專題02 解分式方程 帶解析

2022-2023學年華師大版八年級數(shù)學下冊精選壓軸題培優(yōu)卷專題02解分式方程試卷滿分：100分考試時間：120分鐘姓名：___________班級：___________考號：___________評卷人得分一、選擇題(每題2分，共18分)1．(本題2分)（2022秋·重慶涪陵·八年級統(tǒng)考階段練習）若整數(shù)a滿足關于x的分式方程的解為非負整數(shù)，且使關于y的不等式組的解集為，則符合條件的所有整數(shù)a的和為（）A．5 B．8 C．9 D．12【答案】A【思路點撥】解分式方程，根據(jù)解是非負整數(shù)解，且不是增根，化簡一元一次不等式組，根據(jù)解集為得到a的取值范圍，得到a的最終范圍，這個范圍內能使y是整數(shù)的a確定出來求和即可．【規(guī)范解答】解：分式方程兩邊都乘以得：，解得，∵分式方程有非負整數(shù)解，且，∴且，解得：且，解不等式得到：，解不等式得到：，∵不等式組的解集為，∴，∴，∴且，∵為非負整數(shù)，∴符合條件的整數(shù)a的值為：，1，5，∴和為．故選：A．【考點評析】本題主要考查了分式方程的解，一元一次不等式組的解集，考慮解分式方程可能產(chǎn)生增根是解題的關鍵．注意：在求出a的取值范圍后，一定記住a的值要滿足使為非負整數(shù)．2．(本題2分)（2022秋·山東濟寧·八年級?？茧A段練習）已知關于的分式方程的解為整數(shù)，且關于的不等式組恰好有2個整數(shù)解，則符合條件的整數(shù)的和為（

）A． B． C． D．【答案】A【思路點撥】先解方程方程，再由，確定是2的倍數(shù)且，再解一元一次不等式組得到，求出m的范圍，然后求出同時符合分式方程和一元一次不等式的m的值，最后相加即可．【規(guī)范解答】解：，，，∵方程的解為整數(shù)，∴是2的倍數(shù)，∵，∴，∴，，由①得，由②得，∵不等式組恰好有2個整數(shù)解，∴，解得，∴符合m的值有，故符合條件的整數(shù)的和為．故選A．【考點評析】本題考查分式方程的解，一元一次不等式組的解集，熟練掌握一元一次不等式組的解法，分式方程的解法，注意增根的情況是解題的關鍵．3．(本題2分)（2022秋·全國·八年級專題練習）若整數(shù)a使關于x的不等式組有且只有19個整數(shù)解，且使關于y的方程＝1的解為非正數(shù)，則a的值是（）A．﹣13或﹣12 B．﹣13 C．﹣12 D．﹣13或﹣11【答案】C【思路點撥】解不等式組，根據(jù)有且只有19個整數(shù)解求出a的范圍，再解方程，根據(jù)方程的解為非正數(shù)，求出a的范圍，找出公共部分的整數(shù)a值即可．【規(guī)范解答】解：解，得，∵不等式組有且只有19個整數(shù)解，∴，解得：，解得，∵方程的解為非正數(shù)，．∴，．為整數(shù)，．故選：C．【考點評析】本題主要考查了解一元一次不等式組，解分式方程，一元一次不等式組的整數(shù)解，正確求得不等式組的解集是解題的關鍵．4．(本題2分)（2021春·河南鄭州·八年級鄭州市鄭中國際學校校考期中）若關于的一元一次不等組的解集為；且關于的分式方程有正整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是（

）．A．7 B． C．8 D．【答案】C【思路點撥】先解一元一次不等式組得出a的取值范圍，再解分式方程得a的范圍，最后綜合求出滿足條件的a的值，即可求得．【規(guī)范解答】解：解不等式，去分母得：，移項合并同類項得：，的解集為，由“同小取小”得：；解分式方程：，去分母，得：，移項合并同類項得：，系數(shù)化為1得：，∵分式方程有正整數(shù)解，，∴，，∴滿足條件的整數(shù)可以取7，1，其和為．故選：C．【考點評析】本題考查了解一元一次不等式組，解分式方程，正確掌握解分式方程和一元一次不等式組是解題關鍵，分式方程有解必須滿足公分母不為零，這是本題的易錯點．5．(本題2分)（2022秋·河北承德·八年級統(tǒng)考期末），下列說法錯誤的是（）A．時， B．x為正整數(shù)時，y有4個整數(shù)值C．時， D．x為負整數(shù)時，y也有4個整數(shù)值【答案】C【思路點撥】將和分別代入，再分別解分式方程即可判斷A和C；根據(jù)當時，，結合正整數(shù)和負整數(shù)的定義即可判斷B和D．【規(guī)范解答】解：當時，，解得：，故A正確，不符合題意；∵x為正整數(shù)，∴，∴當x取1，2，3，6時，y為整數(shù)，且分別為，0，1，2共4個，故B正確，不符合題意；當時，即，解得：，且經(jīng)檢驗是原方程的解，故C錯誤，符合題意；∵x為負整數(shù)，∴，∴當x取時，y為整數(shù)，且分別為9，6，5，4共4個，故D正確，不符合題意．故選C．【考點評析】本題考查解分式方程，分式值為0的條件，分式有意義的條件，求使分式值為整數(shù)時未知數(shù)的整數(shù)值．掌握分式的分母不能為零和解分式方程的步驟是解題關鍵．6．(本題2分)（2023秋·湖南婁底·八年級統(tǒng)考期末）方程的解是（

）A． B． C． D．無解【答案】C【思路點撥】先去分母得到整式方程，求出整式方程的解后再進行檢驗即可得出原方程的解．【規(guī)范解答】解：解得，檢驗：當時，，∴是原方程的根，故選：C【考點評析】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵，一定不要忘記分式方程必須檢驗．7．(本題2分)（2022秋·重慶沙坪壩·八年級統(tǒng)考期末）若關于y的分式方程的解為整數(shù)，且是一個完全平方式，則滿足條件的整數(shù)a的值為（

）A． B．4 C． D．4或【答案】C【思路點撥】先解分式方程，再根據(jù)是一個完全平方式求出a的值，最后找出符合條件的值．【規(guī)范解答】方程兩邊同時乘以得去括號得移項合并同類項得∵是一個完全平方式，∴，解得，∵關于y的分式方程的解為整數(shù)，當時，，經(jīng)檢驗，是原分式方程的解；當時，，此時分式分母為0；故選C．【考點評析】本題考查了解分式方程和完全平方式，求出y的值后注意檢驗．8．(本題2分)（2021春·全國·八年級專題練習）關于x的方程的兩個解為，，的兩個解為，；的兩個解為，，則關于x的方程的兩個解為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【思路點撥】由于可化為，由題中可得規(guī)律：方程（其中為正整數(shù)）的解為，，根據(jù)這個規(guī)律即中得方程的解．【規(guī)范解答】∵∴∴上述方程有解及即及所以原方程的解為，故選：D【考點評析】本題主要考查了一類特殊方程的解，這是一個規(guī)律性的問題，要從所給的前面幾個方程的解，歸納出一般性的結論，再所得的一般性結論，求出所給方程的解，體現(xiàn)了由特殊到一般再到特殊的思維過程，這是數(shù)學中常用的方法；這里也用到了整體思想，即要分別把、看成一個整體，才能符合題中所給方程的結構，否則無法完成．9．(本題2分)（2022秋·全國·八年級專題練習）關于x的一元一次不等式組有解，且使關于y的分式方程的解為整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（

）A．8 B．5 C．3 D．2【答案】D【思路點撥】解不等式組，又因為不等式組有解，得到a＜4，由于，

得到：，因為a＜4，且y≠3，且整數(shù)，得到a=3，-1；即可求解；【規(guī)范解答】解：由①得：x≤-1，由②得：x＞a-5，因為不等式組有解，∴a-5＜x≤-1;∴a-5＜-1;∴a＜4，由，

得，得到：，∵a＜4，且y≠3，為整數(shù)，∴a=3，-1；3+（-1）=2．故選：D【考點評析】本題主要考查了分式方程的解，一元一次不等式組的解集，有理數(shù)的混合運算，考慮解分式方程可能產(chǎn)生增根是解題的關鍵．評卷人得分二、填空題(每空2分，共22分)10．(本題2分)（2022春·上海奉賢·八年級?？茧A段練習）已知方程+＝0，如果設＝y(tǒng)，那么原方程可以變形為關于y的整式方程是_____．【答案】1+3y2＝0【思路點撥】設，則原方程化為+3y＝0，再方程兩邊都乘y即可．【規(guī)范解答】解：設，則原方程化為：+3y＝0，即1+3y2＝0，故答案為：1+3y2＝0．【考點評析】本題考查了用換元法解分式方程，能正確換元是解此題的關鍵．11．(本題2分)（2022秋·四川廣安·八年級統(tǒng)考期末）定義一種新運算“*”：．如：．則下列結論：①；②的解是；③若的值為0，則．正確的結論是______（把所有正確結論的序號都填在橫線上）．【答案】①②##②①【思路點撥】先根據(jù)新運算將結論寫出方程的分式方程，然后解方程即可判斷．【規(guī)范解答】解∶①∵，∴，結論正確；②由得，去分母，得2x=2+x，解得x=2，將檢驗x=2是分式方程的根，所以分式方程的解為x=2，故結論正確；③由(x+1)*(x-1)=0得，所以(x+1)(x-1)=0，2x≠0，．解得x=-1或x=1，故③不正確．故正確的結論是①②．故答案為∶①②．【考點評析】本題考查了分式方程的解法，解分式方程的步驟∶①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結論，正確理解新定義是解題的關鍵．12．(本題2分)（2022春·四川成都·八年級?？茧A段練習）關于的分式方程的解為正數(shù)，且使關于的一元一次不等式組有解，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是______．【答案】【思路點撥】先將分式方程化為整式方程，得到，根據(jù)x為正數(shù)，分式方程有解，得到且；解兩個不等式分別得到，，根據(jù)一元一次不等式組有解，推出；綜合推出a的取值范圍，且，即可得到a的整數(shù)解，求和即得．【規(guī)范解答】解：，兩邊同時乘以（)，，，由于該分式方程的解為正數(shù)，∴，其中，，∴，且；∵關于y的元一次不等式組有解，由①得：，由②得：，∴，∴，綜上可得：，且，∴滿足條件的所有整數(shù)a為：，，0，1，∴它們的和為．故答案為：．【考點評析】本題主要考查了含字母系數(shù)的分式方程和含字母系數(shù)的一元一次不等式組等，解決問題的關鍵是熟練掌握分式方程的解的概念，解分式方程，一元一次不等式組有解的情形，解一元一次不等式組，確定分式方程的解時，注意分式方程不產(chǎn)生增根的情形．13．(本題2分)（2021秋·廣東江門·八年級統(tǒng)考期末）使得關于x的不等式組有解，且使分式方程有非負整數(shù)解的m的取值有：___________．【答案】或【思路點撥】根據(jù)不等式組有解可解得的取值范圍，再根據(jù)分式方程有非負整數(shù)解，可得是3的倍數(shù)，據(jù)此分類討論解題．【規(guī)范解答】解：由不等式組有解，得，，，分式方程整理得，，，，解得，由分式方程有非負整數(shù)解得，，，，，，，此時分式方程無解，故舍去，，或的取值可能為：或，故答案為：或．【考點評析】本題考查解分式方程、解一元一次不等式組、分式方程的解等知識，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵．14．(本題2分)（2022秋·廣東江門·八年級統(tǒng)考期末）若數(shù)使關于的分式方程的解為正數(shù)，且使關于的不等式組的解集為，則符合條件所有整數(shù)的積為______．【答案】8【思路點撥】根據(jù)分式方程的解為正數(shù)即可得出且，根據(jù)不等式組的解集為，即可得出，找出且，中所有的整數(shù)，將其相乘即可得出結論．【規(guī)范解答】解：分式方程的解為且，∵分式方程的解為正數(shù)，∴且，∴且，解不等式①，得，解不等式②，得，∵關于y的不等式組的解集為，∴，∴且，又為整數(shù)，則的值為2，4，符合條件的所有整數(shù)的積為，故答案為：8【考點評析】本題考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根據(jù)分式方程的解為正數(shù)結合不等式組的解集為，找出的取值范圍是解題的關鍵．15．(本題2分)（2023秋·湖南婁底·八年級校聯(lián)考期末）對于實數(shù)，，定義一種新運算“”為：，這里等式右邊是實數(shù)運算，例如：，則方程的解是________．【答案】【思路點撥】根據(jù)題中的新運算法則列出分式方程，再根據(jù)分式方程的解法解答即可．【規(guī)范解答】解：∵，∴∴去分母得，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解，故答案為：．【考點評析】本題考查了新定義的運算法則的計算、分式方程的解法，解題的關鍵是理解題中給出的新運算法則及分式方程的解法．16．(本題2分)（2022秋·湖北武漢·八年級?？计谀?）計算

（2）解方程．【答案】（1）

（2）【思路點撥】(1)利用平方差公式計算即可．(2)按照解分式方程的基本步驟解答即可．【規(guī)范解答】（1）．（2）∵，∴，去分母，同乘以，得，去括號，得移項，得，合并同類項，得，系數(shù)化為1，得，經(jīng)檢驗，是原方程的解，∴原方程的解為．【考點評析】本題考查了平方差公式，分式方程的解法，熟練掌握平方差公式，解方程的基本步驟是解題的關鍵．17．(本題2分)（2020春·上海靜安·八年級校考期中）用換元法解分式方程時，如果設，那么原方程化為關于的整式方程可以是.【答案】【思路點撥】由題意化，再把換元后的方程去分母即可得到結果.【規(guī)范解答】由題意得，∴.故答案為.18．(本題2分)（2021秋·山東聊城·八年級統(tǒng)考期末）已知：①x+＝3可轉化為x+＝1+2，解得x1＝1，x2＝2，②x+＝5可轉化為x+＝2+3，解得x1＝2，x2＝3，③x+＝7可轉化為x+＝3+4，解得x1＝3，x2＝4，……根據(jù)以上規(guī)律，關于x的方程x+＝2n+4的解為_____．【答案】x1＝n+3，x2＝n+4【思路點撥】仿照已知方程與解的特征，歸納總結得到一般性規(guī)律，確定出所求方程的解即可．【規(guī)范解答】根據(jù)題意將方程變形得：x﹣3+＝n+n+1，可得x﹣3＝n或x﹣3＝n+1，則方程的解為x1＝n+3，x2＝n+4，故答案為x1＝n+3，x2＝n+4【考點評析】此題考查了解分式方程，利用了轉化的思想，解分式方程注意要檢驗．19．(本題2分)（2020春·重慶渝中·八年級重慶巴蜀中學?？茧A段練習）如果關于的分式方程有負分數(shù)解，且關于的不等式組的解集為，那么符合條件的所有整數(shù)的和是__________【答案】【思路點撥】把看做已知數(shù)表示出不等式組的解，根據(jù)已知解集確定出的范圍，分式方程去分母轉化為整式方程求解，由解為負分數(shù)得出的另一個范圍，把符合條件的的整數(shù)解代入，檢驗分式方程解為負分數(shù)確定出所有的值，即可求出它們之和．【規(guī)范解答】解：因為：，由①得：，由②得：，由不等式組的解集為：，所以，所以：，因為：，去分母得：，所以：，因為：為負分數(shù)，所以，所以：，所以：，因為：為整數(shù)，所以的值為，經(jīng)檢驗：符合題意，所以：，故答案為：．【考點評析】此題考查了解一元一次不等式組，以及解分式方程，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．20．(本題2分)（2019春·上海普陀·八年級統(tǒng)考期末）用換元法解方程時，如果設，那么得到關于的整式方程為_____．【答案】【思路點撥】將分式方程中的換，則=，代入后去分母即可得到結果．【規(guī)范解答】解：根據(jù)題意得：，去分母得：．故答案為：．【考點評析】此題考查了換元法解分式方程，用換元法解一些復雜的分式方程是比較簡單的一種方法，根據(jù)方程特點設出相應未知數(shù)，解方程能夠使問題簡單化．評卷人得分三、解答題(共60分)21．(本題6分)（2022秋·云南昭通·八年級統(tǒng)考期末）先閱讀下面的材料，然后回答問題：方程的解為，；方程的解為，；方程的解為，；…(1)觀察上述方程的解，猜想關于x的方程的解是；(2)根據(jù)上面的規(guī)律，猜想關于x的方程的解是；(3)由（2）可知，在解方程時，可以變形轉化為的形式求值，按要求寫出你的變形求解過程．(4)利用（2）的結論解方程：．【答案】(1)，(2)，(3)見解析(4)，【思路點撥】（1）根據(jù)已知材料即可得出答案；（2）根據(jù)已知材料即可得出答案；（3）把方程轉化成，由材料得出，，求出方程的解即可；（4）利用換元法，轉化為材料中的規(guī)律解答．【規(guī)范解答】（1）解：關于x的方程的解是：，，故答案為：，；（2）關于x的方程的解是：，，故答案為：，；（3），，，即，，解得：，；（4）令，則方程可化為，由（2）規(guī)律可得，，；即或，解得，．【考點評析】此題考查了解分式方程，讀懂題意并靈活變形是解題的關鍵．22．(本題6分)（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第四十七中學校考期中）觀察下列各式：，，，，，…(1)請猜想出表示上面各式的特點的一般規(guī)律，用含n（n表示正整數(shù)）的等式表示出來___．(2)請利用上述規(guī)律計算：．（n為正整數(shù)）(3)請利用上述規(guī)律，解方程：．【答案】(1)(2)(3)【思路點撥】（1）根據(jù)給出的式子，寫出用n表示的一般規(guī)律即可；（2）利用找出的一般規(guī)律進行計算即可；（3）根據(jù)找出的規(guī)律將方程變形為，然后解分式方程即可．【規(guī)范解答】（1）解：∵，，，，，…，∴．故答案為：．（2）解：．（3）解：分式方程整理得：，即，方程兩邊同時乘，得，解得：，檢驗：把代入得：，∴是原分式方程的解，∴原方程的解為：．【考點評析】此題主要考查了閱讀理解型的規(guī)律探索題，解分式方程，利用分數(shù)和分式的性質，把分式進行變形是解題關鍵．23．(本題8分)（2022秋·山東日照·八年級統(tǒng)考期末）（1）計算；（2）因式分解；（3）解方程；（4）先化簡：，然后在，0，1，2中選取一個合適的數(shù)代入求值．【答案】（1）（2）（3）（4），0【思路點撥】（1）利用平方差公式、完全平方公式進行計算即可；（2）先提公因式，再用平方差公式進行因式分解；（3）去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化1，檢驗，解分式方程即可；（4）根據(jù)分式的運算法則進行化簡，再代值計算即可．【規(guī)范解答】解：（1）原式；（2）原式；（3）方程兩邊同乘，得：，去括號，得：，移項，合并，得：，系數(shù)化，得：；檢驗，經(jīng)檢驗，是原方程的根，∴原方程的解為：；（4）原式；∵，∴，當時，原式．【考點評析】本題考查整式的乘法，因式分解，解分式方程，分式的化簡求值．熟練掌握相關運算法則，以及解分式方程的步驟，是解題的關鍵．24．(本題8分)（2022秋·山東德州·八年級統(tǒng)考期末）計算：(1)先化簡再求值：，取你喜歡的整數(shù)m代入求值．(2)解方程：．【答案】(1)，(2)【思路點撥】（1）先計算括號內的異分母分式加法，再計算乘法，最后代入計算即可；（2）去分母化為整式方程求出解，再檢驗即可得到分式方程的解．【規(guī)范解答】（1）解：原式，當時，原式；（2）解：，檢驗：當時，，∴是原分式方程的解．【考點評析】此題考查了分式的化簡求值，解分式方程，分式的混合運算，正確掌握分式混合運算的計算法則及分式方程的解法是解題的關鍵．25．(本題8分)（2023秋·山東濱州·八年級統(tǒng)考期末）根據(jù)要求解答下列問題．(1)化簡：；(2)解方程：．【答案】(1)(2)【思路點撥】(1)根據(jù)通分、因式分解、約分等手段化簡即可．(2)按照解分式方程的基本步驟求解即可．【規(guī)范解答】（1）．（2）方程的兩邊同乘，得，解得：．檢驗：把代入．∴原方程的解為．【考點評析】本題考查了分式的化簡求值，解分式方程，熟練掌握化簡的技能，規(guī)范解方程的基本步驟是解題的關鍵．26．(本題8分)（2022秋·八年級課時練習）已知，關于x的分式方程．(1)當，時，求分式方程的解；(2)當時，求b為何值時分式方程無解；(3)若，且a、b為正整數(shù)，當分式方程的解為整數(shù)時，求b的值．【答案】(1)(2)(3)3、29、55、185【思路點撥】（1）將a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化為整式方程，分類討論b的值，使分式方程無解即可；（3）將a=3b代入方程，分式方程去分母化為整式方程，表示出整式方程的解，由解為整數(shù)和b為正整數(shù)確定b的取值．【規(guī)范解答】（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中，得：，方程兩邊同時乘以，得：，解得：，檢驗：把代入，∴原分式方程的解為：．（2）解：把a=1代入原分式方程中，得：，方程兩邊同時乘以，得：，去括號，得：，移項、合并同類項，得：，①當時，即，原分式方程無解；②當時，得，Ⅰ.時，原分式方程無解，即時，此時b不存在；Ⅱ.x=5時，原分式方程無解，即時，此時b=5；綜上所述，時，分式方程無解．（3）解：把a=3b代入分式方程中，得：，方程兩邊同時乘以，得：，，解得：，∵b為正整數(shù)，x為整數(shù)，∴10+b必為195的因數(shù)，10+b≥11，∵195=3×5×13，∴195的因數(shù)有1、3、5、13、15、39、65、195，∵1、3、5都小于11，∴10十b可以取13、15、39、65、195這五個數(shù)，對應地，方程的解x=3、5、13、15、17，又x=5為分式方程的增根，故應舍去，對應地，b只可以取3、29、55、185，∴滿足條件的b可取3、29、55、185這四個數(shù)．【考點評析】本題主要考查分式方程的計算，難度較大，涉及知識點較多．熟練掌握解分式方程的步驟是解決這三道小題的前提條件；其次，分