gè)數(shù)為(n－1)2＋1；③第n行從第1個(gè)數(shù)至第n個(gè)數(shù)依次遞減1；④第n列從第1個(gè)數(shù)至第n個(gè)數(shù)依次遞增1.則上起第15行，左起第16列的數(shù)應(yīng)為第16列的第15個(gè)數(shù)，即為[(16－1)2＋1]＋14＝152＋1＋14＝15×16＝240.三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共75分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)16．(本小題滿分12分)(2011·上海理)已知復(fù)數(shù)z1滿足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)z2的虛部為2，且z1·z2是實(shí)數(shù)，求z2.[解析](z1－2)(1＋i)＝1－i?z1＝2－i設(shè)z2＝a＋2i，a∈R，則z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a∵z1z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i.17．(本小題滿分12分)(2012·合肥模擬)給出以下10個(gè)數(shù)：5,9,80,43,95,73,28,17,60,36，要求把大于40的數(shù)找出來(lái)并輸出，試畫(huà)出該問(wèn)題的程序框圖．[分析]題目給出了10個(gè)數(shù)字，將大于40的數(shù)找出來(lái)．解答本題先確定使用循環(huán)結(jié)構(gòu)，再確定循環(huán)體．[解析]程序框圖如圖所示：[點(diǎn)評(píng)]設(shè)計(jì)程序框圖，首先由題意選擇合適的結(jié)構(gòu)，再確定本結(jié)構(gòu)需要的條件．18．(本小題滿分12分)設(shè)復(fù)數(shù)z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，當(dāng)實(shí)數(shù)(1)z是純虛數(shù)．(2)z是實(shí)數(shù)．(3)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第二象限．[解析](1)由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgm2－2m－2＝0，,m2＋3m＋2≠0.))解得m＝3.所以當(dāng)m＝3時(shí)，z是純虛數(shù)．(2)由m2＋3m得m＝－1或m＝－2，又m＝－1或m＝－2時(shí)，m2－2m所以當(dāng)m＝－1或m＝－2時(shí)，z是實(shí)數(shù)．(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgm2－2m－2<0，,m2＋3m＋2>0.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－2>0,m2－2m－3<0,m2＋3m＋2>0))解得：－1<m<1－eq\r(3)或1＋eq\r(3)<m<3.所以當(dāng)－1<m<1－eq\r(3)或1＋eq\r(3)<m<3時(shí)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第二象限．19．(本小題滿分12分)求證關(guān)于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)根的充要條件是a≤1.[分析]需證明充分性和必要性．證充分性時(shí)，可分a＝0，a<0和0<a≤1三種情況證明；證必要性，就是尋找方程有一個(gè)負(fù)根和兩個(gè)負(fù)根的條件.[證明]充分性：當(dāng)a＝0時(shí)，方程為2x＋1＝0，其根為x＝－eq\f(1,2)，方程有一個(gè)負(fù)根，符合題意．當(dāng)a<0時(shí)，Δ＝4－4a>0，方程ax2＋2x＋1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，且eq\f(1,a)<0，方程有一正一負(fù)根，符合題意．當(dāng)0<a≤1時(shí)，Δ＝4－4a≥0，方程ax2＋2x＋1＝0有實(shí)根，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,a)<0,\f(1,a)>0))，故方程有兩個(gè)負(fù)根，符合題意．綜上知：當(dāng)a≤1時(shí)，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)根．必要性：若方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)根．當(dāng)a＝0時(shí)，方程為2x＋1＝0符合題意．當(dāng)a≠0時(shí)，方程ax2＋2x＋1＝0應(yīng)有一正一負(fù)或兩個(gè)負(fù)根．則eq\f(1,a)<0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4－4a≥0,－\f(2,a)<0,\f(1,a)>0)).解得a<0或0<a≤1.綜上知：若方程ax2＋2x＋1＝0至少有一負(fù)根則a≤1.故關(guān)于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)根的充要條件是a≤1.[點(diǎn)評(píng)]在證必要性時(shí)，易忽視a＝0的情況而導(dǎo)致得不到結(jié)果，出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是忽視了一元二次方程對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的要求．20．(本小題滿分13分)(1)設(shè)x是正實(shí)數(shù)，求證：(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3；(2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)舉出一個(gè)使它不成立的x的值．[解析](1)x是正實(shí)數(shù)，由基本不等式知x＋1≥2eq\r(x)，x2＋1≥2x，x3＋1≥2eq\r(x3)，故(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥2eq\r(x)·2x·2eq\r(x3)＝8x3(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)等號(hào)成立)．(2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3仍然成立．由(1)知，當(dāng)x>0時(shí)，不等式成立；當(dāng)x≤0時(shí)，8x3≤0，而(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)＝(x＋1)2(x2＋1)(x2－x＋1)＝(x＋1)2(x2＋1)[(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)]≥0.此時(shí)不等式仍然成立．21．(本小題滿分14分)(2012·貴陽(yáng)一模)已知數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項(xiàng)和，并且Sn＋1＝4an＋