2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理【四大題型】原卷版

分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

見大題型】

?熱點(diǎn)題型歸納

【題型1分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用】............................................................3

【題型2分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用】............................................................3

【題型3涂色問(wèn)題】...........................................................................4

【題型4兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用】............................................................5

?考情分析

1、分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

2023年新高考I卷：第13題，

5分

⑴理解分類加法計(jì)數(shù)原從近幾年的高考情況來(lái)看，高考對(duì)

2023年新高考II卷：第3題，

理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的考查比較穩(wěn)定，多以選

5分

其意義擇題、填空題的形式出現(xiàn)，以考查兩個(gè)

2023年全國(guó)乙卷（理數(shù)）：

⑵能利用計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)原理的基本概念與步驟方法為主，

第7題，5分

簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題往往與排列組合結(jié)合考查，難度不大.

2023年全國(guó)甲卷（理數(shù)）：

第9題，5分

?知識(shí)梳理

【知識(shí)點(diǎn)1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理】

1.分類加法計(jì)數(shù)原理

（1）分類加法計(jì)數(shù)原理的概念

完成一件事直兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法,

那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.

概念推廣：完成一件事有〃類不同方案，在第1類方案中有人種不同的方法，在第2類方案中有叱種

不同的方法，…，在第〃類方案中有"4種不同的方法，那么完成這件事共有N=〃％+%+…+加”種不同

的方法.

(2)分類的原則

分類計(jì)數(shù)時(shí)，首先要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，確定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，然后利用這個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，

分類時(shí)要注意兩個(gè)基本原則：一是完成這件事的任何一種方法必須屬于相應(yīng)的類；二是不同類的任意兩種

方法必須是不同的方法，只要滿足這兩個(gè)基本原則，就可以確保計(jì)數(shù)時(shí)不重不漏.

2.分步乘法計(jì)數(shù)原理

(1)分步乘法計(jì)數(shù)原理的概念

完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有加種不同的方法，做第2步有“種不同的方法，那么完成這件

事共有N=m^n種不同的方法.

概念推廣：完成一件事需要〃個(gè)步驟，做第1步有預(yù)種不同的方法，做第2步有g(shù)種不同的方法，

***,

做第"步有加.種不同的方法，那么完成這件事共有加=殉又%乂…X加“種不同的方法.

(2)分步的原則

①明確題目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎樣才能完成這件事，也就是說(shuō)，弄清要經(jīng)過(guò)哪幾步才

能完成這件事；

②完成這件事需要分成若干個(gè)步驟，只有每個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事，缺少任何一步，這件

事就不可能完成；不能缺少步驟.

③根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這〃個(gè)步驟逐步去做，才能完成這件事，各

個(gè)步驟既不能重復(fù)也不能遺漏.

3.分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的辨析

(1)聯(lián)系

分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理解決的都是有關(guān)完成一件事的不同方法的種數(shù)問(wèn)題.

(2)區(qū)別

分類加法計(jì)數(shù)原理每次得到的都是最后結(jié)果，而分步乘法計(jì)數(shù)原理每步得到的都是中間結(jié)果，具體區(qū)

別如下表：

區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理

①針對(duì)的是“分類”問(wèn)題針對(duì)的是“分步”問(wèn)題

②各種方法相互獨(dú)立各個(gè)步驟中的方法互相依存

用其中任何一種方法都可以完成這件

③只有各個(gè)步驟都完成才算完成這件事

事

(3)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的合理選擇

分類-將問(wèn)題分為互相排斥的幾類，逐類解決一分類加法計(jì)數(shù)原理;

分步一將問(wèn)題分為幾個(gè)相互關(guān)聯(lián)的步驟，逐步解決一分步乘法計(jì)數(shù)原理.

在解決有關(guān)計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意合理分類，準(zhǔn)確分步，同時(shí)還要注意列舉法、模型法、間接法和轉(zhuǎn)換

法的應(yīng)用.

【知識(shí)點(diǎn)2分類、分步計(jì)數(shù)原理的解題策略】

1.分類加法計(jì)數(shù)原理的解題策略

分類標(biāo)準(zhǔn)是運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)所在，應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素和關(guān)鍵位置.

(1)根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)；

(2)分類時(shí)應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法才

是不同的方法，不能重復(fù)；

(3)分類時(shí)除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏.

2.分步乘法計(jì)數(shù)原理的解題策略

(1)利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題要按事件發(fā)生的過(guò)程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步

必須滿足：完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的，只有各個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事.

(2)分步必須滿足兩個(gè)條件：一是步驟互相獨(dú)立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成.

【方法技巧與總結(jié)】

分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理是解決排列組合問(wèn)題的基礎(chǔ)，并貫穿其始終.

(1)分類加法計(jì)數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類.

(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理中，各個(gè)步驟中的方法相互依存，步與步之間”相互獨(dú)立，分步完成”.

?舉一反三

【題型1分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用】

【例1】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))從1至7這7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取出3個(gè)不同的數(shù)，則它們的積與和都是3的

倍數(shù)的不同取法有()

A.9種B.12種C.20種D.30種

【變式1-1](2024?浙江溫州?模擬預(yù)測(cè))平面上的兩個(gè)點(diǎn)4(%1，%),B(Q,yi),其中橫縱坐標(biāo)均為自然

數(shù)，且不大于5,則兩點(diǎn)之間的距離可以有多少種取值()

A.19B.20C.25D.27

【變式1-2](2024?安徽?模擬預(yù)測(cè))甲、乙等6名高三同學(xué)計(jì)劃今年暑假在4B,C,D四個(gè)景點(diǎn)中選擇一個(gè)打

卡游玩，若每個(gè)景點(diǎn)至少有一個(gè)同學(xué)去打卡游玩，每位同學(xué)都會(huì)選擇一個(gè)景點(diǎn)打卡游玩，且甲、乙都單獨(dú)1

人去某一個(gè)景點(diǎn)打卡游玩，則不同游玩方法有()

A.96種B.132種C.168種D.204種

【變式1-3】（2024?貴州黔東南?二模）在n個(gè)數(shù)碼1,2,…/（＞W(wǎng)9,neN*）的全排列42“九中，若一個(gè)較大的

數(shù)碼排在一個(gè)較小的數(shù)碼的前面，則稱它們構(gòu)成一個(gè)逆序，這個(gè)排列的所有逆序個(gè)數(shù)的總和稱為這個(gè)排列

的逆序數(shù)，記為70"2…%）?例如，在3個(gè)數(shù)碼的排列312中，3與1,3與2都構(gòu)成逆序，因此7（312）=2.

那么7（87542136）=（）

A.19B.20C.21D.22

【題型2分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用】

【例2】（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）五一小長(zhǎng)假前夕，甲、乙、丙三人從4B,C,。四個(gè)旅游景點(diǎn)中任

選一個(gè)前去游玩，其中甲到過(guò)4景點(diǎn)，所以甲不選4景點(diǎn)，則不同的選法有（）

A.64種B.48種C.36種D.24種

【變式2-1］（2024?河南鄭州?模擬預(yù)測(cè)）已知％eZ,yEZ,則滿足方程孫+2024（久一y）=8092的解（x,y）

的個(gè)數(shù)為（）

A.27B.54C.108D.216

【變式2-2］（2024?湖南岳陽(yáng)?三模）把5個(gè)人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人,

甲乙安排在不相鄰的兩天，乙丙安排在相鄰的兩天，則不同的安排方法數(shù)是（）

A.96種B.60種C.48種D.36種

【變式2-3］（2024?海南?模擬預(yù)測(cè)）將“1,2,2,3,4,5”這6個(gè)數(shù)字填入如圖所示的表格區(qū)域中，每個(gè)

區(qū)域填一個(gè)數(shù)字，1不在4區(qū)域且三列中只有中間一列區(qū)域的數(shù)字之和為7,若中間一列填2和5,則不同的

A.20種B.24種C.36種D.48種

【題型3涂色問(wèn)題】

【例3】（2024?四川資陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）某社區(qū)計(jì)劃在該小區(qū)內(nèi)如圖所示的一塊空地布置花卉，要求相鄰區(qū)域

布置的花卉種類不同，且每個(gè)區(qū)域只布置一種花卉，若有5種不同的花卉可供選擇，則不同的布置方案有

A.360種B.420種C.480種D.540種

【變式3-1]（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）為迎接元宵節(jié)，某廣場(chǎng)將一個(gè)圓形區(qū)域分成4BC2E五個(gè)部分（如圖

所示），現(xiàn)用4種顏色的鮮花進(jìn)行裝扮（4種顏色均用到），每部分用一種顏色，相鄰部分用不同顏色，則

【變式3-2]（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，A,B,C,。為四個(gè)不同的區(qū)域，現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、黑4種顏

色，對(duì)這四個(gè)區(qū)域進(jìn)行涂色，要求相鄰區(qū)域涂不同的顏色（/與。不相鄰，2與。不相鄰），則使用2種

【變式3-3]（2024?廣西南寧?模擬預(yù)測(cè)）五行是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想.多用于哲學(xué)、中醫(yī)學(xué)和占卜方面

五行學(xué)說(shuō)是華夏文明重要組成部分.古代先民認(rèn)為，天下萬(wàn)物皆由五類元素組成，分別是金、木、水、火、

土，彼此之間存在相生相克的關(guān)系.五行是指木、火、土、金、水五種物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)變化.所以，在中國(guó)，“五

行”有悠久的歷史淵源.下圖是五行圖，現(xiàn)有4種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏

色（例如木生火，木與火不能同色，水生木，水與木不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如火與

水相克可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數(shù)有（）

A.30B.120C.150D.240

【題型4兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用】

【例4】（23-24高二上?江西九江?期末）從1,2,3,4,5,6,7,9中，任取兩個(gè)不同的數(shù)作對(duì)數(shù)的底數(shù)

和真數(shù)，則所有不同的對(duì)數(shù)的值有（）

A.30個(gè)B.42個(gè)C.41個(gè)D.39個(gè)

【變式4-1］（2024?河北?模擬預(yù)測(cè)）用0,123,4能組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且比32000小的數(shù)字（）個(gè).

A.212B.213C.224D.225

【變式4-2］（24-25高三上?江蘇南京?開學(xué)考試）甲、乙、丙、丁共4名同學(xué)參加某知識(shí)競(jìng)賽，已決出了第

1名到第4名（沒(méi)有并列名次），甲、乙、丙三人向老師詢問(wèn)成績(jī)，老師對(duì)甲和乙說(shuō)：“你倆名次相鄰”，對(duì)

丙說(shuō)：“很遺憾，你沒(méi)有得到第1名”，從這個(gè)回答分析，4人的名次排列情況種數(shù)為（）

A.4B.6C.8D.12

【變式4-3］（2024高二?全國(guó)?專題練習(xí)）從正十五邊形的頂點(diǎn)中選出3個(gè)構(gòu)成鈍角三角形，則不同的選法

有（）.

A.105種B.225種C.315種D.420種

?過(guò)關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.（2024?陜西商洛?三模）甲、乙、丙、丁、戊5名大學(xué)生實(shí)習(xí)時(shí)，有4B,C三家企業(yè)可供選擇，若去

C企業(yè)最多一人，則不同分配種數(shù)是（）

A.112B.80C.64D.32

2.（2024?陜西西安?三模）方程盯=2160的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)為（）

A.40B.28C.22D.12

3.（2024?山東淄博?一模）小明設(shè)置六位數(shù)字的手機(jī)密碼時(shí)，計(jì)劃將自然常數(shù)e=2.71828…的前6位數(shù)字

2,7,1,8,2,8進(jìn)行某種排列得到密碼.若排列時(shí)要求相同數(shù)字不相鄰，且相同數(shù)字之間有一個(gè)數(shù)字，則

小明可以設(shè)置的不同密碼種數(shù)為（）

A.24B.16C.12D.10

4.（2024?山東泰安?模擬預(yù)測(cè)）某市人民醫(yī)院急診科有3名男醫(yī)生和4名女醫(yī)生，內(nèi)科有4名男醫(yī)生和4名女

醫(yī)生，現(xiàn)從該醫(yī)院急診科和內(nèi)科各選派1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生組成4人組，參加省人民醫(yī)院組織的交流會(huì),

則所有不同的選派方案有（）

A.192種B.180種C.29種D.15種

5.(2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè))《第二十條》、《熱辣滾燙》、《飛馳人生2》三部賀歲片引爆了2024年

春節(jié)電影市場(chǎng).某電影院同時(shí)段播放這三部電影，小李和小明每人只能選擇看其中的一場(chǎng)電影，則兩位同

學(xué)選擇的電影不相同的概率為()

A.-B.-C.~D.—

oZ53

6.(2024?重慶沙坪壩?模擬預(yù)測(cè))用a代表紅球，b代表藍(lán)球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，從1

個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球中取出若干個(gè)球的所有取法可由(1+a)-(1+b)的展開式1+a+b+ab表示出來(lái),

如：“1”表示一個(gè)球都不取、“a”表示取出一個(gè)紅球，而“ab”表示把紅球和藍(lán)球都取出來(lái)，以此

類推，下列各式中，其展開式可用來(lái)表示從3個(gè)無(wú)區(qū)別的紅球、3個(gè)無(wú)區(qū)別的藍(lán)球、2個(gè)有區(qū)別的黑

球中取出若干個(gè)球，且所有藍(lán)球都取出或都不取出的所有取法的是()

A.(1+a+a2+a3)(l+Z)3)(l+c)2

B.(1+cz3)(l+b+b2+fa3)(l+c)2

C.(1+a)3(l+b+b2+/?3)(1+c2)

D.(1+a3)(l+fo)3(l+c+c2)

7.(23-24高二上?山東德州?階段練習(xí))中國(guó)是世界上最早發(fā)明雨傘的國(guó)家，傘是中國(guó)勞動(dòng)人民一個(gè)重要的

創(chuàng)造.如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域分別印有數(shù)字1,2,3,…，8.現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘

面的每個(gè)區(qū)域涂色，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個(gè)區(qū)域所涂顏色不能相同，對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)域(如區(qū)域1

與區(qū)域5)所涂顏色相同.若有6種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有()

A.550種B.630種

C.720種D.840種

8.(2024?四川南充?模擬預(yù)測(cè))距高考30天之際，高三某班級(jí)五位同學(xué)打算利用周末親近大自然，陶冶情

操，釋放壓力.這五位同學(xué)準(zhǔn)備星期天在凌云山景區(qū)，印象嘉陵江濕地公園，西山風(fēng)景區(qū)三個(gè)景點(diǎn)中選擇一

個(gè)去游玩，已知每個(gè)景點(diǎn)至少有一位同學(xué)會(huì)選，五位同學(xué)都會(huì)進(jìn)行選擇并且只能選擇其中一個(gè)景點(diǎn)，若學(xué)

生甲和學(xué)生乙準(zhǔn)備選同一個(gè)景點(diǎn)，則不同的選法種數(shù)為()

A.18B.36C.48D.32

二、多選題

9.（23-24高三下?全國(guó)?強(qiáng)基計(jì)劃）某城市內(nèi)有若干街道，所有街道都是正東西或南北向，某人站在某段正

中央開始走，每個(gè)點(diǎn)至多經(jīng)過(guò)一次，最終回到出發(fā)點(diǎn).已知向左轉(zhuǎn)了100次，則可能向右轉(zhuǎn)了（）次.

A.96B.98C.104D.102

10.（23-24高二下?湖北武漢?階段練習(xí)）數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著無(wú)窮無(wú)盡的美，尤以對(duì)稱美最為直觀和顯著.回文數(shù)

是對(duì)稱美的一種體現(xiàn)，它是從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如22,121,3443,94249等，顯然兩

位回文數(shù)有9個(gè)：11,22,33,99；三位回文數(shù)有90個(gè)：101,111,121,191,202,999.T

列說(shuō)法正確的是（）

A.四位回文數(shù)有45個(gè)B.四位回文數(shù)有90個(gè)

C.2n（neN*）位回文數(shù)有10"個(gè)D.2n+1（neN*）位回文數(shù)有9x1CP個(gè)

11.（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）如圖，16枚釘子釘成4x4的正方形板，現(xiàn)用橡皮筋去套釘子，則下列說(shuō)法正

確的有（不同的圖形指兩個(gè)圖形中至少有一個(gè)頂點(diǎn)不同）（）

A.可以圍成20個(gè)不同的正方形

B.可以圍成24個(gè)不同的長(zhǎng)方形（鄰邊不相等）

C.可以圍成516個(gè)不同的三角形

D.可以圍成16個(gè)不同的等邊三角形

三、填空題

12.（2024?湖南岳陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）甲、乙、丙、丁、戊5名大學(xué)生實(shí)習(xí)時(shí)，有B,C三家企業(yè)可供選擇,

若去C企業(yè)最多一人，則不同分配種數(shù)是.

13.（2024?河南濮陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）對(duì)一個(gè)四棱錐各個(gè)頂點(diǎn)著色，現(xiàn)有5種不同顏色供選擇，要求同一條棱連

接的兩個(gè)頂點(diǎn)不能著相同的顏色，則不同的著色方法有種（用數(shù)字作答）.

14.（2024?江蘇連云港?模