2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：古典概型、概率的基本性質(zhì)【八大題型】解析版

古典概型、概率的基本性質(zhì)【八大題型】

?熱點題型歸納

【題型1古典概型】...........................................................................3

【題型2有放回與無放回問題的概率】..........................................................4

【題型3概率基本性質(zhì)的應(yīng)用】.................................................................6

【題型4幾何概型】...........................................................................7

【題型5古典概型與函數(shù)的交匯問題】.........................................................10

【題型6古典概型與向量的交匯問題】.........................................................12

【題型7古典概型與數(shù)列的交匯問題】.........................................................14

【題型8古典概型與統(tǒng)計綜合】................................................................16

?考情分析

1、古典概型、概率的基本性質(zhì)

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

2022年新高考全國I卷：第5

題，5分

古典概型、概率的基本性質(zhì)是概率

2023年全國乙卷（文數(shù)）：

的基礎(chǔ)內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，

⑴掌握古典概型及其計第9題，5分

本節(jié)是高考的熱點內(nèi)容，主要考查古典

算公式，能計算古典概型2023年全國甲卷（文數(shù)）：

概型及其計算、概率的基本性質(zhì)等，主

中簡單隨機事件的概率第4題，5分

要以選擇題或填空題的形式考查，難度

（2）了解概率的基本性質(zhì)，2024年新高考I卷：第14題，

不大；在解答題中出現(xiàn)時，往往古典概

能計算簡單隨機事件的概5分

型會與統(tǒng)計等知識結(jié)合考查，難度中等，

率2024年全國甲卷（文數(shù)）：

復(fù)習(xí)時需要加強這方面的練習(xí)，學(xué)會靈

第4題，5分

活求解.

2024年全國甲卷（理數(shù)）：

第16題，5分

?知識梳理

【知識點1古典概型及其解題策略】

1.古典概型

(1)事件的概率

對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件/的概率用P(4)表示.

(2)古典概型的定義

我們將具有以下兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.

①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；

②等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.

(3)古典概型的判斷標(biāo)準(zhǔn)

一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特點：有限性和等可能性.并不是所

有的試驗都是古典概型.

下列三類試驗都不是古典概型：

①樣本點(基本事件)個數(shù)有限，但非等可能；

②樣本點(基本事件)個數(shù)無限，但等可能；

③樣本點(基本事件)個數(shù)無限，也不等可能.

2.古典概型的概率計算公式

一般地，設(shè)試驗K是古典概型，樣本空間/包含〃個樣本點，事件/包含其中的左個樣本點，則定義

事件/的概率P(⑷=幺=二螺，其中，〃(⑷和〃(。)分別表示事件/和樣本空間。包含的樣本點個數(shù).

nn(LJ)

3.求樣本空間中樣本點個數(shù)的方法

(1)枚舉法：適合于給定的樣本點個數(shù)較少且易一一列舉出的問題.

(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題，注意在確定樣本點時(x,y)可看成是有序的，如(1,2)與(2,1)不同，

有時也可看成是無序的，如(1,2)與(2,1)相同.

(3)排列組合法：再求一些較復(fù)雜的樣本點個數(shù)時，可利用排列或組合的知識進(jìn)行求解.

4.古典概型與統(tǒng)計結(jié)合

有關(guān)古典概型與統(tǒng)計結(jié)合的題型是高考考查概率的一個重要題型.概率與統(tǒng)計的結(jié)合題，無論是直接描

述還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖等給出的信息，準(zhǔn)確從題中提煉信息是解題的關(guān)鍵.復(fù)雜事件的概

率可將其轉(zhuǎn)化為互斥事件或?qū)α⑹录母怕蕟栴}.

【知識點2概率的基本性質(zhì)】

1.概率的基本性質(zhì)

性質(zhì)1對任意的事件都有P(4)>0.

性質(zhì)2必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即尸(。)=1,

P(0)=O.

性質(zhì)3如果事件/與事件3互斥，那么尸(4UB)=P(/)+P

(B).推廣：如果事件小，A2,Am.兩兩互斥，那么事件

4U4U…U4n發(fā)生的概率等于這m個事件分別發(fā)生的概率

之和，即尸(4U4U…U4)=p(4)+尸(42)+…+尸(4)

性質(zhì)4如果事件/與事件5互為對立事件，那么尸(5)=1-P(A),

P(A)=1

性質(zhì)5如果那么尸(A)<P(B).

性質(zhì)6設(shè)4,B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P(4U5)=尸

(A)+P(B)-P(406).

2.復(fù)雜事件概率的求解策略

(1)對于一個較復(fù)雜的事件，一般將其分解成幾個簡單的事件，當(dāng)這些事件彼此互斥時，原事件的概率

就是這些簡單事件的概率的和.

(2)當(dāng)求解的問題中有“至多”“至少”“最少”等關(guān)鍵詞語時，常?？紤]其對立事件，通過求其對立

事件的概率，然后轉(zhuǎn)化為所求問題.

【方法技巧與總結(jié)】

1.概率的一般加法公式尸(/118)=2(/)+尸(2)-尸(/ng)中，易忽視只有當(dāng)/riB=0,即48互斥時，

P(/U8)=尸(N)+P(3),此時08)=0.

?舉一反三

【題型1古典概型】

【例1】(2024?陜西商洛?模擬預(yù)測)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取2張，則抽到的2

張卡片上的數(shù)都是奇數(shù)的概率為()

,2一3-1一3

A-5B-5C'10D-10

【解題思路】利用列舉法結(jié)合古典概型分析求解.

【解答過程】從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取2張，

總共包含{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5}這10個基本事件，

抽到的2張卡片上的數(shù)都是奇數(shù)包含其中口,3},{1,5},{3,5}這3個基本事件，

所以抽到的2張卡片上的數(shù)都是奇數(shù)的概率為得.

故選：D.

【變式1-1](2024?內(nèi)蒙古包頭?三模)將2個。和3個6隨機排成一行，則2個〃不相鄰的概率為()

A.0.4B.0.5C.0.6D.0.7

【解題思路】求出所有的樣本點，然后由古典概型的概率公式求解即可.

【解答過程】2個。和3個6隨機排成一行的樣本空間為:

。={aabbb,ababb,abbab,abbba,baabb,babab,babba,bbaab,bbaba,bbbad],共10個樣本點,

其中2個a不相鄰的樣本點有防a,babab,6abba,b6a6a,共6個,

所以所求概率為：P=^=(=0.6.

故選：C.

【變式1-2](2024?西藏拉薩?二模)從3,4,5,6,7這5個數(shù)字中任取3個，則取出的3個數(shù)字的和為大于10

的偶數(shù)的概率是()

23-2-3

A.-3B.-4C.~□D.75

【解題思路】列舉所有的基本事件，再找到滿足和為偶數(shù)的基本事件，根據(jù)概率公式計算即可.

【解答過程】從3,4,5,6,7這5個數(shù)字中任取3個，有10種不同的結(jié)果：

(3,4,5),(3,4,6),(3,4,7),(3,5,6),(3,5,7),(3,6,7),(4,5,6),(4,5,7),(4,6,7),(5,6,7),

其中取出3個數(shù)字的和為大于10的偶數(shù)的結(jié)果有6個：(3,4,5),(3,4,7),(3,5,6),(3,6,7),(4,5,7),(5,6,7),

所以所求概率P

故選：D.

【變式1-3](2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模)袋中共有5個除顏色外完全相同的球，其中2個紅球、1個白

球、2個黑球，從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率為()

【解題思路】列出所有可能情況種數(shù)及對應(yīng)顏色為一白一黑的情況種數(shù)計算即可得.

【解答過程】設(shè)這五個球中白球為a,紅球分別為外、b2,黑球分別為q、C2，

則從袋中任取兩球，有abi、ab2>aq、ac2>歷比、/q、b1c2,b2c1^

b2c2、C1C2共十種可能，其中一白一■黑有aq、ac2共兩種可能，

所以一白一黑的概率P=2=5

故選：B.

【題型2有放回與無放回問題的概率】

【例2】(2024?全國?模擬預(yù)測)盒中裝有1,2,3,4四個標(biāo)號的小球.小明在盒中隨機抽取兩次(不放

回)，則抽中的兩次小球號碼均為偶數(shù)的概率為()

【解題思路】由古典概率公式求解.

【解答過程】由于抽取兩次是不放回的，且盒子里有2個奇數(shù)球，2個偶數(shù)球，

則抽中的兩次小球號碼均為偶數(shù)的概率為：：x1=J

430

故選：D.

【變式2-1](23-24高三上?貴州?階段練習(xí))從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機抽取2

張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)的概率為()

A.~B.-C.-D."

【解題思路】利用列舉法，根據(jù)古典概型概率公式即得.

【解答過程】從6張卡片中無放回抽取2張，共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),

(5,6),共15種結(jié)果，

其中數(shù)字之和為3的倍數(shù)的有(1,2),(1,5),(2,4),(3,6),(4,5),共5種結(jié)果，

故抽到的2張卡片上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)的概率為卷=5

故選：B.

【變式2-2](23-24高二下?四川眉山?階段練習(xí))從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張,

放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為()

A—31r—r)-

105J105

【解題思路】利用古典概型概率公式即可求得抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率.

【解答過程】記“抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)”為事件4

則事件/共包含以下10種情況：

(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),

而有放回的連續(xù)抽取2張卡片共有5x5=25(種)不同情況，

1n?

則p(a)=^=M

故選：D.

【變式2-3](23-24高三上?江蘇南京?階段練習(xí))從分別寫有1,2,3,4,5,6的六張卡片中無放回隨機抽取兩張,

則抽到的兩張卡片上的數(shù)字之積是3的倍數(shù)的概率為()

【解題思路】根據(jù)題意，用列舉法分析“從六張卡片中無放回隨機抽取2張”和“抽到的2張卡片上的數(shù)字之

積是3的倍數(shù)”的情況數(shù)目，由古典概型公式計算可得答案.

【解答過程】根據(jù)題意，從六張卡片中無放回隨機抽取2張，有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),

(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15種取法，

其中抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是3的倍數(shù)有(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,6),

(5,6),共9種情況，

則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是3的倍數(shù)的概率P=^=g；

故選：A.

【題型3概率基本性質(zhì)的應(yīng)用】

【例3】(2024?全國?模擬預(yù)測)從裝有若干個紅球和白球(除顏色外其余均相同)的黑色布袋中，隨機不

放回地摸球兩次,每次摸出一個球.若事件“兩個球都是紅球”的概率為白，“兩個球都是白球”的概率為，貝廣兩

個球顏色不同”的概率為()

A±B-C-D-

八.1515J1515

【解題思路】設(shè)“兩個球都是紅球”為事件4“兩個球都是白球”為事件8,“兩個球顏色不同”為事件C,則

A,B,C兩兩互斥，C=4U5,再根據(jù)對立事件及互斥事件概率公式，即可求解.

【解答過程】設(shè)“兩個球都是紅球”為事件/,“兩個球都是白球”為事件瓦“兩個球顏色不同”為事件C,

o1—

則p(a)=元，P(B)=E，且C=AUB.

因為4,B,C兩兩互斥，

所以P(C)=l—P?=1-P(4UB)=1一[P(4)+P(B)]==

故選：C.

1Q

【變式3-1](24-25高二上?吉林?階段練習(xí))設(shè)4B是一個隨機試驗中的兩個事件，且。(4)="(8)=赳

(4+百)=貝UP(48)=()

1121

3B-55D-10

【解題思路】先利用和事件的概率公式求出p(a瓦)，然后利用PQ4B)=p(4)—p(aa)求解即可.

【解答過程】因為PQ4)=P(B)=所以P僅)==|,

又P(4+豆)=P(A)+P(B)_p(a豆)=|+|-P^AB~)=I，所以P(aR)=I，

所以PQ48)=PQ4)-P(XB)=1-|=^.

故選：D.

【變式3-2](23-24高二下?浙江舟山?期末)設(shè)),8是一個隨機試驗中的兩個事件，且PQ4)=今P(R)=

展,P(AB+AB)=p則P(4+B)=()

A一77R_11c——3n-

c.12D.3j12u.4

【解題思路】根據(jù)對立事件的概率與互斥事件的概率及概率的加法公式計算求解即可.

【解答過程】因為PQ4)=T，P⑸=1，故PE)：9，P(B)=

因為與力歹為互斥事件，故P(%B+4百)=P(AB)+P(XF)=p

又P(ZB)+PQ4B)=P(B),P(4R)+PQ4B)=P(2),

SI1

所以有P(B)—PQ4B)+PQ4)—PQ4B)=適+5—2PQ48)=天

故P(幽=I，故P(A+8)=P⑷+P(8)—P(AB)=|+^-1=^.

故選：A.

【變式3-3](23-24高二上?重慶?階段練習(xí))已知4B,C,。四個開關(guān)控制著1,2,3,4號四盞燈，只要

打開開關(guān)4則1,4號燈就會亮，只要打開開關(guān)B則2,3號燈就會亮，只要打開開關(guān)C則3,4號燈就會亮，

只要打開開關(guān)。則2,4號燈就會亮.開始時，A,B,C,。四個開關(guān)均未打開，四盞燈也都沒亮.現(xiàn)隨意打開

A,B,C,D這四個開關(guān)中的兩個不同的開關(guān)，則其中2號燈燈亮的概率為()

【解題思路】根據(jù)古典概型以及對立事件的概率關(guān)系列式計算可得解.

【解答過程】由題意，隨意打開/,B,C,。這四個開關(guān)中的兩個不同的開關(guān)，共有aB/C,2D,BC,BD,CD種,

其中只有打開4C開關(guān)時2號燈不會亮，其余情況2號燈均會亮，

所以2號燈燈亮的概率為1—1=*

OO

故選：D.

【題型4幾何概型】

【例4】（2024?陜西榆林?模擬預(yù)測）七巧板被譽為“東方魔板”，是我國古代勞動人民的偉大發(fā)明之一，由

五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成.如圖是一個用七巧板拼成的正方形，

若向此正方形內(nèi)丟一粒小種子，則種子落入黑色平行四邊形區(qū)域的概率為（）

353

B.C.D.

81632

【解題思路】設(shè)小正方形邊長為1,求出大正方形的邊長，以及黑色平行四邊形的底和高，再結(jié)合幾何概型

公式求解.

【解答過程】設(shè)小正方形邊長為1,可得黑色平行四邊形底為VL高為孝;

黑色等腰直角三角形的直角邊為2,斜邊為2魚，即大正方形邊長為2vL

故種子落入黑色平行四邊形區(qū)域的概率為

（2⑸8

故選：A.

【變式4-1］（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖，正六邊形0PQRS7的頂點是正六邊形4BCDEF的對角線的交點.

在正六邊形4BCDEF內(nèi)部任取一點，則該點取自正六邊形OPQRST內(nèi)的概率為（）

A立B.JD.

6日

【解題思路】先求出力B的長，再分別求出正六邊形4BCDEF和正六邊形OPQRST的面積，再根據(jù)幾何概型的

面積比即可求得結(jié)論.

【解答過程】設(shè)正六邊形。PQRST的邊長為1,在正六邊形48CDEF中，AC=CE=EA=BD=DF=FB,

則易得4?=3ST=3,所以

S六邊形尸=6X當(dāng)AB2—今3,

S六邊形OPQRST=6X苧）p2=竽,

3V3

S六邊形0PQRS71

所以所求概率為_工_

S六邊形4BC0EF~9V3~3-

故選：C.

【變式4-2]（2024?四川?模擬預(yù)測）剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點生活或配合其他

民俗活動的民間藝術(shù).其傳承的視覺形象和造型格式，蘊涵了豐富的文化歷史信息，表達(dá)了廣大民眾的社會

認(rèn)知、道德觀念等.剪紙藝術(shù)遺產(chǎn)先后人選中國國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄和人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名

錄.2024龍年新春來臨之際，許多地區(qū)設(shè)計了一幅幅精美的剪紙作品，它們都以龍為主題，展現(xiàn)了中華民族

對龍的崇拜和敬仰.這些作品不僅展示了剪紙藝術(shù)的獨特魅力，還傳遞了中華民族對美好生活的向往和對和

平的渴望.下圖是由某剪紙藝術(shù)家設(shè)計的一幅由外圍是正六邊形，內(nèi)是一個內(nèi)切圓組合而成的剪紙圖案，如

果隨機向剪紙投一點，則這點落在內(nèi)切圓內(nèi)的概率是（）

【解題思路】先求出正六邊形的面積和內(nèi)切圓的面積，由幾何概型的公式代入即可得出答案.

【解答過程】設(shè)正六邊形的邊長為2,則正六邊形的面積為哼x22X6=6V3,

而其內(nèi)切圓的半徑7=亨x2=V3,則圓的面積為11x（V3）2=3ir,

由幾何概型得「=音=華.

6V36

故選：C.

【變式4-3]（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測）如圖，圓。是正三角形48C的內(nèi)切圓，則在△48C內(nèi)任取一點,

該點取自陰影部分的概率為（）

A

【解題思路】利用等面積法求出正三角形的邊長與其內(nèi)切圓半徑的關(guān)系，再利用幾何概型求解即可.

【解答過程】設(shè)正三角形的邊長為m內(nèi)切圓的半徑為丁，

由SMBC=S^OAB+^AOAC+S^OBC，

得gxaxja—(|)=3x|ar,所以a=2V^r,

所以SZVIBC=3V3r2,

內(nèi)切圓得面積Si=nr2,

所以陰影部分得面積為3年2一口產(chǎn)，

所以該點取自陰影部分的概率為啜F=1—粵.

3V3r29

故選：D.

【題型5古典概型與函數(shù)的交匯問題】

[例5](2024?江西景德鎮(zhèn)?模擬預(yù)測)若拋擲兩枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)分別為a,b,貝卜在函數(shù)f(x)=x2+ax+b

的圖象與x軸有交點的條件下，滿足函數(shù)g(x)=為偶函數(shù)”的概率為()

A±AAA

17B19cJ19D19

【解題思路】首先列出滿足函數(shù)/(%)=/+a%+b的圖象與%軸有交點的基本事件，再找出符合函數(shù)g(%)=

濡^為偶函數(shù)的基本事件,最后根據(jù)古典概型的概率公式計算可得.

【解答過程】解：函數(shù)f(x)=X2+ax+6的圖象與x軸有交點，則4=a2-4b>0,

則滿足該條件的(a,b)有：(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),

(3,1),(3,2),(2,1),

共有19個滿足函數(shù)f(x)=x2+ax+b的圖象與x軸有交點的條件；

函數(shù)90)=言■為偶函數(shù)，只需八(乃=談一片，是奇函數(shù)，即低一吟=af—〃=—(4"—/x

)=—八(—%),所以a=b.

ax_h-x

函數(shù)g(x)=五礪為偶函數(shù):有(6,6),(5,5),(4,4)共3個.

__h—%

所以則“在函數(shù)f(x)=X2+ax+b的圖象與X軸有交點的條件下，滿足函數(shù)g(x)=正而為偶函數(shù)”的概率

P=—

19-

故選：D.

【變式5-1](23-24高二上?山東荷澤?開學(xué)考試)已知集合力={0,1,2,3},aGA,beA,則函數(shù)/■(久)=a/

+b比+1有零點的概率為()

3-1-3

A-4B.5C.§D-《

【解題思路】先得到共有16種情況，再得到符合要求的情況個數(shù)，相除得到答案.

【解答過程】/(x)=ax2+bx+1中,a力均有4種選擇，共16種情況,

當(dāng)a=0,b=0時,/(x)=ax2+bx+1無零點,

當(dāng)a=0,b=1,2,3時，/(x)=bx+1有零點,

當(dāng)a*0時，△=—4a>o時，=ax2+bx+1有零點，

若a=1,貝！Jb=2,3滿足要求，

若a=2,貝ijb=3滿足要求，

故共有6種情況，滿足要求，

所以函數(shù)/(久)=ax2+bx+1有零點的概率為2=

故選：C.

【變式5-2](23-24高一下?陜西寶雞?期中)將一枚骰子拋擲兩次，所得向上點數(shù)分別為相和小則函數(shù)

y=mx2—4nx+1在[1,+8)上是增函數(shù)的概率是()

A?:B.：C.|D.?

【解題思路】分析可知小、九6{1,2,3,456},由二次函數(shù)的單調(diào)性得出巾22九，求出所有的基本事件數(shù)，并

確定事件>2心所包含的事件數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得結(jié)果.

【解答過程】由題意可知,m、nG[1,2,3,4,5,6),

若函數(shù)y=巾/—4nx+1在[1,+8)上是增函數(shù)，則一=即m22Tl.

以(m,n)代表一個基本事件，所有的基本事件數(shù)為62=36個，

滿足m22n的基本事件有：(2,1)、(3,1)、(4,1)、(4,2)、(5,1)、(5,2)、(6,1)、(6,2)、(6,3),共9個，

Q1

由古典概型的概率公式可知，所求概率為p=(=2

故選：B.

【變式5-3](23-24高一下?廣西崇左?階段練習(xí))己知集合2=｛1,2,3,4,5,6｝,a664,則“使函數(shù)/(久)=

ln(/+a久+6)的定義域為R”的概率為()

AgB

八，36D--36CJ-36Du.-36

【解題思路】先利用對數(shù)函數(shù)的定義和二次函數(shù)的知識求得函數(shù)外)定義域為R的充分必要條件，進(jìn)而用列

舉法求得數(shù)組(。力)的總組數(shù)和滿足定義域為R的條件的組數(shù)，求得所求概率.

【解答過程】由題意知a?—46<0.

又因為ae｛1,234,5,6｝/e口,2,3,4,5,6｝,

所以數(shù)a力形成的數(shù)組(a,6)有(1,1),(1,2),(1,3),…,(6,6),共36種情況，

其中(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,2),(2,3),

(2,4),(2,5),(2,6),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)，

共17種情況滿足a?—4b<0,

所以所求概率p=[.

故選：C.

【題型6古典概型與向量的交匯問題】

【例6】(2024?安徽黃山?一模)從集合｛1,2,4｝中隨機抽取一個數(shù)a,從集合｛2,4,5｝中隨機抽取一個數(shù)6,則

向量訪=(a,b)與向量元=(2,—1)垂直的概率為()

A.1B.|C.|D.|

【解題思路】求出組成向量方=(a,b)的個數(shù)和與向量元=(2,-1)垂直的向量個數(shù)，計算所求的概率值.

【解答過程】解:從集合｛1,2,4｝中隨機抽取一個數(shù)a,從集合｛2,4,5｝中隨機抽取一個數(shù)b,

可以組成向量玩=(a,6)的個數(shù)是3x3=9(個)；

其中與向量元=(2,-1)垂直的向量是沆=(1,2)和沆=(2,4),共2個；

故所求的概率為P=宗

故選：B.

【變式6-1](23-24高一下?河北保定?階段練習(xí))已知—2,—1,1,2｝,若向量a=(1,1),

則向量五與向量石夾角為銳角的概率為()

【解題思路】根據(jù)古典概型列出向量H的所有可能，由五與右的夾角為銳角找出所有符合題意的向量，即可求

得其概率.

【解答過程】向量@與向量石夾角為銳角等價于五■b>0且3與辦不同向，

即日="I+71>0,且?71H?1;

易知五共有16個，分別是(—2,-2),(—2,—1),(—2,1),(—2,2),(—1,—2),(—1,—1),(—1,1),

(-1,2),(1,-2),(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-2),(2,-1),(2,1),(2,2),

滿足條件的方為(—1,2),(2,—1),(1,2),(2,1)共4個，

故所求的概率為去=；,

1O4

故選：B.

【變式6-2](23-24高一下?天津濱海新?階段練習(xí))從集合｛0,123｝中隨機地取一個數(shù)Q,從集合｛3,4,6｝中

隨機地取一個數(shù)仇則向量訪=(ha)與向量日=(1,一2)垂直的概率為()

A工R-C-n-

A.123-46

【解題思路】先求出基本事件的個數(shù)，然后求解滿足向量而，元的個數(shù)，結(jié)合古典概率的求解公式可求.

【解答過程】解：從集合｛0,123｝中隨機地取一個數(shù)a,｛3,4,6｝中隨機地取一個數(shù)b,共有12種取法，

當(dāng)向量拓=(b,a)與向量元=(1,—2),b=2a,故而=(4,2)或訪=(6,3)共2種取法，

則所求概率p=V5

1Zo

故選：D.

【變式6-3](23-24高二上?湖北黃石?期中)將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個面的點數(shù)分別為

1,2,3,4,5,6),先后拋擲兩次，將得到的點數(shù)分別記為加，n,記向量d=(2m—3/一1),加=(1,—1)的夾

角為仇貝嶺為鈍角的概率是()

AAB1cUD11

1833636

【解題思路】先根據(jù)已知求出滿足條件的nui滿足的關(guān)系式，然后分別令m=1,2,3,456,求得滿足條件的

兀然后即可根據(jù)古典概型概率公式，得出答案.

【解答過程】由2〃石可得，(2m-3)x(-1)-(n-1)x1=0,

所以71=4—2m.

因為。為鈍角，所以di<0,且五工不共線，

所以｛（2爪_3）X、：*24X（T）<0,即n>2m—2,且nH4—2/n.

當(dāng)m=l時，有九>0且九。2,所以九可取1,3,4,5,6；

當(dāng)血=2時，有n>2,ri可取3,4,5,6；

當(dāng)m=3時，有九>4,九可取5,6；

當(dāng)?n=4,m=5,TH=6時，n>2m—2>6,此時無解.

綜上所述，滿足條件的血刀有H種可能.

又先后拋擲兩次，得到的樣本點數(shù)共36種，

所以e為鈍角的概率P=

故選：D.

【題型7古典概型與數(shù)列的交匯問題】

2

［例7］⑵-24高三下?河南?階段練習(xí)）記數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,已知Sn=an—4cm+b,在數(shù)集｛一1,0,1｝

中隨機抽取一個數(shù)作為。，在數(shù)集｛—3,0,3｝中隨機抽取一個數(shù)作為6,則滿足SnNS2（neN*）的概率為（）

A.!B.|C.；D.|

【解題思路】將5?配方，Sn2s2恒成立等價于S2是%的最小值，根據(jù)常數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合古典

概型概率計算方法即可求解.

【解答過程】由已知得S"=a（7i—2）2+6-4a,

如果a=0,貝””=匕，滿足Sn2S2，概率為，

如果aKO,則S2是5?的最小值，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知，a>0,故a=l,此時概率為，

Iio

??3.252的概率為3+!=：,

故選：D.

【變式7-1］（23-24高三上?河南許昌?階段練習(xí)）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在他的《算盤全書》中提出了一個

關(guān)于兔子繁殖的問題：如果一對兔子每月能生1對小兔子（一雄一雌），而每1對小兔子在它出生后的第

三個月里，又能生1對小兔子，假定在不發(fā)生死亡的情況下，從第1個月1對初生的小兔子開始，以后每

個月的兔子總對數(shù)是：1,1,2,3,5,8,13,21,…，這就是著名的斐波那契數(shù)列，它的遞推公式是即=

an_i+an_2（n>3,n6N*）,其中的=1,a?=1.若從該數(shù)列的前2021項中隨機地抽取一個數(shù)，則這個數(shù)是

偶數(shù)的概率為（）

.1D673

A?三B.南

C5D?謝

【解題思路】由斐波那契數(shù)列中偶數(shù)出現(xiàn)的周期性求前2021項中偶數(shù)的個數(shù)，再由古典概型概率求法求概

率即可.

【解答過程】由題設(shè)，斐波那契數(shù)列從第一項開始，每三項的最后一項為偶數(shù)，而等=673...2,

.??前2021項中有673個偶數(shù)，故從該數(shù)列的前2021項中隨機地抽取一個數(shù)為偶數(shù)的概率為照.

故選：B.

【變式7-2]（2024?北京?模擬預(yù)測）斐波那契數(shù)列｛F九｝因數(shù)學(xué)家萊昂納多?斐波那契（LeoTwrdodaFiboTiaci）

以兔子繁殖為例而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.因n趨向于無窮大時，含無限趨近于黃金分割數(shù)，也被稱

^n+1

為黃金分割數(shù)列.在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列由以下遞推方法定義：數(shù)列｛Fn｝滿足％=&=1，F(xiàn)n+2=Fn+1

+Fn,若從該數(shù)列前12項中隨機抽取1項，則抽取項是奇數(shù)的概率為（）

1723

A.5B.-C.-D.-

【解題思路】由題中給出的遞推公式，求出數(shù)列的前12項，然后找出其中是奇數(shù)的個數(shù)，由古典概型的概

率公式求解即可.

【解答過程】解：由題意可知“兔子數(shù)列”滿足％=&=1，F(xiàn)n+2=Fn+1+Fn,

所以該數(shù)列前12項分別為：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,

其中是奇數(shù)的有：1,1,3,5,13,21,55,89,

故從該數(shù)列前12項中隨機抽取1項，則抽取項是奇數(shù)的概率為。=|.

故選：C.

【變式7-3]（2024?江蘇?一模）若數(shù)列｛an｝的通項公式為冊=（―1）"T,記在數(shù)列｛an｝的前n+2（neN*）

項中任取兩項都是正數(shù)的概率為P“，則（）

A.Pi=（

B.「2九<尸2九+2

C.P2n-1<P2n

D.P2n-1+尸2九<尸2九+1+02九+2.

【解題思路】由已知得數(shù)列｛冊｝的奇數(shù)項都為1,即奇數(shù)項為正數(shù)，數(shù)列的偶數(shù)項為一1,即偶數(shù)項為負(fù)

數(shù)，當(dāng)幾=1時，Pi=,由此判斷A選項；

將2幾—1代入，求得P2n-1；將2n代入，求得P2n；將久+1代入，求得P2n+1：將2n+2代入，求得P2n+2,再

運用作差比較法，可判斷得選項.

【解答過程】解：因為數(shù)列｛即｝的通項公式為冊=（—I）*】，所以數(shù)列｛an｝的奇數(shù)項都為1,即奇數(shù)項為正

數(shù)，數(shù)列｛an｝的偶數(shù)項為一1,即偶數(shù)項為負(fù)數(shù)，

又?jǐn)?shù)列｛an｝的前n+2（nGN*）項中，任取兩項都是正數(shù)的概率為Pn,

當(dāng)n=l時，即前3項中，任取兩項都是正數(shù)，概率為Pi=g故A正確：

將2n—1代入，數(shù)列｛an｝的前2n+l（neN*）項中，有（n+1）個正數(shù)，n個負(fù)數(shù)，任取兩項都是正數(shù)的概率為

P_髭+1_九（九+1）_1+1

戶2九一1一c猊+i-（2n+l）-（2n）-41+2’

將2幾代入，數(shù)列｛冊｝的前2zi+2（7iEN*）項中，有（荏+1）個正數(shù)，（幾+1）個負(fù)數(shù)，任取兩項都是正數(shù)的概率為

_鬃+1=仆+1）=九

卜2瞪—dn+2~（2n+l）-（2n+2）—4九+2'

將2九+1代入，數(shù)列｛a九｝的前2TI+3（7IEN*）項中，有（九+2）個正數(shù)，（n+1）個負(fù)數(shù)，任取兩項都是正數(shù)的概

玄％p_。1+2______（71+1）（71+2）_九+2

舉力卜2九+1=磊工=（2n+3）.（2n+2）=薪需'

將2n+2代入，數(shù)列｛冊｝的前2TI+4（＞EN*）項中，有（九+2）個正數(shù)，（n+2）個負(fù)數(shù)，任取兩項都是正數(shù)的概

玄％p_。1+2_______（7l+l）（7l+2）_九+1

舉囚尸2九+2=城二=（2n+3）.（2n+4）=4^+6J

所以「2n—P2n+2=高一黑=標(biāo)自兩＜0，所以「2n＜P2n+2，故B正確；

P2n-1-P2n'所以。2-1>02?，故C錯誤；

/n+1n\/n+2n+l\

(^2n-i+22九)—(尸2九+1+02九+2)-(4n+2+4n+2/—\4n+6+4n+6/

2n+l2n+311_

-------------------=(J,

4n+24n+622

所以「2n-1+P2n=^2n+l+尸2九+2,故D錯誤,

故選：AB.

【題型8古典概型與統(tǒng)計綜合】

【例8】（2024?全國?模擬預(yù)測）第24屆哈爾濱冰雪大世界開園后，為了了解進(jìn)園游客對本屆冰雪大世界的

滿意度，從進(jìn)園游客中隨機抽取50人進(jìn)行調(diào)查并統(tǒng)計其滿意度評分，制成頻率分布直方圖如圖所示，其中

滿意度評分在［76,84）的游客人數(shù)為18.

（1）求頻率分布直方圖中a力的值；

⑵從抽取的50名游客中滿意度評分在［60,68）及［92,100］的游客中用分層抽樣的方法抽取5人，再從抽取的

5人中隨機抽取2人，求2人中恰有1人的滿意度評分在［60,68）的概率.

【解題思路】（1）根據(jù)評分在［76,84）的游客人數(shù)為18和總?cè)藬?shù)為50得到b=0.045,利用頻率之和為1

得到方程，求出a=0.01；

（2）根據(jù)分層抽樣的方法得到評分在［60,68）的人數(shù)為2,設(shè)為巧,冷，滿意度評分在［92,100］的人數(shù)為3,

設(shè)為月，及，力，列舉出所有情況和2人中恰有1人的滿意度評分在［60,68）的情況，求出概率.

【解答過程】（1）由題知，6=^=0。45,

□UXo

8X（a+0.015+0.025+0.030+0,045）=1,解得a=0.01.

（2）由題知，抽取的50名游客中滿意度評分在［60,68）的人數(shù)為0.01x8x50=4,

滿意度評分在［92,100］的人數(shù)為0015x8x50=6,

???抽取的5人中，滿意度評分在［60,68）的人數(shù)為2,設(shè)為肛,%2，滿意度評分在［92,100］的人數(shù)為3,設(shè)為

月）2,乃，

從5人中隨機抽取2人的不同取法為｛%1黑｝,｛孫丫個,｛%i,y2｝，｛xi,y3｝，｛%2,yi｝，｛x2,y2｝，｛x2,y3｝，｛yi,y2｝，｛yi，為｝，

｛y2,y3｝-共有10種不同取法，

設(shè)“2人中恰有1人的滿意度評分在［60,68）”為事件M,

則事件”包含的取法為1%1，月｝,｛久1/2｝，｛久1，乃｝，｛肛71｝，｛刀2，，2｝，｛%2，）73｝，共有6種不同取法.

【變式8-1］（2024?四川成都?模擬預(yù)測）課外閱讀對于培養(yǎng)學(xué)生的閱讀興趣、拓寬知識視野、提高閱讀能

力具有重要作用.某市為了解中學(xué)生的課外閱讀情況，從該市全體中學(xué)生中隨機抽取了500名學(xué)生，調(diào)查

他們在寒假期間每天課外閱讀平均時長t（單位：分鐘），得到如下所示的頻數(shù)分布表，已知所調(diào)查的學(xué)生

中寒假期間每天課外閱讀平均時長均不超過100分鐘.

時長t[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]

學(xué)生人數(shù)5010020012525

（1）估計這500名學(xué)生寒假期間每天課外閱讀平均時長的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代

表）；

（2）若按照分層抽樣的方法從本次調(diào)查中寒假期間每天課外閱讀平均時長在［0,20）和［20,40）的兩組中共抽取

6人進(jìn)行問卷調(diào)查，并從6人中隨機選取2人進(jìn)行座談，求這2人中至少有一人寒假期間每天課外閱讀平均

時長在［0,20）的概率.

【解題思路】（1）利用頻率分布表估算平均數(shù)即可得解.

（2）求出兩個指定區(qū)間內(nèi)的人數(shù)，利用列舉法求出概率.

【解答過程】（1）依題意，樣本中500名學(xué)生寒假期間每天課外閱讀平均時長的平均數(shù)

l°x券+3。*黑+50X煞+70X焉+90X磊=49,

所以估計這500名學(xué)生寒假期間每天課外閱讀平均時長的平均數(shù)為49.

（2）抽取的6人中寒假期間每天課外閱讀平均時長在［0,20）內(nèi)有：6X瑞=2人，在［20,40）內(nèi)有4人，

記［0,20）內(nèi)的2人為4,B,記［20,40）內(nèi)的4人為a,-c,d,

從這6人中隨機選2人的基本事件有：AB,Aa,Ab,Ac,Ad

Ba,Bb,Bc,Bd,ab,ac,ad,bc,bd,cd,共15種，

其中至少有一人每天課外閱讀平均時長在［0,20）的基本事件有48,而/瓦/以4府見時血打，共9種，

QQ

設(shè)M="選取的2人中至少有一人每天課外閱讀平均時長在［0,20）”，則P（M）

【變式8-2］（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測）為了解學(xué)生的周末學(xué)習(xí)時間（單位：小時），高一年級某班班主

任對本班40名學(xué)生某周末的學(xué)習(xí)時間進(jìn)行了調(diào)查，將所得數(shù)據(jù)整理繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，根

據(jù)直方圖所提供的信息:

（1）①求該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時間不少于20小時的人數(shù);

②用分層抽樣的方法在［20,25）和［25,30］中共抽取6人成立學(xué)習(xí)小組，再從該小組派3人接受檢測，求檢

測的3人來自同一區(qū)間的概率.

（2）①估計這40名同學(xué)周末學(xué)習(xí)時間的25%分位數(shù)；

②將該班學(xué)生周末學(xué)習(xí)時間從低到高排列，那么估計第10名同學(xué)的學(xué)習(xí)時長；

【解題思路】（1）利用圖形的面積算出對應(yīng)頻率，乘以樣本容量40即可得相應(yīng)頻數(shù)；先用分層抽樣，再

用超幾何分布概率公式即可求出事件的概率；

（2）由百分位數(shù)的定義結(jié)合頻率分布直方圖即可求出；利用第10名就是40名同學(xué)的25%,從而可以利用

第25百分位數(shù)估計其學(xué)習(xí)時長，

【解答過程】（1）①由圖可知，該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時間不少于20小時的頻率為（0.03+0.015）

X5=0.225,

則40名學(xué)生中周末的學(xué)習(xí)時間不少于20小時的人數(shù)為40x0.225=9人.

②由圖可知，則40名學(xué)生中周末的學(xué)習(xí)時間在［20,25）的人數(shù)為0。3x5x40=6人，

則40名學(xué)生中周末的學(xué)習(xí)時間在［25,30］的人數(shù)為0。15x5x40=3人，

從中用分層抽樣抽取6人，即周末的學(xué)習(xí)時間在［20,