2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：二項(xiàng)式定理（十五大題型）（講義）（學(xué)生版+解析）

第03講二項(xiàng)式定理

目錄

01考情透視目標(biāo)導(dǎo)航.............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖思維引航.............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究.............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1：二項(xiàng)式展開式的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)的系數(shù)問題................................4

知識(shí)點(diǎn)2：二項(xiàng)式展開式中的最值問題..............................................5

知識(shí)點(diǎn)3：二項(xiàng)式展開式中系數(shù)和有關(guān)問題..........................................5

題型一：求二項(xiàng)展開式中的參數(shù)....................................................6

題型二：求二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)..................................................7

題型三：求二項(xiàng)展開式中的有理項(xiàng)..................................................8

題型四：求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)系數(shù)..............................................8

題型五：求三項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng)..................................................9

題型六：求幾個(gè)二（多）項(xiàng)式的和（積）的展開式中條件項(xiàng)系數(shù)........................9

題型七：求二項(xiàng)式系數(shù)最值.......................................................10

題型八：求項(xiàng)的系數(shù)最值.........................................................11

題型九：求二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)和、各項(xiàng)系數(shù)和...............................11

題型十：求奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和.................................................13

題型十一：整數(shù)和余數(shù)問題.......................................................13

題型十二：近似計(jì)算問題.........................................................14

題型十三：證明組合恒等式.......................................................15

題型十四：二項(xiàng)式定理與數(shù)列求和.................................................17

題型十五：楊輝三角.............................................................18

04真題練習(xí)?命題洞見............................................................19

05課本典例高考素材............................................................47

06易錯(cuò)分析答題模板............................................................20

易錯(cuò)點(diǎn)：混淆項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)...............................................20

答題模板：求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)或項(xiàng)的系數(shù).....................................21

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

2024年北京卷第4題，4分

(1)今后在本節(jié)的考查形式依然以選擇或者填

2024年甲卷(理)第13題，5分

空為主，以考查基本運(yùn)算和基本方法為主，難度中等

(1)二項(xiàng)式定理2023年北京卷第5題，4分

偏下,與教材相當(dāng).

(2)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)2023年天津卷第11題，5分

(2)本節(jié)內(nèi)容在高考中的比重可能會(huì)持續(xù)降低，

2023年上海卷第10題，5分

但仍然是備考的重要內(nèi)容.

2022年I卷第13題，5分

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

(1)能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.

(2)會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問題.

㈤2

〃0知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航\\

二項(xiàng)式定理

考點(diǎn)突確.題理輝寶

知識(shí)固本

知識(shí)點(diǎn)1:二項(xiàng)式展開式的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)的系數(shù)問題

(1)二項(xiàng)式定理

nrrn

一般地，對(duì)于任意正整數(shù)W,都有：(a+by=C>"+cy-'b+.??+qta-b+.??+C[b(ne),

這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做(a+6)"的二項(xiàng)展開式.

rnrr

式中的做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用4+1表示，即通項(xiàng)為展開式的第r+1項(xiàng)：Tr+i=Cna-b,

其中的系數(shù)&(f0,1,2,…，")叫做二項(xiàng)式系數(shù)，

(2)二項(xiàng)式3+份”的展開式的特點(diǎn)：

①項(xiàng)數(shù)：共有〃+1項(xiàng)，比二項(xiàng)式的次數(shù)大1;

②二項(xiàng)式系數(shù)：第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C；,最大二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)居中；

③次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的幕指數(shù)〃.字母。降幕排列，次數(shù)由〃到0;字母b升幕排列，次

數(shù)從0到“，每一項(xiàng)中，a,b次數(shù)和均為“；

④項(xiàng)的系數(shù)：二項(xiàng)式系數(shù)依次是c,〉Q,c3…，q,…，q,項(xiàng)的系數(shù)是。與。的系數(shù)(包括二項(xiàng)式系

數(shù)).

(3)兩個(gè)常用的二項(xiàng)展開式：

nnrrn

①(a一b)=C[a-cy-'b+.??+(-l)-Cna"-'b+.■?+(-1)"-C；b(n&N*)

②(1+x)"=1+。%+亡犬+…+C；x'+…+無(wú)"

(4)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式

rr

二項(xiàng)展開式的通項(xiàng):Tr+l=Cy-b(r=0,1,2,3,

公式特點(diǎn)：①它表示二項(xiàng)展開式的第廠+1項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是C；；

②字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；

③。與方的次數(shù)之和為

注意：①二項(xiàng)式3+b"的二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)和g+a)"的二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)6；6"一2

是有區(qū)別的，應(yīng)用二項(xiàng)式定理時(shí)，其中的。和b是不能隨便交換位置的.

②通項(xiàng)是針對(duì)在(?+b)n這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如5-by的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是&]=(-iyc：a"-E

(只需把-b看成b代入二項(xiàng)式定理).

【診斷自測(cè)】已知在(x+a)5的二項(xiàng)展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和為-32,則展開式中，含丁項(xiàng)的系數(shù)為.

知識(shí)點(diǎn)2：二項(xiàng)式展開式中的最值問題

(1)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

①每一行兩端都是1,即d=c;;；其余每個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和，即(ZI=C；T+C；

②對(duì)稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即c；=c"-m.

③二項(xiàng)式系數(shù)和令a=b=i,則二項(xiàng)式系數(shù)的和為c：+C,+c；+…+q+…+c;=2",變形式

c；+c；+…+q+…+c;=2"-i.

④奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和在二項(xiàng)式定理中，令。=1,6=-1,

則《-C+C；-c；+…+（-i）"q=（1-1）"=0,

從而得到：e+Cj+C0..+Cj+-=C；+C"..+Cj-..=g.2"=2"T.

⑤最大值:

如果二項(xiàng)式的塞指數(shù)力是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C：最大；

2

n—1n+1

如果二項(xiàng)式的嘉指數(shù)"是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)％,%1M的二項(xiàng)式系數(shù)c7，相等且最大.

F~T

(2)系數(shù)的最大項(xiàng)

求S+反)"展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法.設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為A，A，…，AM，設(shè)

第廠+1項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有,從而解出r來(lái).

A+i-4+2

【診斷自測(cè)】設(shè)機(jī)為整數(shù)，(x+y)2"展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a,(x+y)2mM展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的

最大值為b,若11“=66,則加=___.

知識(shí)點(diǎn)3：二項(xiàng)式展開式中系數(shù)和有關(guān)問題

常用賦值舉例:

22

(1)設(shè)(a+。)”=C^a"+C'na"-'b+C^a'-b+.?-++■?.+C',；b",

二項(xiàng)式定理是一個(gè)恒等式，即對(duì)。，。的一切值都成立，我們可以根據(jù)具體問題的需要靈活選取a,b

的值.

①令a=6=l,可得：2"=C：+C：+…+C：

②令a=l,6=l,可得：0=烯Y+c：Y…+(-i)"G，即:

c：+c2..+c;=c；+c：+-..+c：T(假設(shè)〃為偶數(shù))，再結(jié)合①可得:

c：+c；+…+c：=c；+c：+…+c『=<T.

n2

(2)若/(x)=4+4Tx"T+an_2x~+…+qx+瑪，貝U

①常數(shù)項(xiàng)：令x=0,得％=/(0).

②各項(xiàng)系數(shù)和：令x=l,得/⑴=%+q+a2H---1-an^+an.

③奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和

⑴當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為4+/+4+…="D+-T)

偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為q+%+%+…=/⑴］(一)

(可簡(jiǎn)記為：”為偶數(shù)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和用“中點(diǎn)公式”，奇偶交錯(cuò)搭配)

(n)當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為4+%+4+-=/⑴\'(T)；

偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為/+4+%+…=/⑴1/(T).

(可簡(jiǎn)記為：〃為奇數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和用“中點(diǎn)公式”，奇偶交錯(cuò)搭配)

n

若/(x)=%+4??+為/+…++anx,同理可得.

注意：常見的賦值為令x=0,》=1或x=-l,然后通過(guò)加減運(yùn)算即可得到相應(yīng)的結(jié)果.

H6

【診斷自測(cè)】設(shè)(―2x+l)6=%+°］尤+出工2+4尤3---Ha6x,則聞+同+同T---l-|a6|=_

題型洞察

題型一：求二項(xiàng)展開式中的參數(shù)

【典例1-1］在［ax-亍J展開式中/的系數(shù)為-270,則。的值為.

【典例1-2】已知二項(xiàng)式［依-的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-20,則仍一

【方法技巧】

在形如（以"'+泳"）N的展開式中求/的系數(shù)，關(guān)鍵是利用通項(xiàng)求r,則r=1.

m—n

【變式1-1］（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）在1+三|（加＞0）的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為90,則機(jī)=.

【變式1-2］在的展開式中，d的系數(shù)為12,則。的值為—.

【變式1-3］（2024?高三?上海?開學(xué)考試）已知二項(xiàng)式，3+：］的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，正整數(shù)〃的最小值

為一

【變式1-4］（2024?高三?山西呂梁?開學(xué)考試）已知［/一幺］展開式中X的系數(shù)為80,則左=.

題型二：求二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)

【典例2-1】（2024?高三?浙江?開學(xué)考試）12+J的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為一

【典例2-2】（2024?高三?江蘇?開學(xué)考試）［?一上：展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

【方法技巧】

寫出通項(xiàng)，令指數(shù)為零，確定廠，代入.

【變式2-1］（2/+1）卜」］的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為—.（請(qǐng)用數(shù)字作答）

【變式2-2】二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為—.

【變式2-3］［?+最］的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.（結(jié)果用數(shù)值表示）

【變式2-4］（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）的展開式中第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為6,則其展開式中的常數(shù)

項(xiàng)為?

題型三：求二項(xiàng)展開式中的有理項(xiàng)

【典例3-1】（2024?全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）吹+二的展開式中，有理項(xiàng)是第一項(xiàng).

【典例3-2】（2024.山東煙臺(tái).三模）已知的展開式中共有7項(xiàng)，則有理項(xiàng)共—項(xiàng).（用數(shù)字表示）

【方法技巧】

先寫出通項(xiàng)，再根據(jù)數(shù)的整除性確定有理項(xiàng).

【變式3-1】已知的展開式中，僅有第5項(xiàng)的一項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)

為.

【變式3-2］（2024?高三.上海?單元測(cè)試）二項(xiàng)式（啰+x嚴(yán)的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為

【變式3-3］（2024?高三.吉林通化?期中）在的展開式中，有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)為

【變式3-4】在1+迅力2°的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有一項(xiàng).

的展開式中第4項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，寫出展開式中的一個(gè)有理

題型四：求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)系數(shù)

【典例4-1】二項(xiàng)式色苫-二舊展開后的第三項(xiàng)是

X

【典例4-2】（2024?浙江紹興?二模）P■-206的展開式的第四項(xiàng)為

【方法技巧】

寫出通項(xiàng)，確定r,代入.

【變式4-1］（2024?陜西渭南.二模）（工-2x）6展開式中的f項(xiàng)是.

X

【變式4-2］（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）x-展開式中/項(xiàng)的系數(shù)為

Ix}

【變式4-3】二項(xiàng)式（二一2丫的展開式的中間項(xiàng)為

【變式4-4］（2024.高三.上海浦東新?期中）（2x+l）°的展開式的第8項(xiàng)的系數(shù)為（結(jié)果用數(shù)值表示）.

題型五：求三項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng)

【典例5-1】（2024?高三.江蘇南京?開學(xué)考試）任-尤+yf的的展開式中/丫3的系數(shù)為（）

A.30B.-30C.20D.-20

【典例5-2】（2024?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè)）的展開式中，千的系數(shù)為（）

A.60B.-60C.120D.-120

【方法技巧】

三項(xiàng)式(〃+匕+c)n(nGN)的展開式：

(〃+Z?+c)=[(〃+/?)+c]=3+C*；(〃+Z?)0，+…=...+一"Z?"+..+??.

=???+qC"-w+?.?

若令n-r-q=p,便得到三項(xiàng)式(。+匕+c)〃(nGN)展開式通項(xiàng)公式：

pq

C[C^_rabc\pfq,reN,p+q+r=n)f

n[(wr)!

其中eq,=-=一7^叫三項(xiàng)式系數(shù).

r\(n-r)\q\(n-r-q)\p\q\r\

【變式5-1］（2024.高三.貴州貴陽(yáng)?開學(xué)考試）（/+x+y）5的展開式中-y3的系數(shù)是（）

A.5B.10C.20D.60

【變式5-2］（2024?新疆喀什?三模）（一+尤+1丫展開式中，/的系數(shù)為（）

A.20B.30C.25D.40

【變式5-3］（2024?云南昆明?模擬預(yù)測(cè)）（V+2x-y『的展開式中，/丫2項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.10B.-30C.60D.-60

【變式5-4］（2024.河北滄州?二模）在（x-2y+3z）6的展開式中，孫?z3項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.6480B.2160C.60D.-2160

題型六：求幾個(gè)二（多）項(xiàng)式的和（積）的展開式中條件項(xiàng)系數(shù)

【典例6-1］（2024?高三?全國(guó)?課后作業(yè)）［1+9］。-2丫）8的展開式中丁丫5的系數(shù)為（）

A.3584B.-3584C.7168D.-7168

2

【典例6-2】（2024.北京大興.三模）在（3尤+以b-j的展開式中，尤的系數(shù)為（）

A.9B.15C.-18D.-45

【方法技巧】

分配系數(shù)法

【變式6-1］（2024.西藏.模擬預(yù)測(cè)）在（土芝）Q+y）6的展開式中，的系數(shù)為（）

A.TB.4C.-8D.8

【變式6-2】已知展開式中的系數(shù)為28,則該展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為（）

A.2-8B.2-7C.0D.28

【變式6-3］（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）（2沖+1）口-1的展開式中，的系數(shù)為（）

A.-27B.-3C.3D.27

【變式6-4］（2024.福建福州.模擬預(yù)測(cè)）。一力5。+2力4的展開式中/的系數(shù)為（）

A.-14B.-6C.34D.74

題型七：求二項(xiàng)式系數(shù)最值

【典例7-1】（2024?貴州?模擬預(yù)測(cè)）的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)是—.（用數(shù)字作答）

【典例7-2】已知（l+2x『的二項(xiàng)展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為a,系數(shù)最大的項(xiàng)為6,則?=

【方法技巧】

利用二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)中的最大值求解即可.

【變式7-1［（l-x）8的展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的最大值是—（用數(shù)字作答）.

【變式7-2】已知（l+2x）"的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)只有第8項(xiàng)，貝—.

【變式7-3】已知（^+弓）”的展開式中，第四項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第四項(xiàng)的系數(shù)之比為;，則展開式中二項(xiàng)式

系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為一.

【變式7-4］（2024.高三.江蘇蘇州?開學(xué)考試）設(shè)，，為正整數(shù)，（“+6）2"展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為"

向+獷計(jì)1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為%若9x=5y,則〃=_.

題型八：求項(xiàng)的系數(shù)最值

【典例8-1】已知（1-尤）”的展開式中，僅有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)的最小值為（）

A.-126B.-84C.-56D.-35

【典例8-2］已知，+的展開式中僅第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第（

項(xiàng)

A.2B.3C.4D.5

【方法技巧】

有兩種類型問題，一是找是否與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)，如有關(guān)系，則轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式系數(shù)最值問題；如無(wú)關(guān)

系，則轉(zhuǎn)化為解不等式組：注意：系數(shù)比較大小.

【變式8-1］（2024?安徽?二模）已知1-的展開式二項(xiàng)式系數(shù)和為256,則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為

()

A.第5項(xiàng)B.第6項(xiàng)C.第7項(xiàng)D.第8項(xiàng)

【變式8-2】已知“為滿足S=〃+C：0G+C：0G+C：0G+…+C；罌（“23）能被9整除的正整數(shù)〃的最小值，則

的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為（）

A.第6項(xiàng)B.第7項(xiàng)C.第11項(xiàng)D.第6項(xiàng)和第7項(xiàng)

【變式8-3］（x+l）24的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是（）

A.第11項(xiàng)B.第12項(xiàng)C.第13項(xiàng)D.第14項(xiàng)

【變式8-4］（2024.四川雅安.一模）（1-4。的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)是（）

A.第4項(xiàng)B.第5項(xiàng)C.第6項(xiàng)D.第7項(xiàng)

題型九：求二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)和、各項(xiàng)系數(shù)和

2024

【典例9-1】(2024?四川樂山?二模)設(shè)(1+2024)(21—1產(chǎn)23=%+%%+-----1_a2024x,則

4々2.a3,,02024_(\

萬(wàn)溟F.+尹一()

A.1B.-1C.2024D.-2024

34567s

【典例9?2】已知(2%+3)8=%+axx++a3x+a4x+a5x+a6x+a7x+asx,貝|

3%4a45a5647%84,、

qH-------1--------1--------1--------1----T---1----丁—()

2222324252627

A.215B.216C.217D.218

【方法技巧】

二項(xiàng)展開式二項(xiàng)式系數(shù)和：2"；奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和相等：2"T.

系數(shù)和：賦值法，二項(xiàng)展開式的系數(shù)表示式：(蹂+份"=瑪+4%+。27+…+%尤"(旬，4,...,凡是系

n

數(shù))，令x=l得系數(shù)和：a0+a}+...+an=(a+b).

【變式9-1］若(l-2x)2°24=%+Q］%+々2%2H------F。2024%2024,貝U|〃()|+|%|+|出|,|。20241=()

A.4048B.22024C.1D.32024

【變式/2］(2024.陜西.模擬預(yù)測(cè))若(2x+l)"=%+空+4工2+…+4工〃的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)和為243,

貝伊+為+~+&=()

2222"

A.32B.31C.16D.15

【變式9-3］已知/(%)=(2-％)8=a0+/1+?2%2+—+%^,則下列描述正確的是()

A.%+4+---F〃8=1

B.八-1)除以5所得的余數(shù)是1

C.聞+］%卜---⑷=3*

c38-1

D.%+%+“6+〃8=——

【變式9-4］已知(3—2%)=/+/(%—1)+/(1—1)+…+%(%—1),貝U%+2〃2+3%卜7aQ=()

A.-14B.14C.-7D.7

n71-H-2

【變式9-51(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知［x—gj=an^x-l)+an_x(x-1)'+an_2(x-1)+???+^(x-1)+?0,

若小=高，且WX=W3，則機(jī)的值為()

32z=i

A.詈B.—C.-D.—

164080160

【變式9-6］(2024.福建福州.模擬預(yù)測(cè))設(shè)生(，=0,1,2,…,2020)是常數(shù)，對(duì)于VxeR,都有

兀2020_a。+/(%—1)+a2(x—1)(*—2)+???+々2020(%—1)(“-2)?..(%―2020),貝|

—%+4—。2+2!々3—3!々4+4!。5—I-2018!^2019—2019!々2020=()

A.2019B.2020C.2019!D.2020!

【變式9-7］若(2%—3)2=%+/(%一2)+々2。一2)2-1------2)"+012a-212,則()

A.%=-iB.%—4+/一〃3+,,,+4。-41+q2=—1

C.q+a?+,?,+a］？=3口+1D.？+介-+卷+舞2”

題型十：求奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和

236

【典例10-1］設(shè)(-2x+l)6=%+axx+a2x+a3xH---Fa6x,貝|佝+%+%+4=___.

55432

【典例10-2】(2024?高三?河北保定?開學(xué)考試)(x-2)=a5x+a4x+a3x+a2x+axx+a0,則

%+%+q=.

【方法技巧】

(av+Z?)"=%+q1+&廠+…+，令x=1得系數(shù)和：4+q+…+〃〃=(。+/?)"①；

n

令”=—1得奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和減去偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和：%-4+a2—av..an=(a—b)=(4+%+.?.)—(%+/+.?.)

②，聯(lián)立①②可求得奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和.

【變式】(2024.廣東.一模)若(x+2)5=(7x5+ax4+ax3+ax2+tz%+a,則

10-1543210；：：：：=.

5

［變式10-2］已知多項(xiàng)式(％+2)(兀_〃)4=q(x+l)+%(x+l)2---1-<25(%+1),貝1」〃1+〃3+。5=.

【變式10?3】(2024?浙江?模擬預(yù)測(cè))當(dāng)(12_1_2)6=%2產(chǎn)+%］婢+%o”+…+%元+〃0，貝IJ

〃］2+%0+出+。6+〃4+〃2=.

【變式10-4］(2024?湖南邵陽(yáng)?一模)已知(1+X)8=%+々1%+/%2+…+々8%=貝|2%+。2+。4+16+。8=.

題型十一：整數(shù)和余數(shù)問題

【典例11-1](2024.湖北.模擬預(yù)測(cè))2284被9除的余數(shù)為()

A.1B.4C.5D.8

【典例11-2](2024?甘肅張掖?三模)已知今天是星期四，則67-1天后是()

A.星期一B.星期二C.星期三D.星期五

【變式11-1】中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深的研究，設(shè)〃(祖>0)均為整

數(shù)，若。和。被”除得的余數(shù)相同，則稱"和。對(duì)模帆同余，記為。三b(mod”?)，如9和21被6除得的余數(shù)

都是3,則記9三21(mod6).若a三伏modlO),且。=。+《廣2+<4"+...+，-22。，則b的值可以是(

A.2010B.2021C.2019D.1997

【變式11-2]若4x6"+5〃-a(weN)能被25整除，則正整數(shù)。的最小值為()

A.2B.3C.4D.5

【變式口-3】(2024?山西晉中?模擬預(yù)測(cè))中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深的研

究.設(shè)a,瓦加（“2>0）均為整數(shù)，若a和b被切除得的余數(shù)相同，則稱。和b對(duì)模機(jī)同余，記為。三6（modm）,

20

如8和23被5除得的余數(shù)都是3,則記8三23（mod5）.若。三b（modlO）,且。=C?o+C；。?2+1?2?+???+喘2,

則。的值可以是（）

A.4021B.4022C.4023D.4024

【變式11-4］（2024.黑龍江哈爾濱.模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深

的研究，對(duì)于兩個(gè)整數(shù)。力，若它們除以正整數(shù)機(jī)所得的余數(shù)相同，則稱“和b對(duì)模帆同余，記為

2

a三a=C［7x6+C［7x6H----FC；；x6",a三b（mod8）,貝!的值可以是（）

A.2021B.2022C.2023D.2024

題型十二：近似計(jì)算問題

【典例12-11（2024.安徽合肥?三模）某銀行大額存款的年利率為3%,小張于2024年初存入大額存款10萬(wàn)

元，按照復(fù)利計(jì)算8年后他能得到的本利和約為（）（單位：萬(wàn)元，結(jié)果保留一位小數(shù)）

A.12.6B.12.7C.12.8D.12.9

【典例12-2］（2024?湖南.二模）某銀行在2024年初給出的大額存款的年利率為3%,某人存入大額存款旬

元，按照復(fù)利計(jì)算10年后得到的本利和為4。，下列各數(shù)中與組最接近的是（）

旬

A.1.31B.1.32C.1.33D.1.34

【變式12-1］（2024.北京西城.二模）某放射性物質(zhì)的質(zhì)量每年比前一年衰減5%,其初始質(zhì)量為加°,10年

后的質(zhì)量為機(jī)'，則下列各數(shù)中與.最接近的是（）

A.70%B.65%

C.60%D.55%

【變式12-2］（2024.江西南昌.一模）二項(xiàng)式定理，又稱牛頓二項(xiàng)式定理，由艾薩克?牛頓提出.二項(xiàng)式定理

可以推廣到任意實(shí)數(shù)次幕，即廣義二項(xiàng)式定理：

對(duì)于任意實(shí)數(shù)。，（1+力。=1+￡才+研-1）.4+...+0（"1）”"4+1）.尤*+...

當(dāng)W比較小的時(shí)候，取廣義二項(xiàng)式定理展開式的前兩項(xiàng)可得：（1+X）a?1+?.%,并且忖的值越小，所得結(jié)

果就越接近真實(shí)數(shù)據(jù).用這個(gè)方法計(jì)算后的近似值，可以這樣操作：

用這樣的方法，估計(jì)啰的近似值約為（）

A.2.922B.2.926C.2.928D.2.930

【變式12-3】二項(xiàng)式定理，又稱牛頓二項(xiàng)式定理，由艾薩克?牛頓提出.二項(xiàng)式定理可以推廣到任意實(shí)數(shù)次

累，即廣義二項(xiàng)式定理：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,（1+幻"=］+'比+&（：!-1）..++&（々_1）!；-1+1）.,+???,當(dāng)

W比較小的時(shí)候，取廣義二項(xiàng)式定理展開式的前兩項(xiàng)可得：（l+x）“Bl+a-x,并且討的值越小，所得結(jié)果

就越接近真實(shí)數(shù)據(jù).用這個(gè)方法計(jì)算新的近似值，可以這樣操作：

6="71=j=2U=2x1l+：xj=2.25用這樣的方法，估計(jì)何的近似值約為—.（精確

到小數(shù)點(diǎn)后兩位數(shù)）

【變式12-4】用二項(xiàng)式定理估算1.0?°=—.（精確到0.001）

【變式12.5]Ci0.998+C10.9982+C1O.9983+CJ0.9984+C^0.9985?___（精確到0.01）

題型十三：證明組合恒等式

f（-1）

【典例13-1］求證:￡（女+1）2

1

【典例13-2】求證：177cy=（l*：T.

在1+1yn+\）x

【變式13-1］求證：（C黑Jj+（以j_（C>J+…+.1）2叫（巴爐=0?

【變式13-2］（2024?山東濟(jì)南?三模）高斯二項(xiàng)式定理廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)物理交叉領(lǐng)域.設(shè)M4€氏〃€?4*,記

［力］=l+q+…+4"，〃］!=12卜［“一1卜…x［l］,并規(guī)定［0］!=1.記尸（無(wú),〃）=（x+y）；

=（x+y）（x+qy）…（x+qiy）,并規(guī)定尸（尤,0）=（x+y）：=1.定義D；F（x,n）=

F(X,H),^=O

[幾][〃一1]??-%+1](x+耳上,k=1,2,???,〃

⑴若y=q=l,求/(x,2)和&尸(x,2)；

⑵求哈4邛尸0,“；

[nJ!

(3)證明：尸(x川可中黑**.

k=0]勺！

【變式13-3】萊布尼茨（德國(guó)數(shù)學(xué)家）三角（如圖1所示）是與楊輝（南宋數(shù)學(xué)家）三角數(shù)陣（如圖2所

示）相似的一種幾何排列，但與楊輝三角不同的是，萊布尼茨三角每個(gè)三角形數(shù)組頂端的數(shù)等于底邊兩數(shù)

之和.現(xiàn)記萊布尼茨三角第1行的第2個(gè)數(shù)字為彳，第2行的第2個(gè)數(shù)字為4,…，第〃行的第2個(gè)數(shù)字為句.

1……第0行……1

ii……第1行……11

TT……第2行……121

i於+￡i……第3行……1XF+~V1

士***I……第4行……144

圖1圖2

(1)求4+a2+a3-i---i-a6的值；

1

（2）將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)C；都換成西產(chǎn)就得到了萊布尼茨三角.我們知道楊輝三角的最基本的性質(zhì)

C3=C：+C：T（reN,lWrW〃）,也是二項(xiàng)式系數(shù)和組合數(shù)性質(zhì)，請(qǐng)你類比這個(gè)性質(zhì)寫出萊布尼茨三角的性

質(zhì)，并證明你的結(jié)論.

【變式13-4】(1)求證：k-C^=n-C^(k,neN,n>k>i).

(2)利用等式上(匕”eN,”“21)可以化簡(jiǎn):

1111

l-C!I+2-Cj-2+---+H-C：-2"-=w-Ct1+H-C!,-1-2+---+n-C：Z；-2--

O1

=n-(C°..-2+Ct-1-2+-+C：Z；-2-')=/i-(l+2產(chǎn)=n-3'一；類比上述方法，化簡(jiǎn)下式:

C^3+1-Ct-32+1-C；-33+--+^--C：-3"+1.

23n+1

(3)己知等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為1,公差為d(dHO),求證：對(duì)于任意正整數(shù)"，函數(shù)

y=%C：(l—x)+/C：x(l-x)-+----Fa&C/x'T(1—無(wú))■+---Fa“+[C：x"(14)4",左eN)總是關(guān)于X的一■次函

數(shù).

題型十四：二項(xiàng)式定理與數(shù)列求和

【典例14-11IC.+4c九+9C〃+??"+"C〃-（）

A.〃5+1）2"-2B.〃2“TC.2〃TD.幾（九+1）5+2）2〃一3

【典例14-2]已知（2-?）”（"22,"eN）,展開式中％的系數(shù)為/（〃），則

2222322019必/,、

--------1----------1----------F......~\--------等于（）

/（2）/（3）/（4）/（2020）

A2019「2019-1009「1009

A.------B.------C.------D.------

1105051010505

【變式14?1】已知（1+%產(chǎn)21=%+ClyX+a2%2++???+。2021%2°21,貝°

zuzu+2alzeui[Qy+3aozeuio欠+zui/+,,,+20206/,i+202la。u=（、）/

A.2021x22021B.2021X22020

C.2020x22021D.2020X22020

【變式14-2】（2024?河南洛陽(yáng)?三模）若（1-2018x）237=+…+“2017x2°”（xeR）,貝!j

++…+生0]7的值為（）

20182018220182017任"且刀

A.20182017B.1C.0D._]

【變式14-3]若（X—1+〃2尸”=旬+%（X—1）+%（X—1）~H----F%023（X—l）’“，且

（4+°2+L+%）22）-（弓+。3+L+%023）=3-必，則實(shí)數(shù)機(jī)的值為.

【變式14-4】對(duì)于“eN*，將〃表示為〃=%x2*+a]X2i+a2><2i+Lx21+/x2°,當(dāng)i=0時(shí),

生=1.當(dāng)1MY左時(shí)，生為?；?.記/（〃）為上述表示中q為0的個(gè)數(shù)，（例如1=1x2。，

i127

4=1X22+0X21+0X2°.故/。）=。，/（4）=2）.若2氏=%+%+L+4,則22""）=—.

〃=1〃=1

【變式14-5】已知等差數(shù)列｛%J,對(duì)任意“eN+都有+…+。,=小2向成立，則數(shù)列

------》的前“項(xiàng)和q=_____.

［%+4+2J

【變式14-6］設(shè)n是正整數(shù)，化簡(jiǎn)C+2叱+40+…+2-C：=.

題型十五：楊輝三角

【典例15-1］如圖所示的“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個(gè)數(shù)都是其“肩上”的兩個(gè)數(shù)之

■+1

和，例如第4行的6為第3行中兩個(gè)3的和.記“楊輝三角”第〃行的第i個(gè)數(shù)為/，則Z2T9=

4=1

第0行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

【典例15-2］如圖是我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)》給出的一個(gè)用數(shù)排列起來(lái)的三角形陣，

請(qǐng)通過(guò)觀察圖象發(fā)現(xiàn)遞推規(guī)律，并計(jì)算從第三行到第十五行中，每行的第三位數(shù)字的總和為—.

楊輝三角

0行

A-牙1

1行

Aq-11

2行

/lr121

x3行

1331

4行

冬14641

行

身5

加15101051

6行

>f1615201561

7行

172135352171

8行

18285670562881

【變式我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在所著的《詳解九章算法》一書中用如圖所示的三角形解釋二項(xiàng)展開式

的系數(shù)規(guī)律，現(xiàn)把楊輝三角中的數(shù)從上到下，從左到右依次排列，得數(shù)列：1,1,1,1,2,1,1,3,3,

1,1,4,6,4,1,L,記作數(shù)列｛g｝,貝;若數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為％,貝”67=.

1

11

121

1331

14641

【變式15?2】在“楊輝三角”中，每一個(gè)數(shù)都是它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和，它開頭幾行如圖所示.那么，在“楊輝

三角”中，第行會(huì)出現(xiàn)三個(gè)相鄰的數(shù)，其比為2:3:4.

第0行1

第1行

第2行2

第3行331

第4行4